로지스틱 분포

로지스틱 분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \mu ,}$ 위치$$(실제) > ${\displaystyle s>0,}$척도(실제)
지원	$(-\displaystyle x\in (-\flatty,\flatty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}{s}{s}}{s\e^{+e^{-(x-\mu )/s}\오른쪽)^{2}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}}$
퀀틸레	${\displaystyle \mu +s\log \lefts\frac {p}{1-p}\오른쪽)}$
평균	$\displaystyle \mu }$
중앙값	$\displaystyle \mu }$
모드	$\displaystyle \mu }$
분산	${\displaystyle {\frac {s^{2}\pi^{2}}{3}}}$
왜도	${\displaystyle 0}$
엑스트라 쿠르토시스	${\디스플레이 스타일 6/5}$
엔트로피	${\displaystyle \ln s+2}$
MGF	${\displaystyle e^{\mu t}\mathrm {B}(1-st, 1+st)}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$/ s${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle t\in(-1/s,1/s)}$용 및 $B{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$이$($가) 베타 함수임
CF	${\displaystyle e^{it\mu }{\frac {\pi st}{\sinh(\pi st)}}}$

확률 이론과 통계에서 로지스틱 분포는 연속 확률 분포다. 그것의 누적 분포 함수는 로지스틱 회귀 분석과 피드포워드 신경 네트워크에 나타나는 로지스틱 함수다. 모양은 정상 분포와 비슷하지만 꼬리가 더 무겁다(높은 첨도). 로지스틱 분포는 투키 람다 분포의 특별한 경우다.

사양

확률밀도함수

위치 모수 μ가 0이고 척도 모수 s가 1이면 로지스틱 분포의 확률 밀도 함수가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{정렬}}}$

따라서 일반적으로 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,s)&={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{s\left(e^{(x-\mu )/(2s)}+e^{-(x-\mu )/(2s)}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).\end{정렬}}}$

이 함수는 쌍곡선 제분함수 "sech"의 제곱으로 표현될 수 있기 때문에, 때때로 sech-square(d) 분포라고 한다.^[1] (또한: 쌍곡선 제분 분포 참조).

누적분포함수

로지스틱 분포는 로지스틱 함수 계열의 한 예인 누적 분포함수로부터 그 이름을 받는다. 로지스틱 분포의 누적 분포 함수는 쌍곡선 접선의 축척 버전이기도 하다.

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}={\frac {1}{1}2}}+{1}\frac {1}\operatorname {tanh} \좌({\frac {x-\mu }}s}}\오른쪽).}$

이 방정식에서 x는 랜덤 변수, μ는 평균, s는 표준 편차에 비례하는 척도 모수다.

퀀텀 함수

로지스틱 분포의 역 누적 분포 함수(양수 함수)는 로짓 함수의 일반화다. 그것의 파생상품은 정량밀도함수라고 불린다. 그것들은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left({\frac {p}{1-p}}\오른쪽).}$

${\displaystyle Q'(p;s)={\frac {s}{p(1-p)}}}.}$

대체 매개 변수화

$로지스틱{\displaystyle }$ 분포의 대체 파라미터화는 $s{\displaystyle }$ = q${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{}q}$$=$ 0.${\displaystyle 551328895}$… {\$displaystyle s\,=,\q$$\,\$$sigma$ }을(를$)$ 표준 편차의 관점에서 $s{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle s$ s =$$q = 0.551328895 … ${\displaystyl$)를 표현함으로써 도출할 수 있다$.$$eq\,=\,{\sqrt{3}/{\pi }\,=\,\,0.551328895\ldots$ $\}.$ 상기 기능의 대체 형태는 상당히 간단하다.

적용들

로지스틱 분포, 그리고 누적 분포 함수(로지스틱 함수)와 퀀텀 함수(로지트 함수)의 S자형 패턴은 많은 다양한 영역에서 광범위하게 사용되어 왔다.

로지스틱 회귀 분석

가장 일반적인 응용 프로그램 중 하나는 로지스틱 회귀 분석에 사용되며, 이는 연속형 변수(예: 소득 또는 모집단) 모델링에 표준 선형 회귀가 사용되는 것과 같다. 특히 로지스틱 회귀 모형은 로지스틱 분포를 따르는 오차 변수를 갖는 잠재 변수 모델로 표현될 수 있다. 이 표현은 로지스틱 분포가 로지스틱 회귀에서 정상 분포가 프로빗 회귀에서와 같은 역할을 하는 이산 선택 모델 이론에서 공통적이다. 실제로 로지스틱 분포와 정규 분포는 상당히 비슷한 형태를 가지고 있다. 그러나 로지스틱 분포는 꼬리가 더 무거워, 정규 분포를 사용하는 것에 비해 이를 바탕으로 한 분석의 강건성을 높이는 경우가 많다.

