초기능

수학에서 과기능은 복잡한 연속 반복지수를 위한 반복함수의 비표준 명칭이다.대략, 일부 함수 f와 일부 변수 x의 경우, 초함수는 식에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\big(}f{\\big)(}\dots f(x)\dots {\big )}{\big )}}}} _{z{\text{ 기능 평가}\f}}$

그렇다면 S(z; x)는 f(x)함수의 과기능으로 해석할 수 있다.이러한 정의는 양의 정수 색인 z에만 유효하다.변수 x는 종종 생략된다.많은 연구와 초특성의 많은 적용은 이러한 초특성의 다양한 확장을 복잡하고 연속적인 지수에 적용하며 존재, 고유성 및 평가의 분석을 이용한다.아커만 함수와 테트레이팅은 초기능의 관점에서 해석할 수 있다.

역사

초특성의 분석은 기능의 부분 반복 평가의 적용에서 비롯되었다.초기능과 그 반대로 함수의 첫 번째 음전원(역 함수)뿐만 아니라 그 함수의 실제적이고 심지어 복잡한 반복도 평가할 수 있다.역사적으로, 이러한 종류의 초기 기능은 ${\displaystyle \sqrt{\exp }}$ ${\${\$sqrt {\exp$ $\};$ 함수${\displaystyle \sqrt{!}}${\$displaystyle {\sqrt {\,!$$\;}}}$은(는) 그 후 모스크바 주립대학 물리학부의 로고로 사용되었다$$.^[1]

당시 이 조사관들은 그러한 기능의 평가를 위한 컴퓨터 접근 권한을 가지고 있지 않았지만, 기능 ${\$는 !${\$보다 운이 좋았다$$.$\;}}$: 최소한 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle u}$) = ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle u}$ $){\$$displaystyle$ \$varphi }$과 같은 홀로모르픽 함수 ${\$$displaystyle \varphi (u)$의 존재.$=\exp(u)}$은(는) 헬무스 크네저에 의해 1950년에 증명되었다$$.^[2]

슈뢰더 방정식의 우아한 기능적 결합 이론에 의지하여,^[3] 크네저는 그의 증거를 위해, 관련 아벨 $함수{\displaystyle \mathcal{}}$ X {\$displaystyle${\mathcal${X$}}를 만족시키면서$$해당 아벨 함수 X ${\$displaystyle {\$mathcal$ {X$}}$을(를) 통해 지수 맵의 "초기능"을 구성했다.

${\displaystyle {\mathcal {X}(\exp(u))={\mathcal{X}(u)+1.\ }$

X${\displaystyle \mathcal{}(S}$( ${\displaystyle z;}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$(${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z}$ ${\$$={\mathcal{X}(u)+z$ Kneser가 발견한 역함수,

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal{X}^{-1}(z+{\mathcal{X})(u)}$

전체 초우량(super-exponential)이며, 실제 축에서는 실제가 아니지만, 전체 초우량(super-exponential)이며, $조건{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$;${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S (0;x)=x}$은 전체$$ 초우량(supponential)에 대해 실현될 수 없기 때문에 사분열로 해석할 수 없다.실제 ${\displaystyle \sqrt{\exp }}$ ${\$은(는 역시 superrexponential) 사방으로 구성할 수$$ 있으며, 반면에 real${\displaystyle \sqrt{!}}$ ${\$$\;}}}$은(는) 초인자로 구성할 수 있다$$.

확장

상기 서문의 재발식은 다음과 같이 기재할 수 있다.

${\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~~\all z\in \mathb {N} :z>0}$

$[\displaystyle S(1)=f(x)]}$

마지막 방정식 대신 정체성 함수를 쓸 수 있고

${\displaystyle S(0)=x~~,}$

과기능 S의 정의 범위를 음이 아닌 정수로 확장한다.그러면, 사람들은 추측할 수 있다.

${\displaystyle S(-1)=f^{-1(x),}$

유효성의 범위를 -2보다 큰 정수까지 확장한다.

예를 들어 다음 확장자는

${\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}$

사소한 것이 아니다$.$ $왜냐하면{\displaystyle }$ $역함수$가 x ${\displaystyle$ x}의 일부 값에 대해 정의되지 않을 수 있기 때문이다$.$ 특히 테트레이팅은 일부 실제 베이스 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 대한 지수의 과기능으로 해석될 수 있다$.$ 이 경우,

${\displaystyle f=\exp _{b}.}$

그리고 x = 1에서

${\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}$

그렇지만

${\displaystyle S(2)=\log _{b}0}$

정의되지 않음.

