전송 행렬

응용수학에서 전이 행렬은 2척 방정식의 블록-토플릿 매트릭스 측면에서 공식화한 것으로, 리페이블 함수를 특징짓는다.리페이블 함수는 파장 이론과 유한 요소 이론에서 중요한 역할을 한다.

마스크 $h{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle h}$에서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$까지의 구성 요소 인덱스를 가진 벡터인$${\$displaystyle$ h}의 경우$,$ $여기$서는 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$라고 정의한다.

${\displaystyle(T_{h})_{j,k}=h_{2\cdot j-k}.}$

좀 더 자세히

${\displaystyle T_{h}={\begin{pmatrix}h_{를}&,&&&&\\h_{a+2}&, h_{a+1}&, h_{를}&,&&\\h_{a+4}&, h_{a+3}&, h_{a+2}&, h_{a+1}&, h_{를}&, \\\ddots, \ddots, \ddots & &, \ddots &, \ddots &, \ddots \\& &, h_{b}&, h_{b-1}&, h_{b-2}&, h_{b-3}&, h_{b-4}\\&,&&h_{b}&, h_{b-1}&, h_{b-2}\\&,&&&&h_{b}\end{pmatrix}}.}$

$T$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 효과는 다운샘플링 연산자 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \downarrow }:$

${\displaystyle T_{h}\cdot x=(h*x)\downarrow 2.}$

특성.

• ${\displaystyle {}_{}T}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle T_{h}\cdot$ x$=T_{x}\cdot h}$.
• 첫 번째 열과 마지막 열을 떨어뜨리고 홀수 인덱싱된 열을 왼쪽으로, 짝수 인덱싱된 열을 오른쪽으로 이동시키면 전치된 실베스터 행렬이 나온다.
• 전달 행렬의 결정요인은 본질적으로 결과물이다.

더 정확히 말하자면:

Let ${\displaystyle h_{\mathrm {e} }}$ be the even-indexed coefficients of ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle (h_{\mathrm {e} })_{k}=h_{2k}}$) and let ${\displaystyle h_{\mathrm {o} }}$ be the odd-indexed coefficients of ${\displaystyle h}$ (${\displaystyle (h_{\mathrm{o}}{)}_{}}$${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}_{}}$+ 1 ${\$

Then ${\displaystyle \det T_{h}=(-1)^{\lfloor {\frac {b-a+1}{4}}\rfloor }\cdot h_{a}\cdot h_{b}\cdot \mathrm {res} (h_{\mathrm {e} },h_{\mathrm {o} })}$, where ${\displaystyle \mathrm {res} }$ is the resultant.

이 연결로 유클리드 알고리즘을 이용한 빠른 연산이 가능하다.

• 컨버전드 마스크 홀드의 전송 매트릭스 추적용

${\displaystyle \mathrm {tr} ~T_{g*h}=\mathrm {tr} ~T_{g}\cdot \mathrm {tr} ~T_{h}}}}$

• 컨버전드 마스크 홀드의 전달 매트릭스 결정인자

${\displaystyle \det T_{g*h}=\det T_{g}\cdot \det T_{h}\cdot \mathrm {res}(g_{-}h)}$

여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$- ${\$ ${\displaystyle {g\_}_{}}$${-}$는 서로 다른 부호가 있는 마스크로$$, 즉 (${\displaystyle }$g${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}}$1 ) ${\displaystyle k^{}{g}_{}}$ g ${\$

• ${\displaystyle \mathrm{T}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle T_{h}\cdot x=0$이면 T ${\displaystyle g_{}}$ g ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (g{}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T_{g*h}\cdot (g_{-}*x)=0}$.

이것은 위의 결정적 속성의 구체성이다.결정요인 속성에서 T ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$은(는) T h ${\$이(가) 단수일 때마다 단수라는 것을 안다$$.또한 이 속성은 T ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 null 공간 벡터를 ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ h ${\$의 null 공간 벡터로 변환할 수 있는$$ 방법을 알려준다$.$

• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가$)$ $고유값{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle$$T_{h}$의 고유 벡터인 경우$,$ 즉$,$

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{h}\cdot x=\lambda \cdot$ x$\},$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ (${\displaystyle 1,}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ x$**(1$${\displaystyle {,-}_{}}$$1)}$은 동일한 고유값과 $관련$하여 T h ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle {1,}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ) {\$displaystyle T_{h**(1,1)}$의 고유 벡터다$$.

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ast }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$) =${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 1, - 1 ) =${\displaystyle \lambda }$ ( x ${\displaystyle \ast }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle T_{h*(1,1)\cdot (x*(1,-1)=\lambda \cdot (x*1,-1$

• Let ${\displaystyle \lambda _{a},\dots ,\lambda _{b}}$ be the eigenvalues of ${\displaystyle T_{h}}$, which implies ${\displaystyle \lambda _{a}+\dots +\lambda _{b}=\mathrm {tr} ~T_{h}}$ and more generally ${\displaystyle {\lambda }_a^n+\cdots +{\lambda }_b^n=\mathrm{t}\mathrm{r}(T_h^n}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda _{a}^{n}+\dots +\lambda _{b}^{n}=\mathrm {tr}(T_{h}^{n}}}}})$.이 합계는 T ${\displaystyle h_{}}$ ${\$의 스펙트럼 반경을 추정하는 데 유용하다$.$ $소{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ n$}$에 더 빠른 고유값 힘의 합계를 계산할 수 있는 대체 가능성이 있다$.$

$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{k}h}$를 기간 ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}{}^{}}$- 1 ${\displaystyle$ 2$^{k}-$1에$$대해$$ h ${\displaystyle h}$의 마침표로 한다$$$.$ 즉, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{k}h}$는 원형 필터로서$$, 구성 요소 지수는 $계수{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}\mathrm{k}}$ - 1 ${\dispargetervalledisputeledisclass$이다.$스타일 2^{k}-1$ 그런 다음 업샘플링 연산자 $\uparrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \uparrow}$을(를) 사용하여 고정한다$$.

${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{h}^{n})=\left(C_{k}h*(C_{k}h\uparrow 2)*(C_{k}h\uparrow 2^{2})*\cdots *(C_{k}h\uparrow 2^{n-1})\right)_{[0]_{2^{n}-1}}}$

실제로 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n-2}$개의$$ 경련이 필요한 것이 아니라 효율적인 전력 계산 전략을 적용할 때 $2개$의 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathrm{로그}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}n}$ ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}n}$개만$$ 필요한 것이다.훨씬 더 많은 접근방식은 Fast Fourier 변환을 사용하여 더욱 빨라질 수 있다.

• 이전 진술에서 $우리$는 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle T_{}}$h $){\displaystyle \varchhe(T_{h})$의 스펙트럼 반경의 추정치를 도출할 수 있다$.$

${\displaystyle \varche(T_{h})\geq {a}{\sqrt{\#h}}\geq {1}{\sqrt{3\cdot \#h}}}}$

여기서${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle h}$ $[\displaystyle \#h}$은(는) 필터의 크기이며 모든 고유값이 실제인 경우 다음과 같은 것도 사실이다.

${\displaystyle \varrho }$(${\displaystyle T_{}}$ h${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varchhe(T_{h})\leq a$

여기서 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

참고 항목

• 후르비츠 결정인자

참조

• Strang, Gilbert (1996). "Eigenvalues of ${\displaystyle (\downarrow 2){H}}$ and convergence of the cascade algorithm". IEEE Transactions on Signal Processing. 44: 233–238. doi:10.1109/78.485920.
• Thielemann, Henning (2006). Optimally matched wavelets (PhD thesis). (위의 속성에 대한 명백한 증거)