폰 노이만–베르네이스–괴델 집합론

수학의 기초에서 폰 노이만-베르네이스-괴델 집합론(, NBG)은 ZFC(Zermelo–Frankel–choice set theory)의 보수적인 확장인 공리적 집합론입니다. NBG는 클래스의 개념을 도입하는데, 이는 한정자가 집합에 대해서만 범위를 갖는 공식에 의해 정의되는 집합들의 집합입니다. NBG는 모든 집합의 클래스 및 모든 순서형의 클래스와 같이 집합보다 큰 클래스를 정의할 수 있습니다. 모스-켈리 집합 이론(MK)은 클래스에 걸쳐 양자가 다양한 공식으로 클래스를 정의할 수 있도록 합니다. NBG는 분명히 공리화 가능한 반면 ZFC와 MK는 그렇지 않습니다.

NBG의 핵심 정리는 클래스 존재 정리인데, 이 정리는 한정자가 집합에 걸쳐 있는 모든 공식에 대해 공식을 만족하는 집합으로 구성된 클래스가 있다는 것을 말합니다. 이 클래스는 공식의 단계적 구성을 클래스와 함께 미러링하여 구축됩니다. 모든 집합론적 공식은 두 종류의 원자 공식(멤버십과 평등)과 유한하게 많은 논리적 기호로 구성되기 때문에 이를 만족시키는 클래스를 구축하기 위해서는 유한하게 많은 공리만 필요합니다. 이것이 NBG가 분명히 공리화 가능한 이유입니다. 클래스는 또한 다른 구성, 집합 이론적 역설을 처리하기 위해, 그리고 ZFC의 선택 공리보다 더 강한 전역 선택 공리를 진술하기 위해 사용됩니다.

존 폰 노이만은 1925년에 집합론에 수업을 도입했습니다. 그의 이론의 원초적인 개념은 함수와 논증이었습니다. 이러한 개념을 사용하여 그는 계급과 집합을 정의했습니다.^[1] 파울 베르네이스는 폰 노이만의 이론을 원초적인 개념으로 설정하고 수업을 받음으로써 재구성했습니다.^[2] 쿠르트 괴델은 선택 공리와 일반화된 연속체 가설에 대한 상대적인 일관성 증명을 위해 베르네이스의 이론을 단순화했습니다.^[3]

집합론의 계급

수업의 용도

클래스는 NBG에서 여러 가지 용도로 사용됩니다.

• 그들은 집합 이론의 유한 공리화를 생성합니다.^[4]
• 이들은 "매우 강력한 형태의 선택 공리",^[5] 즉 글로벌 선택 공리를 표현하는 데 사용됩니다. $모든{\displaystyle }$비어 있지 않은 집합의 클래스에 정의된 $전역$ 선택 $함수$ G ${\displaystyle$ G$}$가 있습니다. 모든 비어 있지 않은$$집합 $x$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ G${\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ∈ x${\displaystyle$ G(x)\in x}입니다. ${\displaystyle$ x.}$$ 이것은 ZFC의 선택 공리보다 더 강력합니다. For every set ${\displaystyle s}$ of nonempty sets, there exists a choice function ${\displaystyle f}$ defined on ${\displaystyle s}$ such that ${\displaystyle f(x)\in x}$ for all ${\displaystyle x\in s.}$^[a]
• 집합론적 역설은 일부 클래스는 집합이 될 수 없다는 것을 인식함으로써 처리됩니다. 예를 들어, 모든 서수의 클래스 ${\displaystyle \mathrm{Ord}}$ ${\displaystyle Ord}$가 집합이라고 가정합니다. ${\displaystyle \mathrm{Ord}}$ ${\$$displaystyle$ $Ord}$는 ∈ ${\displaystyle$ \in}에서$$잘 정렬된 과도 집합입니다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$에 따르면 Ord ${\displaystyle$ Ord}는 순서형입니다$.$ 따라서 ${\displaystyle \mathrm{Ord}}$ ∈ $Ord$ {\$displaystyle$ Ord$\$in Ord}을(를) 주문하면 ∈ {\displaystyle \in }이(를) 주문한 것과 모순됩니다. {\displaystyle Ord.}$$ ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ ${\displaystyle \mathrm{Ord}}$ ${\displaystyle Ord}$은(는) 집합이 아닙니다$$. 집합이 아닌 클래스를 올바른 클래스라고 ${\displaystyle \mathrm{하며}}$ ${\displaystyle Ord}$이(가) 올바른$$ 클래스입니다.^[6]
• 적절한 수업은 건축에 유용합니다. 전지구적 선택의 공리와 일반화된 연속체 가설의 상대적 일관성에 대한 그의 증명에서 괴델은 구성 가능한 우주를 구축하기 위해 적절한 계급을 사용했습니다. 그는 각 서수에 대해 이전에 구성된 집합에 집합 구축 연산을 적용하여 구성 가능한 집합을 구성하는 모든 서수의 클래스에 대한 함수를 구성했습니다. 구성 가능한 우주는 이 함수의 이미지입니다.^[7]

공리 스키마 대 클래스 존재 정리

ZFC의 언어에 클래스가 추가되면 클래스가 있는 집합 이론으로 ZFC를 쉽게 변환할 수 있습니다. 먼저 수업 이해의 공리 스키마가 추가됩니다. 이 공리 스키마는 다음과 같습니다. For every formula ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ that quantifies only over sets, there exists a class ${\displaystyle A}$ consisting of the ${\displaystyle n}$-tuples satisfying the formula—that is, ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1\cdots \mathrm{\forall }{x}_n[(x_1,\dots ,x_n)\in A⟺\varphi (x_1,\dots ,}$${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots,x_{n})]].$$}$그런 다음 대체 공리 스키마는 클래스를 사용하는 단일 공리로 대체됩니다. 마지막으로 ZFC의 확장성 공리는 클래스를 처리하기 위해 수정됩니다. 두 클래스에 동일한 요소가 있는 경우 동일합니다. ZFC의 다른 공리는 수정되지 않습니다.^[8]

이 이론은 완전히 공리화되지 않았습니다. ZFC의 대체 스키마는 단일 공리로 대체되었지만 클래스 이해의 공리 스키마가 도입되었습니다.

무한히 많은 공리를 가진 이론을 만들기 위해 먼저 계급 이해의 공리 스키마를 무한히 많은 계급 존재 공리로 대체합니다. 그런 다음 이 공리들은 공리 스키마의 모든 인스턴스를 의미하는 클래스 존재 정리를 증명하는 데 사용됩니다.^[8] 이 정리의 증명은 7개의 클래스 존재 공리만을 필요로 하며, 이것은 공식의 구성을 공식을 만족하는 클래스의 구성으로 변환하는 데 사용됩니다.

NBG의 공리화

클래스 및 세트

NBG에는 클래스와 세트의 두 가지 유형의 개체가 있습니다. 직관적으로 모든 세트도 클래스입니다. 이것을 공리화하는 두 가지 방법이 있습니다. Bernays는 클래스와 집합이라는 두 가지 종류를 가진 다중 분류 논리를 사용했습니다.^[2] 괴델은${\displaystyle }$"A\$displaystyle A}$는 클래스"인 $Cls$ $A)$ {\displaystyle {\${\displaystyle }$${Cls}}(A)$와$$"${\displaystyle }$\$displaystyle A}$는 세트"인$$ $M{\displaystyle \mathfrak{}}$ (${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$는 (독일어로 "집합"은 Menge입니다.) 그는 또한 $모든{\displaystyle }$ 집합은 클래스이며 클래스 A ${\displaystyle A}$가 클래스의 멤버라면 A ${\displaystyle$ A$}$는 집합이라는 공리를 소개했습니다.^[9] 술어를 사용하는 것이 종류를 제거하는 표준 방법입니다. 엘리엇 멘델슨은 $모든$ 것을 클래스로 하고 설정된 술어 M(${\displaystyle A}$)$${\$displaystyle M(A)}$을${\displaystyle }$∃$A$ ∈ C)로 정의하여 괴델의 접근 방식을 수정했습니다. ${\displaystyle$\는 C(A\in C)를 존재합니다.$}$이$$^[10] 수정은 괴델의 계급 술어와 그의 두 공리를 제거합니다.

버네이스의 두 부류 접근법은 처음에는 더 자연스러워 보일 수 있지만, 더 복잡한 이론을 만듭니다.^[b] 버네이스의 이론에서 모든 집합은 두 가지 표현을 갖는데, 하나는 집합이고 다른 하나는 클래스입니다. 또한 두 개의 구성원 관계가 있습니다. 첫 번째는 "∈"로 표시되는 두 집합 사이에 있고 두 번째는 "η"로 표시되는 집합과 클래스 사이에 있습니다. 다양한 종류의 변수가 담론 영역의 서로 다른 하위 영역에 걸쳐 있기 때문에 이 중복성이 여러 분류된 논리에 의해 요구됩니다.

