함수의 극한

$x$	${\frac {\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

⁡ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin$ x $}{x}}$ 의 ${\tfrac {\sin x}{x}}$ 가 0에서 정의되지는 않지만, x가 점점 0에 가까워질수록 $sin$ ⁡ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ ${\tfrac {\sin x}{x}}$ 은(는) 임의로 1에 가까워집니다.즉, x가 0에 $가까워질$ 때 sin ⁡ ${\tfrac {\sin x}{x}},$ x ${\tfrac {\sin x}{x}},$ {\ $displaystyle$ {\ $tfrac {\sin$ x $}{x}}$ 의 한계는 1과 같습니다.

수학에서, 함수의 극한은 미적분학과 특정한 입력에 가까운 함수의 행동에 관한 분석에서 기본적인 개념입니다.

19세기 초에 처음 고안된 공식적인 정의는 다음과 같습니다.비공식적으로 $함수$ f는 모든 $입력$ x에 $출력$ f $(x)$ 를 할당합니다.f( $x)$ 가 점점 더 $L$ 에 $가까워지면$ x가 점점 더 $t$ 에 가까워지면 함수는 $입력$ p에서 $L$ 에 한계를 가진다고 합니다.보다 구체적으로, f가 p에 $충분히$ 가까운 임의의 입력에 적용될 $때$ , 출력 값은 임의로 L에 $가깝게$ 강제됩니다.반면에 p에 $매우$ 가까운 일부 입력이 고정된 거리를 유지하는 출력으로 이동되면 한계가 존재하지 않는다고 말합니다.

한계의 개념은 현대 미적분학에 많은 응용이 있습니다.특히, 연속성에 대한 많은 정의는 한계의 개념을 사용합니다: 대략, 함수의 모든 한계가 함수의 값과 일치하는 경우 함수는 연속적입니다.극한의 개념은 도함수의 정의에도 나타나는데, 하나의 변수의 미적분에서 함수의 그래프에 대한 할선 기울기의 극한값입니다.

역사

비록 17세기와 18세기의 미적분학의 발전에 함축적이지만, 함수의 극한에 대한 현대적인 생각은 1817년 연속 함수를 정의하기 위해 엡실론 델타 기법의 기초를 도입한 볼자노로 거슬러 올라갑니다.하지만,^[1] 그의 작품은 생전에 알려지지 않았습니다.

1821년, 오거스틴 루이 코시는 그의 책 Cours d'1821에서, $x$ 의 무한한 변화는 반드시 $y$ 의 무한한 변화를 일으킨다는 것을 말함으로써 가변량, 무한한 극과 극, 그리고 y = $(x)$ 의 연속성을 정의했습니다 $.$ 반면 (Grabiner 1983)은 증명에 ^[2]엄격한 엡실론 델타 정의를 사용했다고 주장합니다.1861년 바이어스트라스는 오늘날 ^[3]일반적으로 쓰이는 형태로 엡실론-델타의 극한 정의를 처음으로 도입했습니다. ${\textstyle \lim }$ 주석 ${\textstyle \lim }$ lim ${\textstyle$ \lim $}$ 과 ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$ x ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$ → ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$ 0. ${\textstyle \lim _{x\to x_{$ 0}}\ $displaystyle$ 을 소개했습니다 $.$

화살표를 한계 기호 아래에 두는 현대적인 표기법은 1908년 ^[5]그의 책 A Course of Pure Mathematics에서 소개된 하디 때문입니다.

동기

$그래픽$ = $f (x)$ 로 표시된 풍경 위를 걷고 있는 사람을 상상해 보십시오.그들의 수평 위치는 육지의 지도나 위성위치확인시스템에 의해 주어진 위치와 매우 유사한 x에 $의해$ 주어집니다.그들의 고도는 $좌표$ 에 의해 결정됩니다.그들이 이 지점에 점점 더 가까워질수록 $그들$ 의 고도가 특정 값 L에 근접한다는 것을 알게 될 것이고, 그들의 $위치$ x = $p$ 를 향해 걸어간다고 가정합니다.x = $p$ 에 $해당$ 하는 고도를 물으면 y = $L$ 이라고 $대답$ 합니다.

그렇다면 그들의 고도가 L에 $가까워졌다는$ 것은 무엇을 의미하는 것일까요?이는 정확도의 작은 오차를 제외하고는 고도가 L에 $점점$ 더 가까워짐을 의미합니다.예를 들어, 여행자를 위한 특정한 정확도 목표를 설정했다고 가정해 보겠습니다. 여행자는 L에서 $10미터$ 이내에 도달해야 합니다.그들은 실제로 L로부터 $10$ 수직 미터 이내에 도달할 수 있다고 보고하고, p로부터 $50$ 수평 미터 이내에 있는 한, 그들의 고도는 항상 L로부터 $10$ 미터 이내에 있다고 주장합니다.

그러면 정확도 목표가 바뀌게 됩니다: 그들이 한 수직 미터 이내에 도달할 수 있습니까?예, $p$ 의 5 수평 미터 이내에서 이동할 수 있다고 가정하면, 그들의 고도는 항상 $목표$ 고도 L로부터 1 미터 이내에 유지될 것입니다. 위의 개념을 요약하면, 여행자의 고도는 그들의 수평 위치가 $p$ 에 가까워짐에 따라 $L$ 에 가까워짐으로써, 그러나 모든 목표 정확도 목표에 대하여,r 작으면, 모든(일부가 아닌) 고도가 모든 수평 위치에 해당하는 p의 $이웃$ 이 있을 수 있으며, 그 이웃에서 수평 $위치$ p 자체가 정확도 목표를 달성할 수도 있습니다.

이제 최초의 비공식적인 진술은 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

x가 p에

접근

할 때

함수

f

(x)

의 극한은 다음 성질을 가진

L

입니다.

L

로부터의 목표 거리가 주어지면, f

(x

)의 값이 목표 거리 내에 남아 있는

p

로부터의 거리가 있습니다.

사실, 이 명시적인 문장은 위상 공간에 값이 있는 함수의 극한에 대한 공식적인 정의에 상당히 가깝습니다.

좀 더 구체적으로 말하자면.

\lim _{x\top}f(x)=L,

f $($ $x$ $)$ 는 충분히 가깝지만 동일하지 않은 x를 $top$ 으로 만들어 원하는 만큼 L에 $가깝게$ 만들 수 있다는 $것$ 입니다.

(ε $,$ δ)-정의로 알려진 다음 정의는 다양한 맥락에서 함수의 한계에 대해 일반적으로 인정되는 정의입니다.

단일 변수의 함수

$(ε,$ $δ)-$ 한계의 정의

f $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ → $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:\mathbb {R}$ \ $rightarrow \mathbb {R}}$ 이 실수선에 정의된 함수이며 실수 $p$ 와 $L$ 이 두 개 있다고 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 합니다.어떤 사람은 $x$ 가 p에 가까워짐에 따라 f의 $극한$ 은 L이라고^[6] 말할 것입니다.

\lim _{x\top}f(x)=L,

또는 f $($ $x$ $)$ 가 L의 $경향$ 을 x가 p의 경향을 $갖는다고$ $하고$ 다음과 같이 적습니다.

f(x)\toL{\text{as}}x\top,

만약 다음 성질이 성립한다면: 모든 $실수$ $x$ 에 $대하여$ 0 $<$ x - $p$ < δ가 f(x) $- L$ < ε를 $의미$ 하는 실수δ > $0$ 이 존재합니다. 기호적으로,

{\displaystyle (\for all \varepsilon >0)\,(\exist \delta >0)\,(\for all x\in \mathbb {R})\,(0< x-p <\delta \는 f(x)-L <\varepsilon>을 의미합니다.)

예를 들어, 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

\lim _{x\to 2}(4x+1)=9

모든 실수

ε >

0

에 대하여 δ =

ε/

4

를 취할 수 있으므로 모든 실수

x

에

대하여

0 <

x

-

2

< δ,

4x

+

1

- 9 < ε를 취할 수 있습니다.

실제 선의 부분 집합에 정의된 함수에 대해 보다 일반적인 정의가 적용됩니다.S를 R $\mathbb {R} .$ {\ $displaystyle \mathbb {R}.}$ 의 $\mathbb {R} .$ 집합이라 $하자$ f $f:S\to \mathbb {R}$ : $f:S\to \mathbb {R}$ → $f:S\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}}$ 은 $f:S\to \mathbb {R}$ (는) 실수 값 함수입니다.p를 ( $(a,p)\cup (p,b)\subset S.$ ) ∪ ( $(a,p)\cup (p,b)\subset S.$ ) ⊂ $(a,p)\cup (p,b)\subset S.$ ${\displaystyle (a, p$ )\ $cup (p, b$ )\ $subset$ S $.}$ 를 갖는 p를 $포함$ 하는 열린 구간 ( $a, b$ )이 존재하도록 점이라 $하자$ , 만약 다음과 같다면, x가 p에 $접근$ 할 $때$ f의 $극한$ 은 $L$ 이라고 합니다.

모든 실수

ε >

0

에 대하여,

모든

x ∈ (

a,

b)에 대하여

, 0

< x - p < δ이 f

(x)

-

L

< ε을

의미

하는 실수

δ > 0이 존재합니다.

