스트레치 그리드 방식

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스트레치 그리드 방법(SGM)은 탄성 그리드 동작과 관련될 수 있는 다양한 수학 및 엔지니어링 문제의 대략적인 해결책을 찾기 위한 수치 기법이다.특히 기상학자들은 일기예보를^[1] 위해 스트레칭 그리드 방식을 사용하고 엔지니어는 텐트 및 기타 인장 구조물을 설계하기 위해 스트레칭 그리드 방식을 사용한다.

FEM 및 BEM 메쉬 미세화

최근 수십 년 동안 유한 요소 및 경계 요소 방법(FEM 및 BEM)은 산업 공학 설계 및 분석의 주체가 되었다.FEM 또는 BEM을 사용하여 점점 더 크고 복잡한 설계를 시뮬레이션하고 있습니다.그러나 FEM과 BEM 엔지니어링 분석의 일부 문제는 여전히 첨단을 걷고 있습니다.첫 번째 문제는 전처리 단계에서 생성된 초기 데이터의 품질에 크게 좌우되는 엔지니어링 분석의 신뢰성입니다.이 단계에서 자동 요소 메쉬 생성 기법은 복잡한 실제 ^[2]모델 분석에 일반적으로 사용되는 도구가 된 것으로 알려져 있다.FEM과 BEM의 인기가 높아짐에 따라 자동 메쉬 알고리즘을 개선할 동기가 생깁니다.그러나 이러한 알고리즘은 모두 왜곡되거나 사용할 수 없는 그리드 요소를 생성할 수 있습니다.기존 메쉬를 사용하여 품질을 향상시킬 수 있는 몇 가지 기술이 있습니다.예를 들어 스무딩(메쉬 미세화라고도 함)은 요소의 왜곡을 최소화하기 위해 노드 위치를 재배치하는 방법 중 하나입니다.Stretched Grid Method(SGM)를 사용하면 유사 정규 메쉬를 원스텝솔루션으로 쉽고 빠르게 얻을 수 있습니다( 참조).

평면 다각형 단일 일관 등고선에 내장되어 자동화 절차에 의해 생성되는 임의의 삼각 그리드가 있다고 가정하자(그림 1 참조). 물리적 노드 시스템으로 간주되는 그리드가 다수의 왜곡에 의해 왜곡된다고 가정할 수 있다.이 시스템의 총 위치 에너지는 모든 네트워크 세그먼트를 구성요소로 하는 일부 ${\displaystyle n}$$\$displaystyle$\n차원$ 벡터의 길이에 비례한다고 가정합니다.

따라서, 위치 에너지는 다음과 같은 형태를 취한다.

${{displaystyle\Pi=D\sum_{j=1}^{n}{R_{j}}^2}$

어디에

• $\displaystyle\n:$ 네트워크 내의 세그먼트 총수
• ${\displaystyle R_{}}$j \ $displaystyle$\$R_{j}$ - 세그먼트 ${\displaystyle 번호}$j \ $displaystyle \ j$,
• $\displaystyle\D.$ 임의 상수입니다.

세그먼트 ${\displaystyle 번호}$j(\$displaystyle\j)$의 길이는 두 개의 노드 좌표로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${{displaystyle\R=sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21)^2}}}$

또, 모든 노드의${\displaystyle }$좌표 ${\displaystyle \text{벡터}}$ {X$$}(\$displaystyle$\{\X$\})$는 왜곡되지 않은 네트워크에 관련지어져 있으며 좌표${\displaystyle }$벡터 {$′}(\displaystyle \{\X'\})$는 왜곡된 네트워크에 관련지어져 있다고 가정할 수 있습니다.${\displaystyle \text{벡터}}{\displaystyle }${ X $}$ {\$displaystyle \{\X\}}$의 표현은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle \{\X\}=\{X'\}+{\Delta\X\}$

${\displaystyle \text{벡터}}{\displaystyle }${ X $}$ { $displaystyle$ \ { \ X \ $}$$$ination$$ ${\displaystyle \text{vector}}$ { { { { the form { { { the incre { { { {${\displaystyle }$incre { {{\ $Delta$\ X \$$$}$ incre form form2차 형식 ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$ ${$ $displaystyle$의 최소화와$$ 관련되어 있습니다.

${\displaystyle\frac\Pi}{\delta X_{kl}}=0}$

어디에

• ${\displaystyle l}$\ $displaystyle \ l$ - $$이 영역의 내부 노드 번호입니다.
• ${\displaystyle k}$\ $displaystyle$\$k$} - 좌표의 수

모든 변환 후에 우리는 다음의 두 개의 독립적인 선형 대수 방정식을 쓸 수 있다.

