무니-리블린 솔리드

시리즈의 일부
연속체 역학
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi}{displaystyle}}$ 픽의 확산 법칙
법률 보수 덩어리 모멘텀 에너지 불평등 클라우시우스듀헴(엔트로피)
고체 역학 변형 탄력성 선형의 소성 후크의 법칙 스트레스 유한 변형률 미량 변형률 호환성. 구부러지다 컨택 메카니즘 마찰의 재료고장론 파괴 역학
유체역학 유체 스태틱스 · 다이내믹스 아르키메데스의 원리 · 베르누이의 원리 나비에-스토크스 방정식 푸아세유 방정식 · 파스칼의 법칙 점성 (뉴욕 · 비뉴욕) 부력 · 믹싱 · 압력. 액체 접착 모세관 작용 크로마토그래피 응집력(화학) 표면 장력 가스 대기. 보일의 법칙 샤를의 법칙 복합가스 법칙 픽의 법칙 게이-루삭의 법칙 그레이엄의 법칙 플라즈마
레올로지 점탄성 레오메트리 레오미터 스마트 유체 전기기후학 자기 지질학 강유체
과학자 베르누이 보일 코시 찰스 오일러 픽 게이루삭 그레이엄 후크 뉴턴 경이다. 나비에 놀 파스칼 스토크스 트루즈델
v t

연속체 역학으로 변형 에너지 밀도 함수 W{\displaystyle W\,}은 왼쪽의 두 불변자의 선형 조합 Cauchy–Green 변형 텐서 B{\displaystyle{\boldsymbol{B}}, Mooney–Rivlin solid[1][2]은hyperelastic 재료 모델}. 모델은 멜빈 무니에 의해 1940년, 고속으로 제안되었다.교육에1948년 로널드 리블린의 불변 조건.

비압축성 무니-리블린 재료에^[3][4] 대한 변형 에너지 밀도 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3}),,}$

$여기$서 ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1$({$ 및$$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle C_{2})$는 경험적으로 결정된 재료 $상수$이며, I${\displaystyle {\stackrel{}{}1}_{\mathrm{}}}$1${\displaystyle {(\{}^{}}$$displaystyle {I}}_$${1$}) 및 $I{\displaystyle {\stackrel{}{}2}_{\mathrm{}}}$2({$displaystyle {I}_{2$}})는$$ B ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle det}$의 $첫{\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ 번째 및 두 번째 불변수입니다($B$$$ ${\displaystyle {}^{}\mathit{}{).}^{}}$$style {\boldsymbol {B}}=(\det {boldsymbol {B})^{-1/3}{\boldsymbol$$${$B}}($$B\$displaystyle ${B}}$^[5]의 단일한 컴포넌트):

${\displaystyle {\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}+\lambda _{2}+\lambda _{3},\{\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}_{2}+\lambda _{2}{{3}^{2}+\lambda _{1}^2}\lambda _{endar}}}$

여기서$$F {\$displaystyle {F}}$은 변형 $구배$이고 J ${\displaystyle =det}$ (${\displaystyle F\mathit{}}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$3 { $display$J$$= \ $det$ ( { \ $boldsymbol {$F}} = \ $lambda _ {1}$ \ $lambda _${ { 2 } = 1 . rambda _ { 2 \ det ( ${\displaystyle 1}$$\}$ ) ） = $1{\displaystyle }$ . $timpressibressibleda _$ {$$${\displaystyle =}$

파생

무니-리블린 모델은 다음과 같은 형태를 가진 일반화 리블린 모델(다항식^[6] 초탄성 모델이라고도 함)의 특별한 경우이다.

${\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}{D_{D_{-1}}~}^{{{{{pq}}J}}}}}{{{{p}}}}}}}}}}}}}}}}}{p}}}}}}}{p}}}}}}}}}}}}$

$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$ $=$ {\$displaystyle C_{00$}=$0}$일 때, ${\displaystyle {여기}_{}}$서 C ${\displaystyle p_{}}$q {$displaystyle C_{pq}$는 왜곡 응답과 관련된 재료 $상수$이고 ${\displaystyle D_{}}$m {$displaystyle D_{m}$은 체적 응답과 관련된 재료 상수입니다.압축성 무니-리블린 $재료{\displaystyle }$ N ${\displaystyle =1}$, ${\displaystyle {}_{}}$ 01 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$2, C ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}}$ 10 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, M ${\displaystyle =}$ ({$display style$ N$=1, C_{01$) =$C_{2$}, $C_{11$} $= 0$, $C_10$} = $C_{1$} = C_{1$}$ 및 $C_${1} = {1}의 경우,

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{{1}~(J-1)^2}}$

${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}}$ 01 $=$ {$style$ C_${01$}=0$$$}$이면 neo-Hookean 솔리드, 즉 Mooney-Rivlin 솔리드라는 특수한 경우를 얻을 수 있습니다.