또는 기호:

{\displaystyle (\모든 \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\모든 x\in (a,b))\,(0< x-p <\delta \는 f(x)-L <\varepsilon>을 의미합니다.)

예를 들어, 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

\lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2

모든 실수

ε >

0

에 대하여 δ

= ε를 취할 수 있으므로, 모든

실수

x

≥ -3에

대하여 0

<

x

- 1 < δ, f

(x)

- 2 < ε를 취할 수 있습니다.이 예제에서 S = [-

3,

∞]는 점 1 주변의 열린 구간(예: 구간 (0, 2))을 포함합니다.

여기서 한계값은 $p$ 에서 정의되는 f나 정의되는 경우 f $(p)$ 의 $값$ 에 의존하지 않습니다.예를 들어 $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ f : $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ [ $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ ) ∪ ( 1 $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ ] → $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ ( $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ ) = $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ 2 - $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ - $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ x - 1 이라고 $f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$ ${\displaystyle$ f $:[0,1]\cup (1,2]\to \mathbb {R},f(x$ )={\ $tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.$

\lim _{x\to1}f(x)=3

모든

π

>

0

에 대하여

π

=

π

/

2

를 취할 수 있으므로 모든 실수 x

π

1에 대하여

0

<

x

-

1

<

π

, f(

x)

-

3

<

π

)이면 됩니다.

여기

서

f(1

)

은 정의되지 않습니다.

$실제로$ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ { $x$ ∈ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ ∃ ∈ ⊂ ∪ ⊂ ⁡ ⁡ ∪ a a ∈ ( ∃ , ( , p $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ }} $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ ( } $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ ( $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ , ∪ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ \ in $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ s { ⊂ r $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ b ⁡ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ \ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ { \ math $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ \ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ in \ $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ ( $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ x ⁡ ists $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ \ ∪ s $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ { ( ( which $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ iso text int $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ \ and s } ) $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ ( $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ at $\{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},$ a , oper c s $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ { } p $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ ⊂ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ , r int p x { \ ) ) , ∈ r s exist where a can b $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ } { int in limit equals and { a ) \ } c ) style s \ }, iso { , ^ { at bb orn oper style ame display p orn i cup ame set math { r display ) , a bb \ sub sub a cup set , qu \ s \ \ p in { }, b ad p \ \ } \ \ , ex \ , b b , ) , )S의 $내부$ 및 $등각 c$ S는 $S$ 의 보체의 고립된 점입니다. $S=[0,1)\cup (1,2],$ = [ $S=[0,1)\cup (1,2],$ ) ∪ ( 1 $S=[0,1)\cup (1,2],$ ] , ${\displaystyle$ S = [ $0, 1]\cup$ ( $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ $, 2),}$ $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ ⁡ $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ = ( $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ ∪ ( 1 $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ ), $\operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),$ {\ $displaystyle \operatorname {int}$ S = ( $0, 1)\cup$ ( $1, 2),}$ $\operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.$ ⁡ $\operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.$ C = { $\operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.$ $\operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.$ {\ $displaystyle \operatorname {iso} S^{c$ }=\{ $1\}$ 우리는 특히 한계가 1에 존재하지만 0 또는 2에는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

ε와 δ는 "오류"와 "거리"로 이해할 수 있습니다.실제로 코시는 일부 연구에서 "오류"의 줄임말로 ε를 사용했지만 연속성에 대한 정의에서는 ε 또는 δ가 아닌 $\alpha$ α $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha}$ 를 사용했습니다(Cours d'Analyse 참조).이러한 관점에서 거리(θ)를 한계점으로 감소시킴으로써 한계점에서 값을 측정할 때의 오차(θ)를 원하는 대로 작게 만들 수 있습니다.아래에서 논의되는 바와 같이, 이 정의는 보다 일반적인 맥락의 함수에도 적용됩니다.δ와 ε가 거리를 나타낸다는 생각은 이러한 일반화를 제시하는 데 도움이 됩니다.

존재 및 일방적 한계

또는, $x$ 는 위(오른쪽) 또는 아래(왼쪽)에서 $p$ 에 접근할 수 있으며, 이 경우 한계는 다음과 같습니다.

\lim _{x\top p^{+}}f(x)=L

아니면

\lim _{x\top^{-}}f(x)=L

각각 다음과 같다.이러한 한계가 p에 존재하고 거기서 동일한 경우,^[7] 이를 $p$ 에서 $f(x$ )의 한계라고 할 수 있습니다.단측 한계가 $p$ 에 존재하지만 동일하지 않으면 $p$ 에 한계가 없습니다(즉, $p$ 에 한계가 존재하지 않음). $p$ 에 한 변의 극한값이 존재하지 않으면 $p$ 의 극한값도 존재하지 않습니다.

공식적인 정의는 다음과 같습니다.f x가 위에서 p에 $접근$ 할 $때$ 의 극한값은 $다음$ 과 같습니다.

모든

ε >

0

에 대하여 0

< x

-

p

< δ 일

때

마다 f

(x)

-

L

< ε 일 때가

되도록

δ >

0

이 존재합니다.

{\displaystyle (\모든 \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\모든 x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \는 f(x)-L <\varepsilon>을 의미합니다.)

f x가 아래에서 p에 $접근$ 할 $때$ 의 극한값은 $다음$ 과 같습니다.

모든

ε >

0

에 대하여 0

< p

-

x

< δ 일

때

마다 f

(x)

-

L

< ε 일 때가

되도록

δ >

0

이 존재합니다.

{\displaystyle (\모든 \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\모든 x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \는 f(x)-L <\varepsilon>을 의미합니다.)

만약 한계치가 존재하지 $않는다면$ , fat $p$ 의 진동은 0이 아닙니다.

한계점 및 부분 집합을 사용한 보다 일반적인 정의

도메인의 하위 집합에서 접근하여 한계를 정의할 수도 있습니다.

일반적으로 (Bartle & Sherbert 2000) harv 오류: 대상 없음: CITEREFBartle Sherbert 2000 (도움말): $f:S\to \mathbb {R}$ S → $f:S\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}$ 은 $($ 는) $S\subseteq \mathbb {R} .$ S $S\subseteq \mathbb {R} .$ $⊆$ $S\subseteq \mathbb {R} .$ 에 정의된 실수 함수입니다 $.$ {\ $displaystyle S\subseteq$ \mathbb ${R}.}$ $T\subset S$ 를 일부 $T\subset S$ $⊂$ S {\ $displaystyle$ T $\subset$ S $T\subset S$ 의 극한점이라 $하자$ . $즉$ , p는 $p$ 와 구별되는 $T$ 의 원소들의 일부 수열의 극한이다.그러면 x가 $T$ 의 값으로부터 p에 접근할 $때$ f의 $극한$ 은 $L$ 이라고 합니다.

\lim _{x\top} \lim {x\in T}}f(x)=L

다음이 성립하는 경우:

모든

ε >

0

에 대하여

모든

x ∈

T

에

대하여

0 <

x

- p < δ가 f

(x)

-

L

< ε를

의미

하는

δ >

0

이 존재합니다.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in T)\,(0< x-p <\delta \imply f(x)-L <\varepsilon )

$참고$ 로, T는 S의 $임의$ 의 부분집합, 즉 $off$ 의 도메인이 될 수 있습니다.그리고 T의 $선택$ 에 따라 한계가 달라질 수 있습니다.이러한 일반화에는 구간에 대한 특수한 경우 제한뿐만 아니라 실제 값 함수의 왼쪽 한계(예: T를 형식의 열린 구간으로 $함$ 으로써( $예$ : T를 형식의 열린 구간으로 함으로써), 오른쪽 한계(예: T를 $형식$ 의 열린 구간으로 함으로써( $a,$ ∞ $))$ 가 포함됩니다.또한 단면 한계의 개념을 (반)닫힌 구간의 포함된 끝점까지 확장하므로 제곱근 $f(x)={\sqrt {x}}$ f ( $f(x)={\sqrt {x}}$ = $f(x)={\sqrt {x}}$ ${\displaystyle$ f(x) = {\ $sqrt {x}}}$ 은(는) x가 위에서 0에 가까워지면 $한계$ 가 0이 될 수 있습니다.

\lim _{x\to0} \lim {x\in[0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0

모든

ε >

0

에 대하여

모든

x ≥

0

에 대하여 0 <

x

-

0

< δ이면

f (x)

-

0

< ε가 되도록 δ

= ε를 취할 수 있습니다.

이 정의는 동일한 한계점을 갖는 적합한 $부분$ 집합 T를 선택할 경우, $도메인$ S의 한계점에서 한계를 정의할 수 있습니다.

특히, 이전의 양면 정의는 $S$ 의 한계점의 부분 집합인 $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ ⁡ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ ∪ iso ⁡ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ $\operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},$ {\ $displaystyle \operatorname {int} S\cup$ \ $operatorname {iso} S^{c}$ 에서 작동합니다.

