템플리-리브 대수

통계 역학에서 템플리-리브 대수학은 네빌 템플리와 엘리엇 리버에 의해 발명된 어떤 전이 행렬이 만들어진 대수다.그것은 또한 폰 노이만 알헤브라의 통합형 모델, 매듭 이론과 브레이드 그룹, 양자 그룹, 하위 요소와도 관련이 있다.

구조

생성자 및 관계

Let $R$ be a commutative ring and fix $\delta \in R$ . The Temperley–Lieb algebra $TL_{n}(\delta )$ is the $R$ -algebra generated by the elements $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n-1}$ , sub존스 관계를 유지하다:

$e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ $e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ $e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ = $e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ e $e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ ${\$ 모든 $1\leq i\leq n-1$ $1\leq i\leq n-1$ $1\leq i\leq n-1$ - $1\leq i\leq n-1$ $1\leq i\leq n-1$ 에 $e_{i}^{2}=\delta e_{i}$ 대해
$e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ + $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ i $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ = $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i+1}e_{i}=e_{i}$ ${\$ }={i $}}}$ 전체 $1\leq i\leq n-2$ ≤ $1\leq i\leq n-2$ - $1\leq i\leq n-2$ 2 $displaystyle$ 1\ $leq$ i $\leq n-2}$
$e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ $2\leq i\leq n-1$ $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ i $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ - 1 $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ i $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ = e $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ ${\$ }}}} 모든 2 $e_{i}e_{i-1}e_{i}=e_{i}$ }} $2\leq i\leq n-1$ $2\leq i\leq n-1$ $2\leq i\leq n-1$ - 1 ${\displaystyle 2\leq$ i $\leq n-1}$
$e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ = $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ e $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ e e e e e ${\$ $displaystyle$ $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{j$ }e-1 $}$ 에 $1\leq i,j\leq n-1$ 대한 $e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}$ $|i-j|\neq 1$ $1\leq i,j\leq n-1$ - j $|i-j|\neq 1$ $1\leq i,j\leq n-1$ $|i-j|\neq 1$ $1\leq i,j\leq n-1$ $1\leq i,j\leq n-1$ $≤$ $|i-j|\neq 1$ $1\leq i,j\leq n-1$ - $1\leq i,j\leq n-1$ {\ $displaysty$ 1\ $leq$ i $,$ $j\$ $neq n-1}$

이러한 관계를 이용하여 발전기 $e_{i}$ ${\$ 의 모든 제품을 Jones의 정상적인 형태로 가져올 수 있다 $e_{i}$ .

E={\big (}e_{i_{1}}e_{i_{1}-1}\cdots e_{j_{1}}{\big )}{\big (}e_{i_{2}}e_{i_{2}-1}\cdots e_{j_{2}}{\big )}\cdots {\big (}e_{i_{r}}e_{i_{r}-1}\cdots e_{j_{r}}{\big )}

where $(i_{1},i_{2},\dots ,i_{r})$ and $(j_{1},j_{2},\dots ,j_{r})$ are two strictly increasing sequences in $\{1,2,\dots ,n-1\}$ . Elements of this type form a basis of the Temperley-Lieb al지브라^[1]

템플리-리브 알헤브라의 치수는 ^[2]다음과 같다.

\dim(TL_{n}(\delta )={\frac {(2n!)}{n!(n+1)!}}

템플리-리브 대수 $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ ( $TL_{n}(\delta )$ ) $TL_{n}(\delta )$ 은 $TL_{n}(\delta )$ 브라워 대수 B ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ ( ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ ) ${\displaystyle {\mathfrak{B}_{n}(\delta )$ 의 하위격이다 ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ ^[3]템플리-리브 대수 $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ n $TL_{n}(\delta )$ ( $TL_{n}(\delta )$ ) $TL_{n}(\delta )$ 은 $\delta \in \mathbb {C} -F_{n}$ C - $\delta \in \mathbb {C} -F_{n}$ - $\delta \in \mathbb {C} -F_{n}$ n ${\$ 에 대해 구현되며 $TL_{n}(\delta )$ , $F_{n}$ 서 $\delta \in \mathbb {C} -F_{n}$ $F_{n}$ n $F_{n}$ {\ $displaystysty F_{n}$ 는 유한 집합이다 $F_{n}$ .^[4]주어진 $n$ $n$ 에 대해 $n$ 모든 semisimply Templey-Lieb Algebras는 이형성이다.^[3]