이 두 접근법의 차이점은 증명할 수 있는 것에 영향을 미치지 않지만 문장 작성 방법에 영향을 미칩니다. 괴델의 접근법에서 ${\displaystyle A}$ ${\$$displaystyle$ A$}$와 C ${\displaystyle$ C}가 클래스인$$∈ C {\$displaystyle$ A\in C}는 유효한 문장입니다. 버네이스의 접근법에서 이 진술은 아무런 의미가 없습니다. 그러나 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$가 집합인 경우 다음과 같은 문장이 있습니다. 구성원과 동일한 집합, 즉 클래스 ${\displaystyle x(x}$ ∈$$η x ⟺ A$)$가 있는 경우 "$set$ a$\displaystyle$ a$}$는 ∀ $A$ ${\displaystyle$ A$}$를 나타냅니다$.$${\displaystyle$\$forall$ x(x\in a\iff x\;\eta \;A)"를 정의합니다.$}$ The statement ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ where set ${\displaystyle a}$ represents class ${\displaystyle A}$ is equivalent to Gödel's ${\displaystyle A\in C.}$^[2]

이 글에서 채택한 접근법은 멘델슨을 수정한 괴델의 접근법입니다. 이것은 NBG가 동등성을 갖는 1차 술어 논리에서 공리적 시스템이며, 그것의 유일한 원시 개념은 클래스와 멤버 관계라는 것을 의미합니다.

확장성과 쌍의 정의와 공리

집합은 하나 이상의 클래스에 속하는 클래스입니다. ${\displaystyle$ $}$은 ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle C}$(A$$∈ C${\displaystyle )}${\$displaystyle$ \displaystyle $C$A\in C)}가 존재하는 경우에만 집합입니다. 집합이 아닌 클래스를 올바른 클래스라고 합니다. ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{모든}}$ C(A\n)에 대해 ${\displaystyle C}$$(A$ ∀ C) {\$displaystyle$${\displaystyle }$\을 ${\displaystyle \notin }$하는 경우에만 ${\displaystyle$ A$}$가 올바른 클래스입니다.$otin$ C$)}.$^[12]따라서 모든 클래스는 집합이거나 적절한 클래스이며, 어떤 클래스도 둘 다 아닙니다.

Gödel은 대문자 변수는 클래스에 걸쳐 있고 소문자 변수는 세트에 걸쳐 있다는 규칙을 소개했습니다.^[9] 괴델은 또한 모든 집합의 클래스에 정의된 함수와 관계를 포함하여 특정 클래스를 나타내기 위해 대문자로 시작하는 이름을 사용했습니다. 이 글에서는 괴델의 규칙을 사용합니다. 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

클래스 존재 정리의 증명을 위해서는 다음과 같은 공리와 정의가 필요합니다.

확장성의 공리. 두 클래스에 동일한 요소가 있는 경우 동일합니다.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\imples A=B]}$ ^[13]

이 공리는 ZFC의 확장성 공리를 클래스에 일반화합니다.

짝짓기의 공리. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$가 집합인 경우 $멤버$가 x ${\displaystyle$ $x$$}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y}$인 집합$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$가 있습니다$.$

${\displaystyle \forall x\,\forally\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

ZFC에서와 같이 확장성의 공리는 $집합{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ p$}$의 고유성을 의미하며$,$ 이를 통해${\displaystyle }${${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y\}}$ 표기법을 도입할 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \{x,y\}$

순서 쌍은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

튜플은 순서쌍을 사용하여 귀납적으로 정의됩니다.

${\displaystyle(x_{1})=x_{1}}$

${\displaystyle {\text{For}}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[c]

계급 존재 공리와 규칙성 공리

클래스 존재 공리는 클래스 존재 정리를 증명하는 데 사용됩니다. 집합을 한정하여 수량화하는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$개의 자유 집합 변수에 대해 이를 만족하는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}-$쌍의 클래스가 존재합니다. 다음 예제는 함수인 두 클래스로 시작하여 합성 함수를 작성합니다. 이 예는 클래스 존재 정리를 증명하는 데 필요한 기술을 보여주며, 이는 필요한 클래스 존재 공리로 이어집니다.

예 1: 클래스 $F$ ${\displaystyle$ $F$$}$ $및$ G ${\displaystyle$ $G$$}$가 함수인 경우 합성 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ G ∘ $F$ ${\displaystyle$G\circ F}는 ${\displaystyle \mathrm{다음}\mathrm{공식}}$으로 정의됩니다${\displaystyle :}$ ∃ ${\displaystyle t}$[ ${\displaystyle (x,}$ t${\displaystyle }$) ∈ F$$∧ ($t,$y ) ∈ G ]. {\$displaystyle$ \$exists$ t[(x, t)\in F\,\land \,(t,y)\in G].$}$ Since this formula has two free set variables, ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y,}$ the class existence theorem constructs the class of ordered pairs: ${\displaystyle G\circ F\,=\,\{(x,y):$$\exists t[(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G]\}.}$ 이 공식은 $연결$∧ {\$displaystyle \$land} 및 $존재 수량화$∃ {\displaystyle \exists}을 사용하여 더 간단한 공식으로 구축되므로, $더$ 간단한 공식을 나타내는 클래스를 듣고 ${\displaystyle \$land} ∧ 및 {\displaystyle ${\displaystyle \backslash }$exists} ∃으로 공식을 나타내는 클래스를 생성하는 클래스 연산이 필요합니다. {\displaystyle \land} ∧으로 공식을 나타내는 클래스를 생성하려면 x ∈ A ∩ B ⟺ x ∈ B부터 사용되는 교집합이 필요합니다.${\$$displaystyle$ $x\in A\cap$ B$\$$iff$ x$\in$ A$\land$ x$\in$ B$.}$ ${\displaystyle \exists }$가 ${\displaystyle$ \exists }인 공식을 나타내는 클래스를 생성하기 위해 ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$은$$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 돔}$ ($A)$⟺ ∃$$t [ (x, t$$) ∈$A$] 이므로 $사용$됩니다. ${\displaystyle x\in 돔$ (A)\iff \exist t [(x, t)\in A].$}$ 교차점을 취하기 전에 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ 및 $G$ ${\displaystyle G}$의 튜플은 추가 구성 요소가 필요하므로$$ 동일한 변수를 갖습니다. 구성 요소 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$가 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$의 튜플에 추가되고$$$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 G ${\displaystyle$ G$}$의 튜플에 추가됩니다$.$ $${\displaystyle F'=\{(x,t,y):(x,t)\in F\}\,}$$ 그리고 ${\displaystyle G{\text{'}}^{}}$ =${\displaystyle }${ ${\displaystyle (}$$t$$,$ y$,$ x${\displaystyle }$) :$$(t$,$ y ) ∈ G} {\displaystyle \,G'=\{(t, y, x):(t, y)\in G\} F'의 정의에서 {\displaystyle F'} 변수 {\displaystyle y}는 (x, t) ∈ F, {\displaystyle (x,$t)\in F,}$에서 ${\displaystyle$ y$}$ $soy$의 범위는$$ 모든 $집합$의 클래스$$V {\$displaystyle$ V$}$에 걸쳐 있습니다. 마찬가지로 $G{\displaystyle {}^{}\text{'}}$의 정의에서 ${\displaystyle G'}$ $변수$ x ${\displaystyle$ $x$$}$의 범위는 $V$입니다${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ V$.}$ 따라서$$ 주어진 클래스의 튜플에 $추가{\displaystyle }$ 구성 요소$($$V$ {\displaystyle $V}$의 값 범위)를 추가하는 공리가 필요합니다. 다음은 교차점에 대비하기 위해 변수를 같은 순서로 배치합니다. $${\displaystyle F''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\}\,}$$ and ${\displaystyle \,G''=\{(x,y,t):(t,y)\in G\}}$ To go from ${\displaystyle F'}$ to ${\displaystyle F''}$ and from ${\displaystyle G'}$ to ${\displaystyle G''}$ requires two different permutations, 따라서 튜플 성분의 순열을 지원하는 공리가 필요합니다. $F$ ″ {\$displaystyle$ $''}$과 G ″ ${\$displaystyle$$G''}의 $교차점$에서 ∧ {\displaystyle \land}을(를) 처리합니다. $${\displaystyle F''\cap G''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G\}}$$ $({\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle (x,$ ${\displaystyle y}$$, t)}$은$$(${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle t}$) ${\$${\displaystyle {}^{}}$ $((x,$ y$)}$로 정의되므로 F$$″ ∩ G ″ ${\displaystyle$F''\cap$$G''}는 ∃ t${\displaystyle$ \exist t}를 처리하고 합성 함수를 생성합니다. $${\displaystyle G\circ F=Dom(F''\cap G')'=\{(x,y):\exists t((x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G)\}}$$ 그래서 교차와 영역의 공리가 필요합니다.