인수의 비정수 값까지 확장하려면 초기능을 다른 방식으로 정의해야 한다.

복잡한 숫자의 $경우{\displaystyle }$,$$${\$$displaystyle$$a}$이$($가) 연결된 $도메인{\displaystyle }$ D${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle C\mathbb{}}${\$displaystyle$ D$\subseteq \mathb {C$에 속하며, $도메인{\displaystyle }$D {\$displa$에 있는 홀로모르픽 함수 f의 슈퍼 기능$({\displaystytyle$ $a}$에서 b$\})$이(으)이$)$인 경우$ystyle D}$은(는) $도메인{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$의 함수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$ 홀로모르픽이며$,$ 다음과 같다.

$(\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S)(z)~\all z\in D:z\!+\!1\in D\ }$

$S(a)=b.\ }$

유니크함

일반적으로 과기능은 독특하지 않다.주어진 기본 함수 $f{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $f}$의 경우$,$ $주어진{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mapsto }$ d${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ d$)${\$displaystyle$ $S}$로부터$,$ 또 ${\displaystyle \mathrm{다른}}{\displaystyle }$( d${\displaystyle d}$)$${\$displaystyle (a\mapsto$ d$)}$의 $슈퍼기능$ G ${\displaystystystyle G}$을 다음과 같이 구성할 수 있다$$.

$(\displaystyle G(z)=S(z+\mu(z))\ }$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는${\displaystyle )}$ $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu (a)=0}$과 같은 적어도 실제 축 근처에서는 홀오모르픽함수다$.$

변형된 과기능은 홀로모피의 범위가 더 좁을 수 있다.가능한 초기능의 다양성은 홀로모피 범위 폭이 0이 되는 제한 사례에서 특히 크다. 이 경우 실제 분석적 초기능을 다룬다.^[4]

만약 holomorphy의 범위 필요한 충분히 크다면, 그 기능 항진이 특별하기, 몇몇 특정한 기본 기능에 H{H\displaystyle}. 특히 b>에, 지수 함수 b의(C, 0↦ 1){\displaystyle(C,0\mapsto 1)}기능 항진{\displaystyle \exp_{b}}1{\displaystyle b> 1}, 것으로 예상된다.ca은Lled tetration과 고유 C적어도){z∈ C:ℜ(z)>− 2}{\displaystyle C=\{z\in \mathbb{C}일:~\Re(z)>, -2\}}사건은 b>;것으로 생각된다 exp⁡(1/e){\displaystyle b>, \exp(1/\mathrm{e})},[5]지만까지 2009년 이루는 독특한 추측이었다 말하지 말고 정리와 정식으로 수학적 p.지붕.

예

이 짧은 초특기 초특기 모음은 에 설명되어 있다.^[6]어떤 초특징은 초특급 기능을 통해 표현될 수 있다. 초특급특징은 말할 것도 없이 사용된다.예를 들어 단위 증분을 의미하는 전송 함수 "+"의 경우, 초기능은 상수를 추가하는 것에 불과하다.

덧셈

Chose a complex number ${\displaystyle c}$ and define the function ${\displaystyle \mathrm {add} _{c}}$ by ${\displaystyle \mathrm {add} _{c}(x)=c+x}$for all ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$. Further define the function ${\displaystyle \mathrm {mul_{c$$}}}$ by$$ $m{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ l${\displaystyle {}_{}}$c${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle cx}$ x$${\$displaystyle \mathrm {mul_{c}}(x)=c\cdot$ $x$$}$ $x$ \$displaystyle$ x$\in \mathb {C$

그러면 함수 $S{\displaystyle (z}$; ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle m\mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {l\mathrm{}}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ S$(z;x)=x+\mathrm{c}}(z)}$는 C에서 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 함수 과기능이다$$.

곱하기

지수 ${\displaystyle {exp}_{}}$ c ${\$는 $함수{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ m ${\displaystyle {}_{}}$ l$${\$displaystyle \matrmatrm {mul} _{c}$의 (1 ~ $c{\displaystyle }$ ${\displaystystyle c$ 과기능이다$.$

2차 다항식

아래의 마지막을 제외한 예들은 본질적으로 슈뢰더가 1870년 논문을 선구한 것에서 나온 것이다.^[3]

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=2x^{2}-$1}$$$그러면$

${\displaystyle S(z;x)=\cos(2^{z}\arccos(x))}$

$({\displaystyle C\mathbb{}}$, ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$→ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$) ${\displaystyle(\mathb {C}, ~0\!\오른쪽$ 화살표 $\!1)}$의 f의 초기능$$(이중 궤도)이다.