예를 들어, S = [ $S=[0,1)\cup (1,2].$ ) ∪ ( $S=[0,1)\cup (1,2].$ ] . $S=[0,1)\cup (1,2].$ {\ $displaystyle$ S = [ $0, 1)\cup (1, 2)$ 라고 $S=[0,1)\cup (1,2].$ . $}$ 이전의 양면 $1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},$ 는 1 $∈$ $1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},$ $⁡$ $1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},$ $=$ { $1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},$ {\ $displaystyle$ 1 $\in \operatorname {iso} S^{c$ } $=$ \{ $1\}$ 에서 작동하지만 S의 $한계점$ 인 0 또는 2에서는 작동하지 않습니다.

삭제된 제한과 삭제되지 않은 제한 비교

여기서 제시된 한계의 정의는 $p$ 에서 f를 어떻게 정의하는지(또는 정의하는지)에 의존하지 않습니다. Bartle(1967)은 이를 삭제된 한계라고 언급하는데, 이는 $fat$ $p$ 의 값을 배제하기 때문입니다.p가 $off$ 도메인에 있는 $경우$ 해당 비삭제 한계는 $fat$ $값$ 에 따라 달라집니다. $f:S\to \mathbb {R}$ S → $f:S\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}}$ 은 $f:S\to \mathbb {R}$ (는) 실수 값 함수입니다.x가 p에 $가까워짐$ 에 따라 f의 $삭제$ 되지 않은 한계는 $Lif$ 입니다.

모든

π

>

0

에 대하여,

모든

x

π

S에

대하여 x

- p <

π

가

f (x)

- L <

π

를

의미

하는

π

>

0

이 존재합니다.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in S)\,( x-p <\delta \imply f(x)-L <\varepsilon )

정의는 동일하지만, 삭제된 $이웃$ 0 < $x$ - $p$ < δ>과는 달리 $이웃$ x - $p$ < δ이 이제 $점$ p를 포함한다는 점을 제외하고는 동일합니다.따라서 삭제되지 않은 한계의 정의가 덜 일반적입니다.(삭제되지 않은 한계의 존재를 제외하고) 함수에 대한 제약 없이 구성의 한계에 대한 정리를 진술할 수 있다는 것이 삭제되지 않은 한계 작업의 장점 중 하나입니다 (Hubbard (2015)).

Bartle(1967)은 비록 일부 저자들이 "한계"에 의해 이러한 비삭제 한계를 의미하지만, 삭제된 한계가 가장 일반적이라고 언급합니다.예를 들어 Apostol(1974), Courant(1924), Hardy(1921), Rudin(1964), Whittaker & Watson(1902) harvtxt 오류: 대상 없음: CITEREFWhittakerWatson1902(도움말) 모두 "한계"를 삭제된 한계를 의미합니다.

예

일변도 한계가 존재하지 않음

함수를

f(x)={\text{case}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\0&{\text{ for }}x=1\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }x>1\end{case}

는 x =

1

에서 제한이 없지만(사인함수의 진동 특성으로 인해 왼쪽 제한이 존재하지 않으며, 역수함수의 점근적 행동으로 인해 오른쪽 제한이 존재하지 않음, 그림 참조), 다른 모든 x 좌표에서 제한이 있습니다.

함수를

f(x)={\text{case}1&x{\text{rational}}}\0&x{\text{rational}}}\end{case}}

(일명 디리클레 함수) x좌표에는 제한이 없습니다.

편면한계불균등

함수를

f(x)={\display{case}1&{\text{ for }}x<0\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{case}}

0이 아닌 모든 x 좌표에서 한계를 갖습니다(한계는

음

의 x일 경우 1,

양

의 x일 경우 2와 같음).x =

0

에서의 한계가 존재하지 않습니다(좌측 한계는 1인 반면, 우측 한계는 2).

한 점에서의 한계

그 기능들은

f(x)={\text{case}x&x{\text{rational}}}\0&x{\text{rational}}}\end{case}

그리고.

f(x)={\text{case} x &x{\text{rational}}}\0&x{\text{rational}}}\end{case}

둘 다 x =

0

에서 한계를 가지며 0과 같습니다.

셀 수 있을 정도로 많은 지점에서의 한계

함수를

f(x)={\text{case}}\sin x&x{\text{rational}}}\1&x{\text{rational}}}\end{case}}

는 형식 π

{\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,

+

{\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,

n

{\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,

π

{\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,

, {\

displaystyle

{\

tfrac

{\

pi}{2}}

+

2 n\

pi ,} 의 x 좌표에서 한계를 갖습니다.

여기

서 n은 임의의 정수입니다.

무한대를 포함하는 한계

무한대에서의 한계

$f:S\to \mathbb {R}$ S → $f:S\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}$ 은 $($ 는) S $⊆$ $S\subseteq \mathbb {R} .$ 에 정의된 함수입니다 $.$ {\ $displaystyle$ S $\subseteq \mathbb {R}.}$ x가 무한대에 가까워짐에 따라 f의 극한은 $L$ 로 표시됩니다.

\lim _{x\to \infty}f(x)=L,

다음을 의미합니다.

모든

π

>

0

에 대하여, +

x

>

c일

때마다 f

(x)

-

L

<

π

를

가지는

c >

0

이 존재합니다.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exist c>0)\,(\for all x\in S)\,(x>c\는 f(x)-L <\varepsilon )

마찬가지로, x가 무한대에 가까워질 때 f의 $극한$ 은 $L$ 로 표시됩니다.

\lim _{x\to -\infty}f(x)=L,

다음을 의미합니다.

모든

π

>

0

에 대하여, x <

-c일

때

마다 f

(x)

-

L

<

π

를

가지는

c >

0

이 존재합니다.

{\displaystyle (\for all \varepsilon >0)\,(\exist c>0)\,(\for all x\in S)\,(x<-c\는 f(x)-L <varepsilon>을 의미합니다.)

예를들면,

\lim _{x\to \infty}\left{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4

모든

π

>

0

에 대하여 모든

실수

x에 대하여 x >

c이면

f(x)

- 4 <

π

가 되도록 c =

3/ π

를

취할

수 있기 때문입니다.

또 다른 예는

\lim _{x\to -\infty}e^{x}=0

모든

π

>

0

에 대하여 모든

실수

x에 대하여 x <

-c

,

f

(

x)

-

0

<

π

가 되도록 c =

max{1, -ln(π)}

를

취할

수 있기 때문입니다.

무한한계

값이 경계 없이 증가하는 함수의 경우 함수가 분기되고 일반적인 한계가 존재하지 않습니다.그러나 이 경우에는 무한한 값을 가지는 한계를 도입할 수 있습니다.

$f:S\to \mathbb {R}$ S → $f:S\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}$ 은 $($ 는) S $S\subseteq \mathbb {R} .$ $⊆$ $S\subseteq \mathbb {R} .$ 에 정의된 함수입니다 $.$ {\ $displaystyle S\subseteq \mathbb$ {R $}.}$ x가 p에 가까워짐에 $따라$ f의 $극한$ 은 무한대로 표시됩니다.

\lim _{x\top}f(x)=\infty,

다음을 의미합니다.

모든

N >

0

에 대하여,

0

<

x

- p < δ 일

때

마다 f

(x)

>

N

이

되도록

δ >

0

이 존재합니다.

(\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0< x-p <\delta \imply f(x) >N)

x가 p에 $접근$ 할 $때$ f의 $극한$ 은 - 무한대를 뺀 것으로 표시됩니다.

\lim _{x\top}f(x)=-\infty,

다음을 의미합니다.

모든

N

>

0

에 대하여,

0

<

x

- p < δ 일

때

마다 f

(x)

< -

N

이

되도록

δ >

0

이 존재합니다.

(\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0< x-p <\delta \는 f(x)<-N을 의미합니다.)

예를들면,

\lim _{x\to1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}=\infty

모든

N

>

0

에 대하여 δ =

{\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}

{\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}

δ =

{\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}

N

{\textstyle

\lots = {\

tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta

}}= {\

tfrac {1}{\sqrt {N}}}:

모든

실수

x >

0

인

경우

0

< x

- 1 < δ, f

(x)

>

N

이

되도록

할 수 있기 때문입니다.

이러한 아이디어는 다음과 같은 다양한 조합에 대한 정의를 생성하는 데 함께 사용될 수 있습니다.

\lim _{x\to \infty}f(x)=\infty,

\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .

\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .

x →

\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .

+

\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .

(

\lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .

x ) = - ∞ .

{\displaystyle \lim

_

{x\top

p

^{+}}f(x

)= -\

infty .}

예를들면,

\lim _{x\to 0^{+}}\lnx=-\infty

모든

N >

0

에 대하여 모든

실수

x >

0

에 대하여

0 < x

- 0 <

π

, f (

x)

< -

N

이

되도록

π

= e를 취할 수 있기 때문입니다.

무한을 포함하는 한계는 점근의 개념과 연결됩니다.

이러한 한계 개념은 무한대의 한계에 대한 메트릭 공간 해석을 제공하려고 합니다.사실, 이들은 극한의 위상 공간 정의와 일치합니다.

