접근 불가능한 추기경

세트 이론에서, 추기경 산수의 통상적인 연산으로 작은 추기경들로부터 얻을 수 없다면 셀 수 없는 추기경은 접근할 수 없다.더 정확히 말하면 추기경 $κ$ 은 헤아릴 수 없는 경우 강하게 접근할 수 없으며, $κ$ 이하의 추기경 $κ$ 의 합이 아니며 $\alpha <\kappa$ $\alpha <\kappa$ < $\alpha <\kappa$ {\ $displaystyle$ \alpha <\ $kappa }}$ 은 $2^{\alpha }<\kappa$ < $2^{\alpha }<\kappa$ {\ $displaystyle$ 2 $^{\alpha }}}}}$ 을 내포하고 $\alpha <\kappa$ 있다 $2^{\alpha }<\kappa$

접근 불가능한 추기경이라는 용어는 모호하다.1950년경까지는 "약하게 접근하기 어려운 추기경"을 의미했지만, 그 이후로는 대개 "강력하게 접근하기 어려운 추기경"을 의미한다.헤아릴 수 없는 추기경은 정기적인 약한 한계 추기경이라면 약하게 접근할 수 없다.일반적인 강한한계 추기경(이것은 위에서 주어진 정의와 동일하다)이라면 강력하게 접근할 수 없거나, 단지 접근할 수 없다.일부 저자는 약하고 강력하게 접근하기 어려운 추기경을 계산할 필요가 없다(이 경우 $\aleph _{0}$ ${\$ 접근성이 약한 추기경들은 하우스도르프(1908)에 의해 소개되었고, 시르피에스키&타르스키(1930)와 제르멜로(1930)에 의해 강력하게 접근하기 어려운 추기경들이 소개되었다.null

모든 강력한 한계 추기경들은 또한 약한 한계 추기경이기 때문에 접근하기 어려운 모든 추기경들도 약하게 접근하기 어렵다.일반화된 연속체 가설이 유지된다면, 추기경은 약하게 접근할 수 없는 경우에만 강하게 접근할 수 없다.null

$\aleph _{0}$ ${\$ aleph-limit)은 규칙적으로 강한 한계 추기경이다.선택의 공리를 가정하면, 다른 모든 무한 추기경 수는 정규 또는 (약) 한계다.그러나 다소 큰 기수만이 둘 다 될 수 있고 따라서 약하게 접근할 수 없다.null

서수(書水)는 일반 서수(書水)이며, 정규 서수의 한계인 경우에만 약하게 접근하기 어려운 추기경이다.(0, 1 및 $Ω$ 은 정규 서수이지만 정규 서수의 한계는 아니다.)약하게 접근할 수 없고 또한 강력한 제한 추기경도 접근할 수 없다.null

강하게 접근하기 어려운 추기경의 존재에 대한 가정은 때때로 두 사상이 밀접하게 연결되어 있는 그로텐디크 우주 안에서 일할 수 있다는 가정의 형태로 적용되기도 한다.null

모델 및 일관성

초이스(ZFC)를 이용한 제르멜로-프렌켈 세트 이론은 $κ$ 이 강하게 접근할 수 없을 때마다 ZFC의 모델임을 암시한다. $그리고$ ZF는 괴델 우주 $L$ 이_κ 약하게 접근할 수 없을 때마다 ZFC의 모델임을 암시한다.따라서 ZF와 "약하게 접근하기 어려운 추기경이 존재한다"는 것은 ZFC가 일관성이 있다는 것을 의미한다.따라서 접근하기 어려운 추기경은 대형 추기경의 일종이다.null

만약VZFC의 표준 모델이며, $κ$ 은 다음에 접근할 수 없다.V, 그렇다면: Zermelo-Fraenkel set 이론의 의도된 모델 중 하나이며, $Def() V κ$ 는 멘델슨 버전의 Von Neumann-Bernays–의 의도된 모델 중 하나이다.Gödel 집합 이론은 크기 제한을 대체 및 일반적인 선택으로 대체하며, Morse-Kelley 집합 이론의 의도된 모델 중 하나이다.여기서 Def (X)는 X의 Δ₀ 정의 가능한 하위 집합이다(구축 가능한 우주 참조).단, f은 ZF의 표준 $모델$ 이 되기 위해 접속 불가, 또는 기수 번호(아래 참조)가 될 필요는 없다.null

$V$ 가 ZFC의 모델이라고 가정하자.V에는 강력한 접근성이 없거나, $in$ 에서 가장 작은 접근 불가능한 것으로 간주하여 강력한 접근성이 없는 ZFC의 표준 모델이다.따라서 ZFC의 일관성은 ZFC+의 일관성을 의미한다.마찬가지로, $V$ 중 하나에 약한 접근성이 없거나, $κ$ 을 어떤 표준 $하위$ 모델에 비해 약하게 접근할 수 없는 가장 작은 서수로 간주하여, L은 $약한 κ$ 접근성이 없는 ZFC의 표준 모델이다.따라서 ZFC의 일관성은 ZFC+의 일관성을 의미한다.이는 ZFC가 접근하기 어려운 추기경의 존재를 증명할 수 없다는 것을 보여주는 것이어서 ZFC는 접근하기 어려운 추기경의 존재와 일치한다.null