정말,

${\displaystyle S(z+1;x)=\cos(2\cdot 2^{z}\arccos(x)=2\cos(2^{z}\arccos(x))=2\cos(2^{z)^{2}-1=f(S(z;x))\ }$

및 $S{\displaystyle (0}$ ;${\displaystyle x}$) =${\displaystyle x}$ .${\displaystyle$ S$(0;x)=x.}$

이 경우 초기능 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 주기적인데$$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{주기}}{}}$ T${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$2${\displaystyle \frac{}{}}$) i ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 9.0647202836543876194}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T={\frac$ {$2\pi }{\ln(2)}i\$ 9$.0472028543876194\!$$~i}$; 과기능은 실제 축에서 음의 방향으로 단결에 접근한다.

$\displaystyle \lim _{z\오른쪽 화살표 -\flotty }S(z)=1.\ }$

대수함수

마찬가지로

${\displaystyle f(x)=2x{\sqrt{1-x^{2}}:$

반복 궤도를 가지고 있다.

${\displaystyle S(z;x)=\sin(2^{z}\arcsin(x)).}$

이성함수

일반적으로 전송(스텝) 함수 f(x)가 전체 함수일 필요는 없다.meromorphic 함수와 관련된 예는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1-x^{2}}}~~~~~\forall x\in D}$; ${\displaystyle ~D=\mathbb {C} \setminus \{-1,1\}.$$}$

그것의 반복 궤도(초능)는

${\displaystyle S(z;x)=\tan(2^{z}\arctan(x))}$

C에, 함수 S의 특이점을 제외한 복잡한 숫자의 집합.이를 확인하려면 이중 각도 삼각법 공식을 호출하십시오.

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )^{2}}}~~\forall \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{\alpha \in \mathbb {C} :\cos(\alpha )=0{\text{ or }}\sin(\alpha )=\pm \cos(\alpha )\}.}$

지수

> ${\displaystyle b>1$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle u}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(u$ ${\displaystyle )\{}$b$}(u)=\expect _{$$}(u$ ={ z C : ()- {\$displaysty$ C$=\z\in \mathb {C}$ : ($u)-2$테트레이션 $t{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) a${\displaystyle }$(${\displaystyle C_{}}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \text{0}\mathrm{}}$→ $){\displaystyle (C,$ ~$0\!\오른쪽$ 화살표 \!1) expect ${$b$$$}}}$ expressstylement $style \exyp_{b}$이다$.$

아벨 함수

적절한 주장 x에 대한 과함수의 역기능은 아벨 방정식의 해법인 아벨함수로 해석될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {X}(\exp(u))={\mathcal{X}(u)+1.\ }$

그래서

${\displaystyle {\mathcal{X}(S(z;u)))={\mathcal{X}(u)+z.\ }$

정의 시 역함수는 다음과 같다.

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal{X}^{-1}(z+{\mathcal{X})(u),}$

적합한 도메인 및 범위(존재하는 경우).S의 재귀속성은 그때 자명하다.

왼쪽 그림은 ${\displaystyle {\exp }^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp ^{1}\!$로부터의 전환의 예를 보여준다.$=\!\exp }$ ${\displaystyle {\mathrm{exp<img\; alt="\backslash exp^\{1\}\backslash !=\backslash !\backslash exp\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/877d9047dd08bb66f489fd4a852932db3dd1c542"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.483ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="232">}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}{}^{}}$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!$$\ln }$. The iterated function ${\displaystyle \exp ^{z}}$ versus real argument is plotted for ${\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}$. The tetrational and ArcTetrational were used as superfunction ${\displaystyle S}$ and Abel function $$${\displaystyle \mathrm{지수}}$ 분포의$$ $[\displaystyle A}$오른쪽 그림은 복잡한 평면에서 이러한 기능을 보여준다.비 음의 정수 반복수에서 반복 지수에는 전체 함수가 되며, 비인정수 값에서는 자연 로그의 $고정점{\displaystyle }$ L${\displaystyle L}$과 L$∗{\$ L$^{*}$에 해당하는 두 개의 분기점이 있다.${\displaystyle z\mathrm{}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle$ z$\!$$\geq \!0$ 함수 ${\displaystyle {\exp }^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \exp ^{z}(x)}$ 적어도 ( )3$[\displaysty \Im$ ($z)$<\$Im (L)\ 약 1.3}$에는 홀로모르픽으로 남아$$ 있다.

