대칭 감소 재배열

수학에서 함수의 대칭 감소 재배열은 대칭적이고 감소하는 함수로서, 수준 집합이 원래 함수의 그것과 같은 크기인 함수다.^[1]

집합 정의

$측정$할 수 있는 세트가 주어지면, R에서ⁿ A ${\displaystyle$ $A}$의 대칭 재배열을 정의하는데$,$ $A{\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ A$^{*}$라고 하는 공은, 볼륨(Lebeg 측정)이 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 볼륨과 동일하다$.$

동등한 정의는

${\displaystyle A^{*}=\{x\in \mathbf {R}^{n:\,\omega _{n}\cdot x ^{n}< A \}}}$

여기서 ${\displaystyle {\Omega n}_{}}$ ${\$는 단위 공의 볼륨이고, 여기서 ${\displaystyle A}$ $displaystyle$ A$}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 볼륨이다$.$

함수에 대한 정의

수준이 $f{\displaystyle {}^{}}$ - 1${\displaystyle {}^{}y}$) ${\displaystyle$ f$^{-1(y)}($${\displaystyle }$ )(Y${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$ y$\in \mathb$ {$R} _{\geq$ 0$\})$로 설정된 음수가$$ 아닌 측정 가능한 실제 값 $함수$ f ${\displaystystystylef}$의 재배치는 유한하다.

${\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infit }\mathb {I}_{\{y:f(y)\}^{*(x)\,dt,}$

${\displaystyle {}_{}}$서 $I{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$는 집합$$ A의 지표 함수를 나타낸다.즉 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$^{*}(x)}$의 값은$$ : () > }{\$displaystyle$\{$y:f(y)t\}}}}$의 대칭 재배열 $반경$이 x :$${\$displaystyle x}$과 같은 높이 t$}$을 부여한다$.$ 이러한 정의에 대한 다음과 같은 동기가 있다.왜냐하면 정체성이

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infit }\mathb {I} _{\{y:g(y)\}}t\,dt,}$

음이 아닌 함수 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g$에 대해 holds $for{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ non-negative 함수 g $displaystyle$A}=\$mathb {I}$_{$A^{$A^}}}}}}}}}}을(를) 고정하도록$$ 강제하는 고유한 정의가 된다.

특성.

$함수{\displaystyle {}^{}}$ f${{\$는 수준 집합이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$의 수준 집합과 동일한 측정값을 갖는 대칭 및 감소 함수다$$.

${\displaystyle \{x:f^{*(x)>t\} = \{x:f(x)>t\} .}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle L^{}}$ p ${\$ L$^{p}}$의 함수인 경우$,$

${\displaystyle \ f\ _{L^{p}=\ f^{*}\ _{L^{p}}.}$

하디-리틀우드 불평등은 지속된다.

$\displaystyle \int fg\leq \int f^{*}g^{*}.}$

게다가, Polya-Szegh 불평등은 지속된다.$이것$은 만약 $<{\displaystyle 1\leq$ p$<\nfty },$ f ${\displaystyle \in }$ W $1$이면${\displaystyle p^{}}$ ${\$라고 되어$$ 있다.

$\displaystyle \\ \bla f^{*}\ _{p}\{p}\{p}\{p}.}$

대칭 감소 재배열은 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 거리를$$ 보존하고 감소시키는 순서다.

${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}}$

그리고

${\displaystyle \f-g\ _{L^{p}\{L^{p}\{L^{p}}\f^{{L^{p}}.}$

적용들

Polya-Szegh 불평등은 한계 사례에서 ${\displaystyle \mathrm{p}}$= 1 $[\displaystyle p=1$}을$($를$)$ 사용하여 등측 불평등을 산출한다.또한, 조화 함수와의 관계를 이용하여 레일리-파버-크론 불평등을 증명할 수 있다.

비대칭 감소 재배열

또한 f*를 모든 R이ⁿ 아닌 음수가 아닌 실수에 대한 함수로 정의할 수 있다.^[2]Let (E,μ) be a σ-finite measure space, and let ${\displaystyle f\colon E\to [-\infty ,\infty ]}$ be a measurable function that takes only finite (i.e., real) values μ-a.e. (where "μ-a.e." means except possibly on a set of μ-measure zero).규칙으로$$ 분배 함수 ${\displaystyle \mathrm{\mu f}{}_{}}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle \mu _{f}\colon [0,\ft ]\to [0,\fty]}$를 정의한다.