클래스 존재 공리는 언어 프리미티브를 다루는 공리와 튜플을 다루는 공리의 두 그룹으로 나뉩니다. 첫 번째 그룹에는 4개의 공리가 있고 두 번째 그룹에는 3개의 공리가 있습니다.^[d]

언어 프리미티브를 처리하기 위한 공리:

멤버쉽. 첫 번째 구성요소가 두 번째 구성요소의 $멤버$인 순서 쌍을 모두 포함하는$$ 클래스 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$가 있습니다.

${\displaystyle \exists E\,\all x\,\fally\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

교차점(접합). 임의의 두 클래스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle$ B$}$에 대해$$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle$ $B$$}$에 속하는 집합으로 정확하게 구성된$$ $클래스{\displaystyle }$ C ${\displaystyle$ C$}$가 있습니다$.$

${\displaystyle \for all A\,\for all B\,\for all x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

보완(부정). $임의$의 클래스$$A {\$displaystyle$ A$}$에 대하여$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 속하지 않는 집합들로 정확히 구성된$$ 클래스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$가 있습니다$.$

${\displaystyle \forall A\에 대하여,\forall x\에 대하여 B\,[x\in B\f \n]가 존재합니다.eg(x\in A)}$ ^[20]

도메인(존재하는 수량자). 임의의 클래스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대하여$,$ $클래스{\displaystyle }$ $B${\$displaystyle$ B}는 A ${\displaystyle A}$의 순서 쌍의 첫 번째 성분으로 정확하게 구성됩니다$.$

${\displaystyle \for all A\,\for all x\,[x\in B\for esist y(x,y)\in A]}$ ^[21]

확장성의 공리에 의해 교차 공리에서 $클래스$ C ${\displaystyle C},$ 보형 및 도메인 공리에서$$ 클래스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$는 고유합니다. $각각$ A ∩ B, ${\displaystyle$A$\backslash$${\displaystyle \mathrm{cap}}$B$,}$ ∁ A, {\$displaystyle$ \${\displaystyle \mathrm{complement}}$A,}${\displaystyle }$및 $A),$ ${\displaystyle$ Dom(A)}로 표시됩니다. $반면{\displaystyle }$ 확장성은 E ${\displaystyle$ E$}$의 집합 중 순서$$ 쌍을 지정하는 집합만 지정하므로 구성원 축에서 $E$ ${\displaystyle E}$에는 적용할 수 없습니다.

앞의 세 공리는 빈 클래스와 모든 집합의 클래스의 존재를 의미합니다. 멤버 자격 공리는 클래스 $E$의 존재를 의미합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ E$.}$$$ 교집합과 여집합 공리는 $비어$ ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ E ∩ ∁ E {\$displaystyle$ E\$cap$ $\backslash$complement E}의 존재를 의미합니다. $이$ 클래스는 확장성의 공리에 의해 고유하며 ∅으로 표시됩니다. ${\displaystyle$ \emptyset .} ∅ {\displaystyle \emptyset }의 $여집합$은 모든 집합의 클래스 V {\displaystyle V}이며, 이 역시 확장성에 의해 고유합니다. ${\displaystyle \mathrm{클래스}}$에 대한 정량화를$피하기$ 위해${\displaystyle }$∃ C$(A$∈$$C) ${\displaystyle$ \exists C$($A\in C)}로 정의된$$집합 $술어$ M(A) {\displaystyle M$(A)}$이(${\displaystyle 가)}$ 이제 A ∈ V {\displaystyle A\in V}로 재정의되었습니다.

튜플을 처리하기 위한 공리:

$V {\displaystyle$ V$}$의 곱입니다$.$ 임의의 클래스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대하여$,$ 첫 번째 구성 요소가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$에 속하는 순서 쌍으로 구성된$$ 클래스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$가 있습니다$.$

${\displaystyle \forall A\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

순환 순열. 클래스 $A$ ${\displaystyle$ A$}$에 대해$$A ${\displaystyle$ $A$$\}$의 $3-튜플$에 ${\displaystyle \mathrm{원형}}$$$순열$$(${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \mapsto }$(${\displaystyle x,}$ y$,$ z) ${\displaystyle ($y, z, x$)\mapsto ($x, y, z)}를 적용하여 3-튜플이 얻어지는 $클래스$ B$${\$displaystyle B}$가 있습니다.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

전치. $임의$의 클래스$$A {\$displaystyle$A$}$에 대해 A$${\$displaystyle$ $A$$}$의 3-튜플 중 마지막 두 개의 성분을 전치하여 3-튜플을 얻는 클래스$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$가 있습니다$.$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

확장성에 따라 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 공리에$$ 의한 곱은 고유한 클래스의 존재를 의미하며, ${\displaystyle 이}$는 A${\displaystyle }$× V로 표시됩니다${\displaystyle .}$${\displaystyle A\times V.}$ This axiom is used to define the class ${\displaystyle V^{n}}$ of all ${\displaystyle n}$-tuples: ${\displaystyle V^{1}=V}$ and ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ If ${\displaystyle A}$ is a class, 확장성은 ${\displaystyle A^{}}$ ∩ V n${\displaystyle A\cap$ V^{n}}이 $A의$$n {\displaystyle$ n} -${\displaystyle }Touple$로 구성된 고유 클래스임을 의미합니다. {\$displaystyle$A.} 예를 들어, 멤버쉽 공리는 순서 쌍이 아닌 요소를 포함할 수 있는$클래스$ E ${\displaystyle$ E}를 생성합니다. ${\displaystyle {교차점}^{}}$ $E$ ∩ $V2 {\displaystyle E\cap$ V^{2}}에는 E ${\displaystyle$E}의 순서$$쌍만 포함됩니다.

순환 치환 및 전치 공리는 클래스 $B$의 3-튜플만 지정하므로 고유한 클래스의 존재를 의미하지 않습니다${\displaystyle .}${\$displaystyle$ B$.}$ 이러한 공리는 3-튜플을 지정함으로써 $n개의$≥ 4 ${\displaystyle$ n$}-$튜플도 다음과 같이 지정합니다.

튜플을 다루는 공리와 정의역 공리는 클래스 존재 정리의 증명에 사용되는 다음 보조정리를 암시합니다.

계급 존재 정리를 증명하기 위해서는 규칙성의 공리가 하나 더 필요합니다. 빈 계급의 존재가 증명되었으므로, 이 공리의 일반적인 진술이 주어집니다.^[f]

규칙성의 공리. 모든 비어 있지 않은 집합에는 공통 요소가 없는 요소가 적어도 하나 있습니다.

이 공리는 집합이 자신에게 속할 수 없음을 의미합니다. ${\displaystyle x}$ ∈ x ${\displaystyle$ x\in x}이고 a = {$x}$ 입니다$.$ {\displaystyle a=\{x\}.$}$그런 다음 ${\displaystyle x}$는 $≠ ∅$ {\$displaystyle$ x\capa\$n$을 $∩$$합니다$.${\displaystyle x}$$∈$ $x$ $∩$ $a이므로$equ \$emptyset}.$ {\displaystyle x\$in$ x\capa.}$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은${\displaystyle (}$는) $a$의 유일한 요소이므로 규칙성의 공리와 모순됩니다. ${\displaystyle$ a$.}$$$ ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ x $∉$ x. ${\displaystyle$ x\n$otin x.}$$$ 규칙성의 공리는 또한 집합의 무한한 내림차순 멤버쉽 시퀀스를 금지합니다.

괴델은 1938년에 행해진 강의를 기반으로 한 1940년의 모노그래프에서 세트보다는 수업에 대한 규칙성을 언급했습니다.^[26] 1939년, 그는 집합의 규칙성이 수업의 규칙성을 의미한다는 것을 증명했습니다.^[27]

계급 존재 정리

정리의 증명은 두 단계로 이루어집니다.

1. 변환 규칙은 주어진 공식$$ϕ {\displaystyle$$\phi}를 증명의 귀납적 부분을 단순화하는 등가 공식으로 변환하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 변환된 공식에서 논리적 $기호는$¬ {\displaystyle \n뿐입니다.$eg$$\},$$$$∧$${\displaystyle$$$\$land}$및 $∃$${\displaystyle$\$exists$}이므로 인덕션은 단 세 가지 경우로 논리적 기호를 처리합니다.
2. 클래스 존재 정리는 변환된 공식에 대해 귀납적으로 증명됩니다. 변환된 공식의 구조에 따라 클래스 존재 공리를 사용하여 $공식$을 만족하는$$n {\$display n}-$touple의 고유 클래스를 생성합니다.

