안정도

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2015년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

수학의 경우, 특히 공통 위상과 대수 기하학에서, 리만 표면에서 주어진 공통 다지관으로 지정된 조건을 만족하는 안정된 지도의 모듈리 공간을 구성할 수 있다.이 모듈리 공간은 열거형 기하학 및 유형 IIA 끈 이론에서 응용을 찾는 그로모프-위튼 불변성의 정수다.안정적 지도에 대한 생각은 1992년경 막심 콘체비치에 의해 제안되어 콘체비치(1995년)에 발표되었다.

공사가 길고 어렵기 때문에 그로모프-위튼 불변제 기사 자체보다는 이곳에서 진행된다.

매끄러운 의사동형 곡선의 모듈리 공간

$닫힌{\displaystyle }$ 동시 선택 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\omega}$을$($를$)$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ $및$ n ${\displaystyle n}$을(를) 자연수(0을 포함)로$$ 하고 A ${\displaystystyle A}$을(를) $X$의 2차원 호몰로지 클래스로 고정하면 pse의 집합을 고려할 수 있다$.$우도홀로모픽 곡선

${\displaystyle((C,j),f,(x_{1},\ldots,x_{n})\,}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle C}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle (C,j)}$은(는) $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 매끄럽고 닫힌 Riemann 표면이며, $표시점{\displaystyle }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$및 .

${\displaystyle f:C\to X\,}$

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ -tame$$ 거의 $복잡한{\displaystyle }$ 구조$$J {\$displaystyle$ J$}$ 및$$ $비균형{\displaystyle }$ 용어 $\$ {\$displaystyle \nu$ 혼란스러운 Cauchy-Remann 방정식의 일부 선택에 대해 만족하는 함수임

${\displaystyle {\bar {\partial }_{J,J}f:={\frac {1}{2}}(df+)J\circ df\circ j)=\nu.}$

일반적으로 사람들은 구멍 난 오일러 $특성$을 C$${\$displaystyle C$}의${\displaystyle }$2 - ${\displaystyle 2}$g - ${\displaystyle n}${\$displaystyle 2-2g-n}$ 음성으로 $만드는{\displaystyle }$$$ g$${\$displaystyle g$}과 n$${\$displaystyle$ n$}$만 인정한다. 그러면 도메인이 안정적이며, $이$는 C$${\$displaysty C}$ta의$$ 홀모형 자동화가 상당히 많다는 것을 의미한다.표시된 점을 보존하다

연산자 $\partial {\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}_{j,}}$ J ${\$는 타원형이고 따라서$$ 프레드홀름이다.상당한 분석적 논거(적절한 소볼레프 규범에서 완성, 바나흐 다지관에 대한 암묵적 함수 정리 및 사르드의 정리를 적용하고, 부드러움을 회복하기 위해 타원적 규칙성을 사용) 후, $\Omega {\displaystyle }${\$daystyle \omega}$ $-tame$ $J}$와 섭동 {$${\$d$)의 일반적 선택에 대해 그 사실을 보여줄 수 있다.$Isplaystyle$\${\displaystyle \mathrm{nu}}$$\},$${\displaystyle }$(${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle )}$ )$$${\displaystyle$$(j,J,\nu$)} -홀로모르픽$$ 곡선(-holomphic curve$)$의 집합으로, $클래스$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을 나타내는 마크 포인트는 매끄럽고 지향적인 오비폴드를 형성한다$$.

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$

Atiyah-Singer 지수 정리에 의해 주어진 차원

${\displaystyle d:=\dim _{\mathb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{1}X(A)+(\dim _{\mathb {}X-6)(1-g)+2n.}$

안정적 지도 압축

이 지도 모듈리 공간은 작지 않다. 일련의 곡선이 단수곡선으로 변질될 수 있기 때문이다. 왜냐하면 우리가 정의한 모듈리 공간에는 존재하지 않는다.예를 들어, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}($파생상품의 L-norm을² 의미)의 에너지가 도메인의 특정 지점에 집중될 때 이러한 현상이 발생한다.농도점 주변의 지도를 다시 찍으면 에너지를 잡을 수 있다.그 효과는 거품이라고 불리는 구를 농도 지점에서 원래 영역에 부착하고 구를 가로질러 지도를 확장하는 것이다.재조정된 지도는 여전히 하나 이상의 지점에 집중된 에너지를 가질 수 있으므로, 결국 전체 버블 트리를 원래 영역에 부착하고 새로운 도메인의 각 부드러운 구성 요소에 잘 동작하도록 반복적으로 크기를 조정해야 한다.

이것을 정밀하게 하기 위해서, 안정적인 지도를 리만 표면에서 사이비홀로모르픽 지도로 정의하고, 최악의 결절 특이점에서는 지도에 미세하게 많은 자동화만 존재한다.구체적으로는 다음과 같은 것을 의미한다.노달 리만 표면의 부드러운 구성 요소는 표시점과 노달 지점을 보존하는 자동화 기법이 많으면 안정적이라고 한다.그 다음, 안정적 지도는 적어도 하나의 안정적 도메인 구성요소를 가진 의사홀로모픽 지도(각 다른 도메인 구성요소에 대한 것)이다.