$\displaystyle \mu _{f}=\mu \{x\in E\colon \vert f(x)\vert >s\}.}$

이제 규칙으로$$ f의 감소하는 재배열(${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 때로는 증가하지 않는 재배열)을 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ :${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ 함수 f,$$∞ ] [\$displaystyle$ f$^{*}\colon [0,\infty )\to [0,\infty ]$로 정의할 수 있다.

${\displaystyle f^{*(t)=\inf\{s\inf\{s\inf[0,\infit ]\mu _{f}\leq t\}.}$

이 감소 재배열 버전은 음수가 아닌 실제 숫자에 대해서만 정의되므로 대칭적이지 않다는 점에 유의하십시오.그러나 위에 열거한 많은 동일한 속성, 즉 다음과 같은 대칭 버전을 계승한다.

f와 f*는 동일시할 수 있다. 즉, 동일한 분포 함수를 가지고 있다.

하디-리틀우드 불평등은 유지된다$.$ 즉,${\displaystyle {}_{}}$i E ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}^{}}$0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}t}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( t${\displaystyle }$) $.$ {\$d}$ fg$\;d$\mu $\leq$ \$int \{0}^{0}{{f^{*}(t)g^{*}}(t$);d\d\\\d$.$$}$

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle g}$ ${\$μ-a$$.e는 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ g ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$≤ ≤ { { $\$ {\$displaystyle$ f$^{*}\leq$ g$^{*}}}}}}}}}$을 의미한다$.$

${\$$^{*}=$ f$^{*}}$ 모든 실수 a에 $대해$.

${\displaystyle (f+g)^{*}(t_{1}+t_{2})\leq f^{*}(t_{1})+g^{*}(t_{2})}$ for all ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [0,\infty )}$.

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle \uparrow {}_{}}$ ${\displaystyle f}$ $displaystyle f_{n} \uparrow$ f $}$μ-a$$.e는 ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ↑ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ f$^{*}}}}}}}}}$을(를) 의미한다$.$

${\displaystyle (f}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle p^{}}$ ${\$p}}}{*=($f^{*}){p}}}$ 모든 양의 실수 p에 대해$$.

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L_{}}_{}}$ ${\displaystyle {p{}_{}}_{}}$( E${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \Vert }$ f ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ p${\displaystyle {{}_{}}_{}}$[ 0 ,${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}}$) ${\$\$f\ _{L_{p}(E)}=\ f^{*}\{L_{p}[0,\infty )}}}}}$ 모든 양의 실수 p에 대해$$.

${\displaystyle \ \{L_{\inflt }=f^{*}(0)}$

(nonsymmetric) 감소하는 재배열 함수는 흔히 재배열-내변함수 공간 이론에서 발생한다.특히 중요한 것은 다음과 같다.

룩셈부르크 표현 정리.$공진{\displaystyle }$ 측정 공간$({\displaystyle E}$, ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (E,\mu )}$에 대해 rearrange {\$displaystyle {\displaystyle$ \rho$}$을(를) 재배열-변속 Banach 함수 규범이 되도록$$ 한다$.$Then there exists a (possibly not unique) rearrangement-invariant function norm ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$ on ${\displaystyle [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle \rho (f)={\overline {\rho }}(f^{*})}$ for all nonnegative measurable functions ${\d$유한 값 μ-a.e인$$ $isplaystyle f\colon E\to [0,\infully$].

상기 정리에서 모든 용어(즉, 바나흐 함수 규범, 재배열-상변형 바나흐 함수 공간, 공명 측정 공간)의 정의는 베넷과 샤플리의 책(cf. 이하 참조) 제1절과 제2절에서 찾을 수 있다.

참고 항목

• 등측 부등식
• 레이어 케이크 표현
• 랠리-파버-크란 불평등
• 리에즈 재배열 불평등
• 소볼레프 공간
• 체게 부등식

참조