아루다-보이스 모델

연속체 역학에서, 아루다-보이스 모델은^[1] 고무와 다른 고분자 물질의 기계적 거동을 설명하는 데 사용되는 초탄성 구성 모델이다.이 모델은 대각선 방향을 따라 8개의 체인을 포함하는 입방체 대표 체적 요소를 가진 재료의 통계 역학을 기반으로 합니다.재료는 압축할 수 없는 것으로 가정한다.이 모델은 1993년에 ^[1]출판한 엘렌 아루다와 메리 커닝햄 보이스의 이름을 따서 명명되었다.

압축할 수 없는 Arruda-Boyce 모델에 대한 변형 에너지 밀도 함수는 다음과^[2] 같습니다.

{\displaystyle W={B}\theta {n}\left[\display\text{chain}}-{\textrt {n}\ln\left\displayac {sinh \display}}\right],

$n$ 서 n $(\displaystyle$ n $)$ 은 $n$ 체인 세그먼트 수, $k_{B}$ $(\$ 는 $k_{B}$ 볼츠만 상수, $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 는 $\theta$ 켈빈 단위 온도, $N$ (\ $displaystyle$ N $)$ 은 $N$ 가교 폴리머 네트워크 내 체인 수,

\displaystyle \mathrm {chain} = rt {tfrac {I_{1}} {3}}, \quad \display mathcal {L} {{\text {chain}}} {\left} {\cfrac {\cfrac {n}}} {\right}

$I_{1}$ 서 I 1 $({$ 은 $I_{1}$ 왼쪽 Cauchy-Green 변형 텐서의 첫 번째 ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ 이고 ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ - 1 $(x)$ 은 다음과 ${\mathcal {L}}^{-1}(x)$ 같이 근사할 수 있는 역 Langevin $함수입니다.$

(\displaystyle {mathcal {L} = {case} 1.31\tan(1.59x)+0.91x&{\text{for})\x <0.841,\{\tfrac {1}{\operatorname {sgn}(x)\text{for}x41).\end {case}}

작은 변형의 경우, Arruda-Boyce 모델은 가우스 네트워크 기반의 neo-Hookean 솔리드 모델로 감소한다.Gent 모델은 Arruda-Boyce 모델의 단순하고 정확한 근사치임을 알 수 있습니다^[3].

Arruda-Boyce 모델의 대체 표현

역 랑게뱅 함수의 처음 5개의 항을 사용하는 아루다-보이스 모형의 다른 형태는 다음과^[4] 같다.

{\displaystyle W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}+{\tfrac {1}{20N}}(I_{1}{2}-9)+{\tfrac {11}{1050N^{2}}(I_{1}{273-t)

$C_{1}$ 서 C 1 $(\$ 은 $C_{1}$ 재료 상수입니다. $수량$ N(\ $displaystyle$ N)은 $N$ 네트워크 확장을 제한하는 척도로도 해석할 수 있습니다.

$\lambda _{m}$ m ${\displaystyle$ \ $lambda _{m$ }}이 $\lambda _{m}$ 폴리머 체인 네트워크가 잠기는 스트레치일 경우 Arruda-Boyce 변형률 에너지 밀도를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

W=C_{1}\left[{\tfrac {1}{2}+{\tfrac {1}{{m}{2}}(I_{1}{2}-9)+{\tfrac {11}{1050\da_m}{{1}{{m_4}}I}+{\tfrac {{1}{{1}{{{1}}}}}}}}{{{{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}

대신 Arruda-Boyce 모델을 다음과 같은 형태로 표현할 수 있습니다.