변환 규칙. 아래 규칙 1 및 2에서$$$δ$ ${\$displaystyle$$\$Delta$ $}$ 및 γ${\displaystyle$ \Gamma }는 세트 또는 클래스 변수를 나타냅니다. $이$ 두 규칙은 ∈ {\$displaystyle$\in} 앞에 있는 클래스 변수의 모든 발생과 동일한 모든 발생을 제거합니다. 규칙 1 또는 2를 하위 공식에 적용할 때마다 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$가 선택되어 ${\displaystyle {zi}_{}}$ ${\$가 현재 공식의 다른 변수와 다릅니다$$. 적용할 수 있는 하위 공식이 없을 때까지 세 가지 규칙을 반복합니다. $이것은$¬ {\displaystyle \n으로만 구축된 공식을 생성합니다.$eg$$\},$ $∧$ ${\displaystyle$\$land},$ $∃$${\displaystyle$$\backslash$$exists$}, $∈$ {\displaystyle \in}, 변수 설정, 클래스 변수 ${\displaystyle {Yk}_{}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ 여기서 ${\displaystyle {Yk}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $Y_{k}}$는 ∈ ${\displaystyle \$in} 앞에 나타나지 않습니다.

1. ${\displaystyle {}_Y\mathrm{k}}$ $∈$ γ {\displaystyle \,Y_{k}\in \Gam${\displaystyle m_{}}$a}에서 ∃ ${\displaystyle z_{}}$i(zi${\displaystyle {}_{}}$= Yk${\displaystyle {\wedge }_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$i$$∈ γ)로 $변환$됩니다. {\displays${\displaystyle {\mathrm{tyle\; \backslash }}_{}}$exists z_{i}${\displaystyle {(}_{}}$z_{i}=$Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. 확장성은 δ$$γ =$$∀ ${\displaystyle$ \Delta =\${\displaystyle {Gamma}_{}}$을(를$)$ ∈ zi${\displaystyle (}$zi δ$$⟺$zi$∈ γ)로 변환하는 데 사용됩니다. {\displaystyle \forall z_{i}(z_{i})\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma )}
3. $논리$ ID는${\displaystyle }$∨$,$ ⟹, ⟺, ${\displaystyle \lor$$,\$implies,\$iff,} 및$ ∀ {\displaystyle \forall$\}$을(를) 포함하는 하위 수식을$$¬, ∧, {\displaystyle \$n$만 사용하는$$하위 $수식$으로 변환하는 데 사용됩니다.$eg$$,\land$,}$$및$$$∃$$. {\displaystyle$ \$exists$.}

변환 규칙: 바인딩된 변수입니다. ${\displaystyle {}_{}}$ 집합 변수가 x ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ 및 ${\displaystyle x_{}}$ $2$ ${\displaystyle x_{2}}$:$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$[ (x 1, t${\displaystyle }$) ∈${\displaystyle }$F ∧ ($t$, x 2) ∈ $G$]. ${\displaystyle \exists t[(x_{1}})\$in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].$}$귀납적 증명은 $공식$ (${\displaystyle x}$1,${\displaystyle t)}$$$$∈$${\displaystyle }$F $∧$ ($t$, x 2$)$$∈$ $G를 생성하는$$∃$ $t${\$displaystyle$ \$exist$t}를 제거합니다. {\$displaystyle$ ($x_{$1}, t)\in F\land (t,x_{2})\in G.} 그러나 클래스 존재 정리는 하위 변수에 대해 기술되므로, 이 공식은 귀납 가설에 의해 기대되는 형태를 가지고 있지 않습니다. 이 문제는 변수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$를 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$으로$$대체하여 $해결$됩니다. {\$displaystyle$ x_${3}}$ 중첩된 수량자 내의$$ 바인딩 변수는 연속된 수량자마다 하나씩 아래첨자를 증가시켜 처리됩니다. 따라서 규칙 1과 2는 정량화된 변수를 생성하므로 다른 규칙 다음에 적용해야 하는 규칙 4로 이어집니다.

4. 공식에 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots,x_{n}}$ 이외의 자유 집합 변수가 포함되지 않은 경우$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ 한정자$$ 내에 내포된 바인딩 변수는 ${\displaystyle x_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$로 바뀝니다$.$ 이 변수에는 (양자화) 중첩 깊이 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 있습니다$.$

예제 2: ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle \phi($x_{1})} ${\displaystyle {공식}_{}}$ϕ에${\displaystyle \mathrm{}}$적용되는 규칙 4는 {∅, {∅,$$${\displaystyle \dots \},}$ …} 형식의 모든 집합으로 $구성$된 클래스를$정의$합니다. {\$displaystyle \{\emptyset,\{\$emptyset,\dots \},\dots \}. 즉, sets that contain at least ${\displaystyle \emptyset }$ and a set containing ${\displaystyle \emptyset }$ — for example, ${\displaystyle \{\emptyset ,\{\emptyset ,a,b,c\},d,e\}}$ where ${\displaystyle a,b,c,d,}$ and ${\displaystyle e}$ are sets. $${\displaystyle {aligned}\phi(x_{1})\,&=\,\exists u\;\,[\,u\in x_{1}\,\land \,\n스타일 {\,\naligned}\,\n표시예를 들어, \exists v\;\,(\;v\,\in \,u\,)]\,\land \,\,\,\exists w\;{\bigl(}w\in x_{1}\,\land \,\exists y\;\,[(\;y\,\in w\);\land \;\neg \exists z\;\,(\;z\,\in \,y\,)]{\bigr )}\\\phi _{r}(x_{1})\,&=\,\exists x_{2}[x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\neg \exists x_{3}(x_{3}\!\in \!x_{2})]\,\land \,\,\exists x_{2}{\bigl (}x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\exists x_{3}[(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \,\neg \exists x_{4}(x_{4}\!\in \!x_{3})]{\bigr )}\end{align}}$$ $x$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle x_{1}}$이(가) 유일한 자유 변수이므로 ${\displaystyle \mathrm{n}}$ = 1$.$ {\$displaystyle$ n = 1.}$$ 정량화된 변수 $x$ ${\displaystyle 3_{}}$ ${\displaystyle x_{3}}$는 둥지 깊이 2에서 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$ $∈$ x 2 {\$displaystyle x_{3}\$in x_{2}에서 두 번 나타납니다. $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle q}$ = 1${\displaystyle }$+${\displaystyle 2}$ = $3$이기 때문에 첨자는 3입니다. {\displaystyle n + q = 1 + 2 = 3$.$$}$두 개의 수량자 스코프가 동일한 중첩 깊이에 있으면$$ 동일하거나 서로 분리됩니다. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 두 가지 발생은 서로 분리된 수량자 범위에 있으므로$$ 서로 상호 작용하지 않습니다.

클래스 존재 정리의 증명. 증명은 변환된 공식을 생성하기 위해 주어진 공식에 변환 규칙을 적용하는 것으로 시작됩니다. 이 공식은 주어진 공식과 동치이므로, 변환된 공식에 대한 클래스 존재 정리를 증명함으로써 증명이 완성됩니다.

괴델은 등급 존재 정리가 "계에 있는 것이 아니라 계[NBG]에 관한 정리"라고 지적했습니다.^[30] 그것은 NBG 공식에 대한 귀납에 의해 메타 이론에서 증명되기 때문에 NBG에 관한 정리입니다. 또한, 이 증명은 유한하게 많은 NBG 공리를 호출하는 대신 주어진 공식을 만족하는 클래스를 구성하기 위해 NBG 공리를 사용하는 방법을 귀납적으로 설명합니다. 모든 공식에 대해 이 설명은 NBG에 있는 건설적인 존재 증거로 변환될 수 있습니다. 따라서 이 메타 이론은 NBG의 클래스 존재 정리를 대체하는 NBG 증명을 생성할 수 있습니다.