$\displaystyle [\A]\{\Delta X_{1}\}=\{\B_{1}\}$

$\displaystyle [\A]\{\Delta X_{2}\}=\{\B_{2}\}$

어디에

• $]$ {$displaystyle$[\$A]$ $$- FEM 조립체의 글로벌 강성 매트릭스와 유사한 띠 형태의 대칭 매트릭스
• ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle \text{δ}{}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1 $}$ { $displaystyle$ \ { \ $Delta$\ X$_$ { 1$}$ }${\displaystyle }${ { { { ${\displaystyle \text{x<img alt="{Delta X\_1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/476fd3380ba789402b40890520d6715facc65ffd" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.82ex; height:2.843ex;">}{}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2$$} { $displaystyle$\ { \$Delta$ \ X _ { 2 \$\}$ :축 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3의 모든 노드의 좌표 증분 벡터
• ${\displaystyle }${ ${\displaystyle \text{B}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $}$ { $displaystyle$\ { \ B$_$ { \ { \ B$$_ { $\$$}$ $$$\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{및<img alt="{ B\_1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4dd53ade75212da3842a09d096df8bf06814bbe5" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.724ex; height:2.843ex;">}{}_{}}$ { ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2$$}: 축 1, 2의 모든 노드의 좌표에 의해 조합된 오른쪽 부품 벡터${\displaystyle .}$

양쪽 시스템의 솔루션은 모든 경계 노드를 보수적으로 유지하며 의사 정규 요소를 가진 왜곡되지 않은 메시에 대응하는 새로운 내부 노드 위치를 얻습니다.예를 들어 그림 2는 삼각형 메시로 덮인 직사각형 영역을 나타낸다.초기 자동 메쉬에는 몇 가지 퇴행성 삼각형(왼쪽 메쉬)이 있습니다.SGM 절차에 의해 생성되는 최종 메쉬(오른쪽 메쉬)는 왜곡된 요소가 없는 의사 규칙적입니다.

위의 시스템은 선형이기 때문에 절차가 한 단계 솔루션으로 매우 빠르게 진행됩니다.또, 최종적인 내부 노드 위치는, 그것을 둘러싼 노드의 좌표 산술 평균의 요건을 만족시켜, 델라우나이 기준도 만족시킨다.따라서 SGM은 라플라시안 및 다른 종류의 스무딩 접근법에 고유한 모든 양의 값을 가지지만 정수값의 최종 행렬 표현으로 인해 훨씬 쉽고 신뢰할 수 있습니다.마지막으로 위의 SGM은 2D 메시뿐만 아니라 균일한 셀로 구성된 3D 메시 및 혼합 또는 과도 메시에도 완벽하게 적용할 수 있습니다.

최소 표면 문제 해결 방법

수학적으로 비평면 폐쇄 곡선에 포함된 표면은 이 곡선을 통과하는 모든 표면 중 면적이 최소인 경우 최소라고 합니다.가장 잘 알려진 최소 표면 샘플은 와이어 프레임으로 둘러싸인 비누 필름입니다.일반적으로 최소 표면을 만들기 위해 변형률의 변화에 관계없이 일정한 프리스트레스를 유지하는 가상의 구성 법칙이 사용됩니다.^[4]최소 표면 문제 해결책에 대한 대체 근사 접근법은 SGM에 기초한다.이 공식을 사용하면 비평면 및 평면 닫힘 등고선에 포함된 표면을 최소화할 수 있습니다.

이 개념은 3D 비평면 등고선에 포함된 표면 부품을 임의의 삼각형 그리드에 의해 근사하는 것입니다.이러한 삼각 그리드를 최소 면적의 그리드로 수렴하려면 위에서 설명한 동일한 두 시스템을 해결해야 한다.세 번째 결절 좌표의 증분은 축 3에서 다음과 같은 방법으로 유사한 시스템에 의해 추가로 결정될 수 있다.

${\displaystyle [\A]\{\Delta X_{3}\}=\{\B_{3}\}}$

세 시스템을 동시에 해결하면 파라미터 ${\displaystyle j}$ $=$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3$${\$displaystyle \,$ {\$displaystyle$ $\,1$,2$,$$3$}인 함수$$ {$displaystyle$\,\Pi$$$}$의 최소값으로 인해 비평면 폐곡선에 포함된 대략적인 최소값이 되는 새로운 그리드를 얻을 수 있습니다.