-∞의 이웃은 $c\in \mathbb {R} ,$ c ∈ $c\in \mathbb {R} ,$ {\ $displaystyle$ c\ $in \mathbb {R},}$ 에 대한 구간 [-∞,c]를 포함하도록 정의됩니다.
∞의 이웃은 구간 $c\in \mathbb {R} ,$ $(c,$ ∞ $c\in \mathbb {R} ,$ 을 $c\in \mathbb {R} ,$ 하도록 정의되며, $여기$ 서 c ∈ R, ${\$ displaystyle c $\in$ \ $mathbb$ { $R}, }$ 및
∈ $a\in \mathbb {R}$ $a\in \mathbb {R}$ 의 $a\in \mathbb {R}$ 은 정규 메트릭 공간 $\mathbb {R} .$ 에 $\mathbb {R} .$ 정의됩니다. ${\displaystyle \mathbb$ { $R}$ .

${\overline {\mathbb {R} }}$ 경우, R ${\overline {\mathbb {R} }}$ ¯ {\ $displaystyle$ {\ $overline {\mathbb$ {R $}}}$ 는 위상 공간이며, $f:X\to Y$ f 의 임의의 $f:X\to Y$ 입니다 $X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ $X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ , $f:X\to Y$ $X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ $f:X\to Y$ ⊆ R ¯ {\ $displaystyle X,Y$ \ $subseteq$ $X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}$ {\ $overline {\mathbb$ { $R}}}$ 는 극한의 위상 정의를 따릅니다.이 위상적 정의를 사용하면 메트릭 의미에서 위에서 정의되지 않은 유한 지점에서 무한 한계를 쉽게 정의할 수 있습니다.

대체 표기법

많은 [8] 저자들은 투영적으로 확장된 실제 선을 확장된 실제 선뿐만 아니라 무한한 값을 포함하는 방법으로 사용할 수 있도록 허용합니다.이 표기법으로 확장 실수선은 R $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ∪ { $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ - ∞ , + ∞ ∞ $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ } $\mathbb {R$ \cup \{-\ $infty,$ +\ $infty$ \}로 주어지며, 투영 확장 실수선은 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ R ∞ { $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ ∪ $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ } {\ $displaystyle \mathbb {R}$ \ $cup$ \{\infty $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ \}이며, 여기서 is의 이웃은 { $\{x:|x|>c\}.$ : $\{x:|x|>c\}.$ x > $\{x:|x|>c\}.$ $\{x:|x|>c\}.$ 형태의 집합입니다. ${\displaystyle$ \{ $x :$ > $c\}$ $\{x:|x|>c\}.$ 모든 경우를 포함하기 위해 한계에 대한 세 가지 정의(왼쪽, 오른쪽, 중앙)만 필요하다는 장점이 있습니다.위에서 제시한 바와 같이, 완전한 엄밀한 설명을 위해, 우리는 무한대의 각 조합에 대해 15개의 개별적인 경우를 고려해야 합니다(5개의 방향: -π, 왼쪽, 중앙, 오른쪽, +π). 3개의 경계: -π, 유한 또는 +π).주목할 만한 함정도 있습니다.예를 들어, 확장된 실선으로 $x^{-1}$ 할 때 $x^{-1}$ x - $x^{-1}$ {\ $displaystyle$ x $^{-1}$ 은 $x^{-1}$ (는) 중앙 제한(정규값)을 포함하지 않습니다.

\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .

반대로, 투영 실수선을 사용할 때, 무한(0과 같은)은 부호가 없으므로, 중심 한계는 다음과 같은 맥락에서 존재합니다.

\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty.

실제로 사용 중인 수많은 상반된 형식적 시스템들이 있습니다.수치 미분과 적분의 특정한 응용에서, 예를 들어 부호화된 0을 갖는 것이 편리합니다.간단한 이유는 $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ x → $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ - $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ - $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ = - ∞ , $\lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to$ 0 $^{-}}{x^{-1$ }}=-\ $infty,}$ 즉 $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$ x → - ∞ $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$ - $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$ = - $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to$ - $\infty}{x^{-1$ }}=- $0}$ 의 $\lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0$ 와 관련이 있습니다.이러한 0은 무한소에 대한 근사치로 볼 수 있습니다.

유리 함수에 대한 무한대 한계

$f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ f ( $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ ) = $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ ( $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ ) $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ ( $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ ) $f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}$ {\ $displaystyle$ f $(x$ ) = {\ $tfrac {p(x)}{q(x)}}($ $여기$ 서 $p$ 와 q는 다항식입니다):

p의 $정도$ 가 $q$ 의 정도보다 클 경우, 한계는 선행 계수의 부호에 따라 양 또는 음의 무한대가 됩니다.
$p$ 와 q의 $정도$ 가 같다면, 한계는 $p$ 의 선행계수를 $q$ 의 선행계수로 나눈 값입니다.
p의 $정도$ 가 $q$ 의 정도보다 작으면 한계는 0입니다.

무한대에서의 극한이 존재한다면, 그것은 y = $L$ 에서 $수평$ 점근선을 나타냅니다. 다항식에는 수평 점근선이 없습니다. 그러나 그러한 점근선은 유리함수에서 발생할 수 있습니다.

두 개 이상의 변수의 함수

통상한도

x - $p$ 가 거리를 나타낸다는 $점$ 에 주목하면, 한계의 정의를 두 개 이상의 변수의 함수로 확장할 수 있습니다. $f:S\times T\to \mathbb {R}$ f 의 경우 : $f:S\times T\to \mathbb {R}$ S × $f:S\times T\to \mathbb {R}$ → $f:S\times T\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ × $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ {\ $displaystyle$ S $\times$ T\times T\ $subseteq \mathbb {R}$ ^{ $2$ 에서 정의된 $f:S\times T\to \mathbb {R}$ S\ $times$ T $\to \mathbb {R$ }, 우리는 다음과 같이 한계를 정의했습니다: ( $x,$ y) $접근법$ ( $p,$ q)이L, write

\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L

다음 조건이 유지되는 경우:

모든

ε >

0

에 대하여 S의

모든

x

와

T

의 y에

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

0

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

< ( x

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

-

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

)

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

+ (

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

-

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

)

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

<

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}

δ ,

{\textstyle

0 < {\

sqrt

{(

x-p)^{2}

+ (

y-q)^{2}}

<\

delta,}

우리

는

f (

x, y)

- L < ε.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(\for all \in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}<\delta \imples f(x,y)-L <\varepsilon>)

여기서 ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ ( ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ - ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ ) ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ + ( ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ - ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ q ) ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ {\ $textstyle$ {\ $sqrt$ {(x - p $)^{2}$ + (y - q)^{ $2}}}}$ 는 ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$ ( $x, y$ )와 $(p,$ q) 사이의 유클리드 거리입니다. (이는 실제로 임의의표준 ( $x, y)$ - ( $p,$ q $)$ 로 대체될 수 있으며, 임의의 수의 변수로 확장될 수 있습니다.)

예를 들어, 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}=0

모든

ε >

0

에 대하여, 모든

실수

x

≠ 0 및

실수

≠ 0에

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

0 < (

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

x -

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

)

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

2 +

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

( y

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

- 0

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

) 2 <

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

δ, {\

sqrt

{(

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

- 0 ) ^{2} + (

y

-

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

)} < \

sqrt

{(x - 0) ^{2}} <\sqrt {(

y

- 0

)

^{

2}}

< \sqrt

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}

\

sqrt

\sqrt

{\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}

delta ε delta

δ ε then ε } such f ( because take 0 for } }} = > = δ ε

{\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}

{ \ that < ε { for we x , - y , ) ≠ ≠ \ if 0 0 { style 0 \ \ all real y real < can rt , ilon

단일 변수의 경우와 마찬가지로 지방 $(p,$ q)의 값은 한계의 정의에서 중요하지 않습니다.

이러한 다변수 한계가 존재하려면, 이 정의는 접근 가능한 모든 경로( $p,$ ^[10]q)를 따라 f $접근$ L $값$ 을 요구합니다.위의 예에서 함수는

f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}

이 조건을 만족합니다.이것은 극좌표를 고려하면 알 수 있습니다.

(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta )\to (0,0),

이에 해당되는

\lim _{r\to 0}f(r\cos \theta,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta.

여기서

θ

=

θ

(

r)

는 f가 접근하는

경로

(

p,

q)의 모양을 제어하는 r의 함수입니다.

cos

θ는 [-1, 1] 사이에 경계가 있기 때문에 샌드위치 정리에 의해 이 한계는 0이 되는 경향이 있습니다.

이와 대조적으로 기능은

f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}

(

0, 0)

에 제한이 없습니다.

(x, y

) = (

t, 0)

→ (

0, 0)

경로를 취하면 다음을 얻습니다.

\lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,

(x, y

) = (

t, t

) → (

0, 0)

경로를 취하는 동안, 우리는

{\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}}={\frac {1}{2}}.

두 값이 일치하지 않기 때문에 $f$ 는 ( $x, y$ )가 ( $0, 0)$ 에 접근할 때 단일 값의 경향이 없습니다.

다중 한계

일반적으로 덜 사용되지만, 다중 한계라고 알려진 다중 변수 함수에 대한 또 다른 유형의 한계가 있습니다.두 변수 함수의 경우 이 값이 이중 ^[11]한계입니다.를 $f:S\times T\to \mathbb {R}$ : $f:S\times T\to \mathbb {R}$ × $f:S\times T\to \mathbb {R}$ T → R {\ $displaystyle$ f: $S\times$ T $\to$ \ $mathbb {R}}$ 는 $f:S\times T\to \mathbb {R}$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ S × $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ $S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},$ {\ $displaystyle$ S $\times$ T $\subseteq \mathbb {R}^{2},$ x가 p에 $접근$ 하고 y가 q에 $접근$ 할 때 f의 $이중$ 극한을 $L$ 이라고 합니다.