도표 대수

$TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ ( $TL_{n}(\delta )$ ) $TL_{n}(\delta )$ 은(는) 양쪽에 각각 점이 n개인 직사각형의 $2n$ 에 $2n$ {\ $displaystyle 2n}$ 포인트의 $2n$ 비교차 쌍에 걸친 벡터 공간으로 다이어그램으로 나타낼 수 있다 $TL_{n}(\delta )$ .

아이덴티티 요소는 각각의 포인트가 직사각형을 가로질러 바로 연결되는 다이어그램이다.제너레이터 $e_{i}$ $e_{i}$ ${\$ 는 좌측의 $i$ $i$ -th $i$ 및 $(i+1)$ ( $(i+1)$ + $(i+1)$ ) ${\displaystyle(i+1)}$ -th번째 $(i+1)$ 지점이 서로 연결되는 다이어그램으로 $e_{i}$ , 마찬가지로 우측의 이것과 반대되는 두 지점과 다른 모든 지점이 직사각형을 가로질러 직사각형에 직접 연결된 지점이다..

$TL_{5}(\delta )$ $TL_{5}(\delta )$ $TL_{5}(\delta )$ ( $TL_{5}(\delta )$ ) $TL_{5}(\delta )$ 의 생성자는 다음과 $TL_{5}(\delta )$ 같다.

왼쪽에서 오른쪽으로 유닛 $e_{1}$ 과 발전기 $e_{1}$ 1 ${\$ $e_{2}$ 2 ${\$ $e_{3}$ $e_{3}$ ${\$ $e_{4}$ $e_{4}$ ${\$

Multiplication on basis elements can be performed by concatenation: placing two rectangles side by side, and replacing any closed loops by a factor $\delta$ , for example ${\displaystyle e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}\ti$ $메스 e_{2}e_{4}e_{3}=\cHB \,e_{1}e_{4}e_{3}e_{2}e_{4}e_{3$ :

× = Δ ${\displaystyle \delta }.$

존스 관계는 다음과 같이 그래픽으로 볼 수 있다.

= Δ $\cHB$

=

$TL_{3}(\delta )$ $TL_{3}(\delta )$ $TL_{3}(\delta )$ ( $TL_{3}(\delta )$ ) $TL_{3}(\delta )$ 의 5가지 기본 요소는 다음과 $TL_{3}(\delta )$ 같다.

.

왼쪽에서 오른쪽으로 $e_{2}$ , e $e_{1}$ ${\$ }}, $e_{1}$ e $e_{1}$ ${\$ $1}e_{2$ }}, $e_{1}e_{2}$ $e_{1}e_{2}$ $e_{1}e_{2}$ $e_{2}e_{1}$ ${\$ 2}e_{1}2}}, e $e_{2}e_{1}$ $e_{2}e_{1}$ 1 ${\$ {1}e_ $1$ }2 $}}.$

표현

구조

For $\delta$ such that $TL_{n}(\delta )$ is semisimple, a complete set $\{W_{\ell }\}$ of simple modules is parametrized by integers $0\leq \ell \leq n$ with $\ell \equiv n{\bmod {2}}$ $\ell \equiv n{\bmod {2}}$ . 단순 모듈의 치수는 이항계수의 관점에서 다음과 같이^[4] 기록된다.

