변형 에너지 밀도 함수

변형 에너지 밀도 함수 또는 저장 에너지 밀도 함수는 재료의 변형 에너지 밀도를 변형 구배와 연관시키는 스칼라 값 함수다.

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {B}}^{1/2}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

동등하게,

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

어디 F{\displaystyle{\boldsymbol{F}}}은(2점)변형 기울기 텐서, C{\displaystyle{\boldsymbol{C}}}은 옳은 Cauchy-Green 변형 텐서, B{\displaystyle{\boldsymbol{B}}}은 왼쪽 Cauchy-Green 변형 tensor,[1][2]와 R{\displaystyle{\boldsymbol{R}}}은 썩은 거요ation ${\boldsymbol {F}}$ ${\$ 의 극 분해로부터 텐서 ${\boldsymbol {F}}$

비등방성 재료의 경우 변형 에너지 밀도 ${\hat {W}}({\boldsymbol {C}})$ W ${\hat {W}}({\boldsymbol {C}})$ ) ${\displaystyle {\hat{W}({\boldsymbol{C})$ 는 내부 재료 질감을 특징짓는 기준 벡터 또는 텐서(복합체 내 섬유 초기 방향 등)에 암묵적으로 의존한다 ${\hat {W}}({\boldsymbol {C}})$ .The spatial representation, ${\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})$ must further depend explicitly on the polar rotation tensor ${\boldsymbol {R}}$ to provide sufficient information to convect the reference texture vectors or tensors into the spatial configuration.

등방성 물질의 경우, 재료 프레임 무관심의 원리를 고려할 때 ${\boldsymbol {C}}$ ${\boldsymbol {B}}$ 에너지 밀도 함수는 C ${\$ { $C}($ ${\boldsymbol {B}}$ 동등하게 B ${\$ { $B})$ 의 불변성에만 의존한다는 결론을 내리게 된다. ${\boldsymbol {C}}$ es). 즉, 변형 에너지 밀도 함수는 주 스트레칭의 측면이나 왼쪽 카우치-그린 변형 텐서 또는 오른쪽 카우치-그린 변형 텐서(Cauchy-Green 변형 텐서)의 불변성 측면에서 고유하게 표현될 수 있으며, 우리는 다음을 가지고 있다.

등방성 물질의 경우,

W={\hat {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})={\tilde {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)=U(I_{1}^{c},I_{2}^{c},I_{3}^{c}}

와 함께

{\displaystyle {\begin{aigned}{\bar {I}_{1}&=J^{-2/3}~~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{3}^{2}+\lambda _{3}^{3}^{1}^{1}^{1}^{2}\lambda}}}}}}}{liged}}}}}}}}}}}.

작은 균주가 발생하는 선형 등방성 물질의 경우, 변형 에너지 밀도 함수는 다음과 같은 것을 전문으로 한다.

W={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}\epsilon _{x}+\sigma _{y}\epsilon _{y}+\sigma _{z}\epsilon _{z}+2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}+2\sigma _{yz}\epsilon _{yz}+2\sigma _{xz}\epsilon _{xz})

^[3]

변형 에너지 밀도 함수는 변형률과 관련하여 $W$ $W$ $W$ 의 파생 모델을 취함으로써 재료의 응력을 얻을 수 있다고 가정하여 과대증성 재료를 정의하는데 사용된다.등방성 과대증성 물질의 경우, 이 함수는 탄성 물질에 저장된 에너지, 즉 응력-변형 관계를 세 가지 변형률(융화) 성분에만 연관시켜 변형 이력, 열 분산, 응력 완화 등을 무시한다.

등온 탄성 프로세스의 경우 변형 에너지 밀도 기능은 특정 헬름홀츠 자유 에너지 함수 $\psi$ $\psi$ 과(와) 관련된다 $\psi$ ^[4]

W=\rho _{0}\psi \;.

등방성 탄성 프로세스의 경우 변형 에너지 밀도 함수는 내부 에너지 함수 $u$ $u$ 과(와) 관련된다 $u$

W=\rho _{0}u\;.

예

과대성 구성 방정식의 몇 가지 예는 다음과 같다.^[5]

참고 항목

참조

^ Bower, Allan (2009). Applied Mechanics of Solids. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0247-2. Retrieved 23 January 2010.
^ Ogden, R. W. (1998). Nonlinear Elastic Deformations. Dover. ISBN 978-0-486-69648-5.
^ Sadd, Martin H. (2009). Elasticity Theory, Applications and Numerics. Elsevier. ISBN 978-0-12-374446-3.
^ Wriggers, P. (2008). Nonlinear Finite Element Methods. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71000-4.
^ 무어, A. H. (2005)고무의 응력 변형 거동 모델링.고무 화학 및 기술, 78(3), 391–425.[1]

[Bower-1] Bower, Allan (2009). Applied Mechanics of Solids. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0247-2. Retrieved 23 January 2010.

[Ogden-2] Ogden, R. W. (1998). Nonlinear Elastic Deformations. Dover. ISBN 978-0-486-69648-5.

[Sadd-3] Sadd, Martin H. (2009). Elasticity Theory, Applications and Numerics. Elsevier. ISBN 978-0-12-374446-3.

[Wriggers-4] Wriggers, P. (2008). Nonlinear Finite Element Methods. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71000-4.

[5] 무어, A. H. (2005)고무의 응력 변형 거동 모델링.고무 화학 및 기술, 78(3), 391–425.[1]

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