ZFC가 접근하기 어려운 추기경의 존재와 일치하는지 여부는 더욱 미묘하다.ZFC의 일관성이 ZFC + "접근 불가능한 추기경이 없다"의 일관성을 내포하고 있다는 증거는 ZFC에서 공식화할 수 있다.그러나 ZFC가 일관성이 있다고 가정할 때 ZFC의 일관성이 ZFC + "접근 불가능한 추기경이 있다"의 일관성을 내포하고 있다는 증거는 ZFC에서 공식화할 수 없다.이는 괴델의 두 번째 불완전성 정리에서 나온 것으로, ZFC + "접근할 수 없는 추기경이 있다"가 일관성이 있다면 그 자체의 일관성을 증명할 수 없다는 것을 보여준다.ZFC + "접근할 수 없는 추기경이 있다"는 것은 ZFC의 일관성을 증명하기 때문에 ZFC 자체의 일관성이 ZFC + "접근할 수 없는 추기경이 있다"는 것을 ZFC의 일관성을 내포하고 있다는 것을 증명한다면 이 후자 이론은 그 자체의 일관성을 증명할 수 있을 것이며, 일관성이 있다면 불가능한 것이다.null

ZFC에서 공식화할 수 없는 접근 불가능한 추기경의 존재에 대한 주장이 있다.Hrbachek & Jech(1999, 페이지 279)가 제시한 그러한 주장 중 하나는, 만약 M을 확장하고 M 원소의 힘을 보존하는 더 큰 집합 이론의 모형이 있다면, 집합 이론의 모든 서수 그 자체가 접근하기 어려운 추기경이 될 것이라는 것이다.

적절한 등급의 비액세스 가능성의 존재

집합론에는 관심사를 만족시키는 적절한 등급의 추기경의 존재를 주장하는 많은 중요한 공리들이 있다.접근불능의 경우, 해당 공리는 모든 기체 μ에 대해 완전히 큰, $μ$ μ μ $μ$ μ μ μ μ μs가 접근불능인 추기경이 있다는 주장이다.따라서 이 공리는 접근하기 어려운 추기경들의 무한한 탑의 존재를 보장한다(때로는 접근하기 어려운 추기경 공리라고 칭하기도 한다).접근하기 어려운 추기경의 존재에 대해서도 그렇듯이, 접근하기 어려운 추기경 공리는 ZFC의 공리로부터 증명할 수 없다.ZFC를 가정하면 접근 불가능한 추기경 공리는 그로텐디크와 베르디에의 우주 공리와 같다. 모든 세트는 그로텐디크 우주에 들어 있다.우주 공리(또는 동등하게 접근 불가능한 기본 공리)와 함께 ZFC의 공리는 ZFCU(요소가 있는 ZFC와 혼동될 수 있음)로 표시된다.이 자명 시스템은 예를 들어 모든 범주에 적절한 요네다 임베딩이 있다는 것을 증명하는 데 유용하다.null

이는 다음 절의 언어로 ∞이 1-inaccessible이라고 말하는 것과 같기 때문에 상대적으로 약한 대형 추기경 공리인데, 여기서 ∞은 V, 즉 모형의 모든 서수 클래스를 나타내지 않는다.null

α파수 추기경 및 초파수 추기경

"α-무적 추기경"이라는 용어는 모호하고 서로 다른 저자들이 불평등한 정의를 사용한다.한 가지 정의는 추기경 $κ$ 을 α-inaccessible, 임의의 서수 α에 대해, 만일 $κ$ 에 접근할 수 없고 모든 서수 β < α에 대해, $κ$ 보다 작은 β-inaccessibles의 집합은 $κ$ 에 구속되지 않는다(따라서 카디널리티 $κ$ 은 정규적이기 때문에).이 경우에 0인치의 추기경들은 강력한 접근의 추기경들과 같다.또 다른 가능한 정의는 $κ$ 이 규칙적이고 모든 서수 β < α에 대해 $κ$ 미만의 β-취약성 비접속성 세트가 κ에 구속되지 않는 경우 α-취약성이라고 불린다.이 경우 접근성이 0약한 추기경들은 일반 추기경이고 접근성이 약한 추기경들은 접근성이 약한 추기경들이다.null

