포아송 커널

수학에서, 그리고 특히 잠재 이론에서 포아송 커널은 일체형 커널로, 단위 디스크의 디리클레트 경계 조건을 감안하여 2차원 라플라스 방정식을 푸는 데 사용된다.낟알은 라플라스 방정식에 대한 그린의 함수의 파생물로 이해할 수 있다.그것은 시메온 푸아송의 이름을 따서 지어졌다.

포아송 커널은 일반적으로 제어 이론에서 응용 프로그램을 찾고 전기 공학에서 2차원 문제를 발견한다.실제로 포아송 커널의 정의는 종종 n차원 문제로 확장된다.

2차원 포아송 커널

장치 디스크에서

복합 평면에서는 단위 디스크에 대한 포아송 커널이 다음과 같이 주어진다.

P_{r}(\theta )=\sum _{n=--\flotty }^{n}e^{in\thea }={\frac{1-r^{2}}:{1-2r\cos \cos \cos \ta +r^{2}}}}}=\operatorname {Re} \왼쪽({\frac {1+re^{i\theta }}}{1-re^{i\tea }}\ \ 0\leq r<1).

이는 r과 θ의 함수로서 또는 r에 의해 지수화된 θ의 함수로서 생각할 수 있다.

$D=\{z:|z|<1\}$ = $D=\{z:|z|<1\}$ { $D=\{z:|z|<1\}$ : $D=\{z:|z|<1\}$ < $D=\{z:|z|<1\}$ } ${\displaystyle$ D $=\{z: z <1\}}}}$ 이 $D=\{z:|z|<1\}$ (가) C의 오픈 유닛 디스크, T는 디스크의 경계, f는¹ L(T)에 있는 T의 함수인 경우, u는 다음을 통해 부여한 기능이다.

{\dapplaystyle u(re^{i\teta }}={\frac {1}{2\pi }\int_{-\pi }P_{r}(\t)f(e^{it}),\mathrm {d}t,\quad 0\leq<1}

D로 조화되며 디스크의 경계 T에 있는 가장 먼 곳 어디에나 동의하는 방사상 한계가 있다.

u의 경계값이 f라는 사실은 $r$ → $1$ 로서 $함수 r$ P $(θ$ )가콘볼루션 대수 L¹(T)에서 대략적인 단위를 형성한다는 사실을 이용하여 주장할 수 있다.선형 연산자로서, 그들은^p L(T)에서 Dirac 델타 함수를 점으로 나타낸다.최대 원리에 의해, u는 D에서 유일하게 그러한 조화 함수다.

이 근사 단위를 가진 경련은 L¹(T)의 함수의 푸리에 시리즈에 대한 만족도 커널의 예를 제공한다(Katznelson 1976).f ∈ L¹(T)에 푸리에 시리즈 {f_k}을(를) 갖도록 한다.푸리에 변환 후, P_r(θ)^{[further explanation needed]}와의 콘볼루션은 {r^k} ∈ z¹(Z) 시퀀스에 의해 곱셈이 된다.결과물 {rf^k_k}의 역 푸리에 변환을 취하면 아벨은 다음과 같은 Af_r of f:

A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z}}{f_{k}r^{k}k ^{2\pi icx}.

이 절대적으로 수렴된 시리즈를 재배열하면 f가 g + h의 경계값이며, 여기서 g(resp)는 g(resp)이다.h)는 D의 홀로모르픽(resp. antholomorphic) 함수다.

또한 고조파 확장을 홀로모르픽이라고 요구할 때, 해결책은 하디 공간의 요소들이다.f의 마이너스 푸리에 계수가 모두 사라질 때 그렇다.특히 포아송 커널은 단위 디스크의 하디 공간과 단위 원의 등가성을 입증하는 데 흔히 사용된다.

H^p(z)에서 함수의 T에 대한 한계인 함수의 공간을 H^p(T)라고 할 수 있다.L^p(T)의 폐쇄된 서브공간(적어도 p ≥ 1)이다.L^p(T)은 바나흐 공간이기 때문에(1 ≤ p ∞용) H^p(T)도 마찬가지다.