작은 균주의 한계에서 선형 탄성과의 일관성을 위해 다음 사항이 필요하다.

$\displaystyle \kappa = 2/D_{1}~;~\mu = 2~(C_{01}+C_{10})}$

여기서$\delta {\displaystyle }$ {$displaystyle \kappa}$는 벌크 $계수$이고$$μ {\$displaystyle \mu}$는 전단 계수입니다.

변형률 불변성 및 변형 텐서 측면에서 코시 응력

무응력 기준 구성을 가진 압축성 초탄성 재료의 코시 응력은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle {\boldsymbol {} = symbol {2} {J} } left [ { \ cfrac { { J ^ { 2 / 3} } } \ cfrac { W } { \ partial { I } } + { \ bar { I } { 1 } ~ { \ cfrac } } } } } } {\ww { { { \ frfrapt } } }\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3}J}}\left({\bar {I}_{1}~{\cfrac {I}_{1}}+2~{\bar {I}}~{\cfrac {W}}{\partial {W}}{\cfrac {I}_{2}}{\bold}\sylight})$

압축성 무니-리블린 소재의 경우,

${\displaystyle {\partial {W}}{\cfrac {I}_{1}=C_{1}~{\cfrac {W}}{\partial {\cfrac {I}_{2}}=C_{2}~{\cfrac {W}{\partial}=JAC {\partial}}$

따라서 압축성 무니-리블린 재료의 코시 응력은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle {\boldsymbol {2} {J}} = symbol {J} } left [ {\cfrac {1} + {\bar {I} } _ {2} \ right } {\boldsymbol {B} - {4J} {\frAC } } {\left }J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}$

약간의 대수 후에 압력이 다음과 같이 주어지는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}},{\text{tr}}({\boldsymbol {\flac W}{\partial J}}=-{\frac {2}{1}(J-1)},}$

그러면 스트레스는 다음 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {I}}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {2}{J^{/3}}\left(C_{1}+{\bar {I}_{2}~{\boldsymbol}}}\left[\boldsymbol}\left]}$

$위$의 방정식은 단모듈 $텐서{\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{}}$¯$=$ ${\displaystyle {J\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle 2^{}}$ / ${\displaystyle 3{}^{}\mathit{}}$B ({$style { bold$symbol {B}}} = J$^{-2/$3},{\$bold symbol$ {B$}}})$를 사용하여 작성되는 경우가 많습니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {I}}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\left(C_{1}+{\bar {I1}_{2}\right}{\bar {\boldsymbol {B}-2}~{2}}_{C}}\{\c}{\c}}\c}}$

J ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ J$=1}$인 압축 불가능한 무니-리블린 재료의 경우 p ${\displaystyle =}$0 {$displaystyle$ p$=$$0$$}$및 B$$ ${\displaystyle B\mathit{}}$ {\$displaystyle {$B}} = boldsymbol {B}}$$= $boldsymbol {B$} =$$ 이렇게 $됩니다{\displaystyle }$.

${\displaystyle {\boldsymbol {B} ~ {\boldsymbol {B} ~ {\boldsymbol {B} ~ {\boldsymbol {B} ~ {\crac} {3C} 왼쪽 표시 스타일 {\boldsymbol {B} }I_{2}\right){\boldsymbol {I}},}$

${\displaystyle \det }$ J ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ \$det$ J$=1$)이므로 케일리-해밀턴 정리는 다음을 의미한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.}$

따라서 코시 스트레스는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

$\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}^{-1}}$

$여기$서 p ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}\frac{3}{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle I{}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ - ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle I{}_{}{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$)$$. { $display style$ p^ { * : = tfrac ${2}$ {$3}}$ ($C_{1}$ - $C_{2}$ ~ $I_{2$} )$$。$,}$

주 스트레칭에 대한 코시 스트레스

주요 스트레칭의 관점에서 비압축성 초탄성 재료에 대한 코시 응력 차이는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle _{11}-\displayda _{33)=\displayda _{1}~{\displayda _{1}-\displayda _{3}~{\displayac {W}}{\displayda _{3}-{\displaystyle {3}}-{\da _{\da}_{\da}_{\displaystypartial {{\da}}}_{\da}_{\da}_{{{{{{\da}}}$

