필수연장

수학, 특히 모듈 이론에서, 서브모듈 N이 있는 링 R과 R-모듈 M이 주어진다면, 모듈 M은 M의 모든 서브모듈 H에 대해 N(또는 N은 M의 필수 서브모듈 또는 큰 서브모듈이라고 한다)의 필수적인 확장이라고 한다.

${\displaystyle \mathrm{H}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle N}$=${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\$ N$=\{0\}\,}$은(는) $H{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ H$=\{0\}\,},}$을(를) 암시한다$$.

특별한 경우로서, R의 필수좌파 이상은 좌측 모듈 R의 하위 모듈로서 필수적인 왼쪽 이상이다.왼쪽 이상은 0이 아닌 교차점이 있고 왼쪽이 아닌 R의 이상도 있다.이와 유사하게, 필수 우측 이상은 정확히 우측 R 모듈 R의_R 필수 하위 모듈이다.

필수 확장에 대한 일반적인 통지는 다음과 같은 두 가지 식을 포함한다.

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$Lam 1999년) $및{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$⊴ ${\displaystyle M}${\$displaystyle N\trianglefteq M$}($$Anderson & Fuller 1992년)

필수 하위절의 이중 개념은 불필요한 하위절(또는 작은 하위절)이다.하위 모듈 N은 다른 하위 모듈 H에 대해 불필요하다.

${\displaystyle N}$+ ${\displaystyle H}$= ${\displaystyle M}$ ${\$은(는) $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\$을(를) 의미한다$.$

불필요한 하위 모형에 대한 일반적인 공지는 다음을 포함한다.

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$Lam 1999) 및 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N\ll$ M$}($Anderson & Fuller 1992)

특성.

위에 소개한 표기법에 제시된 필수 확장자의 기본적인 특성 중 몇 가지가 여기에 있다.M을 모듈로 하고, K, N, H를 K $\subseteq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq$}$N$과 함께 M의 하위 모듈로 한다.

• 분명히 M은 M의 필수 서브모듈이며, 0이 아닌 모듈의 제로 서브모듈은 절대 필수적이지 않다.
• ${\displaystyle }$$K$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K\subseteq _{e$$}N$ 및 N ${\displaystyle {}_{}}$e M ${\$$displaystyle$ K\$subseteq _{e}M}$인 경우에만$$
• ${\displaystyle }$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K\cap H$$\$$subseteq$ $_{e}M$$}$ 및 $H{\displaystyle }$ and ${\displaystyle e_{}}$ $displaystyle H\subseteq _{e}M}$인 경우에만 $해당됨$

조른의 보조정리기를 사용하면 또 다른 유용한 사실을 증명할 수 있다.M의 모든 하위 모듈 N에 대해, 다음과 같은 하위 모듈 C가 존재한다.가 존재한다.

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N\oplus C\subseteq _{e}M$

더욱이, 적절한 필수 확장자가 없는 모듈(즉, 모듈이 다른 모듈에서 필수적이면 해당 모듈과 동일)은 주입식 모듈이다.그러면 모든 모듈 M이 M의 주입 선체라고 불리는 최대 필수 확장자 E(M)를 가지고 있다는 것을 증명할 수 있다.주입식 선체는 반드시 주입식 모듈이며, 이형상까지 독특하다.또한 M을 포함한 다른 주입 모듈에는 E(M)의 복사본이 포함되어 있다는 점에서 주입 선체도 미미하다.

많은 특성들이 불필요한 하위 종으로 이원화되지만 전부는 아니다.다시 M을 모듈로 하고 K, N, H를 K $\subseteq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$과 함께 M의 하위 모듈로 한다.

• 제로 서브모듈은 항상 불필요한 것이며, 0이 아닌 모듈 M은 그 자체로는 결코 불필요한 것이 아니다.
• ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle N\subseteq _{s}M}$과($와{\displaystyle )}$ ${\displaystyle K{}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$${\displaystyle }$⊆ S ⊆ $/$K {\$displaystyle$ N$/K\subseteq _{s}K}$인 경우에만 해당된다.
• ${\displaystyle K}$+ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K+H\subseteq _{s}$$M}$과(와) ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $K$$\subseteq _{s}M}$인 경우에만 해당된다$.$

모든 모듈은 주입 모듈(주입 선체)에서 이미지가 필수적인 단모형을 통해 매핑될 수 있으므로, 이중 진술이 사실인지, 즉 모든 모듈 M에 대해, P에서 커널이 불필요한 M으로 투영 모듈 P와 경구성이 있는지 물어볼 수 있다.(이러한 P를 투영 커버라고 한다.)답은 일반적으로 "No"이며, 오른쪽 모듈이 모두 투사형 커버를 가지고 있는 특별한 등급의 링은 오른쪽 완벽한 링의 등급이다.

나카야마의 보조정리기의 한 형태는 M이 R보다 정밀하게 생성된 모듈일 때 J(R)M이 M의 불필요한 서브모듈이라는 것이다.

일반화

이 정의는 임의의 아벨 범주 C로 일반화할 수 있다.본질적인 확장은 0이 아닌 모든 하위 객체 s : N → E, 섬유 제품 N ×_E M ≠ 0에 대해 단형성 u : M → E이다.

일반적인 범주에서, 어떤 형태론 g : Y → Z가 단형주의인 경우, g °f가 단형주의인 경우에만 형태론 f : X → Y가 필수적이다(Porst 1981, 도입).g를 Y의 정체성 형태론이라고 하는 것은 본질적 형태론 f가 반드시 단성형이어야 한다는 것을 보여준다.

X가 주입 선체 Y를 가지고 있다면 Y는 X의 가장 큰 필수 연장선이다(Porst 1981, 도입(v).그러나 가장 큰 본질적인 확장은 주입식 선체가 아닐 수도 있다.실제로 T₁ 공간과 연속 지도의 범주에서 모든 물체는 고유하게 가장 큰 필수 확장을 가지지만 둘 이상의 원소를 가진 공간은 주입식 선체를 가지지 않는다(Hoffmann 1981).

참고 항목

• 밀도 하위절은 필수 하위절의 특별한 유형이다.

참조

• Anderson, F.W.; Fuller, K.R. (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97845-3
• 데이비드 아이젠부드, 대수 기하학 ISBN 0-387-94269-6을 바라보는 정류 대수학
• Hoffmann, Rudolf-E. (1981), "Essential extensions of T₁-spaces", Canadian Mathematical Bulletin, 24 (2): 237–240, doi:10.4153/CMB-1981-037-1
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787. 제III.2절
• Porst, Hans-E. (1981), "Characterization of injective envelopes", Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques, 22 (4): 399–406