물리학

이 분포의 PDF는 페르미 함수의 파생 모델과 동일한 기능 형태를 가지고 있다. 반도체와 금속의 전자 특성 이론에서, 이 파생상품은 다양한 전자 에너지의 상대적 가중치를 전자 운송에 기여한다. 에너지가 분포의 "평균"(페르미 수준)에 가장 가까운 에너지 수준은 전자 전도 같은 과정을 지배하며, 일부 섬광은 온도에 의해 유도된다.^{[2]: 34} 그러나 Fermi-Dirac 통계량의 관련 확률 분포는 사실 Fermi 함수에 의해 주어진 확률 인자를 가진 단순한 베르누이 분포라는 점에 유의한다.

로지스틱 분포는 연속 속도 변화 사이의 무작위 시간이 선형적으로 증가하는 매개변수와 함께 독립적인 지수 분포를 갖는 전신 프로세스에 의해 기술된 유한-속도 감쇠 무작위 운동의 한계 분포로 발생한다.^[3]

수문학

수문학에서 장시간의 하천 방류 및 강우량(예: 월별 및 연간 총계, 각각 360일 값의 합 30개로 구성)의 분포는 중심 한계 정리에 따라 거의 정상으로 생각되는 경우가 많다.^[4] 그러나 정규 분포에는 숫자 근사치가 필요하다. 분석적으로 해결할 수 있는 로지스틱 분포가 정규 분포와 비슷해 대신 사용할 수 있다. 파란색 그림은 거의 정규 분포를 따르는 10월 강우량에 로지스틱 분포를 적합시킨 예를 보여주고 이항 분포를 바탕으로 90% 신뢰 벨트를 보여준다. 강우 데이터는 누적 빈도 분석의 일부로 위치를 표시하여 나타낸다.

체스 등급

미국 체스 연맹과 FIDE는 체스 등급을 계산하는 공식을 정규 분포에서 로지스틱 분포로 전환했다. Elo 등급 시스템에 대한 기사(정규 분포에 기반한 기사)를 참조하라.

관련 분포

• 로지스틱 분포는 sech 분포를 모방한다.
• If ${\displaystyle X\sim \mathrm {Logistic} (\mu ,s)}$ then ${\displaystyle kX+\ell \sim \mathrm {Logistic} (k\mu +\ell , k s)}$.
• X ~ U(0, 1)일 경우 μ + s(log(X) - log(1 - X) ~ 로지스틱(μ, s)
• If ${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{X},\beta )}$ and ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu _{Y},\beta )}$ independently then ${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\mu _{X}-\mu _{Y},\beta$$)\,}$.
• If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$ then ${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\,}$ (The sum is not a logistic distribution). Note that ${\displaystyle E(X+Y)=2\mu +2\beta \gamma \neq 2\mu =E\left(\mathrm {Logistic} (2\mu ,\beta )\right)}$.
• If X ~ Logistic(μ, s) then exp(X) ~ LogLogistic${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)}$, and exp(X) + γ ~ shifted log-logistic${\displaystyle \left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)}$.
• X ~ 지수(1)인 경우

${\displaystyle \mu +s\log(e^{X}-1)\sim \operatorname {Logistic}(\mu ,s).}$

• X, Y ~ 지수(1)일 경우

${\displaystyle \mu -s\log \left({\frac {X}){Y}\오른쪽)\심 \operatorname {Logistic}(\mu ,s).}$

• 메탈로그 분포는 로지스틱 분포의 일반화로서, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과(와$$) 로지스틱 파라미터 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$과(와) $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$을(와)로 대체한다$.$ 결과 메탈로그 퀀텀 기능은 매우 유연한 형태, 단순한 닫힘 형태를 가지고 있다.d는 선형 최소 제곱이 있는 데이터에 적합할 수 있다.

파생어

고차 모멘트

n번째 순서 중심 모멘트는 퀀텀 함수 단위로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}\,dF(x)\\&=\int _{0}^{1}{\big (}Q(p)-\mu {\big )}^{n}\,dp=s^{n}\int _{0}^{1}\left[\ln \!\left({\frac {p}{1-p}}\right)\right]^{n}\,dp.\end{정렬}}}$

이 적분은 잘 알려져^[5] 있으며 베르누이 숫자로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {E}[(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot B_{n} .}$

참고 항목

• 일반화된 로지스틱 분포
• 투키 람다 분포
• 로그 로지스틱 분포
• 반 로지스틱 분포
• 로지스틱 회귀 분석
• S자형 함수

메모들

참조

위키미디어 커먼즈에는 로지스틱 분포와 관련된 미디어가 있다.

• John S. deCani & Robert A. Stine (1986). "A note on deriving the information matrix for a logistic distribution". The American Statistician. American Statistical Association. 40: 220–222. doi:10.2307/2684541.
• N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L.; Kotz, S.; N., Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd ed.). ISBN 0-471-58494-0.

• 모디스, 테오도르(1992) 예측: 뉴욕 시몬 앤 슈스터, 과거를 드러내고 미래를 예측하는 사회의 텔테일 시그니처 ISBN 0-671-75917-5