재귀적 컴퓨터 프로그램은 주어진 공식에서 클래스의 구성을 간략하게 포착합니다. 이 프로그램의 정의는 클래스 존재 정리의 증명에 의존하지 않습니다. 그러나 프로그램에 의해 구성된 클래스가 주어진 공식을 만족하고 공리를 사용하여 구성되었음을 증명하기 위해서는 증명이 필요합니다. 이 프로그램은 파스칼 스타일의 사례문을 사용하는 의사 코드로 작성됩니다.^[i]

ϕ$${\$displaystyle$\phi}을(를) 예제 2의 공식으로 지정합니다. $함수$ 호출 A = ${\displaystyle \mathrm{Class}}$ ( ϕ, 1) {\displaystyle A = Class (\phi, 1)}는 아래 ϕ와${\displaystyle }$비교되는 클래스 A, {\displaystyle A}를 생성합니다. {\displaystyle \phi.} 이는 클래스 A {\displaystyle A}의 구성이 정의 공식 ϕ의 구성을 반영함을 보여줍니다.${\displaystyle \phi.}$

클래스 존재 정리 확장

Gödel extended the class existence theorem to formulas ${\displaystyle \phi }$ containing relations over classes (such as ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ and the unary relation ${\displaystyle M(Y_{1})}$), special classes (such as ${\displaystyle Ord}$ ), 및 작업(예:$$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (x_{1}, x_{2})}$ 및 $x$ ${\displaystyle 1_{}}$ ∩ Y 1 {\$displaystyle x_{1}\cap$ Y_{1}}). 클래스 존재 정리를 확장하려면 관계, 특수 클래스 및 연산을 정의하는 공식은 집합을 한정하여 수량화해야 합니다. 그러면$$ϕ {\displaystyle$$\phi}는 클래스 존재 정리의 가설을 만족하는 동등한 공식으로 변환될 수 있습니다.

다음 정의는 공식에서 관계, 특수 클래스 및 작업을 정의하는 방법을 지정합니다.

1. 관계 $R$ ${\displaystyle$ R$}$은 $R$ (Z 1, …,${\displaystyle {}_{}}$Z ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$⟺ ψ${\displaystyle }$R (${\displaystyle Z_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ …, Z k${\displaystyle )}$로 ${\displaystyle {정의}_{}}$됩니다. $displaystyle R(Z_{1},\dots,$Z_{$k})\iff \psi _{R}($Z_{$1},\dots,$Z_{k}).
2. $특수$ 클래스 $C$ ${\displaystyle$ C$}$은(는) ${\displaystyle u_{}}$ ∈${\displaystyle {}_{}}$C ⟺ ψ C (u ) . ${\displaystyle u\in C\if$\psi _{C}(u)}에 의해 정의됩니다.
3. 동작 $P$ ${\displaystyle P}$은 $다음$과 같이 ${\displaystyle {정의}_{}}$됩니다. u ∈${\displaystyle {}_{}}$P${\displaystyle }$(Z${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k_{}}$ ⟺ ψ${\displaystyle }$P${\displaystyle }$(${\displaystyle u_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$Z${\displaystyle }$1, …, Z k). ${\displaystyle$u\$in$P ($Z_{1},\dots, Z_{k})\iff \psi$_{P} (u$,Z_{1},\$dots,Z_{k}).

용어는 다음과 같이 정의됩니다.

1. 변수와 특수 클래스는 용어입니다.
2. If ${\displaystyle P}$ is an operation with ${\displaystyle k}$ arguments and ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ are terms, then ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$ is a term.

다음 변환 규칙은 관계, 특수 클래스 및 운영을 제거합니다. 규칙 2b, 3b 또는 4가 하위 공식에 적용될 때마다 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$가 선택되어 ${\displaystyle {zi}_{}}$ ${\$가 현재 공식의 다른 변수와 다릅니다$$. 적용할 수 있는 하위 공식이 없을 때까지 규칙을 반복합니다. $γ$ …,${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$γ$$k, γ, {\displaystyle \,\Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k},\Gamm${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$,} 및 δ {\displaystyle \Delta }는 용어를 나타냅니다.

1. 관계 $R{\displaystyle (Z_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots,Z_{k})}$이(가) 정의 공식${\displaystyle {}_{}}$ψ${\displaystyle {}_{}}$R${\displaystyle (Z_{}}$1${\displaystyle ,\dots ,}$Z$$k)로 대체되었습니다. ${\displaystyle \psi_{$R}($Z_{1},\dots,$Z_{k}).
2. ψ${\displaystyle C}$(u) {\displaystyle \$psi$ _{C}(u)}를 특수 클래스 C {\displaystyle C.}의 정의 공식이라고 가정합니다.
   1. ${\displaystyle \mathrm{}}$$δ$$$∈ C {\displaystyle \Delta \in C}이${\displaystyle \mathrm{(}}$가) ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$ C(δ)로 대체되었습니다. {\displaystyle \psi _{C}(\Delta )}
   2. $C$ δ {\$displaystyle$ C\in \Delta ${\displaystyle \}}$에서 $∃$ zi ${\displaystyle [}$zi ${\displaystyle =}$ C ∧${\displaystyle z}$i${\displaystyle }$∈ δ]로 대체되었습니다. {\displaysty${\displaystyle \mathrm{le\; \backslash ex}}$ists z_{i}[z${\displaystyle \_}${i}= C\land z_{i}\in \Delta }.}
3. ψ${\displaystyle }$P(${\displaystyle u_{}}$, ${\displaystyle Z_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ Z$$k) ${\displaystyle$\psi_{P}(u, Z_{1},\$dots$, Z_{k})를 연산 P(Z 1, $…,$Z k)의 정의 공식이라고 가정합니다. {\displaystyle P(Z_{1},\dots, Z_{k})}
   1. ${\displaystyle \mathrm{}}$ P($γ$${\displaystyle }$1,${\displaystyle \mathrm{}}$…,$$$γ$ k) ${\$displaystyle \Delta \$in$ P(\Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k}${\displaystyle \mathrm{)}}$}가 ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$ P${\displaystyle \mathrm{(}}$δ, γ 1,${\displaystyle \mathrm{}}$…, γ k)로 대체되었습니다. {\displaystyle \psi_{P}(\Delta,\Gamma_{1},\dots,\Gamma_{k}).
   2. ${\displaystyle P}$($γ$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…,$γ$)$∈$ δ ${\displaystyle P$${\displaystyle (\backslash }$Gamma_{${\displaystyle \mathrm{1\},\backslash }}$dots,\Gamma_{k})\in \Delta ${\displaystyle \}}$에서 ∃ z ${\displaystyle [}$zi =${\displaystyle }$P (γ 1,${\displaystyle }$…, γ${\displaystyle }$k) ∧${\displaystyle z}$i${\displaystyle }$∈ δ]로 대체되었습니다. {\displaysty${\displaystyle \mathrm{le\; \backslash ex}}$ists z_{i}[z${\displaystyle \_}${i}=P(\Gamma_{${\displaystyle \mathrm{1\},\backslash }}$dots,\Gamma_{k})\land z_{i}\in \Delta }.}
4. 확장성은 δ$$γ =$$∀ ${\displaystyle$ \Delta =\${\displaystyle {Gamma}_{}}$을(를$)$ ∈ zi${\displaystyle (}$zi δ$$⟺$zi$∈ γ)로 변환하는 데 사용됩니다. {\displaystyle \forall z_{i}(z_{i})\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma )}

예 3: ${\displaystyle Y_{}}$ 1 ⊆ Y $2$를 변환하는 중. ${\displaystyle$ Y_{$1}\$subseteq Y_{2} ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}\iff \forall z_{1}(z_{1}\in Y_{1}\implies z_{1}\in Y_{2})\quad {\text{(rule 1)}}}$

예 4: $x$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∩ ${\displaystyle Y_{}}$1 ∈ $x$ 2. ${\displaystyle x_{1}\cap$Y_{1}\in x_{2}. ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x_{1}\cap Y_{1}\in x_{2}&\iff \exists z_{1}[z_{1}=x_{1}\cap Y_{1}\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text{(rule 3b)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}(z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\cap Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text{(rule 4)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}(z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\land z_{2}\in Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]\quad &&{\text{(rule 3a)}}\\\end{alignedat}}}$ 이 예에서는 변환 규칙이 작동하여 연산을 제거하는 방법을 보여 줍니다.

공리를 설정합니다.

계급 존재 정리의 증명에 필요했던 짝짓기와 규칙성의 공리는 위에서 제시되었습니다. NBG에는 4개의 다른 집합 공리가 포함되어 있습니다. 이 공리 중 세 가지는 집합에 적용되는 클래스 연산을 다룹니다.

정의. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ F$}$는 다음과 같은 함수입니다.

집합 이론에서 함수의 정의는 함수의 도메인이나 코드 도메인을 지정할 필요가 없습니다(함수(집합 이론) 참조). NBG의 함수 정의는 ZFC의 정의를 순서 쌍의 집합에서 순서 쌍의 클래스로 일반화합니다.

