부분군 열

수학, 특히 그룹 이론에서 $그룹$ G $G$ 의 하위 그룹 시리즈는 하위 $G$ 그룹의 체인이다.

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

여기서 $1$ $[\displaystyle 1}$ 은 $1$ (는) 사소한 부분군이다.부분군 시리즈는 더 단순한 부분군 및 그 관계에 대한 연구에 대한 그룹의 연구를 단순화할 수 있으며, 여러 부분군 시리즈는 변함없이 정의될 수 있으며 그룹의 중요한 불변 요인이다.부분군 열은 부분군 방법에 사용된다.

부분군 계열은 추상 대수에서 오차를 사용하는 특별한 예다.

정의

정규계열, 부정규격계열

그룹 G의 하위 정규 시리즈(정상 시리즈, 정상 타워, 하위 변수 시리즈 또는 just series)는 하위 그룹의 시퀀스로, 각각 다음 하위 그룹의 정규 서브그룹이다.표준 표기법으로

1=A_{0}\트리앵글left A_{1}\트리앵글left \cdots \트리앵글left A_{n}=G.

A가_i G의 정규 부분군일 뿐, A의_{i +1} 정규 부분군일 필요는 없다.지수 그룹_{i +1} A/A는_i 시리즈의 인자 그룹이라고 불린다.

또한 각 A가_i G에서 정상이라면, 이 용어가 약한 감각에 사용되지 않을 때, 즉 불변 계열을 정상 계열이라고 한다.

길이

모든 i에 대해_i A additional_{i +1} A라는 추가 속성을 갖는 시리즈를 반복 없는 시리즈라고 부른다. 동등하게, 각 A는_i A의_{i +1} 적절한 하위 그룹이다.시리즈물의 길이는 엄격한_i 포함_{i +1} A < A의 수입니다. 시리즈가 반복되지 않으면 길이는 n이다.

보통 이하의 시계열의 경우 길이는 비교 요인 그룹의 수입니다.모든 비삼각형 그룹은 $1\triangleleft G$ G $1\triangleleleft G$ 의 정상적인 길이 1을 가지며 $1\triangleleft G$ 비삼각형 정규 부분군은 정상적인 길이 2의 시리즈를 갖는다.단순 그룹의 경우 길이 1의 사소한 시리즈가 가능한 가장 긴 하위 정규 시리즈가 된다.

오름차순, 내림차순

시리즈는 다음 중 하나의 오름차순으로 공지될 수 있다.

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

또는 내림차순:

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.

주어진 유한 계열의 경우, 표기법을 넘어서는 "어센딩 계열"과 "디센딩 계열"의 구분이 없다.그러나 무한 시리즈에 대해서는 오름차순 시리즈라는 구분이 있다.

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

가장 작은 항, 두 번째로 작은 항 등을 가지지만 가장 큰 적절한 항, 두 번째 큰 항을 가지지 않는 반면, 반대로 내림차 시리즈는 없다.

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1

용어는 가장 크지만 적절한 용어는 가장 작지 않다.

또한 시리즈를 생산하는 재귀 공식에 따라 생성된 용어는 오름차순 또는 내림차순이며, 그 결과 시리즈를 오름차순 또는 내림차순이라고 부른다.예를 들어, 파생 시리즈와 하부 중앙 시리즈는 내림차 시리즈인 반면, 상부 중앙 시리즈는 오름차순 시리즈인 것이다.

노메테리아 그룹, 아르티니아 그룹

서브그룹의 상승 체인 조건(ACC)을 만족하는 그룹을 노메트리안 그룹이라고 하며, 하강 체인 조건(DCC)을 만족하는 그룹을 노메트리안 링, 아르티니아 링과 유추하여 아르틴 그룹(아르틴 그룹과 혼동하지 않음)이라고 한다.ACC는 최대 조건과 동등하다. 모든 비 빈 부분군 집합에는 최대 구성원이 있으며, DCC는 유사한 최소 조건과 동일하다.

그룹은 노에테리아인이 될 수 있지만 무한한 순환 그룹과 같은 아르티니아인이 될 수 없고, 반지의 경우와는 달리, 그룹은 아르티니아인이 될 수 있지만 프뤼퍼 그룹과 같은 노에테리아인이 될 수 없다.모든 유한 집단은 분명히 노에테리아인과 아르티니아인이다.

노메테리아 그룹의 동형상 이미지와 하위 그룹은 노메테리아 그룹이고, 노메테리아 그룹에 의한 노메테리아 그룹의 연장은 노메테리아 그룹이다.Artinian 그룹에는 유사한 결과가 있다.

노메테리아 그룹은 균등하게 모든 하위 그룹이 미세하게 생성되는 그룹 자체보다 더 강한 그룹, 즉 2개 이상의 발전기에서 자유 그룹이 미세하게 생성되지만 무한 등급의 자유 그룹이 포함되어 있다.

