스타 모델

통계에서, 부드러운 전환 자기 회귀(STAR) 모델은 일반적으로 자기 회귀 모델의 확장으로서 시계열 데이터에 적용되어, 원활한 전환을 통해 모델 매개변수의 높은 유연성을 허용한다.

데이터 x의_t 시계열이 주어진 경우, STAR 모델은 전환 변수의 값에 따라 시계열의 동작이 변화한다고 가정할 때, 이 시계열의 미래 값을 이해하고, 아마도 예측하는 도구일 것이다.전환은 (SETAR 모델과 유사) x 시리즈의 과거 값 또는 외부 변수에 따라 달라질 수 있다.

모델은 전환 함수에 의해 연결된 2개의 자기 회귀(AR) 부분으로 구성된다.모델은 일반적으로 전환함수를 설명하는 문자로 진행하는 STAR(p) 모델이라고 하며(아래 참조), p는 자기 회귀 부분의 순서다.가장 인기 있는 전이함수는 지수함수와 1, 2차 로지스틱함수를 포함한다.로지스틱 STAR(Logistic STAR, LSTAR)와 지수 STAR(ESTAR) 모델을 낳는다.

정의

오토레제이션 모델

시계열 y에_t 대한 간단한 AR(p) 모델 고려

${\displaystyle y_{t}=\filename _{0}+\filename _{1}y_{t-1}+\filename _{2}y_{t-2}+...+\reason _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}\,}$

여기서:

${\displaystyle {\gamma }_{}}$ i $displaystyle \p_{i}\,$ i=1,2,...,p는 시간에 따라 일정한 것으로 가정되는 자기 회귀 계수임.

${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle t_{}\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{i}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{W}}}$ ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle 0}$; ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\$은(는) 분산이 일정한 화이트 노이즈 오류 항을 의미한다.

다음과 같은 벡터 형태로 쓰여 있다.

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}\,}$

여기서:

${\displaystyle {\mathbf{X}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathbf{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$y ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$, y ${\displaystyle t_{}}$ - 2${\displaystyle }$,${\displaystyle }$y${\displaystyle t_{}}$ - ${\displaystyle p_{}}$) ${\displaystyle \mathbf$ {$X_{t}}$=(1$,y_{t-1},$y_{$t-2},\ldots,y_{t-p},},}$는 변수의 열 벡터다.

${\displaystyle \gamma }${\$displaystyle \gamma\,}$은(는) 매개 변수의 벡터: ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$. .${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ $displaystyle \ep _${0$},\reason _{1$},$gamma_{2$}, $...,\p$

${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle t_{}\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathit{d}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \stackrel{}{N}}$( 0${\displaystyle }$; ${\displaystyle 1}$) ${\$(0$;1)\}}$은 분산이 일정한 백색 노이즈 오차항을 의미한다.

자동조절 모델의 확장으로서의 STAR

STAR 모델은 1986년(esp. p. 187)에 쿵식 찬과 하웰 통에 의해 도입되어 포괄적으로 개발되었는데, 이 때 동일한 약어가 사용되었다.원래 Smooth Threshold AutoRegression의 약자다.일부 배경 내역은 통(2011, 2012)을 참조하십시오.모델은 변환 변수 z_t 값에 따른 모델 매개변수의 변경을 허용하면서 위에서 논의한 자기 회귀 모델의 확장 측면에서 생각할 수 있다.Chan과 Tong(1986)은 STAR 모델의 제품군이 스위칭 파라미터에 대한 균일한 경계성과 등거리성을 보여줌으로써 SETAR 모델을 제한 사례로 포함한다는 것을 엄격하게 증명했다.이 증거가 없다면, STAR 모델이 둥지를 튼다고 하는 것은 SETAR 모델이 정당성이 결여되어 있다.불행하게도 SETAR 모델을 사용해야 할지 STAR 모델을 사용해야 할지 여부는 대부분의 문헌에서 주관적인 판단, 취향, 성향에 관한 문제가 되어 왔다.다행히 데이비드 콕스의 가설의 별개 계열 시험에 기초하여 가오, 링, 통이 개발한(2018, Statisticala Sinica, 제28권, 2857-2883)의 시험 절차는 이제 이 문제를 다루기 위해 이용 가능하다.이러한 테스트는 STAR 모델을 채택하기 전에 중요하다. 왜냐하면 다른 문제들 중에서도, 그것의 전환 속도를 제어하는 매개변수가 데이터 집약적인 것으로 악명 높기 때문이다.

이와 같이 정의한 STAR 모델은 다음과 같이 제시될 수 있다.

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta ,c)\mathbf {X_{t} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{t},},}$

여기서:

${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle t_{}{}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$- 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$. . . ${\displaystyle {}_t}$) ${\$는 변수의 열 벡터다.

${\displaystyle G({}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\zeta }$, ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)}$은 0과 1 사이의 경계인 전환 함수다.

기본 구조

이들은 정권 간 원활한 이행이 가능한 2개 영역 SETAR 모델 또는 정권의 연속체로 이해될 수 있다.두 경우 모두에서 전환 함수의 존재는 매개변수 값의 변경을 허용하는 모델의 정의 기능이다.

전환 함수

세 가지 기본 전환 기능과 결과 모델의 이름은 다음과 같다.

• 첫 번째 순서 로지스틱 함수 - 로지스틱 STAR(Logistic STAR) 모델의 결과:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta(z_{t}-c)))^{-1},\제타 >0}$

• 지수 함수 - 지수 별(ESTAR) 모형의 결과:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=1-exp(-\zeta(z_{t}-c)^{2}),\zeta >0}$

• 두 번째 순서 로지스틱 함수:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\\zeta(z_{t}-c_{1})(z_{t}-c_{2})^{1},\zeta >0}$

참고 항목

• 지수함수의 특성화
• 지수성장
• 지수
• 일반화된 로지스틱 함수
• 로지스틱 분포
• SETAR 모델

참조

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2012년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Chan, K. S.; Tong, H. (1986). "On Estimating Thresholds in Autoregressive Models". Journal of Time Series Analysis. 7 (3): 178–190. doi:10.1111/j.1467-9892.1986.tb00501.x.
• Van Dijk, D.; Teräsvirta, T.; Franses, P. H. (2002). "Smooth Transition Autoregressive Models—A Survey of Recent Developments". Econometric Reviews. 21 (1): 1–47. doi:10.1081/ETC-120008723.
• Tong, H. (2011). "Threshold models in time series analysis—30 years on (with discussions by P. Whittle, M. Rosenblatt, B. E. Hansen, P. Brockwell, N. I. Samia & F. Battaglia)" (PDF). Statistics and Its Interface. 4 (2): 107–118. doi:10.4310/SII.2011.v4.n2.a1.
• Hansen, B. E. (2011). "Threshold Autoregression in Economics" (PDF). Statistics and Its Interface. 4 (2): 123–127. doi:10.4310/sii.2011.v4.n2.a4.
• Tong, H. (2012). "Discussion of 'An analysis of global warming in the Alpine region based on nonlinear nonstationary time series models' by Battaglia and Protopapa" (PDF). Statistical Methods and Applications. 21 (3): 335–339. doi:10.1007/s10260-012-0196-1.