이미지, 조합 및 전력 집합의 집합 연산에 대한 ZFC의 정의도 클래스 연산으로 일반화됩니다. The image of class ${\displaystyle A}$ under the function ${\displaystyle F}$ is ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ This definition does not require that ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).$$}$클래스 $A {\displaystyle$ A$}$의 ${\displaystyle \mathrm{조합}}$은 $∪$ ${\displaystyle A}$ $=$ { ${\displaystyle x}$ : $∃$$$y (x $∈$ y $∈$ A ) } 입니다. {\displaystyle \cup A $=$\{x :\는 y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}입니다.$}$${\displaystyle A}$의 전력 클래스는 $P$(${\displaystyle A)}$$=$${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x}$ $⊆$$$A}입니다. {\displaystyle {\$mathcal$ {P}}(A) $=$\{x:x\subseteq A\}입니다.$$ 클래스 존재 정리의 확장 버전은 이러한 클래스의 존재를 의미합니다. 대체, 결합 및 멱집합의 공리는 이러한 연산을 집합에 적용하면 집합을 생성한다는 것을 의미합니다.^[34]

교체의 공리. If ${\displaystyle F}$ is a function and ${\displaystyle a}$ is a set, then ${\displaystyle F[a]}$, the image of ${\displaystyle a}$ under ${\displaystyle F}$, is a set.

F$[A$] ${\displaystyle$F[A${\displaystyle ]\}}$의${\displaystyle }$정의에 ${\displaystyle A}$ ⊆${\displaystyle 돔}$($F$) ${\displaystyle$ A$\subseteq$Dom(F)} 요건이 없으면 다음 증명에서 사용되는 더 강력한 교체 공리가 생성됩니다.

합일의 공리. ${\displaystyle$ a$}$가 집합인 ${\displaystyle 경}$우 $∪$ $a$를 포함하는 집합이 있습니다. ${\displaystyle$\cup a.}

멱함수의 공리. ${\displaystyle$ a$}$가 집합이면 $P{\displaystyle \mathcal{}(a)}$를 포함하는 집합이 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteqa\implies x\in b)}$^[k]

무한의 공리. There exists a nonempty set ${\displaystyle a}$ such that for all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle a}$, there exists a ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle a}$ such that ${\displaystyle x}$ is a proper subset of ${\displaystyle y}$.

무한과 치환의 공리는 빈 집합의 존재를 증명합니다. 클래스 존재 공리에 대한 논의에서 빈 클래스 ∅ ${\displaystyle$ \emptyset}의 존재가 증명되었습니다. $이제$∅ ${\displaystyle$ \emptyset}이(가) 집합임을 증명합니다. $함수$ $F$ = ∅ ${\$$displaystyle$ F =\emptysset} 이라 하고, {\displaystyle a} 가 무한대의 공리에 의해 주어진 집합이라고 합니다. $대체적으로$∅ $displaystyle$ \emptyset}과$($와) 동일한$$$F$ {\$displaystyle F}$ $아래$의 {\$displaystyle$ a$}$ $이미지$가 집합입니다.

NBG의 무한의 공리는 ZFC의 무한의 ${\displaystyle \mathrm{공리}}$에 의해 암시됩니다. ∃ ${\displaystyle a}$[∅ ∈${\displaystyle a}$ ∧ ∀ (x ∈ x ∪ { x ∈ a ) ⟹ a ) . ${\displaystyle \,[\emptyset \in a\,\$land \,\forall x(x\in a\cup \{x\}\in a)].$\,}$ZFC의 공리의 첫 번째 $결합체인$$∅ ∈$ {\displaystyle \emptyset \in a}는 NBG의 공리의 첫 번째 결합체를 의미합니다. ZFC의 공리의 두 번째 ${\displaystyle \mathrm{결합체}}$인${\displaystyle }$∀ ${\displaystyle x(x}$ ∈$$x$$∪ {x} ∈ a) {\$displaystyle$ \$forall$x$($x\in a\cup \{x\}\in a)}는$x$⊂ x ∪ {x} $이후 NBG의 공리$의${\displaystyle }$두 ${\displaystyle \mathrm{번째}}$를 의미합니다. {\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.$}$NBG의 무한대 공리로부터 ZFC의 무한대 공리를 증명하려면 다른$$ NBG 공리 중 일부가 필요합니다(무한대의 약한 공리 참조).^[l]

세계선택의 공리

클래스 개념은 NBG가 ZFC보다 더 강한 선택 공리를 가질 수 있도록 합니다. 선택 함수는 모든 x ∈에 ${\displaystyle \mathrm{대하여}}$ $f$(${\displaystyle x)}$ ∈ x ${\$$displaystyle$ f(x)\in x}와 같이 비어 있지 않은 $집합$의$$집합 {\$displaystyle$ s$}$에 $정의$된 함수$$f {\$displaystyle f}$입니다. {\displaystyle x\in s.} ZFC의 선택 공리는 비어 있지 않은 집합의 모든 집합에 대하여 선택 함수가 존재한다는 것을 의미합니다. 전역 선택 함수는 모든 비어${\displaystyle }있지$않은 $집합$ x에 $대해$ G${\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$∈ x ${\displaystyle$ G(x)\in x}와 같이 비어 있지 않은 집합의 클래스에 정의된 함수 $G$ ${\displaystyle G}$입니다. {\$displaystyle$x.}$$ 글로벌 선택의 공리는 글로벌 선택 함수가 존재한다는 것을 의미합니다. This axiom implies ZFC's axiom of choice since for every set ${\displaystyle s}$ of nonempty sets, ${\displaystyle G\vert _{s}}$ (the restriction of ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle s}$) is a choice function for ${\displaystyle s.}$ In 1964, William B. Easton은 선택의 공리와 글로벌 선택의 공리를 제외한 NBG의 모든 공리를 만족시키는 모델을 구성하기 위해 강제력을 사용함으로써 글로벌 선택이 선택의 공리보다 더 강하다는 것을 증명했습니다.^[38] 전역 선택의 공리는 모든 클래스가 잘 정렬된 순서를 갖는 것과 동일한 반면, ZFC의 선택의 공리는 모든 집합이 잘 정렬된 순서를 갖는 것과 동일합니다.^[m]

글로벌 선택의 공리. 비어 있지 않은 모든 집합에서 요소를 선택하는 함수가 있습니다.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{은 함수입니다}}\,\land \ for all x(x\n)에 대하여eq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

역사

폰 노이만의 1925년 공리계

폰 노이만은 1925년에 그의 공리계에 대한 소개 글을 출판했습니다. 1928년에 그는 자신의 시스템을 자세히 치료했습니다.^[39] 폰 노이만은 그의 공리 체계를 두 개의 원시 대상 영역, 즉 함수와 논법에 기초했습니다. 이러한 도메인이 겹칩니다. 두 도메인에 모두 있는 개체를 인수 함수라고 합니다. 함수는 NBG의 클래스에 해당하고 인수-함수는 집합에 해당합니다. 폰 노이만의 원시 연산은 함수 적용으로 a(x)가 아닌 [a, x]로 표시됩니다. 여기서 a는 함수이고 x는 인수입니다. 이 작업은 인수를 생성합니다. 폰 노이만은 A와 B 두 가지 값만을 취하는 함수와 인수-함수를 사용하여 클래스와 집합을 정의했습니다. 그는 [a, x] ≠ A일 경우 x ∈ a를 정의했습니다.

폰 노이만의 집합론 연구는 게오르크 칸토어의 논문, 에른스트 제르멜로의 1908년 집합론 공리, 아브라함 프랭켈과 토랄프 스콜렘이 독립적으로 제시한 1922년 제르멜로의 집합론 비평의 영향을 받았습니다. 프란켈과 스콜렘은 모두 저멜로의 공리가 집합 {Z₀, Z₁, Z₂, Z, ...의 존재를 증명할 수 없다고 지적했습니다.} 여기서 Z는₀ 자연수의 집합이고 Z는_n+1 Z의_n 거듭제곱 집합입니다. 그런 다음 그들은 그러한 집합의 존재를 보장하는 치환의 공리를 도입했습니다.^[40][n] 그러나 그들은 이 공리를 채택하는 것을 꺼렸습니다. 프란켈은 "대체는 '일반 집합론'에 너무 강한 공리"라고 말한 반면, 스콜렘은 "대체를 도입할 수 있다"고만 썼습니다.^[42]

폰 노이만(Von Neumann)은 제르멜로 집합론의 문제들을 연구하고 그 중 일부에 대한 해결책을 제공했습니다.