초기능 및 아벨 함수의 응용

일반적으로 초기능, 즉 초기능은 컴퓨터 내 숫자의 부동소수표현상 업그레이드를 위한 빠른 성장 기능으로 제안된다.그러한 업그레이드는 여전히 무한대와 구별할 수 있는 거대한 숫자의 범위를 크게 확장시킬 것이다.

그 밖의 응용 프로그램에는 함수의 부분 반복(또는 부분 역률) 계산이 포함된다.임의의 홀로모르프 함수는 전송함수에 식별될 수 있으며, 그 다음 초기능과 그에 상응하는 아벨함수를 고려할 수 있다.

비선형광학

광학 재료의 비선형 응답에 대한 조사에서 샘플은 광학적으로 얇게 되어 있어 통과할 때 빛의 강도가 크게 변하지 않도록 되어 있다.그 다음, 예를 들어 흡수를 강도의 함수로 고려할 수 있다.그러나 표본 내 강도의 작은 변화에서는 강도의 함수로써 흡수의 측정 정밀도가 좋지 않다.이송함수의 과기능 재구성은 비교적 두꺼운 시료로 작업할 수 있어 측정 정밀도가 향상된다.특히 절반 더 얇은 유사시료의 전달함수는 초기시료의 전달함수의 제곱근(즉, 반 반복)으로 해석할 수 있다.

비선형 광섬유의 경우도 비슷한 예가 제시된다.^[5]

비선형 음향학

균질관 내 충격파 감쇠의 비선형성을 특징짓는 것이 타당할 수 있다.이것은 기체의 흐름을 방해하지 않고 음파의 에너지를 빼내기 위해 비선형 음향 효과를 사용하여 일부 고급 머플러에서 응용 프로그램을 찾을 수 있었다.다시 말해, 비선형 응답, 즉 전달 함수의 분석은 과기능과 함께 촉진될 수 있다.

증발 및 응축

응결 분석에서는 약간의 균일한 증기 농도의 관을 통해 확산되기 때문에 작은 액체 방울의 성장(또는 기화)을 고려할 수 있다.첫 번째 근사치에서, 수증기의 고정된 농도에서, 출력 단부의 낙하 질량은 입력 질량의 전달 함수로 해석될 수 있다.이 전달 함수의 제곱근은 절반 길이의 관을 특징으로 한다.

눈사태

언덕을 굴러 내려가는 눈덩이의 질량은 이미 지나간 길의 함수로 볼 수 있다.이 경로의 고정된 길이(힐 고도에 의해 결정될 수 있음)에서 이 질량은 입력 질량의 전달 함수로도 간주할 수 있다.눈덩이의 질량은 언덕 위와 아래에서 측정하여 전달 기능을 부여할 수 있다. 그러면 눈덩이의 질량은, 눈덩이가 지나간 길이의 함수로써, 초기능이다.

작전요소

만일 어떤 주어진 전송함수 $H{\displaystyle }${\$displaystyle H}$를 가진 운영요소를 구축해야 하고, 그것을 동일한 운영요소의 두어 개에 대한 순차적인 연결로 실현하고 싶다면, 이 두 요소 각각에 $전송함수{\displaystyle h\sqrt{}}$ =$$H {\$displaysty$h={\$sqrt{$H}를 가져야 한다$.$ 그러한 기능은 평가될 수 있다.전송 함수 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 과기능과 아벨 기능을 통해 에드가 전달됨$.$

조작 요소는 어떤 기원을 가지고 있을 수 있다: 전자 마이크로칩이나 기계적인 곡물 커플, 또는 다른 액체로 채워진 어떤 비대칭 U-튜브 등으로 실현될 수 있다.

참조

본 기사에는 Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License에 따라 라이센스를 받았으나 GFDL에 따라 라이센스를 받은 Citizensium 기사 "Superfunction"의 자료가 포함되어 있다.

외부 링크

• 슈퍼기능 - TORI - 미즈가드로, 드미트리 코우즈넷소프 연구 현장