({displaystyle W=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\alpha ^{i}~(I_{1}^{i}-3^{i})})

$여기$ 서 $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ : $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ = 1 $\beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}$ (\displaystyle $\tfrac {$ 1} ${N$ }} = $tfrac$ {1} {\ $displayda _$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $m}^$ 2}}}} $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ α α α $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ : $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ ; $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ : $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $α =$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ : $50$ $\alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.$ $displaystylephacclac$ { } $}$ $。$ $frac {1}{20}~;~\alpha _{3}:=paramtfrac {11}{1050}~;~\alpha _{4}:=paramtfrac {19}{7000}~;~\alpha _5}:=paramtfrac {519}{673750}.$ $}$

고무가 압축 가능한 경우 변형 에너지 $J=\det({\boldsymbol {F}})$ 에 $J=\det({\boldsymbol {F}})$ J $J=\det({\boldsymbol {F}})$ det ( $F$ ) { $displaystyle$ J $=$ \ $det$ ( { \ bold $symbol$ { F $J=\det({\boldsymbol {F}})$ } } } } 에 $J=\det({\boldsymbol {F}})$ ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det({\boldsymbol {F}})$ 할 수 있습니다. ${\boldsymbol {F}}$ { \ $displaystyle$ { \ $bold$ symbol { $F}$ } } } 。여러 가지 가능성이 존재하며^[5], 그 중 칼리스케-로터 확장이 상당히 정확한 것으로 밝혀졌다.이 확장을 통해 Arruda-Boyce 변형 에너지 밀도 함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

\displaystyle W=D_{1}\left({\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\alpha^{i}~(\overline {I}_{1}^{i}-3^{i}}}}

$D_{1}$ 서 $({$ 은 $D_{1}$ 재료 상수이고 ${\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}$ 1 $=$ ${\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}$ - ${\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}$ / $({$ }={ $I}_{1}J^{-2/3}.$ 선형 탄성과의 일관성을 위해 $D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}$ $=$ $({$ }= $ttfrac$ { $kappa }{$ 2})가 $D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}$ $D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}$ 합니다. $\kappa$ 서 ${\$ {\ $displaystyle \kappa }$ 는 $\kappa$ 벌크 계수입니다.

일관성 조건

비압축성 Arruda-Boyce 모델이 $\mu$ μ {\ $displaystyle \mu}$ 를 $\mu$ 재료의 전단 계수로 하여 선형 탄성과 일치하려면 다음 조건을 충족해야 합니다.

{\displaystyle\cfrac\partial W}{\partial I_{1}{\biggr}_{I_{1}=3}={frac{mu}{2}},}

Arruda-Boyce 변형 에너지 밀도 함수에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

{\partial I_{1}=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\partial ^{i-1}~I_{1}^{i-1},

따라서 I $I_{1}=3$ $=$ $({style$ I_ ${1$ }= $3$

\displaystyle \mu = 2C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i,\alpha _{i}~\display ^{i-1}~I_{1}^{i-1},}

$\alpha _{i}$ i $($ _ ${i})$ $\alpha _{i}$ 을 $\alpha _{i}$ 대입하면 일관성 상태로 이어진다.

\displaystyle \mu = C_{1}\left(1+{\tfrac {3}{5\tfracda _{m}^{2}}+{\tfrac {99}{175\tfracda _{m}{4}}+{\tfrac {875\tda _{m}^6}}}+{\tfrac {tfrac}{7}{7}}

응력-변형 관계

압축할 수 없는 Arruda-Boyce 모델에 대한 코시 강세는 다음과 같다.

{\boldsymbol {1}=-p~{\boldsymbol {}+2~{\boldsymbol {B}=-p~{\boldsymbol {1}+{\sum}_2_1~{\sum}_sum}I_{1}^{i-1}\right]{\boldsymbol {B}

단축 확장

다양한 초탄성 재료 모델과 비교하여 Arruda-Boyce 모델에 대한 단축 확장에 따른 응력 변형 곡선.