\lim _{x\top} \lim {y\to q}}f(x,y)=L

다음 조건이 유지되는 경우:

모든

π

>

0

에 대하여 S의

모든

x

와

T

의

y

에 대하여 0

<

x -

p

<

π

및

0 <

y

- q <

π

일 때마다 f(

x, y)

-

L

< ^[11]

π

를

갖습니다

.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exist \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(\for all \in T)\,((0< x-p <\delta )\land (0< y-q <\delta )\land f(x,y)-L <\varepsilon )

이러한 이중 극한이 존재하려면 이 정의는 두 $개$ 의 선 x = p $및$ y = $q$ 를 제외하고 접근하는 모든 가능한 경로( $p,$ q)를 따라 f $접근$ 의 $값$ 을 요구합니다. 결과적으로 다중 극한은 일반 극한보다 더 약한 개념입니다. 만약 일반 극한이 존재하고 L과 $같다면$ 다중 극한은 존재하고 또한 L과 $같습니다$ .그 반대는 사실이 아닙니다. 다중 한계의 존재가 보통 한계의 존재를 의미하는 것은 아닙니다.예를 들어보자.

f(x,y)={\end{case}1\displaystyle {\text{for}}\displayxy\neq 0\text{for}\displayxy=0\end{case}

어디에

\lim _{x\to0} \lim {y\to0}}f(x,y)=1

그렇지만

\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)

존재하지 않습니다.

도메인 $off$ 가 ( $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ ∖ { $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ ) $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ × ( $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ ∖ { $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ ${\displaystyle (S\setminus$ \{p $\})\times (T\setminus$ \{ $q\})$ 로 $(S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),$ 제한되면 두 개의 제한 정의가 일치합니다.

무한대에서의 다중 한계

다중 한계의 개념은 단일 변수 함수의 한계와 유사한 방식으로 무한대의 한계까지 확장될 수 있습니다. $f:S\times T\to \mathbb {R} ,$ × $f:S\times T\to \mathbb {R} ,$ → $f:S\times T\to \mathbb {R} ,$ ${\displaystyle$ f $:$ $S\times$ T $\to$ \ $mathbb {R},}$ x와 $f:S\times T\to \mathbb {R} ,$ y가 무한대에 접근할 때 $f$ 의 이중 극한은 $L$ 이라고 합니다.

\lim _{x\to \infty} \lim {y\to \infty}} f(x,y)=L

다음 조건이 유지되는 경우:

모든

π

>

0

에 대하여, c >

0

이 존재하므로,

S

의

모든

x

와

T

의 y에 대하여, x >

c

와

y

>

c일

때

마다

f(x,

y) - L <

π

를

갖습니다

.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\for all x\in S)\,(\for all \in T)\,(x>c)\land (y>c)\land (x,y)-L <\varepsilon )

우리는 무한대를 뺀 x와 y가 가까워짐에 $따라$ f의 이중한계를 $L$ 이라고 말합니다.

\lim _{x\to -\infty} \lim {y\to -\infty}}f(x,y)=L

다음 조건이 유지되는 경우:

모든

π

>

0

에 대하여,

s

의

x

와

T

의 y가 0이

되도록

c

>

0

이 존재하며, x <

-c

와

y

<

-c일

때

마다

f

(x

,

y

) -

L

<

π

를

갖습니다

.

(\forall \varepsilon >0)\,(\exist c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall \in T)\,(x<-c)\land (y<-c)\land f(x,y)-L <\varepsilon)

점별 한계 및 균일 한계

를 $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ 놓침 : $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ × $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ → $.$ {\ $displaystyle$ f $:$ S $\times$ T $\to \mathbb {R}.}$ ( $x, y$ ) $→$ ( $p,$ q)로 극한을 취하는 대신, 우리는 y의 $단일$ 변수 함수, $g:T\to \mathbb {R} .$ : T $g:T\to \mathbb {R} .$ $→$ $g:T\to \mathbb {R} .$ 을 얻기 위해 $x$ $→$ p로 극한을 취하는 것을 고려할 수 $있습니다$ $.$ {\ $displaystyle$ g $:$ $T\to$ \ $mathbb {R}$ . 사실 $g:T\to \mathbb {R} .$ , 이 제한 과정은 두 가지 다른 방식으로 이루어질 수 있습니다.첫 번째 값을 점 단위 한계라고 합니다.x가 p에 $접근함$ 에 $따라$ f의 점별 한계는 $p$ , 로 표시됩니다.

\lim _{x\top}f(x,y)=g(y),

아니면

\lim _{x\top}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}

또는 x가 p에 $접근$ 할 때 $f$ 가 점방향으로 $g$ 가 된다고 $말할$ 수 있습니다.

f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\top,

아니면

f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\top.

이 제한은 다음과 같은 경우에 존재합니다.

모든

π

>

0

에 대하여 그리고 T의

모든

고정

에 대하여,

S

의 모든 x에 대하여

, 0

< x - p <

π

>

-

g (

y)

^[12] <

π

를

가질

때,

우리

는 f (

x,

y) <

π 를 갖습니다.

(\forall \varepsilon >0)\,(\forall \in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0< x-p <\delta \는 f(x,y)-g(y) <\varepsilon)을 의미합니다.

여기서 $π$ = $π$ ( $π, y$ )는 $π$ 와 y 모두의 함수입니다.각 $θ$ 는 y의 $특정$ 점에 대해 선택됩니다.따라서 우리는 한계가 $y$ 를 가리킨다고 말합니다.예를들면,

f(x,y)={\frac {x}{\cosy}

상수 0 함수의 점별 한계를 갖습니다.

\lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}

모든

고정

에 대해 한계는 분명히 0이기 때문입니다.y가 고정되어 있지

않으면

이 인수는 실패합니다. y가

π

/

2

에 매우

가까우면

분수의 값이 0에서 벗어날 수 있습니다.

이는 한계의 또 다른 정의, 즉 균일 한계로 이어집니다.우리는 Tx가 p에 $가까워짐$ 에 따라 T에 $대한$ 균일한 제한이 $p$ 라고 말합니다.

{\underset {x\top} \display{y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}f(x,y)=g(y),

아니면

\lim _{x\top}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.

또는, 우리는 x가 $p$ 에 $접근함$ 에 따라 f가 $균일$ 하게 $g$ 를 갖는다고 $말할$ 수 있습니다.

f(x,y)\right 화살표 g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\top,

아니면

f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{text}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\top.

이 제한은 다음과 같은 경우에 존재합니다.

모든

π

>

0

에 대하여, S의

모든

x

와

T

의 y에 대하여

, 0

<

x

- p <

π

가 될

때

마다

f (x,

y)

-

g (

y) < ^[12]

π

가

되도록

π

(

π)

>

0

이 존재합니다.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(\for all \in T)\,(0< x-p <\delta \는 f(x,y)-g(y) <\varepsilon)을 의미합니다.

여기서 $π$ = $π$ ( $π)$ 는 $π$ 만의 함수이고 y의 $함수$ 는 아닙니다.즉, δ는 T의 $모든$ $사람$ 에게 일률적으로 적용 가능합니다.따라서 우리는 한계가 $y$ 에서 균일하다고 말합니다.예를들면,

f(x,y)=x\cosy

상수 0 함수의 균일한 극한을 갖습니다.

\lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{unly on}}\;\mathbb {R}

코시

는

[-1, 1]

사이에 국한되기

때문

입니다.따라서

당신

이 어떻게 행동하는지에 관계없이, 우리는 한계가 0임을 나타내기 위해 샌드위치 정리를 사용할 수 있습니다.

반복 한계

를 $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ 놓침 : $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ × $f:S\times T\to \mathbb {R} .$ → $.$ {\ $displaystyle$ f $:$ $S\times$ T $\to$ \ $mathbb {R}$ .} y의 $단일$ 변수 함수, $g:T\to \mathbb {R} ,$ g $g:T\to \mathbb {R} ,$ $g:T\to \mathbb {R} ,$ $→$ $g:T\to \mathbb {R} ,$ {\ $displaystyle$ g $:$ $T\to \mathbb {R},}$ 다음 다른 변수, 즉 $y$ $→$ $q$ 에서 극한을 취하여 $L$ 을 구합니다. 기호적으로,

\lim _{y\to q}\lim _{x\top}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.

이 한계는 다변량 ^[13]함수의 반복 한계로 알려져 있습니다.한계를 취하는 순서가 결과에 영향을 미칠 수 있습니다. 즉,

\lim _{y\to q}\lim _{x\top}f(x,y)\neq \lim _{x\top}\lim _{y\to q}f(x,y)

개괄적으로

$\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ → $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ f ( $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ ) = $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ ( $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ ) $\lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\top}f(x,y$ ) = $g(y)}$ 가 $T$ 에서 균일해야 하는 무어-오스굿 정리에 의해 충분한 동일 조건이 주어집니다.