접근 가능한 α-inaccess 추기경들은 또한 낮은 접근 불가능성을 계산하는 고정된 기능의 지점으로 설명될 수 있다.예를 들어 inaccessible₀^th₀(λ)가 접근하기 어려운 추기경을 가리켜 (의 고정 지점은 1 접근하기 어려운 추기경이다.그런 다음 ψ_β(λ)을 β^th(β)로 접근 불가능한 추기경이 되게 하고, ψ의_β 고정 지점은 (β+1) 접근 불가능한 추기경(λ_β+1)이다.α가 한계 서수인 경우, β < α에 대해 α-inaccessible은 모든 α의_β 고정점이다(값 ψ_α(λ)은 그러한^th 추기경이다).연속적으로 더 큰 추기경을 생성하는 기능의 고정 지점을 취하는 과정은 일반적으로 큰 추기경 수를 연구하는 데 있다.null

하이퍼 불가침이라는 용어는 모호하며 세 가지 이상의 호환되지 않는 의미를 가지고 있다.많은 저자들이 접근하기 어려운 추기경들의 정기적인 한계(1인 접근 불가)를 의미하기 위해 사용한다.다른 저자들은 $κ$ 이 κ-inaccess할 수 없다는 의미로 사용한다. (그것은 절대 +1-inaccess가 될 수 없다.마를로 추기경을 뜻하는 말로 가끔 쓰인다.null

α-하이퍼 접근 불가 용어도 모호하다.일부 저자들은 α-inaccessible을 의미하기 위해 그것을 사용한다. $다른$ 저자는 임의의 서수 α에 대해 추기경 $α$ 가 하이퍼-하이퍼-액세스할 수 없고 모든 서수 β < α에 대해 $κ$ 미만의 β-하이퍼-액세스 불가물의 집합이 $κ$ 에서 바인딩되지 않은 경우 α-하이퍼-액세스 불가라는 정의를 사용한다.

하이퍼 하이퍼 하이퍼 하이퍼 접근성 추기경 등은 유사한 방법으로 정의될 수 있으며, 평소와 같이 이 용어는 모호하다.null

"접근 불가" 대신 "접근 불가능"을 사용하면 "취약 α-접근 가능", "취약 α-하이퍼-접근 가능" 및 "취약 α-하이퍼-접근 가능"에 대해 유사한 정의를 내릴 수 있다.null

마를로 추기경들은 접근 불가능, 접근 불가능, 접근 불가능, 접근 불가능 등...null

접근 불가능의 두 가지 모델-이론적 특성

만일 κ 다음 반영 재산이 첫째, 카디널 κ:모든 하위 집합 U⊂ Vκ에는 α<>존재하고 접근하기 어렵κ가(Vα, ∈, U∩ Vα){\displaystyle(V_{\alpha},U\cap V_{\alpha ,\in})}은 초등의 하부 구조의(Vκ, ∈, U){\displaystyle(V_{\kappa},\in ,U)}.(에서 fact,. 그그러한 α의 집합은 $κ$ 에서 한없이 닫힌다.) 동등하게, $n$ 은 $\Pi _{n}^{0}$ 0 $\Pi _{n}^{0}$ {\ $displaystyle \Pi$ _ ${n}^{0}}$ - 모든 n ≥에 $\Pi_n^0$ 대해 설명 가능하다.

하위구조물( $V α, \in,$ $U$ ∩ $V α)$ 은 유한한 공식 집합에 관해서만 '초소적'이어야 하는 다소 약한 반사 특성을 만족한다는 것은 ZF에서 증명할 수 있다.궁극적으로 이러한 약화의 이유는 모델-이론적 만족 관계 $⊧$ 은 정의할 수 있지만, 의미론적 진실 그 자체(즉, 타르스키의 정리 때문에 $\vDash _{V}$ $\vDash _{V}$ ${\$ 는 할 수 없기 때문이다.null

둘째, ZFC에서는 ( $V κ, \in)$ 가 2차 ZFC의 모델일 경우에만 $κ$ 에 접근할 수 있음을 보여줄 수 있다.null

이 경우 위의 반영 속성에 의해 (V_α $,$ ∈)이 (첫 번째 순서) ZFC의 표준 모델인 $α$ < $κ$ 이 존재한다.따라서 접근하기 어려운 추기경의 존재는 ZFC의 표준모델의 존재보다 더 강한 가설이다.null

참고 항목

인용된 작품

Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen, 65 (4): 435–505, doi:10.1007/BF01451165, hdl:10338.dmlcz/100813, ISSN 0025-5831
Hrbáček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to set theory (3rd ed.), New York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, ISSN 0016-2736
체르 멜로, 에른스트(1930년),"Über Grenzzahlen Mengenbereiche 운트:neue Untersuchungen Grundlagen 해부 Mengenlehre 죽über"(PDF), Fundamenta Mathematicae, 16:29–47, ISSN 0016-2736.영어 번역:에발, 윌리엄 B.(1996년),"집합론의 기반에 경계 번호와 세트의 도메인: 새로운 조사에", 임마누엘 칸트 다비트 힐베르트까지:소스 북의 수학 기초에, 옥스퍼드 대학 출판부를 대신하여 서명함. 1208–1233, 아이 에스비엔 978-0-19-853271-2.

Search