$(\$ 방향의 $\mathbf {n} _{1}$ 단축 확장의 경우, 주요 스트레칭은 $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}$ 、 $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}$ $=$ $(\$ _ ${1$ }=\ $displayda _{2$ $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ 1 $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ )입니다.따라서 $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ 3 $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ / ${\$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ { $}^{2$ } = \ $displayda$ _ { }^{2} = 1 / \ $displayda$ $\lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda$ 입니다. 따라서,

I_{1}=\lambda _{1}^2}+\lambda _{2}+\lambda _{3}^{2}+{\lambda }}~

왼쪽 코시-녹색 변형 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

{\boldsymbol {B}=\lambda {n}_{1}\otimes \mathbf {n}_{1}+{\displayda }}~({2}\otimes \mathbf {n}_{n})_{1}+{{\displaybf {n}_mathbf

만약 주요 스트레칭의 방향이 좌표 기저 벡터에 의해 방향지어진다면, 우리는

{displaystyle {11}&=p+2C_{1}\lambda ^{2}\left[\sum _{i=1}^5}i~\alpha _{i}~\lambda ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]\\\sum _{22}&=-p+{\sumac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\sum ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{33)~\end { aligned}

$\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ 22 $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ 33 $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ \ $displaystyle$ \ $display$ style _ { $22$ } = \ $display$ _ { $33$ } = $\sigma _{22}=\sigma _{33}=0$ 0 $}$ 、

p=paramac {2C_{1}}{\lambda}}}\left[\sum _ {i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\alpha ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.

그러므로,

\displaystyle _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\lambda }}\right[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\left]I_{1}^{i-1}\right]~.}

$\lambda -1\,$ 스트레인은 $\lambda -1\,$ - $\lambda -1\,$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ - $1$ , $\lambda -1\,$ 입니다.엔지니어링 스트레스는

\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\sigma = 2C_{1}\left(\lambda - {\sigma ^{2}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\sigma ^{-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}

등축 확장

$(\$ $\mathbf {n} _{2}$ $(\$ 방향의 $\mathbf {n} _{2}$ 등축 확장의 경우, $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ 스트레칭은 $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ 1 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$ $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$ 2 $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $displayda$ _ {1} = \ $displayda$ _ { 2 \ displaybda _ { 2 = \ discda _ {2} $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,$ \ discraptabless da $222$ da 2 da 222 da _ ${1}~\sqda_{2}~\sqda_{3}=1$ 따라서 $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$ 3 $1$ / $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$ 2 { $display$ style \ $sqda_{3$ } = 1 / \ $sqda^{$ 2} , $\lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,$ } 입니다.

I_{1}=\lambda _{1}^2}+\lambda _{2}+\lambda _{2}=2~\lambda ^{2}+{\lambda ^{4}}~

왼쪽 코시-녹색 변형 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

{\boldsymbol {B}=\lambda ^{2}~\mathbf {n}_{1}+\mathbf {n}_{2}\otimes\mathbf {n}_{2}_{2}+{\mathbf {n}^4}} {n

만약 주요 스트레칭의 방향이 좌표 기저 벡터에 의해 방향지어진다면, 우리는

\displaystyle _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\lambda ^1}{4}\right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\lambda ^{i-1}~\left]I_{1}^{i-1}\right]=\sigma_{22}~.}

$\lambda -1\,$ 스트레인은 $\lambda -1\,$ - $\lambda -1\,$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ - $1$ , $\lambda -1\,$ 입니다.엔지니어링 스트레스는

T_{11}=cfrac {\cfrac}{\cfrac {1}\left(\lambda - {\cflambda ^{5}}\right)\left[\sum _ i = 1 }^5}~\alpha _{i}~}I_{1}^{i-1}\right]=T_{22}~.