미터법 공간에서의 함수

$M$ 과 N을 각각 미터법 $공간$ $A$ 와 B의 부분집합이라 $하고,$ $f$ : $M$ → N을 $M$ 과 N $사이$ 에 정의하고, $x$ ≥ M, pa $극한점$ 은 $M$ , $L$ ≥ $N$ 이라고 하자. x가 p에 $접근$ 할 $때$ f의 $극한$ 은 $L$ 과 write라고 한다.

\lim _{x\top}f(x)=L

다음과 같은 재산이 있는 경우:

모든

ε >

0

에 대하여 모든 점

x

∈

M

,

0

<

d (x, p)

< δ이 d

(f (x),

L)

< ε을

의미

하는

δ >

0

이 존재합니다.

(\모든 \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\모든 x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \는 d_{B}(f(x),L)<\varepsilon)을 의미합니다.

다시 $말하지만$ , p는 f 의 $도메인$ 에 있을 필요가 없고, L은 f 의 $범위$ 에 있을 $필요$ 가 없으며, f( $p)$ 가 $정의$ 되더라도 $L$ 과 동일할 필요가 없습니다.

유클리드 미터법

유클리드 공간의 한계는 벡터값 함수에 대한 한계의 직접적인 일반화입니다.예를 들어 $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ f $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ × $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ → $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ 3 $f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}$ {\ $displaystyle$ f $:$ $S\times$ T $\to$ \ $mathbb {R}^{3$

f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).

그렇다면, 통상적인 유클리드 미터법 하에서,

\lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})

다음이 성립하는 경우:

모든

ε >

0

에 대하여,

S

의 모든 x와

T

의

y

에

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

0

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

< (

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

x -

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

)

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

+ (

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

-

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

)

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

< δ

{\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }

{\

textstyle

0 < {{\

sqrt

{(

x-p)^{2}+(y-q)^{2}}<\delta

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

는 (

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

-

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

)

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

2 + (

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

-

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

)

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

2 + (

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

-

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

3

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

) 2 <

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

ε

{\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}

. {\

textstyle {\sqrt {(f_1}

-

L_

{1

})^{2}+(f_2}

-

L_{3}^{2}}<\varepsilon}}.

{\displaystyle (\for all \varepsilon >0)\,(\exist \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(\for all \in T)\,\left(0<\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}<\delta \는 {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{3})^{2}}<\varepsilon \right}입니다.

이 예제에서 해당 함수는 유한 차원 벡터 값 함수입니다.이 경우, 벡터값 함수의 극한 정리는 각 성분의 극한이 존재하는 경우, 벡터값 함수의 극한은 각 성분이 ^[16]극한을 취한 벡터와 같다고 말합니다.

{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right}.

맨하탄 미터법

유클리드 공간 이외의 공간도 고려해 볼 수 있습니다.그 예로는 맨하탄 공간이 있습니다. $f:S\to \mathbb {R} ^{2}$ $f:S\to \mathbb {R} ^{2}$ → $f:S\to \mathbb {R} ^{2}$ $f:S\to \mathbb {R} ^{2}$ {\ $displaystyle$ f $:$ $S\to$ \ $mathbb {R}^{2$

f(x)=(f_{1}(x)),f_{2}(x)).

그 다음에 맨하탄 미터법으로

\lim _{x\top}f(x)=(L_{1},L_{2})

다음이 성립하는 경우:

모든

π

>

0

에

대하여

, S의

모든

x에

대하여

0

< x

-

p 2

<

π

가 f

- L 1

+

f 2

- L <

π

를

의미

하는₁

π

>

0

이 존재합니다.

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(0< x-p <\delta \imples f_{1}-L_{1} + f_{2}-L_{2} <\varepsilon )

이 또한 유한 차원 벡터값 함수이므로 위에서 언급한 한계 정리도 ^[17]적용됩니다.

균일계량

마지막으로, 무한한 차원을 가지는 함수 공간의 한계에 대해 논의할 것입니다.함수 $S\times T\to \mathbb {R} .$ S × $S\times T\to \mathbb {R} .$ → $S\times T\to \mathbb {R} .$ 에 있는 $함수$ f $(x, y$ )를 생각해 보자 $.$ {\ $displaystyle$ S $\times$ T $\to$ \ $mathbb {R}.}$ x가 p에 $접근함$ 에 따라 $f (x,$ y)가 $T\to \mathbb {R} .$ 공간 $T\to \mathbb {R} .$ → R에 있는 $다른$ 함수 $g(y$ )에 $어떤$ 경향이 있는지 알아보려고 합니다 $.$ {\ $displaystyle T\to$ \ $mathbb {R}$ 이 함수 공간의 "근원성"은 균일한 메트릭 하에서 측정될 수 있습니다.그러면 우리는 Tx가 p에 $가까워짐$ 에 따라 t의 균일한 제한을 $p$ 라고 말하고 쓸 것입니다.

{\underset {x\top} \display{y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}f(x,y)=g(y),

아니면

\lim _{x\top}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,

다음이 성립하는 경우:

모든

ε >

0

에 대하여,

S

의

모든

x

에

대하여 0

<

x

- p <

δ가

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

∈

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

f (

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

) -

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

(

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

)

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

<

\sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .

ε.

{\displaystyle \sup

_

{y\in

T

} f(x,y)-g(y)

<\

varepsilon.}

(\for all \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\for all x\in S)\,(0< x-p <\delta \imples \sup _{y\in T} f(x,y)-g(y) <\varepsilon )

실제로 이 정의는 앞 절에서 소개한 다변량 함수의 균일한 극한과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

위상공간에서의 함수

$X$ 와 Y가 Y 하우스도르프 공간을 $갖는$ 위상 공간이라고 $가정$ 합니다.p를 $Δ X$ 의 극한점이라 $하고$ , $L Δ$ Y라고 하자. $함수$ f : $Δ$ → $Y$ 에 대하여, x가 p에 $가까워짐$ 에 따라 $f$ 의 $극한$ 은 L이라고 하고, 다음과 같이 표기하자.

\lim _{x\top}f(x)=L,

다음과 같은 재산이 있는 경우:

L의

모든

열린

이웃

V에 대해 f

(U

∩

-

{

p})

⊆

V

인

열린

이웃

U

가 존재합니다.

이 정의의 마지막 부분은 "f $(U$ ω $)$ ⊆ $V$ 와 $같은$ p의 $열린$ 구멍이 뚫린 $이웃$ U가 존재한다"라고 표현할 수도 있습니다.

도메인 $off$ 는 p를 $포함$ 할 필요가 없습니다.만약 그렇다면, $지방$ 의 $값$ 은 한계의 정의와 무관합니다.특히, f 의 $정의역$ 이 $X -$ {p} (또는 $X$ 의 전부)이면, $f$ 의 극한은 $x$ → p 이고 L $과$ 같다면, $극한점$ 이 p 인 X 의 $모든$ 부분집합 $Δ$ 에 대하여, f 의 $극한$ 이 $존재$ 하고 L $과$ 같다면, 이 기준은 때때로 R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ \} 에 대한 함수의 양면 극한의 비논리성을 설정하기 위해 사용됩니다. $mathbb {R}$ 은 $\mathbb {R}$ $($ 는) 단측 한계가 존재하지 않거나 일치하지 않음을 보여줍니다.이러한 관점은 한 점의 한계와 연속성이 필터라고 불리는 특별한 하위 집합 계열 또는 그물이라고 알려진 일반화된 시퀀스의 관점에서 정의되는 일반 토폴로지 분야에서 기본적입니다.

또는 Y가 하우스도르프 공간이 되어야 $한다는$ 요구 조건을 일반 위상 공간이 $된다는$ 가정으로 완화할 수 있지만 함수의 한계는 고유하지 않을 수 있습니다.특히, 한 점에서 함수의 한계를 더 이상 말할 수 없고, 한 점에서 한계 또는 한계의 집합을 말할 수 있습니다.

함수는 $x$ 가 $p$ 로갈수록 f( $p)$ 가 $f$ (x $)$ 의 한계값(또는 일반적인 경우 a $)$ 인 경우에만 $정의역$ 의 한계값 p에서 연속입니다.

함수의 또 다른 한계, 즉 순차 한계가 있습니다.f : $X$ → $Y$ 를 위상 $공간$ X에서 하우스도르프 $공간$ Y로의 매핑이라고 $하자$ , $p$ ≥ $X$ , $L$ ≥ $Y$ 의 $극한점$ .f x가 $p$ 로 확장되는 $것$ 과 같은 순차적 $한계$ 는 Lif

x

-

{

p}

의

모든

수열이

p

로_n

수렴

할 때,

수열 f(x n

)는

L

로 수렴합니다.

$만약$ x가 $p$ 에 $접근$ 할 때 L이 f의 $극한$ (위의 의미에서)이면, 그것은 또한 순차적 극한이지만, 그 역이 일반적으로 성립할 필요는 없습니다. $만약$ X가 계량 가능하다면, $L$ 은 x가 p에 $접근$ 할 $때$ $f$ 의 순차적 극한이고, 오직 그것이 f가 $p$ 에 $접근$ 할 때 f의 극한일 때에만(위의 의미에서) f의 $순차적$ 극한입니다.