• 서수론
  • 문제: 칸토어의 순서수 이론은 치환의 공리가 결여되어 있기 때문에 제르멜로 집합론에서 발전할 수 없습니다.^[o]
  • 솔루션: 폰 노이만은 ∈-관계에 의해 잘 정돈된 집합을 사용하여 순서를 정의하고, 잘 정돈된 모든 집합이 순서와 동형인 것과 같이 순서에 관한 주요 정리를 증명하기 위해 치환의 공리를 사용함으로써 칸토르의 이론을 회복했습니다. 프란켈과 스콜렘과 대조적으로 폰 노이만은 치환 공리가 집합론에 얼마나 중요한지를 강조했습니다: "사실 저는 이 공리 없이는 어떤 순서론도 가능하지 않다고 믿습니다."^[45]
• 너무 커서 설정할 수 없는 클래스를 식별하는 기준
  • 문제: Zermelo는 그런 기준을 제시하지 않았습니다. 그의 집합론은 역설을 초래하는 대규모 계층을 피하지만, 프라엔켈과 스콜렘이 언급한 것과 같은 많은 집합을 배제합니다.^[q]
  • 솔루션: 폰 노이만은 다음과 같은 기준을 제시했습니다. 클래스가 모든 집합의 클래스 V에 매핑될 수 있는 경우에만 클래스가 너무 커서 집합이 될 수 없습니다. 폰 노이만은 이러한 대규모 계층을 어떤 계층의 구성원으로 허용하지 않음으로써 집합론적 역설을 피할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 이 제한을 자신의 기준과 결합하여 그는 크기 제한의 공리를 얻었습니다. C가 V에 매핑될 수 있는 경우에만 클래스 C는 어떤 클래스의 멤버도 아닙니다.^[48][r]
• 유한 공리화
  • 문제: 제르멜로는 분리의 공리에서 "확실한 명제 함수"라는 부정확한 개념을 사용했습니다.
  • 솔루션: 스콜렘은 나중에 ZFC에서 사용된 분리의 공리 스키마를 소개했고, Fraenkel은 동등한 솔루션을 소개했습니다.^[50] 그러나 저멜로는 "특히 저멜로가 보기에 집합 이론에 기초해야 할 자연수의 개념을 함축적으로 포함하기 때문에" 두 가지 접근법을 모두 거부했습니다.^[s] 폰 노이만은 "정의적 명제 함수"의 개념을 그의 함수로 공식화함으로써 공리 체계를 피했고, 그의 구성은 오직 유한한 많은 공리만을 필요로 합니다. 이것은 그의 집합론이 상당히 많은 공리를 갖도록 이끌었습니다.^[51] 1961년에 Richard Montague는 ZFC가 유한하게 공리화될 수 없다는 것을 증명했습니다.^[52]
• 규칙성의 공리
  • 문제: 저멜로 집합론은 빈 집합과 무한 집합에서 시작하여 짝짓기, 합집합, 멱집합, 분리, 선택의 공리를 반복하여 새로운 집합을 생성합니다. 그러나 세트를 이러한 것으로 제한하지 않습니다. 예를 들어, 집합 x가 x ∈ x를 만족하는 것과 같이 근거가 충분하지 않은 집합을 허용합니다.
  • 솔루션: 프란켈은 이들 집합을 제외하는 공리를 도입했습니다. 폰 노이만은 프라엔켈의 공리를 분석하여 "정확하게 공식화"되지는 않았지만 대략 다음과 같이 말합니다. 그 존재가 절대적으로 공리에 의해 요구되는 것이라면 더 이상의 집합은 없습니다."^[54] 폰 노이만은 근거가 없는 집합을 배제하는 방법으로 규칙성의 공리를 제안했지만, 그의 공리 체계에는 포함시키지 않았습니다. 1930년, 제르멜로는 규칙성을 포함하는 공리계를 처음으로 출판했습니다.^[u]

폰 노이만의 1929년 공리계

1929년 폰 노이만은 NBG로 이어질 공리를 담은 글을 발표했습니다. 이 글은 크기 제한의 공리의 일관성에 대한 그의 우려에서 비롯되었습니다. 그는 이 공리가 "많이, 사실 너무 많이 한다"고 말했습니다. 분리와 치환의 공리와 잘 정렬된 정리를 암시하는 것 외에도, 그것은 또한 V보다 기수가 작은 어떤 클래스도 집합이라는 것을 암시합니다. 폰 노이만은 이 마지막 함의가 칸토어 집합론을 넘어선다고 생각하고 "따라서 우리는 그것의 [공론의] 일관성이 필요한 칸토어 틀을 벗어나지 않는 집합론의 공리화보다 더 문제가 없는지 논의해야 합니다."^[57]

폰 노이만은 크기 제한의 공리를 제외한 1925년 공리계의 모든 공리를 담고 있는 1929년 공리계를 소개하면서 일관성 조사를 시작했습니다. 그는 이 공리를 대체의 공리와 선택의 공리라는 두 가지 결과로 대체했습니다. 폰 노이만의 선택 공리는 "모든 관계 R은 R과 같은 정의역을 갖는 함수인 서브 클래스를 가진다."^[58]라고 말합니다.

폰 노이만의 1929년 공리계라고 합시다. 폰 노이만은 자신의 1925년 체계가 S와 상대적으로 일치한다는 것을 증명하기 위해 공리계 S + 규칙성(S와 규칙성의 공리로 구성됨)을 도입했습니다. 그는 다음과 같이 증명했습니다.

1. S가 일치하면 S + 규칙성이 일치합니다.
2. S + 규칙성은 크기 제한의 공리를 의미합니다. 이것이 그의 1925년 공리 체계 중 S + 규칙성이 갖지 않는 유일한 공리이기 때문에, S + 규칙성은 그의 1925년 체계의 모든 공리를 의미합니다.

이러한 결과는 S가 일정하다면 폰 노이만의 1925년 공리계는 일정하다는 것을 의미합니다. 증명: S가 일치하면 S + 정규성이 일치합니다(결과 1). 모순에 의한 증명을 사용하여 1925년 공리계가 모순을 의미한다고 가정합니다. 1925년 공리계는 모순을 의미합니다. S + 규칙성은 1925년 시스템의 공리를 의미하므로(결과 2), S + 규칙성도 모순을 의미합니다. 그러나 이는 S + 규칙성의 일관성과 모순됩니다. 따라서 S가 일정하다면 폰 노이만의 1925년 공리계는 일정합니다.

S가 그의 1929년 공리계이기 때문에 폰 노이만의 1925년 공리계는 그의 1929년 공리계와 상대적으로 일치하며, 이는 칸토리아 집합론에 더 가깝습니다. 칸토리아 집합론과 1929년 공리계의 주요 차이점은 계급과 폰 노이만의 선택 공리입니다. 공리계 S + 규칙성은 Bernays와 Gödel에 의해 동일한 NBG 공리계를 생성하기 위해 수정되었습니다.

베르네이스의 공리계

1929년 폴 버네이스는 폰 노이만의 새로운 공리계를 수정하기 시작했습니다. 그는 1937년부터 1954년까지 일련의 기사에 그의 작품을 실었습니다.^[59] 베르네이스는 다음과 같이 말했습니다.

폰 노이만 시스템을 수정하는 목적은 원래의 제르멜로 시스템의 구조에 더 가깝게 남아 있고 동시에 논리학자들에게 친숙해진 슈뢰더 논리학과 수학 원리의 일부 집합론적 개념을 활용하는 것입니다. 앞으로 알 수 있듯이, 이 배치는 상당한 단순화를 초래합니다.^[60]

Bernays는 두 종류의 논리로 세트와 클래스를 처리하고 두 개의 멤버쉽 프리미티브를 도입했습니다: 하나는 세트의 멤버쉽을 위한 것이고 하나는 클래스의 멤버쉽을 위한 것입니다. 그는 이 원시적인 것을 가지고 폰 노이만의 1929년 공리를 다시 쓰고 단순화했습니다. Bernays는 또한 규칙성의 공리를 그의 공리 체계에 포함시켰습니다.^[61]

괴델의 공리계

1931년 베르네이스는 자신의 집합론을 담은 편지를 쿠르트 괴델에게 보냈습니다.^[36] 괴델은 모든 집합을 하나의 클래스로 만들어 버네이스의 이론을 단순화했고, 이를 통해 그는 하나의 종류와 하나의 멤버쉽만 사용할 수 있었습니다. 그는 또한 베르네이스의 공리 중 일부를 약화시키고 폰 노이만의 선택 공리를 세계 선택의 등가 공리로 대체했습니다.^[62][v] 괴델은 1940년 그의 모노그래프에서 세계 선택의 상대적 일관성과 일반화된 연속체 가설에 대한 그의 공리를 사용했습니다.^[63]

괴델이 자신의 모노그래프에 NBG를 선택한 이유는 다음과 같습니다.^[w]