상단 하프 평면에

장치 디스크는 특정 뫼비우스 변환을 통해 상단 하프 평면에 일치하게 매핑될 수 있다.조화함수의 등정 지도도 조화롭기 때문에 포아송 커널은 위쪽 반평면으로 넘어간다.이 경우 포아송 적분 방정식은 형태를 취한다.

u(x+iy)=\int_{-\infit }^{\p_{y}(x-t)f(t)\,dt,\qquad y>0.

알맹이 자체는 다음에 의해 주어진다.

P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}.

실제 라인에서 통합 가능한 함수의 L 공간인^p $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ f $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ ( R $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle$ f $\in L^{p}(\mathb {R} )$ 를 감안할 때 u는 위쪽 하프 평면으로 f의 고조파 확장으로 이해할 수 있다.디스크의 상황과 유사하게, u가 상부 하프 평면에서 홀로모르픽일 때, u는 Hardy 공간의 요소, $H^{p},$ $H^{p},$ , ${\displaystyle$ H $^{p},$ 특히 $H^{p},$ ,

\ \ _{H^{p}=\ f\ _{L^{p}}

Thus, again, the Hardy space H^p on the upper half-plane is a Banach space, and, in particular, its restriction to the real axis is a closed subspace of $L^{p}(\mathbb {R} ).$ The situation is only analogous to the case for the unit disk; the Lebesgue measure for the unit circle is finite, whereas that for the진짜 라인은 그렇지 않다.

온 더 볼

$r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ $r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ 의 공의 경우 $r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ $r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ r isson R n , $r,B_{r}\subset \mathb {R} ^{n}}}$ 포아송 커널은 형식을 $r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},$ 취한다.

P(x,\zeta )={\frac {r^{2}- x ^{2}}:{r\omega _{n1} x-\zeta ^{n}}}}

여기서

x\in B_{r},\zeta \in S

x\in B_{r},\zeta \in S

x\in B_{r},\zeta \in S

r

x\in B_{r},\zeta \in S

x\in B_{r},\zeta \in S

x\in B_{r},\zeta \in S

S {\

displaystyle x\in B_{

r},\

zeta \in

x\in B_{r},\zeta \in S

S}(

B_{r}

r {\

displaystyle

B_

{r

})

\omega _{n-1}

B_{r}

\omega _{n-1}

n -

\omega _{n-1}

1 {\

displaystyle \omega_{n-1}

는

\omega _{n-1}

장치(n - 1)-sphere의 표면적이다.

그 다음, u(x)가 S에 정의된 연속 함수인 경우, 해당 포아송 적분은 다음에 의해 정의된 함수 P[u](x)이다.

P(\displaystyle P[u](x)=\int_{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma(\zeta).}

B $B_{r}$ ${\$ r $}}$ 볼에 P[u](x)가 조화되어 있고 $B_{r}$ , r반경의 닫힌 볼에 있는 연속함수로 확장되며, 경계함수가 u와 일치함을 알 수 있다.

위쪽 반공간에

위쪽 절반 공간의 포아송 커널에 대한 표현도 얻을 수 있다. $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ + $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\$ 의 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 표준 데카르트 좌표 표시

(t,x)=(t,x_{1},\reason,x_{n}).

위쪽 절반 공간은 다음에 의해 정의된 집합이다.

\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}

H에ⁿ⁺¹ 대한 포아송 커널은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\왼쪽(t^{2}+\왼쪽\x\{2}\오른쪽)^{{n+1)/2}}:

어디에

c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}.

위쪽 절반 공간에 대한 포아송 커널은 아벨 커널의 푸리에 변환으로 자연스럽게 나타난다.

K(t,\xi )=e^{-2\pi t \xi}}

여기서 t는 보조 매개변수의 역할을 가정한다.재치있게.

P(t,x)={\mathcal {F}(k)(t,\cdot ))=\int_{\mathb {R}^{n}e^{n}{-2\pi t \xi \cdot x}\,d\xi.

특히, 적어도 형식적으로는, 콘볼루션(convolution)이 있다는 것은 푸리에 변환의 속성으로부터 명확하다.

P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)

라플라스 방정식의 해결책이야

또한

t →

0

으로,

적절한

의미

로 P

[u](t, x

) → u

(x)

를 나타낼 수 있다.

참고 항목

슈바르츠 적분 공식

참조

Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
Axler, S.; Bourdon, P.; Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
Weisstein, Eric W. "Poisson Kernel". MathWorld.
Gilbarg, D.; Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7.

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