\dim(W_{\ell }}={\binom {n}{n-\ell }{2}}-{\binom {n}{\frac {n-\ell}{2}}-1

A basis of the simple module $W_{\ell }$ is the set $M_{n,\ell }$ of monic noncrossing pairings from $n$ points on the left to $\ell$ points on the right. (Monic means that each point on the right is connected to a point on the left.) $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ n $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ n , $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ n , $\cup _{\begin{array}{c}0\leq \ell \leq n\\\ell \equiv n{\bmod {2}}\end{array}}M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }$ ${\$ 사이에 자연적인 $편향성$ 이 있다 $.$ $M_{n,\ell }\times M_{n,\ell }}$ , and the set of diagrams that generate $TL_{n}(\delta )$ : any such diagram can be cut into two elements of $M_{n,\ell }$ for some $\ell$ .

그런 다음 $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ ( $TL_{n}(\delta )$ ) $TL_{n}(\delta )$ 은(는) 왼쪽에서 도표 $W_{\ell }$ 로 $W_{\ell }$ W $W_{\ell }$ {\ $displaystyle W_{\ell }}}}$ 에 작용한다 $TL_{n}(\delta )$ .^[3] (결합은 변형해야 하는 비원형 쌍을 생성할 수 있다.)모듈 $W_{\ell }$ ${\$ 은(는) 표준 모듈 또는 링크 모듈이라고 할 수 있다 $W_{\ell }$ .^[1]

$\delta =q+q^{-1}$ = $\delta =q+q^{-1}$ + $\delta =q+q^{-1}$ + 1 {\ $displaystyle \delta =q+q$ ^{-1 $}$ 가 $\delta =q+q^{-1}$ $TL_{n}(\delta )$ $q$ 인 $q$ $TL_{n}(\delta )$ T L n $){\displaysty TL_{n}(\delta$ )은 반이 구현되지 않을 수 $TL_{n}(\delta )$ 있으며 W $W_{\ell }$ = ${\$ W_ ${{{{{{{\{\}$ 은 $W_{\ell }$ $}:$

W_{\ell }{\text}{\text{redible }\f \exists j\in \{1,2,\dots,\ell \}\\c^{2n-4\ell +2+2j}=1

$W_{\ell }$ ${\$ 을 $W_{\ell }$ (^[1]를) 환원할 수 있는 경우, 최대 적정 서브모듈에 의한 해당 지분은 환원할 수 없다.

브루어 대수에서 분기 규칙

브라워 대수 ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ ( ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ $){\displaystyle {\mathfrak{B}_{n}(\delta )}$ 의 단순 모듈은 템플리-리브 대수학의 단순 모듈로 분해할 수 있다 ${\mathfrak {B}}_{n}(\delta )$ .분해를 분기 규칙이라고 하며, 양의 정수 계수를 갖는 직접 합이다.

W_{\lambda }\left({\mathfrak {B}}_{n}(\delta )\right)=\bigoplus _{\begin{array}{c} \lambda  \leq \ell \leq n\\\ell \equiv  \lambda  {\bmod {2}}\end{array}}c_{\ell }^{\lambda }W_{\ell }\left(TL_{n}(\delta )\right)

계수 $c_{\ell }^{\lambda }$ ${\$ 은(는) $n,\delta$ , $n,\delta$ $n,\delta$ 에 의존하지 않으며 $c_{\ell }^{\lambda }$ , 다음과^[4] 같이 주어진다.

c_{\ell }^{\lambda }=f^{\lambda }\sum _{r=0}^{\frac {\ell - \lambda  }{2}}(-1)^{r}{\binom {\ell -r}{r}}{\binom {\ell -2r}{\ell - \lambda  -2r}}(\ell - \lambda  -2r)!!

여기서 $f^{\lambda }$ ${\$ 은 $f^{\lambda }$ 후크 길이 공식으로 주어진 $\lambda$ given $\lambda$ 모양의 표준 Young tablea의 수입니다.