예를 들어 상기 접근법에 의해 계산된 카테노이드의 표면을 그림 3에 나타낸다.고리의 반지름과 카테노이드의 높이는 1.0이다.SGM에 의해 결정된 카테노이드 표면의 수치 면적은 2,9967189이다(정확한 값은 2.992).

인장 패브릭 구조물이 소견

구조 분석의 경우 일반적으로 구조의 구성은 i priori로 알려져 있다.이는 텐션 패브릭 구조와 같은 인장 구조에는 해당되지 않습니다.장력구조 내의 막은 휨강성을 가지지 않기 때문에 그 형태 또는 구성은 초기 프리스트레스와 그것이 받는 하중에 따라 달라진다.따라서, 하중 지지 거동과 막의 모양은 분리될 수 없으며 일반적으로 단순한 기하학적 모델만으로 설명할 수 없다.막 형태, 구조물의 하중 및 내부 응력은 평형 방정식을 만족시키기 위해 비선형 방식으로 상호작용합니다.

장력 구조의 예비 설계에는 형태 발견이라고 하는 초기 구성의 결정이 포함된다.평형 조건을 충족하는 것 외에, 초기 구성은 건축(미학) 및 구조(강도 및 안정성) 요구사항을 모두 수용해야 합니다.또한 공간과 간극의 요건을 충족해야 하며, 막의 주응력은 주름이 생기지 않도록 인장되어야 하며, 이중 곡면의 반지름은 면외 하중에 강하고 구조적 안정성을 보장할 수 있을 정도로 작아야 한다(작업).FEM을 기반으로 한 형태 찾기 접근법에 대한 몇 가지 변형은 장력 구조 설계 시 엔지니어를 지원하기 위해 개발되었다.이들 모두는 다양한 하중을 받는 장력 구조의 거동을 분석하는 데 사용되는 것과 동일한 가정에 기초한다.그러나 일부 연구자들에 의해 지적된 바와 같이 장력 구조 설계에서 소위 '최소 표면'을 사용하는 것이 선호될 수 있다.

SGM의 물리적 의미는 단단한(또는 탄력적인) 3D 등고선에 내장된 임의의 그리드 구조의 에너지를 임의의 그리드 노드 쌍 사이의 최소 합계에 해당하는 최소값으로 수렴하는 데 있다.이것은 그리드 구조 합계의 에너지 최소 소견을 대체하는 최소 표면 에너지 문제 솔루션을 가능하게 하며, 이는 일반적인 FEM 공식보다 훨씬 더 단순한 최종 대수 방정식 시스템을 제공한다.SGM의 일반화된 공식은 다양한 외부 효과의 모델링을 가능하게 하는 그리드 구조 노드에 일련의 외력과 강성 또는 탄성 구속조건을 적용할 가능성을 전제로 한다.이러한 SGM 공식에 대해 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}^{2}+\sum _{i=1}^3}\left(\sum _{k=1}^{m)}C_{ik}\Delta X_{ik}^2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right}$

어디에

• ${\displaystyle$ \n$}$ - 그리드 세그먼트의 총수
• ${\displaystyle$ \m$}$ - 노드의 총수
• ${\displaystyle R_{}}$j \ $displaystyle$\$R_{j}$ - 세그먼트 ${\displaystyle 번호}$j \ $displaystyle \ j$,
• ${\displaystyle D_{}}$j \ $displaystyle$\ $D_{j$$\}$ - 세그먼트 ${\displaystyle 번호}$ j$\$ $displaystyle \ j$의 강성,
• $X$ k $\ displaystyle$ \ $Delta X_{$ik} - 축 i \$displaystyle$$\$ i$$에서의 $노드$ k $\ displaystyle \$ k$$ 의 좌표 ${\displaystyle 증가}$,
• ${\displaystyle {\mathrm{Ci}}_{}}$k \ $displaystyle$\ $C_{ik$$\}$ - 축$i$의 $노드$k \$displaystyle$$$\$$k에서$$ 탄성 구속의 강성,
• ${\displaystyle {\mathrm{Pi}}_{}}$ k$$\ $displaystyle$ \$P_{ik$$\}$ - 축$$의 ${\displaystyle 노드}$k \$displaystyle$ $\$$$$k$의 외력.