평면 연장

평면연장시험은 한 방향으로 변형되는 것을 억제한 얇은 시료에 대하여 실시한다. $({$ 방향의 $\mathbf {n} _{1}$ $\mathbf {n} _{3}$ 평면 확장에 대해 n3({displaystyle \ $mathbf$ {n} _{1} _{1} $=$ $\mathbf {n} _{1}$ 1 $({displaystyle \displaystyle$ \ $mathbf$ {n}) $_{$ 1} $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ const stretchesress stretchesress $λibility$ 1 $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ ressibility ress ress ress ress ress ress $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ ress $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ λ λ λ1 λ for $\lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1$ λ λ1 $\mathbf {n} _{1}$ λ1 λ1 ress1 ress $=$ $1 ({$ $displaystyle$ \ $displayda$ $_{$ 1}~\ $\lambda _{2}=1/\lambda \,$ _{2}= $1/\displayda _{$ 3 $\lambda _{2}=1/\lambda \,$ 1 $\lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1$ $,$

I_{1}=\lambda_{1}^2}+\lambda_{2}+{2}=\lambda^{2}+{\lambda^{2}+1~

왼쪽 코시-녹색 변형 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

{\boldsymbol {B}=\lambda ^{2}~\mathbf {n}_{1}+{\displayac {1}{\displayda ^{2}}~\mathbf {n}_2+b}_mathbf {n}_mathb

만약 주요 스트레칭의 방향이 좌표 기저 벡터에 의해 방향지어진다면, 우리는

\displaystyle _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\lambda ^1}{\right})\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha ^{i}~\left]I_{1}^{i-1}\right]~;~\sigma _{22}=0~;~\sigma _{33)=2C_{1}\left (1-{\cfrac {1}{\cfrac {2}\right}\left[\sum _ {i=1}^5}~{i}~{i}^1-i}_i}_i}입니다.I_{1}^{i-1}\right]~.}

$\lambda -1\,$ 스트레인은 $\lambda -1\,$ - $\lambda -1\,$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ - $1$ , $\lambda -1\,$ 입니다.엔지니어링 스트레스는

T_{11}=cfrac {\cfrac}{\cfrac {1}\left(\lambda - {\cflambda ^{3}}\right)\left[\sum _ i = 1 }^5}~\alpha _{i}~{-1}I_{1}^{i-1}\right]~.

단순 전단

단순 전단 변형을 위한 변형 구배는 다음과 같은 형태를^[6] 가진다.

\displaystyle {\boldsymbol {F}}=\boldsymbol {1}+\display ~\mathbf {e}_{1}\otimes \mathbf {e}_{2}

$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ 서 e $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ 1, $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ 2 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ \ $displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2$ }는 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ 변형 평면에서 참조 직교 기준 벡터이며 전단 변형은 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \displayda - {\displayac {1}{\displayda }}~;;~\displayda _{1}={2}=displayac {1}{\displayda }}~;~\displayda _{3}=1}

매트릭스 형태에서 변형 구배와 왼쪽 코시-녹색 변형 텐서는 다음과 같이 표현될 수 있다.

({displaystyle {F}}=begin{bmatrix}1&\gamma & 0\0&1\end{bmatrix}}~~{\boldsymbol {F}=cdot {boldsymbol {F}^{})T}=begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &\gamma & 1&0&1\end {bmatrix}}

그러므로,

I_{1}=\mathrm {tr}(\boldsymbol {B})=3+\gamma ^{2}

코시의 스트레스는

{\boldsymbol {\mathsymbol {1}+2C_{1}\left[\sum _ {i=1}i~\alpha _{i}~\alpha ^{i-1}~(3+\col^{2}^i-1}\right)~{boldsymbol} {\

고분자 변형 통계역학

Arruda-Boyce 모델은 폴리머 사슬의 통계 역학을 기반으로 합니다.이 접근법에서 각 고분자는 길이 ${displaystyle$ l $l$ 의 $N$ N개의 $세그먼트$ (segment)의 체인으로 기술됩니다.체인의 초기 구성이 랜덤 워크에 의해 기술될 수 있다고 가정하면 초기 체인 길이는 다음과 같습니다.