아핀 템플리-리브 대수

The affine Temperley-Lieb algebra $aTL_{n}(\delta )$ is an infinite-dimensional algebra such that $TL_{n}(\delta )\subset aTL_{n}(\delta )$ . It is obtained by adding generators $e_{n},\tau ,\tau ^{-1}$ such저것^[5]

$\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ = $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ i $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ + $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ 모든 $\tau e_{i}=e_{i+1}\tau$ $1\leq i\leq n$ $1\leq i\leq n$ $1\leq i\leq n$ $1\leq i\leq n$ n ${\displaystyle 1\leq$ i $\leq n$
$e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ = $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ 1 $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ e $e_{1}\tau ^{2}=e_{1}e_{2}\cdots e_{n-1}$ - 1 ${\$
$\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ - $\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ = $\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ - $\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ $\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ = $\tau \tau ^{-1}=\tau ^{-1}\tau ={\text{id}}$ ${\$

The indices are supposed to be periodic i.e. $e_{n+1}=e_{1},e_{n}=e_{0}$ , and the Temperley-Lieb relations are supposed to hold for all $1\leq i\leq n$ . Then $\tau ^{n}$ is central.대수의 유한 차원의. 지수는 TLn(δ){\displaystyle aTL_{n}(\delta)}, 가끔unoriented Jones-Temperley-Lieb algebra,[6]}}, 동일한 요인이 되고 δ{\delta\displaystyle}로non-contractible 라인 교체τ nx아이디{\displaystyle\tau ^{n}={\text{이드}을 가정하여 불렀다.c존재 가능한 선(예를 들어, $n=4$ n = $n=4$ {\ $displaystyle$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $=$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $n=4$ 이것은 $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ 3 $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ = $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ 2 $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ $e_{1}e_{3}e_{2}e_{4}e_{1}e_{3}=\delta ^{2}e_{1}e_{3}$ e 3 ${\$ 2} $e_{1}e_{3}=\ique ^{$ 2} $e_{1$ }e_{ $1}e_$ {1}e_ ${3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ ( $aTL_{n}(\delta )$ ) ${\displaystyle aTL_{n}(\$ $TL_{n}(\delta )$ $)}$ 의 다이어그램 대수에서 직사각형을 실린더로 변환하여 $TL_{n}(\delta )$ T $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ $TL_{n}(\delta )$ ) $TL_{n}(\delta )$ 의 다이어그램 대수에서 추론한다 $aTL_{n}(\delta )$ .대수 $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ ( $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ $aTL_{n}(\delta )$ 은 선들이 실린더 주위를 감을 수 있기 때문에 무한 차원이다 $aTL_{n}(\delta )$ . $n$ $n$ 이 $n$ (가) 짝수라면 계약할 수 없는 닫힌 권선이 존재할 수도 있다.

템플리-리브 대수학(Thermley-Lieb 대수학)은 해당 부속 템플리-리브 대수학(Thermely-Lieb 대수학)의 인용구다.^[5]

The cell module $W_{\ell ,z}$ of $aTL_{n}(\delta )$ is generated by the set of monic pairings from $n$ points to $\ell$ points, just like the module $W_{\ell }$ of ${\displayst$ $yle TL_{n}(\delta )}$ . However, the pairings are now on a cylinder, and the right-multiplication with $\tau$ is identified with $z\cdot {\text{id}}$ for some $z\in \mathbb {C} ^{*}$ . If $\ell =0$ , there is no right-multiplication ${\displaystyle \tau$ $\tau$ 에 의해 $z+z^{-1}$ + z $z+z^{-1}$ - $z+z^{-1}$ ${\$ 로 식별되는 우측에 비계약적 루프를 추가한 것이다 $z+z^{-1}$ 셀 모듈은 유한 차원이며,

{\displaystyle \dim(W_{\ell ,z}={\binom {n}{\frac {n-\ell}{2}}:

$W_{\ell ,z}$ 모듈 $W_{\ell ,z}$ $W_{\ell ,z}$ , z ${\$ $displaystyle$ $W_{\ell ,z}$ 은(는) 모든 $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ C $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ - $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ ( $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ ) ${\displaystyle z\in \mathb {C}^{*}-R(\delta )$ 에 대해 복구할 수 없으며 $W_{\ell ,z}$ $z\in \mathbb {C} ^{*}-R(\delta )$ 여기서 집합 $R(\delta )$ ( $Δ$ $R(\delta )$ {\ $delta )$ 은 카운트할 $R(\delta )$ 수 있다.z $z\in R(\delta )$ $z\in R(\delta )$ ( $z\in R(\delta )$ ) ${\displaystyle$ z $\in R(\delta )}$ , $W_{\ell ,z}$ $W_{\ell ,z}$ , $W_{\ell ,z}$ ${\$ 에 대해 해석할 수 없는 몫이 있다 $W_{\ell ,z}$ .만약ℓ ≠ 0{\displaystyle \ell \neq 0}, 그리고 z+z− 1)δ .[5]은unoriented Jones-Temperley-Lieb 대수학의 셀 모듈 zℓ=1{\displaystyle z^{\ell}=1}을 지켜야 한다. 그 기약 전지 모듈 및 상수에}TLn(δ){\displaystyle aTL_{n}(\delta)의 기약 모듈의 완전 집합을 형성한다. ${\displaystyle z+z^{-1}=\$ $displaystyle$ 인 $z+z^{-1}=\delta$ 경우 $z+z^{-1}=\delta$ .

적용들

템플리-리브 해밀턴어

상호작용 원형 얼굴 모델(예: 사각 격자 모형)을 고려하고 n $n$ 을(를) 격자 상의 사이트 수로 설정하십시오 $n$ .템플리와 립에^[7] 이어 템플리-리브 해밀턴(TL 해밀턴)을 다음과 같이 정의한다.

${\mathcal{H}=\sum _{j=1}^{n-1}(\delta -e_{j}})$

다음에 나오는 특수 사례 $\delta =1$ = $\delta =1$ ${\displaystyle \delta =$ 1}을(를 $)$ 고려한다 $\delta =1$

먼저 사례 $n=3$ = $n=3$ $n=3$ 을(를) 고려할 것이다 $n=3$ TL 해밀턴은 ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ = ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ - ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ 1 ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ - ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ ${\mathcal {H}}=2-e_{1}-e_{2}$ ${\$ 2-e_ ${1}-e_{2$ 즉

${\mathcal {H}}$ ${\$ ${\mathcal {H}}$ = 2 - .

가능한 주(州)가 두 개 있는데

그리고 .

이러한 상태에서 ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\$ 이(가) 수행하는 작업에서

${\mathcal {H}}$ ${\$ ${\mathcal {H}}$ = 2 - = - = - ,

그리고

${\mathcal {H}}$ ${\$ ${\mathcal {H}}$ = 2 - = - = - + .

${\mathcal {H}}$ ${\$ 을(를) 가능한 상태를 기준으로 행렬로 ${\mathcal {H}}$ 작성하면,

${\mathcal{H}=\좌측({\begin{array}{rrr}-1\-1&1\end{array}\오른쪽)$

고유값이 가장 낮은 ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\$ 의 고유 벡터를 접지 상태라고 한다. $\lambda _{0}=0$ 경우 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 에 $\lambda _{0}$ 대한 가장 낮은 $\lambda _{0}$ $∆$ $\lambda _{0}=0$ = $\lambda _{0}=0$ $\lambda _{0}=0$ 이(가) 된다 ${\mathcal {H}}$ $\lambda _{0}=0$ 해당 고유 벡터는 $\psi _{0}=(1,1)$ 0 $\psi _{0}=(1,1)$ = $\psi _{0}=(1,1)$ ( 1, $\psi _{0}=(1,1)$ ) ${\$ $displaystyle$ $\psi$ $_$ ${0}=(1$ $,$ $1$ 사이트 수를 변경하면 다음 $n$ 를 $n$ 찾을^[8] 수 있다 $.$