기타 특징

수열에 있어서는

실제 선에 있는 함수의 경우, 함수의 한계를 정의하는 한 가지 방법은 수열의 한계입니다.(이 정의는 일반적으로 Eduard Heine에 기인합니다.)이 설정에서:

\lim _{x\to a}f(x)=L

f(

x n

)

가 수열로 수렴하는 모든 수열 x

(모든 n n

n에 대하여 x가 a와

같지

않음

)에 대하여

L

로 수렴하는 경우에만.1916년 시에르핀스키에 의해 이 정의와 위 정의의 동등성을 증명하는 것은 선택 공리의 약한 형태를 필요로 하며 이와 동등하다는 것을 보여주었습니다.

수열 n

x가

a

로 수렴하는 것이 무엇을 의미하는지 정의하려면 엡실론, 델타 방법이 필요합니다.

Weiersstrass의 정의의 경우와 마찬가지로, 더 일반적인 Heine 정의는 실제 선의 부분집합에 정의된 함수에 적용됩니다.f를 $정의역$ Dm( $f)$ 인 실수 함수라 $하자$ . A를 Dm $(f) \{a}$ 의 $원소열$ 의 극한이라 $하자$ .그렇다면 a로 $수렴$ 하는 모든 $수열$ x ∈ $Dm (f)$ \ { $a}$ 에 대하여 ( $모든$ n에 대하여 x가 a와 $같지$ 않도록) $수열$ f $(x)$ 가 $L$ 로 수렴할 때, ( $이러한$ $의미$ 에서) f의 $극한$ 은 $L$ 입니다.이는 R ${\$ 의 $\mathbb {R}$ $부분$ 집합 Dm $(f)$ 을 유도 메트릭을 갖는 메트릭 공간으로 간주하여 얻은 앞 절의 순차 한계 정의와 같습니다.

비표준 미적분학에서

비표준 미적분학에서 함수의 극한은 다음과 같이 정의됩니다.

\lim _{x\to a}f(x)=L

모든

x\in \mathbb {R} ^{*},

∈

x\in \mathbb {R} ^{*},

∗에 대해

{\displaystyle

x

\in \mathbb {R}^{*}

x\in \mathbb {R} ^{*},

f^{*}(x)-L

∗ (

f^{*}(x)-L

)

f^{*}(x)-L

-

f^{*}(x)-L

{\

displaystyle

f

^{*}(x)-L}

이

(

가) x -

a

가 무한소일

때

마다 무한소일 경우에만 해당됩니다.

\mathbb {R} ^{*}

서 R ∗ {\

displaystyle \mathbb {R}

^{*}는

초실수

이고 f

*

는 비표준 실수로 자연스럽게

확장

됩니다.Keisler는 그러한 극한의 초현실적 정의가 양자화 복잡도를 두 ^[19]개 감소시킨다는 것을 증명했습니다.반면, Hrbaceck은 정의가 모든 초실수에 대해 유효하려면 암묵적으로 π-π 방법에 근거해야 한다고 쓰고, 교육학적 관점에서 비표준 미적분학이 π-π 방법 없이 이루어질 수 있다는 희망은 ^[20]완전히 실현될 수 없다고 주장합니다.Bŀaszczyk 등은 균일한 연속성에 대한 투명한 정의를 개발하는 데 있어 미세 연속성의 유용성을 상세히 설명하고, Hrbaceck의 비판을 "의심스러운 한탄"으로 특징짓습니다.

근접성 면에서

1908년 국제 수학 대회 F. 리에즈는 "근접성"^[22]이라는 개념에서 한계와 연속성을 정의하는 대안적인 방법을 도입했습니다. $점$ x는 $A\subseteq \mathbb {R}$ A $A\subseteq \mathbb {R}$ $A\subseteq \mathbb {R}$ ${\$ A $\subseteq \mathbb {R}}$ 근처에 $A\subseteq \mathbb {R}$ 있는 것으로 정의됩니다. $만약$ 모든 r > 0에 $대하여$ $x$ - a < r이 $되도록$ $점$ $a$ ∈ A가 있다면.이 설정에서.

\lim _{x\to a}f(x)=L

모든

A\subseteq \mathbb {R} ,

A\subseteq \mathbb {R} ,

A\subseteq \mathbb {R} ,

{\displaystyle

A

\subseteq \mathbb {R},}

A\subseteq \mathbb {R} ,

이

A\subseteq \mathbb {R} ,

A

근처

에 있을

때

마다 f

(A)

근처

에 있는 경우에만 해당됩니다.

여기

서 f

(A)

는 집합

\{f(x)|x\in A\}.

x ∈

\{f(x)|x\in A\}.

입니다.

{\displaystyle

\{

f(x) x\in

A

\}

입니다.

\{f(x)|x\in A\}.

이 정의는 메트릭 및 위상 공간으로도 확장할 수 있습니다.

연속성과의 관계

함수의 한계 개념은 연속성의 개념과 매우 밀접한 관련이 있습니다. $함수$ f는 $c$ 에서 정의되고 x가 c에 $접근$ 할 $때$ $c$ 에서 그 값이 $f$ 의 극한과 같으면 $c$ 에서 연속이라고 합니다.

\lim _{x\to c}f(x)=f(c)

(여기서는 c가 f 의 $정의역$ 의 극한점이라고 $가정$ 했습니다.)

특성.

$함수$ f가 실수 값이면, $fat$ 의 $극한$ 은 $L$ 이고, $fat$ 의 $오른손$ 극한과 왼손 극한이 모두 존재하고 ^[23]L과 $같은$ 경우에만 해당합니다.

$함수$ f는 x가 p에 $접근$ 할 $때$ f $(x)$ 의 극한이 존재하고 f $(p)$ 와 같은 경우에만 p에서 $연속$ 입니다. $만약$ f : $M$ → N이 미터법 $공간$ $M$ 과 N 사이의 함수라면, f는 $p$ 로 수렴하는 M의 $모든$ 수열을 f $(p)$ 로 수렴하는 $N$ 의 수열로 변환하는 $것$ 과 동치입니다.

$만약$ N이 정규 벡터 공간이라면, 극한 연산은 다음과 같은 의미에서 선형 연산입니다: 만약 x가 p에 $접근$ 할 때 $f(x$ )의 극한이 $L$ 이고, x가 $p$ 에 $접근$ 할때 g $(x$ )의 극한이 $P$ 라면, x가 $p$ 에 $접근$ 할때 f $(x)$ + $g(x$ )의 $극한$ 은L + $P$ 입니다. 만약 a가 기저장으로부터의 스칼라라면, x가 $p$ 에 $접근$ 할 때 af $(x$ )의 극한은 $aL$ 입니다.

$f$ 와 g가 실수 값(또는 복소수 값) 함수인 $경우$ , 특정 조건에서 f $(x)$ 와 g $(x)$ 에 $대한$ 연산 한계( $예$ : f + $g$ , $f$ - $g$ , $f$ × $g$ , $f$ / $g$ , $f g$ )를 취하는 것은 f $(x)$ 와 g $(x)$ 의 극한 연산과 양립할 수 있습니다.이 사실은 종종 대수적 극한 정리라고 불립니다.다음 규칙을 적용하는 데 필요한 주요 조건은 방정식의 오른쪽에 한계가 존재한다는 것입니다(즉, 이 한계는 0을 포함한 유한 값입니다).또한 나눗셈의 항등식은 우변의 분모가 0이 아닐 것을 요구하며(0으로 나눗셈하는 것은 정의되지 않음), 지수화의 항등식은 기저가 양수이거나, 지수가 양수(유한)일 때 0일 것을 요구합니다.

{\display{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\top}(f(x))+g(x))&=&\표시 스타일 \lim _{x\top}f(x)+\lim _{x\top}g(x)\\\표시 스타일 \lim _{x\top}(f(x))-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\top}f(x)-\lim _{x\top}g(x)\\\표시 스타일 \lim _{x\top}(f(x))\cdot g(x))&=&\표시 스타일 \lim _{x\top}f(x)\cdot \lim _{x\top}g(x)\\\표시 스타일 \lim _{x\top}(f(x))/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\top}f(x)/\lim _{x\top}g(x)}\\displaystyle \lim _{x\top}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\top}f(x)^{\lim _{x\top}g(x)}\end{array}

이러한 규칙은 p가 π 또는 -π인 $경우$ 를 포함하여 단측 한계에도 유효합니다.위의 각 규칙에서 오른쪽의 한계 중 하나가 ∞ 또는 -∞일 때 왼쪽의 한계는 여전히 다음 규칙으로 결정될 수 있습니다.

{\display{array}{rcl} q+\infty &=&\infty {\text{if}}}}q\neq -\infty \[8pt]q\time \infty &=&{\text{if}}q>0\-\infty &{\text{if}}q<0\end{case}}\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty}}}&=&0{\text{if}}}q\neq \infty {\text{및 }}q\neq -\infty \[6pt]\infty^{q}&={\text{case}0&{\text{if}}q<0\infty &{text{if}}}q<0\infty &{text{if}}q>0\end{case}}\[4pt]q^{\infty}&=&{\text{if}}0< q<1\\infty &{\text{if}}q>1\end{case}}\[4pt]q^{-\infty}&=&{\text{case}}\infty &{\text{if}}0<q<1\0\0&0&{\text{if}}q>1\end{case}}}\end{array}}

(확장 실수선도 참조).