• 맵이 해당 구성 요소에서 일정하지 않음, 또는
• 그 성분은 안정적이야

안정적 지도의 영역이 안정적 곡선일 필요는 없다는 데 의의가 있다.그러나 $도메인{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$의 안정화 $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}(C}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {st}(C)}$이라고 하는 불안정한 성분(반복적으로)을 수축하여 안정된 곡선을 만들 수 있다$.$

$표시점$이 n$${\$displaystyle n}$인 속 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 리만 표면에서 모든 안정적인 맵 집합이 모듈리 공간을 형성함

${\displaystyle {\m}_{g,n}^{J,\nu }(X,A)}$

위상은 다음과 같은 경우에만 안정적 맵의 시퀀스가 수렴된다고 선언함으로써 정의된다.

• 그들의 (안정화된) 영역은 $M{\displaystyle {\stackrel{\text{'}}{}g}_{,}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 곡선의 Deligne-Mumford moduli 공간에 수렴된다$.$
• 노드에서 떨어진 컴팩트 서브셋에 있는 모든 파생상품에서 균일하게 수렴하며,
• 어느 지점에서 집중하는 에너지는 한계 지도에서 그 지점에 부착된 버블 나무의 에너지와 같다.

안정지도의 모듈리 공간은 콤팩트하다. 즉, 안정지도의 모든 순서가 안정지도로 수렴된다.이를 보여주기 위해 반복적으로 지도 순서를 다시 계산한다.각 반복에는 새로운 한계 영역이 있으며, 단수일 수도 있으며, 이전 반복보다 에너지 농도가 낮다.이 단계에서는 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$}이(가) 중요한 방식으로 입력된다$$.호몰로지 클래스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 나타내는 모든 평활지도의 에너지는 아래 공통 영역 $\Omega {\displaystyle (B}$) ${\displaystyle \omega(B)}$에 의해 제한된다$.$

${\displaystyle \omega(B)\leq {1}{1}{2}}\int df ^{2},}$

유사홀모픽 지도일 경우에만 동등하게.이것은 재스캘링의 각 반복에서 포착된 에너지를 제한하며 따라서 모든 에너지를 포착하기 위해서는 미세하게 많은 재스칼링이 필요하다는 것을 의미한다.결국, 새로운 한계 영역에 대한 한계 지도가 안정적이다.

압축된 공간은 다시 매끄럽고 지향적인 궤도형 공간이다.비삼각형 자동화가 있는 지도는 궤도형에서 동위원소가 있는 점에 해당한다.

그로모프-위튼 유사동물

그로모프-위튼 불변제를 구성하려면 평가 지도 아래 안정적 지도 모듈리 공간을 앞으로 민다.

${\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\to {\overline{M}_{g,n}\time X^{n}}}}}}$

${\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto(\mathrm {st}(C,j),f(x_{1}),\ldots,f(x_{n})}}}}}$

적절한 조건 하에서 이성적 호몰로지 수업을 받다.

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\overline {M}_{g,n}\time X^{n},\mathb {Q}).$

모듈리 공간은 궤도형이기 때문에 합리적인 계수가 필요하다.The homology class defined by the evaluation map is independent of the choice of generic ${\displaystyle \omega }$-tame ${\displaystyle J}$ and perturbation ${\displaystyle \nu }$. It is called the Gromov–Witten (GW) invariant of ${\displaystyle X}$ for the given data ${\displaystyle g}$, ${\displayst$$yle{\displaystyle }$ $n$ 및 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$ 이 호몰로지 클래스가 동위원소까지$Ω$ {\displaystyle $\backslash$$omega }$의 선택과 무관하다는 것을 보여주는 데 코보디즘 인수를 사용할 수 있다.따라서 그로모프-위튼 불변량은 복합체 다지관의 동위원소 동위원소 등급의 불변성분이다.

"적합한 조건"은 주로 커버된 지도(영역의 분기된 커버를 통해 인자가 되는 맵)를 곱하면 예상보다 더 큰 차원의 모듈리 공간을 형성할 수 있기 때문에 다소 미묘하다.

이를 처리하는 가장 간단한 방법은 목표 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 어떤$$ 의미에서 반소형 또는 Fano라고 가정하는 것이다.이 가정은 정확하게 선택된 것으로서, 여러 겹으로 덮인 지도를 곱한 모듈리 공간이 비다중으로 덮인 지도의 공간에 적어도 두 개의 코디네이션이 있다.그러면 평가지도의 이미지는 가성비를 형성하여 기대되는 차원의 잘 정의된 호몰로지 클래스를 유도한다.

어떤 종류의 반정성을 가정하지 않고 그로모프-위튼 불변성을 정의하려면 가상 모듈리 사이클이라고 알려진 어려운 기술적 구조가 필요하다.

참조

• 두사 맥더프와 디트마르 살라몬, J홀로모르픽 커브와 컴플렉틱 토폴로지, 미국수학협회 콜로키움 출판물, 2004. ISBN0-8218-3485-1.
• Kontsevich, Maxim (1995). "Enumeration of rational curves via torus actions". Progr. Math. 129: 335–368. MR 1363062.