$n,$	$\cHB_{0}$	$n,$	$\cHB_{0}$
2	(1)	3	(1, 1)
4	(2, 1)	5	${\displaystyle(3_{3},1_{2}})$
6	${\displaystyle(11,5_{2,4,1)}$	7	$(26_{4},10_{2},9_{2},8_{2},5_{2},1_{2}}$
8	$(170,75_{2},71,56_{2},50,30,14_{4,6,1)$	9	$(646,\ldots )}$
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$

여기서 $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ 는 m $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ = $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ ( $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ , $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ … , $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ m $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ ) $m_{j}=(m,\ldots ,m)$ {\ $displaystyle j$ } -descape $j$ 예: $5_{2}=(5,5)$ = $5_{2}=(5,5)$ ( $5_{2}=(5,5)$ , $5_{2}=(5,5)$ ) ${\displaystyle 5_{2}=$ ( $5,5)}$ 를 사용했다 $5_{2}=(5,5)$

흥미로운 관찰은 지상 상태의 가장 큰 구성 요소인 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 가 Murray Batchelor, Jan de Gier 및 Bernard Nienhuis에서 처음 관찰한 것처럼 현장 수를 변경함에 따라 결합 열거한다는 ${\mathcal {H}}$ 것이다.^[9]^[8]온라인 정수 시퀀스 백과사전의 자원을 사용하여, Batchelor 등은 짝수 수의 사이트에 대해 발견했다.

$1,2,11,170,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-2}{2}}\좌측(3j+1\오른쪽){\frac {(2j)!(6j)!}{(4j+1)!(4j+1)!}}}\qquad (n=2,4,6,\cHB )$

홀수 사이트에 대해

$1,3,26,646,\ldots =\prod _{j=0}^{\frac {n-3}{2}}(3j+2){\frac {(2j+1)!(6j+3)!}{(4j+2)!(4j+3)!}\qquad (n=3,5,7,\cHB )$

놀랍게도, 이 시퀀스는 잘 알려진 결합 물체와 일치한다. $n$ $n$ 의 $n$ 짝수인 경우, 이 값(OEIS의 경우 시퀀스 A051255)은 주기적으로 대칭 전치 보완 평면 $n$ 에 해당하며 $,$ n {\ $displaystyle n}$ 홀수(OEIS의 시퀀스 A005156)에 $n$ 대해서는 수직 축에 대칭인 교차 부호 행렬에 해당한다.

XXZ 스핀 체인

참조

^ ^a ^b ^c Ridout, David; Saint-Aubin, Yvan (2012-04-20). "Standard Modules, Induction and the Temperley-Lieb Algebra". arXiv.org. Retrieved 2022-02-16.
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추가 읽기

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Baxter, Rodney J. (1982). Exactly solved models in statistical mechanics. London: Academic Press Inc. ISBN 0-12-083180-5. MR 0690578.

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[7] Temperley, Neville; Lieb, Elliott (1971). "Relations between the 'percolation' and 'colouring' problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the 'percolation' problem". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 322 (1549): 251–280. Bibcode:1971RSPSA.322..251T. doi:10.1098/rspa.1971.0067. JSTOR 77727. MR 0498284. S2CID 122770421.

[bach-8] Batchelor, Murray; de Gier, Jan; Nienhuis, Bernard (2001). "The quantum symmetric $XXZ$ chain at $\Delta =-1/2$ , alternating-sign matrices and plane partitions". Journal of Physics A. 34 (19): L265–L270. arXiv:cond-mat/0101385. doi:10.1088/0305-4470/34/19/101. MR 1836155. S2CID 118048447.

[9] Gier, Jan (2005). "Loops, matchings and alternating-sign matrices". Discrete Mathematics. 298 (1–3): 365–388. arXiv:math/0211285. doi:10.1016/j.disc.2003.11.060. MR 2163456. S2CID 2129159.

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