r_{0}=l440rt {N}

체인의 한쪽 끝이 원점이라고 가정할 경우 $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ x $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ d $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ $dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ ({ $displaystyle dx_{1} dx_{2$ } $dx_{3$ }) ( $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 1, $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , x $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ) $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ( $displaystyle (x_{$ 1} $x_{2$ }, 가우스 { $3$ 의 $dx_1 dx_2 dx_3$ 블록에 체인의 다른 한쪽 끝이 포함되어 있을 가능성이 있습니다 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 네이션은

\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=sq {b^{3}}{\pi ^3/2}}~\exp[-b^{2}(x_{1}^{2}+x_{2})}^{2}+x_{3}^{2} ]~;~~b:=nt{nt}{2Nl^{2}}}

볼츠만 통계역학에서 단일 체인의 구성 엔트로피는 다음과 같습니다.

s=c-k_{B}b^{2}r^{2}

$c$ 서 c $\displaystyle$ c는 $c$ 상수입니다.따라서 n개의 $\style$ n개의 $n$ 체인으로 $이루어진$ 네트워크에서의 총 엔트로피는

\displaystyle \Delta S=-{\tfrac {1}{2}+\flambda _{2}+{2}+\flambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}{B}(I_1}-3)

아핀 변형이 가정된 경우.따라서 변형된 네트워크의 변형 에너지는

({displaystyle W=-\theta},dS=tfrac {1}{2}}nk_{B}\theta(I_{1}-3)}

여기서 $(\displaystyle \theta)$ 는 $\theta$ 온도입니다.

주 및 참고 자료

^ ^a ^b Arruda, E. M. and Boyce, M. C., 1993, 고무 탄성 재료의 큰 신축 거동에 대한 3차원 모델, J. Mech.Phys. 고체, 41(2), 페이지 389-412.
^ Bergstrom, J. S. and Boyce, M. C., 2001, 탄성 네트워크의 변형: 고무 탄성의 분자 수준 변형과 고전 통계 역학 모델의 관계, 고분자, 34(3), 페이지 614-626, do :10.10/79,000ma42.
^ Horgan, C. O. 및 Saccomandi, 2002, G., G., G., G., G., G., Gent 구성 고무 탄성 모델에 대한 분자 통계적 근거, Journal of Elastivity, 68(1), 페이지 167–176.
^ Hiermaier, S. J., 2008, Structures under Crash and Impact, Springer.
^ Kaliske, M. 및 Rothert, 1997, 유한 변형률에서의 고무 유사 재료의 유한 요소 구현에 대하여, Engineering Computations, 14(2), 페이지 216–232.
^ Ogden, R. W., 1984, 비선형 탄성 변형, Dover.

「」를 참조해 주세요.

[AB-1] Arruda, E. M. and Boyce, M. C., 1993, 고무 탄성 재료의 큰 신축 거동에 대한 3차원 모델, J. Mech.Phys. 고체, 41(2), 페이지 389-412.

[Berg-2] Bergstrom, J. S. and Boyce, M. C., 2001, 탄성 네트워크의 변형: 고무 탄성의 분자 수준 변형과 고전 통계 역학 모델의 관계, 고분자, 34(3), 페이지 614-626, do :10.10/79,000ma42.

[Horgan-3] Horgan, C. O. 및 Saccomandi, 2002, G., G., G., G., G., G., Gent 구성 고무 탄성 모델에 대한 분자 통계적 근거, Journal of Elastivity, 68(1), 페이지 167–176.

[4] Hiermaier, S. J., 2008, Structures under Crash and Impact, Springer.

[Kaliske-5] Kaliske, M. 및 Rothert, 1997, 유한 변형률에서의 고무 유사 재료의 유한 요소 구현에 대하여, Engineering Computations, 14(2), 페이지 216–232.

[Ogden-6] Ogden, R. W., 1984, 비선형 탄성 변형, Dover.

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