비압축성 무니 리블린 소재의 경우

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}+{2}\lambda _{2}^{2}\lambda_{2})_{2}_{2}+\lambda_{2}^{2}_{{{{{2}_{{{2}_{{2}_lamblambda_lambdambda_{$

그러므로,

$({displaystyle \displayda _{1}{{1}\lambda _{1}+2C_{2}\lambda _{1}{1}{1}{{1}{{2}\lambda _{1}{1}{1}{{2}+{2}\lambda _{2}\da _{{{{{2}+\da_{{{{{{{{3}^da}}~})_{{{{{da}})_{{{{{{{{}}}}}}})_{{{{{da _{3}}=2C_{1}\lambda _{3}^2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^2}+\lambda _{2})$

1λ 2λ 3=1{\displaystyle \lambda_{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}. λ 우리가 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\lambda _{1}{\cfrac{{W\partial}}{\partial \lambda_{1}}}&=2C_{1}\lambda _ᆮ^ᆯ+2C_ᆰ\left({\cfrac{1}{\lambda_{3}^{2}}}와{\cfrac{1}{\lambda_{2}^{2}}}\right)~, ~~\lambda _{2}{\cfrac{{W\partial}}{\partial \lambda_{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac{1}{\lambda_{3}^{2}}}+{\cfrac{1}{\lambda_{1.}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac{{W\partial}}{\partial \lambda_{3}}}&=2C_{1}\lambda _ᆭ^ᆮ+2C_ᆯ\left({\cfrac{1}{\lambda_{2}^{2}}}와{\cfrac{1}{\lambda_{1}^{2}}}\right)\end{정렬}}}.$

그리고 그 코시 스트레스 차이를 표현하게 된다.

${\displaystyle \sigma_{11}-\sigma _ᆭ=2C_ᆮ(\lambda_{1}^{2}-\lambda_{3}^{2})-2C_ᆯ\left({\cfrac{1}{\lambda_{1}^{2}}}-{\cfrac{1}{\lambda_{3}^{2}}}\right)~, ~~\sigma _{22}-\sigma _ᆱ=2C_ᆲ(\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2})-2C_ᆳ\left({\cfrac{1}{\lambda_{2}^{2}}}-{\cfrac{1}{\lambda_{3}^{2}}}\right)}.$

단축 확장

비압축성 Mooney–Rivlin 물질의 단축 신장 중인 사례 들어, λ 1)λ{\displaystyle \lambda_{1}=\lambda \,}과 λ 2)λ 3=1/λ{\displaystyle \lambda_{2}=\lambda _{3}=1{\sqrt{\lambda}}}. 그 다음 참응력(코시 스트레스)차이가 계산할 수 있다.

${\displaystyle {displaystyle {cfrac {1}-{11}-\displaystyle {\lambda ^{2}-{\lambda ^{1}-{\lambda }}-{\right}-2C_{2}\left({\cfrac {1}-{\cfright})\\\syslog_{22}-\syslog_{33)&=0\end{aligned}}$

단순 장력

단순 장력의 경우, ${\displaystyle {22}_{}}$ 22 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {33}_{}}$ ${\displaystyle 33}$ $=$ 0 \ $displaystyle$\ $displaystyle _$ { 22 } = \ $display$ style _ { $33$ }$$$= 0$ 입니다.그러면 우리는 쓸 수 있다.

$\displaystyle _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}}\right)\left(\cfrac ^{2}-{\cfright})\left(\cfrac {1}{\cfright})}$

다른 표기법에서는 코시$강세$가 T$(\displaystyle\$boldsymbol {$T})$이고$$스트레치가$α$(\displaystyle\alpha$)$로 표기되어 있습니다.

$\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)$

단순 장력 하의 압축 불가능한 무니-리블린 재료에 대한 공학적 응력(단위 기준 면적당 힘)은 T ${\displaystyle {\mathrm{11}}_{}^{}}$ e n ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ α ${\displaystyle \frac{3{}_{}}{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{T}{{}_{}}}$ 11$$α { $displaystyle$ T_${11}^\mathrm${eng } =$T_{11}\alpha {2\alpha} _3AC {$3$}$을 $사용$하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng}}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)}$

정의하면

${\displaystyle T_{11}^{*}:=cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng}}}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~\display:=cfrac {1}{\alpha }}}$

그리고나서

${\displaystyle T_{11}^*}=2C_{1}+2C_{2}\beta~}$

$T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11}_{}^{}}$ ${\$ { $display style$ T _ { $11$}^* } $\beta$ β$$β { $displaystyle$ \$beta }$라인의$$ 기울기는 $2$의 $값$입니다.T ${\$ { { $displaystyle$ T _ { $11$$$}^{$$*$$}$축$은 C$1$의 값입니다.무니-리블린 고체 모델은 보통 실험 데이터에 네오-후크 고체보다 더 잘 적합하지만 추가적인 경험 상수가 필요하다.