다른 경우에는 왼쪽의 한계가 여전히 존재할 수 있지만, 불확정 형태라고 불리는 오른쪽은 결과를 결정할 수 없습니다.이것은 $함수$ $f$ 와 g에 따라 달라집니다.이러한 불확정 형태는 다음과 같습니다.

{\display{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty}}{\pm \infty}}\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}

아래의 L'Hotal의 규칙과 양식을 자세히 참조하십시오.

함수 구성의 한계

일반적으로 $\lim _{y\to b}f(y)=c$ → $\lim _{y\to b}f(y)=c$ ( $\lim _{y\to b}f(y)=c$ y ) = $\lim _{y\to b}f(y)=c$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${y\to$ b $}f(y$ )= $c}$ 및 $\lim _{y\to b}f(y)=c$ $\lim _{x\to a}g(x)=b,$ → $\lim _{x\to a}g(x)=b,$ g ( $\lim _{x\to a}g(x)=b,$ $\lim _{x\to a}g(x)=b,$ = $b$ , ${\displaystyle \lim$ _{x $\to a}g(x)$ = $b,}$ 이 림 $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ → $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ ( $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ ) $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ = $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to$ a $}f(g(x$ ))= $c.$ $}$ 그러나 $\lim _{x\to a}f(g(x))=c.$ 이 "체인 규칙"은 다음과 같은 추가 조건 중 하나가 유지될 경우 유지됩니다.

$f (b) =$ $c$ (즉, $f$ 는 b에서 연속임), 또는
$g$ 는 a 근처의 값 b를 가져가지 않습니다( $즉,$ 0 < $x$ - $a$ < $δ$ 이면 g $(x))$ - $b$ > $0$ 이 되도록 a $δ$ > $0$ 이 존재합니다).

이러한 현상의 예로, 두 가지 추가적인 제약 조건을 모두 위반하는 다음 기능을 생각해 보십시오.

f(x)=g(x)={\text{case}0&{\text{if}}}x\neq 0\1&{\text{if}}x=0\end{case}

f $(0)$ 에서의 값은 제거 가능한 불연속이므로,

\lim _{x\to a}f(x)=0

일변도

따라서 순진한 사슬 규칙은 f

(f (x))

의 극한이 0임을 나타냅니다.그러나, 그 경우는

f(f(x))={\text{case}1&{\text{if}}x\neq 0\0&{\text{if}}x=0\end{case}

이러저러한

\lim _{x\to a}f(f(x))=1

일변도

특별관심한도

유리함수

음수가 아닌 정수 $n개$ 와 $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ a $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ 2 $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ …, ${\$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},$ …, $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},$ {\ $displaystyle b_{1}, b_{2}, b_{3},\ldots, b_{n}$

\lim _{x\to \infty}{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\continuous +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\fac +b_{n}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}

이것은 분자와 분모를 모두 x로 $나누어 n$ 증명할 수 있습니다. 만약 분자가 더 높은 차수의 다항식이라면, 한계는 존재하지 않습니다.분모가 더 높은 정도일 경우 한계는 0입니다.

삼각함수

{\display{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}&=&0\end{array}

지수함수

{\display{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty}}\left(1+{\frac {1}{r}\right)^{r}=e\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}=&1\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a}{b}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}

로그 함수

{\display{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {log _{c}(1+ax)}{b}}&=&displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}

호스피탈의 통치

이 규칙은 도함수를 사용하여0/ $0$ 또는 ±π $/$ ω의 불확정 $형태$ 의 한계를 찾고, 그러한 경우에만 적용됩니다.다른 불확정 형태도 이 형태로 조작할 수 있습니다.두 $함수$ f $(x)$ 와 g $(x)$ 가 주어진 경우, 원하는 $극한점$ c를 포함하는 열린 $구간$ I에 정의되면 다음과 같습니다.

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ x $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ ( $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ ) $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ x → $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ g ( $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ ) $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ $,$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\$ $to$ c $f(x$ )=\ $lim$ _ ${x\to$ c $g(x$ )= $0,}$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ x $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ ( $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ ) $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ ± $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ x → $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ g ( $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ ) $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $=$ ± $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ , $\lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to c$ $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,$ $f(x$ )=\ $pm \infty ,}$
f{\ $displaystyle$ f $}$ $g$ g{\ $displaystyle$ g $}$ 은 $g$ (는) I $I\setminus \{c\},$ { $I\setminus \{c\},$ {\ $displaystyle$ I $\setinus$ \{ $c$ 및
$g'(x)\neq 0$ $x\in I\setminus \{c\},$ $x\in I\setminus \{c\},$ $x\in I\setminus \{c\},$ $x\in I\setminus \{c\},$ { $x\in I\setminus \{c\},$ {\ $displaystyle$ x $\in$ I $\setminus$ \{ $c\}$ 에 $g'(x)\neq 0$ $x\in I\setminus \{c\},$ 대하여 g $)$ $g'(x)\neq 0$ $g'(x)\neq 0$ {\ $displaystyle$ g $'(x$ )\ $neq$ 0}, 및
$\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ x $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ x ) $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to$ c} {\ $tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ 이(가) $\lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}$ 합니다.

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}

보통 첫 번째 조건이 가장 중요합니다.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ 를 들어, $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ x → $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ sin ⁡ ( $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ ) sin ⁡ ( $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ x ) = $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ x → $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ cos ⁡ ( $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ x ) $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ ⁡ ( $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ x ) = $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ ⋅ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ ⋅ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ = $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ . $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to$ 0 $}{\frac$ {\ $sin(2x)}{\sin(3x$ )}}=\ $lim$ _ ${x\to$ 0 $}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x$ )}}={\ $frac {2\cdot$ 1 $}{3\cdot$ 1}}={\ $frac {2}{3}{$ 3}}}.

합산 및 적분

합이나 적분에서 무한 경계를 지정하는 것은 한계를 지정하는 일반적인 축약어입니다.

$\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ → ∞ ∑ $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ = $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ ( $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ ) $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to \infty$ }\ $sum _{i$ =s $}^{n}f($ i))는 ∑ $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ = $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ ∞ $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ ( $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ 입니다 $.$ {\ $displaystyle \sum$ _ ${i$ = $s}^{\infty }f(i)$ 입니다. $}$ 이들과 $\sum _{i=s}^{\infty }f(i).$ 같은 합의 한계의 중요한 예는 급수입니다.

$\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ x → ∞ ∫ $\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ f ( $\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ ) $\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ $\lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\to \infty$ }\ $int _$ {a}^{ $x}f($ $\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.$ $)\;$ dt $}$ 는 ∫ $\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.$ ∞ $\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.$ ( $\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.$ 입니다 $.$ {\ $displaystyle$ \ $int$ _ ${a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

$\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ x → - ∞ $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ f $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ ( $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ t ) $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ $\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt$ ${\displaystyle \lim$ _ ${x\to$ - $\infty }\int$ _{ $x}^{b}f(t)\;$ dt}는 $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$ ∫ - ∞ $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$ b $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$ ( $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$ $\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.$ 입니다 $.$ {\ $displaystyle$ \ $int$ _ ${-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

참고 항목

Big O 표기법 – 함수의 동작을 제한하는 것을 설명합니다.
L'Hotal's rule – 일부 한계를 평가하기 위한 수학적 규칙
한계선 목록
시퀀스의 한계 – 무한 시퀀스를 나타내는 값
Limit superior and limit derferent – 시퀀스의 경계방향 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
그물(수학) – 점들의 시퀀스를 일반화하는 것
비표준 미적분학 – 무한소의 현대적 응용방향 전환 대상에 대한 간략한 설명을 표시하는 페이지
스퀴즈 정리 – 미적분학에서 한계를 찾는 방법
후속 한계 – 일부 후속 한계

메모들

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외부 링크

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[22] F. Riesz (7 April 1908), "Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (The Concept of Continuity and Abstract Set Theory)", 1908 International Congress of Mathematicians

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함수의 극한

역사

동기

단일 변수의 함수

(ε, δ)-한계의 정의

존재 및 일방적 한계

한계점 및 부분 집합을 사용한 보다 일반적인 정의

삭제된 제한과 삭제되지 않은 제한 비교

예

일변도 한계가 존재하지 않음

편면한계불균등

한 점에서의 한계

셀 수 있을 정도로 많은 지점에서의 한계

무한대를 포함하는 한계

무한대에서의 한계

무한한계

대체 표기법

유리 함수에 대한 무한대 한계

두 개 이상의 변수의 함수

통상한도

다중 한계

무한대에서의 다중 한계

점별 한계 및 균일 한계

반복 한계

미터법 공간에서의 함수

유클리드 미터법

맨하탄 미터법

균일계량

위상공간에서의 함수

기타 특징

수열에 있어서는

비표준 미적분학에서

근접성 면에서

연속성과의 관계

특성.

함수 구성의 한계

특별관심한도

유리함수

삼각함수

지수함수

로그 함수

호스피탈의 통치

합산 및 적분

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참고문헌

외부 링크

$(ε,$ $δ)-$ 한계의 정의