이론중력

지질학과 지구물리학에서 이론 중력 또는 정상 중력은 지구를 대표하는 수학 모델을 이용하여 지구 표면의 진정한 중력의 근사치를 말한다. 평활화된 지구의 가장 일반적인 모델은 회전하는 지구 타원체(즉, 회전력)이다.

기본 공식

이론적 중력을 계산하기 위한 공식은 국제중력식(International Gravity Formula)으로 불리며, 그 중 첫 번째 공식은 국제지오디 협회에 의해 1930년에 제안되었다. 이 공식의 일반적인 모양은 다음과 같다.

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\왼쪽(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\오른쪽),}$

여기서 g(φ)^[1]는 중력이 결정되는 위치의 지리적 위도 function 함수로서의 $중력$이며, g ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 적도의 중력을 나타내며$$(측정에 의해 결정됨), 계수 A와 B는 참 중력에 잘 맞는 지구적 적합을 생성하기 위해 선택해야 하는 매개변수다.

GRS80 기준 시스템의 값을 사용하여 위 공식의 일반적으로 사용되는 특정 인스턴스화는 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\좌측(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

피타고라스의 정체성과 함께 적절한 이중각 공식을 사용하여, 이것은 동등한 형태로 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\phi)&, =9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi)+0.0000232\sin ^ᆰ(\phi)\right)\,\mathrm{)}^{-2},\\&, =9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi)+.0000232\cos ^ᆳ(\phi)\right)\,\mathrm{)}^{-2},\\&, =9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi)+.0000058\cos ^ᆶ(2\phi)\right)\,\mathrm{)}. ^{-2}.\end{aigned}\,\!}$

1960년대까지 헤이포드 타원체(1924년)와 독일의 유명한 지질학자 헬메르트(1906년)에 기초한 공식들이 자주 사용되었다.^{[citation needed]} 헤이포드 타원체의 반주축(동등 반지름)과 현대 WGS84 타원체의 타원축의 차이는 251m이며 헬머트의 타원체의 경우 63m에 불과하다.

소미글리아나 방정식

위도의 함수로서 중력에 대한 보다 최근의 이론 공식은 국제 중력 공식 1980(IGF80)으로, 또한 WGS80 타원체(타원체)를 기반으로 하지만 지금은 소미글리아나 방정식을 사용하고 있다.

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\왼쪽[{\frac {1+k\sin ^{2}{1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}\,\!}$

어디에,^[2]

• ${\displaystyle k}$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}g}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{e_{}}{}}$ ${\$상수).
• ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 각각 적도 및 극지방에서 정의된 중력이다.
• ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ $[\displaystyle a,b}$는 각각 적도 및 극 반점이다.
• ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= a ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$b ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\$ e$^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}:}{a^{2}}:$ spheroid의 편심 제곱;

제공,

${\displaystyle g(\phi )=9.78032677153489285793\left[{\frac {1+0.0019318513532606763607\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669438002290341574957\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[1]

WGS84 타원체(타원체)를 기반으로 한 후기 정교화는 WGS(World Geodetic System) 1984 타원체 중력 공식이다.^[2]

${\displaystyle g(\phi )=9.780325335903891718546\left[{\frac {1+0.00193185265245827352087\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.006694379990141316996137\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(여기서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ $$= 9.83218493786340046183ms⁻², a = 정확히 6378137m 및 b${\displaystyle }$≃ ${\displaystyle \simeq }$ 6356752$$.314517949756m)

IGF80과의 차이는 지구물리학적 목적으로 사용할 경우 미미하지만 다른 용도에서는 유의할 수 있다.^[1]

추가내역

정상 중력 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ _{0$}$의 해수면 타원형 \gamma $_{0$}, 즉 고도 h = 0에 대해 소미글리아나(1929)의 이 공식이 적용된다(1860–1955):^[3]

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

와 함께

• ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$ $$= 적도의 정상 중력
• ${\displaystyle {\gamma }_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$극지점 정상중력
• a = 반주축(등가 반지름)
• b = 반 미니어 축(극 반지름)
• ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ $$= 관용도

수치로 인해 공식은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \cdin _{0}(\varphi )=\cdot _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}{\sqrt{1-e^{2}\cdotsin ^{2}\varphi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

와 함께

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \cdot \pa}{b}{a}-1}$
• ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle b\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ e ${\displaystyle$ e$^{2}=1-{\frac {b^{2}}:{a^{2}};\message e}$는 편심률이다.

측지 기준 시스템 1980(GRS 80)의 경우 매개변수는 다음과 같은 값으로 설정된다.

${\displaystyle a=6\,378\,137\\m}\matrm {m} \cHB \cHB\,752{}314\,140\,347\,\matrm {m}}}$

$\displaystyle \property _{a}=9{.}}}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}} \cHB _{b}=9{{}}}}.}}832\,1998\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}}931\.851\,354\,840\cdot 10^{-3}\cdot e^{2}=6{.}}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

직렬 확장의 근사 공식

소미글리아나 공식은 다음과 같은 방법을 따라 다른 시리즈 확장을 통해 근사하게 계산되었다.

${\displaystyle \phys \{0}(\varphi )=\cdot(1+\cdot \sin \cdot \sin ^{2}\varphi +\cdot \{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\pxpx )}}$

국제중력식 1930

기노 카시니스의 정상 중력 공식은 1930년 국제 지오디·지오물리학 연합이 헤이포드 타원체(Hayford Ellipsoid)와 함께 국제 중력 공식으로 결정했다. 매개변수는 다음과 같다.