등축 장력

등축 장력의 경우, 주 ${\displaystyle {스트레칭}_{}}$은 = 1 ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle 2}$ =${\$ { $displaystyle$\$_ da$ _ { } = \ $_ da$ _ { } = { $da$ da$$$}$ is 3 $=$ / $2$2 { displaystyle \ $da$_ { $da } ^2$} ^{ da } 입니다.따라서 코시 응력 차이는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

${\displaystyle _{11}-\display _{33}=\display _{22}-\display _\display _ {\lambda ^{2}-{\displayac {1}-{\displayda ^{4}}\right}-2C_{2}\da ^{\da}$

등축 장력에 대한 방정식은 단축 압축에 대한 방정식과 동일합니다.

순수 전단

형상의 스트레칭을 적용하면 순수한 전단 변형을 달성할 수 있다.

$\displaystyle \displayda _{1}=\displayda _{2}=displayac {1}{\displayda _{3}=1}$

따라서 순수 전단(pure shear)에 대한 코시 응력 차이는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\displaystyle _{11}-\display _{33)=2C_{1}(\lambda ^{2}-1C_{2}\left({\cfrac {1}{\displayda ^{2}}-1\right})~;~\display _{22}-\displays _{33)=2C_{C_{1\fright}_{1}$

그러므로

$\displaystyle _{11}-\display _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\displayac {1}{\displayda ^{2}}}\오른쪽)}$

순수 전단 변형의 경우

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^2}+\lambda _{2}+{2}=\lambda ^{2}+{\lambda ^{2}+{\lambda ^{2}}+1~~I_{2}=sqfrac {1}{{1}^2}}+{\sqpac {1}{{2}}+{\sqpac {1}{\sqpairda _{3}^2}}=sqpa {1}{\sqpairda ^2}}+{\sqpa ^1}$

$따라서{\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$2 { $style I_{1$} $=$$I_{2$

단순 전단

단순 전단 변형을 위한 변형 구배는 다음과 같은 형태를^[7] 가진다.

$\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\boldsymbol {1}+\display ~\mathbf {e}_{1}\otimes \mathbf {e}_{2}$

${\displaystyle {}_{}}$서 e${\displaystyle {}_{}}$1, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$$\$displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2$}는$$ 변형 평면에서 참조 직교 기준 벡터이며 전단 변형은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \displayda - {\displayac {1}{\displayda }}~;;~\displayda _{1}={2}=displayac {1}{\displayda }}~;~\displayda _{3}=1}$

매트릭스 형태에서 변형 구배와 왼쪽 코시-녹색 변형 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$({displaystyle {F}}=begin{bmatrix}1&\gamma & 0\0&1\end{bmatrix}}~~{\boldsymbol {F}=cdot {boldsymbol {F}^{})T}=begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &\gamma & 1&0&1\end {bmatrix}}$

그러므로,

${\displaystyle {\boldsymbol {B}} = begin {bmatrix} 1 &\gamma & 0 & 1 + \ param ^{2} & 0 & 1 \ end { bmatrix} }$

Cauchy의 강세는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {boldsymbol {bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma & 0\2(C_{1}+{C}+{}_gamma})$

선형 탄성과의 일관성을 위해 $명확$하게 μ ${\displaystyle =2}$ ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ + ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$2$$) ({ $displaystyle$\mu =$$2 ($C_{1$} +$C_{$2}) ($μ {\$displaystyle \$mu }$는 전단 계수)이다$$.

고무

고무 재질의 탄성 반응은 종종 무니-리블린 모델을 기반으로 모델링됩니다.$상수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{C\mathrm{}}_{}}$2(\$displaystyle C_{1}, C_{2})$는 위의 방정식의 예측 응력을 실험 데이터에 적합시켜 구합니다.권장되는 테스트는 단축 장력, 등축 압축, 등축 장력, 단축 압축 및 전단, 평면 장력 및 평면 압축입니다.두 개의 매개 변수 Mooney-Rivlin 모델은 일반적으로 100% 미만의 균주에 유효합니다.

^[8]

주 및 참고 자료

「 」를 참조해 주세요.

• 초탄성 재료
• 유한 변형률 이론
• 연속체 역학
• 변형 에너지 밀도 함수
• Mooney Rivlin 상수를 실험적으로 결정하는 응용 노트