노메테리아 집단은 다순환 집단의 유한한 확장일 필요는 없다.^[1]

무한대 및 트랜스피니트 시리즈

무한 부분군 시리즈도 정의되어 자연적으로 발생할 수 있으며, 이 경우 특정(전체적으로 순서가 정해진) 인덱싱 세트가 중요해지고, 오름차순과 내림차순의 구분이 있다.오름차순 시리즈 $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ = $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ ≤ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ { G $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ 여기서 $1 = A_0\leq A_1\leq \cdots \leq G$ 자연숫자로 인덱싱되는 $A_{i}$ A i $A_{i}$ {\ $displaysty A_{i}$ 는 무한 오름차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차순차일 수도 있다.부분군이 서수 숫자로 더 일반적으로 색인화되면 다음과 같은 오름차순 시리즈와 같은 트랜스피니트 시리즈를 얻는다.^[2]

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G

시리즈를 생산하는 귀납적인 공식을 감안할 때, 제한 ordinals에 있는 λ에 의해:)α<>⋃ 이 시리즈를 정의하며;Aα{\displaystyle A_{\lambda}:=\bigcup _{\alpha<>\lambda}A_{\alpha}}(시리즈 상행을 위해)또는 Aλ λ:)α<>⋂ α{\displaystyle λ transfinite 반복에 의한 transfinite 시리즈 할 수 있다.A_{\lamb $da }=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}}}($ 내림차순의 경우).이 구조의 기본적인 예는 트랜스핀라이트 하부 중앙 시리즈와 상부 중앙 시리즈가 있다.

완전히 정렬된 다른 집합은 부분군 시리즈의 색인 집합처럼 거의 발생하지 않는다.^{[citation needed]}예를 들어, 자연적으로 발생하는 바이 무한 부분군 시리즈(정수에 의해 지수화된 시리즈)를 정의할 수 있지만 거의 볼 수 없다.

1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

직렬 비교

시리즈를 정교하게 만드는 것은 원본 시리즈의 각 용어를 포함하는 또 다른 시리즈다.두 개의 부정규격 시리즈는 해당 요인 그룹이 이형성인 것처럼 요인 그룹의 집합 사이에 편차가 있을 경우 등가 또는 이형성인 것으로 알려져 있다.정교함은 등가성까지 직렬에 부분적인 순서를 부여하고 격자를 형성하는 반면, 보통 이하의 직렬과 일반 직렬은 하위 레이트를 형성한다.두 개의 하위 정규 계열의 우월성의 존재는 슈레이어 정교화 정리다.특히 관심사는 반복 없는 최대 시리즈다.

예

막시말계 전동차

구성 시리즈는 최대 평균 이하의 연속 시리즈다.

동등하게, 각 A가_i_{i +1} A의 최대 정규 부분군인 하위 정규 계열.동등하게, 구성 시리즈는 각 요인 그룹이 단순한 하위 정규 시리즈다.

주계열은 최대 정상계열이다.

해결 가능 및 nilpotent

해결 가능한 그룹 또는 가용성 그룹은 모두 아벨리안인 하위 정규 계열의 그룹이다.
nilpotent 시리즈는 연속적인 quotent가 nilpotent일 정도로 보통 이하의 시리즈다.

nilpotent 시리즈는 그룹이 해결 가능한 경우에만 존재한다.

A central series is a subnormal series such that successive quotients are central, i.e. given the above series, $A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})$ for $i=0,1,\ldots ,n-2$ .

그룹이 영점인 경우에만 중앙 시리즈가 존재한다.

기능계열

일부 부분군 시리즈는 중심과 같은 부분군 및 정류자와 같은 운영 측면에서 기능적으로 정의된다.여기에는 다음이 포함된다.

p-시리즈

시로우 하위그룹과 같은 아이디어와 관련된 프라임 파워 순서나 프라임 파워 지수의 하위그룹에서 나오는 시리즈가 있다.

참조

^ Ol'shanskii, A. Yu. (1979). "Infinite Groups with Cyclic Subgroups". Soviet Math. Dokl. 20: 343–346. (독글의 영문 번역). Akad. Nauk SSSR, 245, 785–787)
^ Sharipov, R.A. (2009). "Transfinite normal and composition series of groups". arXiv:0908.2257 [math.GR].

[1] Ol'shanskii, A. Yu. (1979). "Infinite Groups with Cyclic Subgroups". Soviet Math. Dokl. 20: 343–346. (독글의 영문 번역). Akad. Nauk SSSR, 245, 785–787)

[2] Sharipov, R.A. (2009). "Transfinite normal and composition series of groups". arXiv:0908.2257 [math.GR].

[1]

[2]

Search