문제 전개 및 절단 패턴 생성

일단 양호한 형상이 발견되면 절단 패턴을 생성할 수 있다.장력 구조는 크기, 곡률 및 재료 강성이 매우 다양합니다.절단 패턴 근사치는 이러한 요인 각각과 강하게 관련되어 있습니다.가능한 근사치를 최소화하고 신뢰할 수 있는 평면 천 데이터를 생성하는 절단 패턴 생성 방법은 필수적입니다.

목표는 이상적인 이중 곡선 스트립에 가능한 가깝게 이러한 데이터로 설명된 형상을 개발하는 것이다.일반적으로 절단 패턴 생성에는 두 가지 단계가 포함됩니다.먼저 텐션 구조의 글로벌 표면을 개개의 천으로 분할한다.두 번째 단계에서 해당하는 절단 패턴은 각 천 스트립을 가져다가 평면 영역에 펼치는 것만으로 찾을 수 있습니다.이상적인 이중 곡면 막 표면의 경우, 지표면은 단순히 펼쳐질 수 없으며 평탄화되어야 한다.예를 들어 ^[6][7]평탄화 문제 해결에는 SGM이 사용되고 있습니다.

절단 패턴 생성 문제는 실제로 두 가지 독립적인 공식으로 세분됩니다.이들은 각 천 스트립을 펼치는 왜곡 없는 평면 형태와 단순하게 펼 수 없는 평탄한 이중 곡면의 생성이다.문제를 주의 깊게 연구하면 미분 기하학의 위치에서 두 공식 모두 동일하다는 것을 알 수 있습니다.곡선과 영역의 불변성 사이의 불변 각도와 불변성 사이의 불변성 때문에 동시에 등각 매핑이 되는 평면 영역에 대한 표면의 등각 매핑으로 간주할 수 있다.또, 정밀하게 전개할 수 있는 단일 곡면의 경우, 직물 구조의 절삭 패턴을 왜곡 없이 얻을 수 있다.두 번째 유형의 지표면은 패브릭 특성에 의해 제한된 선형 지표면 요소의 왜곡이 있는 경우에만 대략적으로 동일한 면적으로 매핑할 수 있습니다.첫 번째 2차 형식이 다음과 같이 기록될 수 있도록 두 표면이 매개 변수화된다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d}u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

미분 기하학으로 공식화된 두 표면에 대한 등각 매핑 조건은 다음을 요구한다.

$(\displaystyle {I_{2}}=\lambda {\displayrt {I_{1}}})$

${\displaystyle 여기}$서 ${\$ \ \ $displaystyle \ displayda }$는 컨포멀 매핑에 의한 표면 왜곡 비율입니다.

첫 번째 2차 형식은 2개의 표면점$, v)$과${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle \mathrm{d}uu}$,${\displaystyle }$v + ${\displaystyle \mathrm{d}}$v v $)$ $사이$의 거리(u + d u, v + d ${\displaystyle v}$ v ${\displaystyle )(}$u +\operatorname ${d}$u, $v+\operatorname {d}$ v$\})$를 반영하는 것으로 알려져 있습니다. $,$ \$displaystyle \lambda$ 1에$$ 가깝습니다$.$곡선 사이의 불변각과 영역의 불변성 때문에 각각 ric 매핑과 equi-area 매핑을 수행합니다.형태 발견의 첫 번째 단계는 표면의 삼각형 망사에 기초하고 평면 영역에 대한 최소 표면의 등각 및 등면적 매핑을 설명하기 위해 가중 잔차 방법을 사용하여 곡선 삼각형의 세그먼트를 따라 적분의 합으로 정의된 다음 함수를 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Pi = D\sum _{j=1}^{n}\point _{S_{j}w_{j}\left(\lambda {\lambda {I_{1}}-{\sqrt {I_{2}}\right)^2}\operatorname {d}s}s}$

어디에

• ${\displaystyle n}$ $\$ $displaystyle$\$n$} - 그리드 셀의 총수
• ${\displaystyle w_{}}$ j$$\ $displaystyle$\ $w_{j}$ : 중량비,
• $π { displaystyle$ \ \ Pi$$} - 총 매핑 잔차,
• $(\$$displaystyle$\D) - 최종 결과에 영향을 주지 않고 스케일비로 사용할 수 있는 상수입니다.

${\displaystyle {추가적}_{}}$인 ${\displaystyle 무게비{}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{w}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$1 {$displaystyle$ \ _ {$j$}$$= 1 }을 고려하여 eqn을 표면 그리드의 노드 간 선형 거리의 조합인 대략적인 유한 합으로 변환하고 최소한 다음과 같은 비선형 함수의 최소값으로 등면적 표면 매핑의 기본 조건을 작성할 수 있다.

