삼각형 각도의 합

유클리드 공간에서 삼각형의 각도의 합은 직각(180도, $π$ 라디안, 2개의 직각 또는 반 바퀴)과 같다. 삼각형은 3개의 각도를 가지며, 각 꼭지점에 하나씩 인접 면의 한 쌍으로 경계를 이룬다.

이 합이 다른 기하학적 구조가 존재하는지 여부는 오랫동안 알려지지 않았다. 이 문제가 수학에 미치는 영향은 특히 19세기 동안 강력했다. 궁극적으로, 그 답은 양성으로 증명되었다. 다른 공간(지오메트리)에서는 이 합이 더 크거나 적을 수 있지만, 그 다음에는 삼각형에 의존해야 한다. 180°와 다른 점은 각도 결함의 경우로서 기하학적 계통의 중요한 구분이 된다.

평행 가설과 "각도의 합은 180°와 같다" 문장의 등가성

경우들

유클리드 기하학

유클리드 기하학에서 삼각형은 삼각형의 각도의 합이 두 개의 직각이라고 가정한다. 이 가정은 평행 가정과 동일하다.^[1] 유클리드 기하학의 다른 공리가 있는 경우, 다음 문장은 동등하다.^[2]

삼각형 위치 지정: 삼각형의 각도의 합은 두 개의 직각이다.
플레이페어의 공리: 직선과 선이 아닌 점이 주어진 경우, 주어진 선과 평행한 점을 통해 정확히 하나의 직선을 그릴 수 있다.
프로클러스의 공리: 한 선이 두 개의 평행선 중 하나를 교차하는 경우 다른 선도 교차해야 한다.^[3]
등거리성 자세: 평행선은 등거리 어디에나 있다(즉, 한 선의 각 점으로부터 다른 선까지의 거리는 항상 동일하다).
삼각형 영역 속성: 삼각형의 면적은 우리가 원하는 만큼 넓을 수 있다.
3점 특성: 3점은 선 위에 눕거나 원 위에 눕는다.
피타고라스의 정리: 직각 삼각형에서 저선형의 정사각형은 다른 두 변의 정사각형의 합과 같다.^[1]

쌍곡 기하학

쌍곡선 삼각형의 각도의 합은 180° 미만이다. 각 결함과 삼각형의 부위의 관계는 요한 하인리히 램버트에 의해 처음 증명되었다.^[4]

쌍곡 기하학이 플레이페어의 공리, 프롤러스의 공리(비간격으로 정의되는 병렬은 쌍곡면에서는 자동적, 쌍곡면에서는 자동적, 등거리적), 등거리적 위치(주어진 선의 한 쪽에 있는 점, 그리고 같은 선에서 나온 점들은 선을 형성하지 않는다), 피타고라스의 정리를 어떻게 깨뜨리는가를 쉽게 알 수 있다. 원은^[5] 임의로 작은 곡률을 가질 수 없으므로 3점 속성도 실패한다.^[6]

각도의 합은 임의로 작을 수 있다(그러나 양). 쌍곡선 삼각형의 일반화인 이상적인 삼각형의 경우, 이 합은 0과 같다.

구형 기하학

구면 삼각형의 경우 각도의 합은 180° 이상이며 최대 540°까지 될 수 있다. 구체적으로 각도의 합은

180° × (1 + 4f ),

여기서 f는 삼각형으로 둘러싸인 구 면적의 분수다.

구형 기하학은 유클리드 공리의 몇 가지 공리(평행 가설 포함)를 만족하지 않는다는 점에 유의하십시오.

외부 각도

그림에는 내부 각도와 함께 외부 각도가 표시되며, 가장 오른쪽 꼭지점에 대해서는 =/)로 표시된다.

삼각형의 인접 면 사이의 각도는 유클리드 및 기타 기하학에서 내부 각이라고 한다. 외부 각도 정의할 수 있으며, 유클리드 삼각형 체계는 외부 각도 정리로서 공식화할 수 있다. 또한 유클리드 사례에서 360°^[7]에 해당하는 세 가지 외부 각도의 합(볼록 폴리곤의 경우)을 모두 고려할 수 있으며, 구면 케이스에서는 360° 미만이며 쌍곡면 케이스에서는 360°보다 크다.

차동 기하학에서

표면의 차등 기하학에서 삼각형의 각도 결함에 대한 문제는 닫힌 곡선의 곡면성이 함수가 아니라 삼각형의 꼭지점인 정확히 3개의 점에서 지지를 받는 측정인 가우스-보넷 정리의 특수한 사례로 이해된다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
^ Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
^ 본질적으로, 평행주의의 전이성.
^ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, p. 99, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
^ 중심에서 고정된 거리에 있는 점 집합으로 정의된다.
^ 미분 측량학적 의미로 정의된다.
^ 외부 각도의 정의에서 내부 각도와 직각으로 요약된다. 그래서 세 개의 내부 각도의 합에 추가된 세 개의 외부 각도의 합은 항상 세 개의 직각을 준다.

[Parallel-1] Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.

[Devlin-2] Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3.

[3] 본질적으로, 평행주의의 전이성.

[4] Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, p. 99, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.

[5] 중심에서 고정된 거리에 있는 점 집합으로 정의된다.

[6] 미분 측량학적 의미로 정의된다.

[7] 외부 각도의 정의에서 내부 각도와 직각으로 요약된다. 그래서 세 개의 내부 각도의 합에 추가된 세 개의 외부 각도의 합은 항상 세 개의 직각을 준다.

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