• 괴델은 수학적인 이유를 제시했습니다.NBG의 글로벌 선택은 더 강력한 일관성 정리를 만들어냅니다: "이 더 강력한 형태의 [선택] 공리는 다른 공리와 일치한다면, 물론 더 약한 형태도 일치한다는 것을 암시합니다."^[5]
• 로버트 솔로베이는 다음과 같이 추측했습니다. "내 추측으로는 그는 [괴델]이 공리적 집합론 내에서 모델 이론의 기초를 개발하는 데 관련된 기술에 대한 논의를 피하기를 원했을 것입니다."^[67][x]
• 케네스 쿠넨(Kenneth Kunen)은 괴델(Gödel)이 이 논의를 피하는 이유를 다음과 같이 밝혔습니다: "L [구성 가능한 우주]에 대한 훨씬 더 조합적인 접근법도 있습니다. 비논리학자들에게 자신의 연구를 설명하려는 시도로 [Gödel in the 1940 monograph]. 이 접근법은 L의 치료에서 모든 논리의 흔적을 제거할 수 있는 장점이 있습니다."^[68]
• 찰스 파슨스(Charles Parsons)는 괴델이 선택한 철학적 이유를 다음과 같이 제시했습니다: "'집합의 성질'은 집합론의 원시적인 것이라는 이러한 견해는 괴델이 계층 변수를 갖는 이론을 선택한 데 반영될 수 있습니다. [그의 모노그래프]"^[69]

Gödel의 성과와 그의 발표의 세부 사항은 NBG가 향후 20년 동안 누리게 될 명성으로 이어졌습니다.^[70] 1963년 폴 코헨은 괴델이 NBG에 대한 상대적 일관성 증명을 위해 개발한 몇 가지 도구를 사용하여 ZF에 대한 독립성 증명을 증명했습니다.^[71] 나중에 ZFC는 NBG보다 더 인기가 많아졌습니다. 이는 NBG에서 강제력을 처리하기 위해 필요한 추가 작업,^[72] ZF를 사용한 Cohen의 1966년 강제력 제시,^[73][y] NBG가 ZFC의 보수적 확장이라는 증거 등 여러 요인에 의해 발생했습니다.^[z]

NBG, ZFC, and MK

NBG는 ZFC에서 할 수 없는 클래스에 대한 진술을 할 수 있기 때문에 언어가 더 표현적이기 때문에 논리적으로 ZFC와 동등하지 않습니다. 그러나 NBG와 ZFC는 집합에 대한 동일한 문장을 의미합니다. 따라서 NBG는 ZFC의 보수적인 확장입니다. NBG는 ZFC가 의미하지 않는 정리를 의미하지만, NBG는 보수적인 확장이기 때문에 이러한 정리는 적절한 클래스를 포함해야 합니다. 예를 들어, 전역 선택 공리는 적절한 클래스 V가 잘 정렬될 수 있고 모든 적절한 클래스가 V와 일대일 대응될 수 있음을 의미한다는 NBG의 정리입니다.^[aa]

보수적 확장의 한 가지 결과는 ZFC와 NBG가 동일하다는 것입니다. 이것을 증명하는 것은 폭발의 원리를 사용합니다: 모순으로부터 모든 것은 증명 가능합니다. ZFC 또는 NBG 중 하나가 일관성이 없다고 가정합니다. 그러면 불일치 이론은 집합에 대한 문장인 ∅ = ∅와 ∅ ≠ ∅의 모순된 문장을 의미합니다. 보수적 확장 속성에 의해 다른 이론도 이러한 진술을 암시합니다. 따라서 일관성이 없습니다. 그래서 NBG가 좀 더 표현력이 있지만 ZFC와 일치합니다. 이 결과는 폰 노이만의 1929년 상대적 일관성 증명과 함께 크기 제한 공리를 가진 그의 1925년 공리 체계가 ZFC와 동일하다는 것을 의미합니다. 이것은 ZFC가 칸토어의 틀 안에 있기 때문에 이 강력한 공리의 상대적 일관성에 대한 폰 노이만의 우려를 완전히 해소합니다.

NBG는 ZFC의 보수적인 확장이지만, 정리는 ZFC보다 NBG에서 더 짧고 더 우아한 증명을 가질 수 있습니다. 이러한 자연의 알려진 결과에 대한 조사는 Pudlák 1998을 참조하십시오.

모스-켈리 집합론은 클래스 이해의 공리 스키마를 가지고 있으며, 여기에는 클래스에 걸쳐 양자화자의 범위가 다양한 공식이 포함됩니다. MK는 NBG의 일관성을 증명하기 때문에 NBG보다 더 강력한 이론인 ^[76]반면 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 NBG가 NBG의 일관성을 증명할 수 없음을 의미합니다.

특히 ZFC 및 MK와 대조되는 경우 NBG가 제기하는 존재론적 및 기타 철학적 문제에 대한 논의는 Potter 2004의 부록 C를 참조하십시오.

모델들

ZFC, NBG 및 MK에는 누적 계층 V와 구성 가능 계층 L의 관점에서 설명할 수 있는 모델이 있습니다. V가 액세스 불가능한 기본 κ를 포함하고 X ⊆ V를 포함하고 Def(X)가 매개 변수가 있는 X의 1차 정의 가능한 부분 집합 클래스를 나타낸다고 가정합니다. 기호에서 $X$∈) {\$displaystyle$(X$,\backslash$in)} "는$도메인$ X ${\displaystyle$ X} 및$관계$ ∈$\{\backslash$displaystyle$in$ }을 가진 모델을 나타내고 "⊨$\{\backslash$displaystyle \models}"는 만족 관계를 나타냅니다.

그러면.

• (V, ∈) 및 (L, ∈)는 ZFC의 모델입니다.
• (V, V, ∈)는 V가 모형의 집합으로 구성되고 V가 모형의 클래스로 구성되는 MK의 모형입니다. MK의 모델은 NBG의 모델이기 때문에 이 모델도 NBG의 모델입니다.
• (V, Def(V), ∈)는 NBG의 글로벌 선택 공리를 ZFC의 선택 공리로 대체하는 멘델슨 버전의 NBG 모델입니다. (V, ∈)가 ZFC의 모델이기 때문에 이 모델에서 ZFC의 공리는 참입니다. 특히 ZFC의 선택 공리는 유지되지만 NBG의 글로벌 선택은 실패할 수 있습니다.^[ab] NBG의 클래스 존재 공리는 그들이 존재를 주장하는 클래스가 1차 정의에 의해 정의될 수 있기 때문에 이 모델에서 참입니다. 예를 들어 클래스 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 다음과 같이 정의되므로$$ 구성원 공리는 유지됩니다.
  $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa}:(V_{\kappa},\in)\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}$$

  
• (L, L, ∈), 여기서 κ는 κ의 후임 추기경입니다. NBG의 모델입니다. NBG의 클래스 존재 공리는 (L, L, ∈)에서 참입니다. 예를 들어 클래스 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 다음과 같이 정의되므로$$ 구성원 공리는 유지됩니다.
  $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa}:(L_{\kappa},\in)\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}$$

  
  그래서 E ∈ 𝒫(L). GCH가 L에서 참이라는 증명에서 괴델은 𝒫 L이 ⊆함을 증명했습니다. 따라서 E ∈ L이므로 (L, L, ∈)에서 멤버쉽 공리는 참입니다. 마찬가지로, 다른 계급 존재 공리는 참입니다. 전 세계 선택의 공리는 L이 κ보다 작은 순서에 대한 괴델 함수(구성 가능한 집합에 순서를 매기는)의 제한에 의해 잘 정렬되기 때문에 참입니다. 따라서 (L, L, ∈)는 NBG의 모형입니다.

범주론

NBG의 온톨로지는 역설의 위험을 무릅쓰지 않고 "큰 물체"에 대해 말할 수 있는 발판을 제공합니다. 예를 들어, 카테고리 이론의 일부 발전에서 "큰 카테고리"는 대상과 형태가 적절한 클래스를 구성하는 것으로 정의됩니다. 반면에 "작은 범주"는 개체와 형태가 집합의 구성원인 범주입니다. 따라서 NBG는 큰 범주를 지원하기 때문에 역설의 위험을 감수하지 않고 "모든 집합의 범주" 또는 "모든 작은 범주의 범주"를 말할 수 있습니다.

그러나 NBG는 큰 카테고리가 그 멤버가 될 것이고 NBG는 적절한 클래스가 어떤 것의 멤버가 되는 것을 허용하지 않기 때문에 "모든 카테고리의 카테고리"를 지원하지 않습니다. 그러한 "범주"에 대해 공식적으로 이야기할 수 있게 해주는 존재론적 확장은 계급의 집합체인 재벌입니다. 그런 다음 "모든 범주의 범주"는 객체에 의해 정의됩니다: 모든 범주의 집합체; 그리고 A에서 B까지 모든 형태의 집합체: A와 B가 객체입니다.^[82] 클래스 및 세트를 포함하는 온톨로지가 카테고리 이론에 적합한지에 대해서는 Muller 2001을 참조하십시오.

메모들

참고문헌

서지학

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외부 링크

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