$\displaystyle \Pi = D\sum _{j=1}^{n}\point _{S_{j}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^2}\operatorname {d}s}$

어디에

• ${\displaystyle R_{}}$j \ $displaystyle$\$R_{j}$ : 선형 세그먼트 ${\displaystyle 번호}$j \ $displaystyle \ j$,
• ${\displaystyle L_{}}$j \ $displaystyle$\$L_{j}$ - 세그먼트 ${\displaystyle 번호}$j \ $displaystyle \ j$의 마지막 길이,
• ${\$ \$displaystyle$ \$displayda$}$$ - 왜곡비가 1에 가깝고 세그먼트마다 다를 수 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.

세그먼트 $j$의 처음과$마지막$ 길이는 다음과 같이 두 개의 노드 좌표로 평소처럼 표현할 수 있다.

${{displaystyle R=sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21)^2}+(X_{31)^2}}}}$

${{displaystyle L=sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21)^2}}}$

어디에

• ${\displaystyle {Xi}_{}}$ \ $displaystyle$\ $X_{ik}$ - 초기 세그먼트의 노드 좌표
• ${\displaystyle x_{}}$ i $(\displaystyle\x_{$ik}):$$ 최종 세그먼트의 노드 좌표.

초기 가정에 따르면 평면 표면 매핑에 ${\displaystyle {\mathrm{대해}}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle 31}$ $=$ 0 {$displaystyle$ \ $x$_ { 32 $=$x _ { $31$ } = $0$} 이라고 쓸 수 있습니다.벡터${\displaystyle }${ ${\displaystyle \text{x}}$ $}$ { $displaystyle$ \ { \ x \$$$\}{\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{및<img alt="{ x}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/df85797480d5ceece1071876c9a9a736eb8fae3e" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.235ex; height:2.843ex;">}}$ { X$$} { $displaystyle$\ { \$X$ \ } 의$$ 표현은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\displaystyle \{\x\}=\{X\}+{\Delta\X\}$

벡터${\displaystyle }${ ${\displaystyle \text{x}}$ X$}$ { $displaystyle$ \ { \ $Delta$\$$X \$$}의$$ 정의는 이전과 같습니다.

${\displaystyle\frac\Pi}{\delta X_{kl}}=0}$

변환 후에 우리는 비선형 대수 방정식의 다음 두 개의 독립적인 시스템을 쓸 수 있다.

$\displaystyle [\A]\{\Delta X_{1}\}=\{B_{1}\}+{\Delta P_{1}\}$

${\displaystyle [\A]\{\Delta X_{2}\}=\{B_{2}\}+{\Delta P_{2}\}$

여기서 시스템의 모든 부분을 이전과 같이 표현할 수 있으며 $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 1 $}$ { \ $displaystyle \$ { \ \ $Delta$ P _ { \ { \ $Delta$ P _ { { \$$}$$}${\displaystyle }${ {$$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 $}$ $vectors$ vectors 1 vectors 1 11 , 2 axes axes 1 1 1 1 1 axes 1 1 1 where where where where where where where where of of of where where where where where of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{j=1}^{N}\lambda {Frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt}\right\}}}}$

어디에

• ${\displaystyle$ \ $N}$ - 노드 ${\displaystyle 번호}$t {\$displaystyle$\$t$를 둘러싼 노드의 총 수
• $\displaystyle\l:$ 글로벌 축의 수.

위의 접근방식은 SGM의 또 다른 형태이며, 어떤 표준 반복 절차로도 풀 수 있는 비선형 대수 방정식의 두 개의 독립된 시스템을 얻을 수 있다.표면의 가우스 곡률이 적을수록 평면 매핑의 정확도가 높아집니다.원칙적으로 평면 매핑은 최종 표면의 대응하는 공간 라인보다 1~2% 작은 선형 치수의 패턴을 얻을 수 있다.그래서 패턴을 만들 때 적절한 마진을 제공할 필요가 있다.

컷아웃의 전형적인 샘플(컷아웃, 고어(세그먼트) 또는 패치라고도 함)은 그림 9, 10, 11에 나와 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 메쉬 생성
• 메쉬의 종류

레퍼런스

외부 링크

• K3-인장성 직물 구조물의 형틀 찾기 및 절단용 텐트 시스템
• 쿠반텐트