모스토우 강성 정리

수학에서 모스토우의 경직성 정리, 즉 강한 경직성 정리, 또는 모스토우-프라사드 경직성 정리에서는 기본적으로 2보다 큰 차원의 완전하고 유한 볼륨 쌍곡 다지관의 기하학은 근본 그룹에 의해 결정되며 따라서 고유하다고 기술하고 있다.이 정리는 모스토우(1968년)에 의해 폐쇄 다지관에 대해 증명되었고, 마르덴(1974년)에 의해 3차원으로, 프라사드(1973)에 의해 최소 3차원에서 유한 체적 다지관으로 확장되었다.그로모프(1981)는 그로모프 규범을 이용한 대체 증거를 제시했다.베손, 쿠르투아 & 갈로트(1996)는 가장 간단한 증거를 제시했다.

로사 g의 쌍곡선 표면을 위하는 동안 정리가(완전한)쌍곡선 구조 유한한 볼륨의 변형 공간 쌍곡선 n을 보여 주{n\displaystyle}-manifold(n을에;2{\displaystyle n>2})이, 1{\displaystyle g> 1}이 치수에 6g6{\displaystyl −moduli 공간이 있었다.e6g-6}무엇는 일정한 곡률(차이점형까지)의 모든 지표를 매개변수로 나타내며, 이는 타이히뮐러 이론에 필수적인 사실이다.무한대 볼륨 다지관의 쌍곡구조 변형공간에 대한 3차원 이론도 풍부하다.

정리

정리는 기하학적 공식(유한 체적, 완전한 다지관에 대한 강조)과 대수적 공식(Lie 그룹의 격자에 대한 강조)으로 주어질 수 있다.

기하형식

$H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 차원$$ 쌍곡선 공간으로 두십시오$$.완전한 쌍곡선 다지관은 자유롭고 적절하게 불연속적으로 작용하는 등각류 그룹에 의해$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$의 몫으로 정의할 수 있다(완료된 부분 곡률 -1을 가진 리만 다지관으로 정의한 것과 동일).부피 형태의 적분이 유한할 경우(예를 들어, 콤팩트할 경우) 유한 부피다.모스토우 경성 정리는 다음과 같이 명시될 수 있다.

Suppose ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are complete finite-volume hyperbolic manifolds of dimension ${\displaystyle n\geq 3}$. If there exists an isomorphism ${\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}$ then it is induced by a unique isometry from ${\di$$Splaystyle{\displaystyle }$ $M}$ ~ N$$ ${\displaystyle$ N$\}.$

Here ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ is the fundamental group of a manifold ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle X}$ is an hyperbolic manifold obtained as the quotient of ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ by a group ${\displaystyle \Gamma }$ then ${\displaystyle \p$$i _{1}(X)\cong \감마$ $\}.$

동등한 진술은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$까지의 모든 호모토피 동등성은 고유한 등가계로 균등화할 수 있다는$$ 것이다.그 증거는 $실제로{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$이($가{\displaystyle }$)$$M {\$displaystyle$ M$}$보다 큰 차원을 가지고$$ 있다면 그들$$ 사이에 동종 복피 동등성이 있을 수 없다는 것을 보여준다.

대수형

The group of isometries of hyperbolic space ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ can be identified with the Lie group ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ (the projective orthogonal group of a quadratic form of signature ${\displaystyle (n,1)}$. Then the following statement is equivalent to the on위쪽에

Let ${\displaystyle n\geq 3}$ and ${\displaystyle \Gamma }$ and ${\displaystyle \Lambda }$ be two lattices in ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ and suppose that there is a group isomorphism ${\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }$. Then ${\displaystyle \Gamma }$ and $$${\displaystyle \Lambda }$ are conjugate in ${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$. That is, there exists a ${\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}$ such that ${\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}$.

대체로

모스토우 강성은 최소 3차원 국소 대칭 공간의 모든 완전하고 유한한 부피의 기본 그룹에 대해 또는 $S$ L$2$ (${\displaystyle R\mathbb{}}$ )에 로컬로 이형성이 아닌 단순 $Lie$ 그룹의 모든 격자에 대한 대수적 공식에 더 일반적으로 ($기하학적$ 공식에$)$ 고정시킨다$.$

적용들

모스토우 경성 정리에서는 유한 체적 쌍곡선 n-manifold M (n >2)의 등소계 집단이 유한하며 ${\displaystyle \mathrm{Out}}$ 1${\displaystyle }$(${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M)})}$에 이형성이 유한하다는 것을 알 수 있다$.$

또한 모스토우 강성은 삼각형 평면^{[citation needed]} 그래프의 원 패킹 표현의 특수성을 입증하기 위해 Thurston에 의해 사용되었다.

모스토우에게 기하학적 집단 이론에 대한 관심의 경직성의 결과는 준 등축적이지만 서로 상응할 수 없는 쌍곡선 집단이 존재한다는 것이다.

참고 항목

• 초강성, 상위권에 대한 더 강력한 결과
• 국부 강성, 반드시 격자가 아닌 변형에 대한 결과.

참조

• Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Minimal entropy and Mostow's rigidity theorems", Ergodic Theory and Dynamical Systems, 16 (4): 623–649, doi:10.1017/S0143385700009019
• Gromov, Michael (1981), "Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)", Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 (PDF), Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 40–53, doi:10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636516, archived from the original on 2016-01-10
• Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics, Second Series, 99 (3): 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971059, MR 0349992, Zbl 0282.30014
• Mostow, G. D. (1968), "Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms", Publ. Math. IHES, 34: 53–104, doi:10.1007/bf02684590
• Mostow, G. D. (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces, Annals of mathematics studies, vol. 78, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Strong rigidity of Q-rank 1 lattices", Inventiones Mathematicae, 21 (4): 255–286, doi:10.1007/BF01418789, ISSN 0020-9910, MR 0385005
• Spatzier, R.J.(1995년),"Harmonic 분석 강성론에", 피터슨, 칼 E에서의, 살라마, 이브라힘 A(eds.), Ergodic 이론과 그 연결 Harmonic 분석을, 저자들은 1993년 알렉산드리아 회의의 캠브리지 대학 출판부를 대신하여 서명함. 153–205, 아이 에스비엔 0-521-45999-0.(경직성 이론의 비롯한 다양한,에 대한 조사를 제공합니다. 그 리 그룹, 대수적 단체와 흐름의 역학 관련된 문제였다. 230개의 참조를 포함한다.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes. (두 가지 증거를 제시한다. 하나는 모스토우의 원래 증거와 비슷하며, 다른 하나는 그로모프 규범에 근거한다.)