$\displaystyle \property _{a}=9{.}}}78049{\frac {\matrm {m}{\matrm {s} ^{2}}}\matrm \materm \matr.}}2884\cdot 10^{-3}\reason \reason _{1}=-5{.}}9\cdot 10^{-6}}$

시간이 지나면서 새로운 지식과 더 정확한 측정 방법을 통해 값이 다시 개선되었다.

1948년 Harold Jeffreys는 다음과 같이 값을 개선했다.

$\displaystyle \property _{a}=9{.}}}780373{\frac {\matrm {m}{{\matrm {s} ^{2}}}\matrm \cHB =5{}}}}2891\cdot 10^{-3}\reason \reason _{1}=-5{.}}9\cdot 10^{-6}}$

국제중력식 1967

측지 기준 시스템 1967의 정상 중력 공식은 다음과 같은 값으로 정의된다.

$\displaystyle \property _{a}=9{.}}}780318{\frac {\matrm {m}{{\matrm {s} ^{2}}}\matrm \matrm \cHB =5{}.}}3024\cdot 10^{-3}\reason \reason _{1}=-5{.}}9\cdot 10^{-6}}$

국제중력식 1980

GRS 80의 매개 변수에서 고전적인 시리즈 확장:

$\displaystyle \property _{a}=9{.}}780327{\frac {\mathrm {m}{\mathrm {s} ^{2}}}\mathrm \cHB =5{}}}}3024\cdot 10^{-3}\reason \reason _{1}=-5{.}}8\cdot 10^{-6}}$

정확도는 약 ±10m⁻⁶/s이다².

GRS 80에서는 다음과 같은 시리즈 확장도 도입된다.

${\displaystyle \c_{0}(\varphi )=\cdot _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\cdm )}$

매개변수는 다음과 같다.

• c₁ = 5.279 0414·10⁻³
• c₂ = 2.327 18/10⁻⁵
• c₃ = 1.262·10⁻⁷
• c₄ = 7·10⁻¹⁰

정확도는 약 ±10m⁻⁹/s이다². 정확성이 요구되지 않을 때는 더 뒤의 용어를 생략할 수 있다. 그러나 이 최종 공식을 사용하는 것이 좋다.

높이 의존성

카시니스는 높이 의존성을 다음과 같이 결정했다.

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\왼쪽(3{)}}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}-4}.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^3}{{3}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s}^{2}}}\cdot \rho \rig)\cdot h}$

평균 암석 밀도 ρ은 더 이상 고려되지 않는다.

GRS 1967년 이후 타원상 h에 대한 의존도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{)}}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\오른쪽)\cdot 3{.}}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s}^{2}}}\cdot h+7{.}}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\m} \cdot \mathrm {s}^{2}}\cdot h^{2}\&=g_{0}(\varphi )-\3{{{{}}.}}0877\cdot 10^{-6}-4{.}}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s}^{2}}}\cdot h+7{{}.}}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s}^{2}}\cdot h^{2}\end}}}}}}}$

또 다른 표현은:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2}}}}$

GSR80에서 파생된 매개 변수:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot(1+f+m)/a=3{.}}}{m^{-7}\cdot 10^\,\mathrm {m^{-1}}}}$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}}{m^{-9}\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}}}$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}}}}$

이 조정은 항공의 일반적인 높이에 거의 적합하지만, 우주까지의 높이(ca. ca. 100km 이상)는 범위를 벗어난다.

WELMEC 공식

모든 독일 표준 사무소에서 자유 낙하 가속도 g는 WELMEC-Formel을 사용하여 평균 위도 latitude과 해수면 h 위의 평균 높이에 대해 계산된다.

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\왼쪽(1+0{)}}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\오른쪽)\cdot 9{.}}}780318{\frac {\mathrm {m}{{\mathrm {s} ^{2}}-0{.}}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

이 공식은 1967년 국제 중력 공식에 기초한다.

특정 위치에서 자유 낙하 가속도의 척도는 몇 가지 기계적 규모의 정밀 측정으로 결정해야 한다. 중량 때문에 측정하는 질량인 체중계는 자유 낙하 가속도에 의존하므로 사용을 위해 사용 장소마다 다른 상수로 준비해야 한다. 보통 중력의 사용과 함께 분할되는 이른바 중력 구역의 개념을 통해 제조자가 사용 전 체중계를 보정할 수 있다.^[4]

예

Schweinfurt의 자유 낙하 가속:

데이터:

• 위도: 50° 3° 24° = 50.0567°
• 해수면 위 높이: 229.7m
• 암판의 밀도: ca. 2.6 g/cm³
• 측정된 자유 낙하 가속도: g = 9.8100 ± 0.0001 m/s²

일반 중력 공식을 통해 계산된 자유 낙하 가속도:

• 카시니스: g = 9.81038m/s²
• 제프리스: g = 9.81027m/s²
• WELMEC: g = 9.81004 m/s²

참고 항목

• 중력 이상
• 기준 타원체
• EGM96(지구 중력 모델 1996)
• 표준중력 : 9.806 65m/s²

참조

추가 읽기

• 칼 레더스테거: 천문학자와 피시칼리스체 게오데시 Handbuch der Vermessungskunde 밴드 5, 10. 아우플라주. 메츨러, 슈투트가르트 1969년
• B. 호프만-웰렌호프, 헬무트 모리츠: 물리 지오디, ISBN 3-211-23584-1, 스프링거-베를라그 위엔 2006.
• 볼프강 토게: 거데시. 2. 아우플라주. 2003년 베를린의 월터 드 그루터 ISBN 3-11-017545-2
• 볼프강 토게: 조데시. 1975년 베를린 ISBN 3-11-004394-7

외부 링크

• Definition des Geodetic Reference System 1980(GRS80)(pdf, engl); 70 kB)
• 중력 정보 시스템 데르 피시칼리쉬 테크니첸 번산스탈트, 엥글.
• 온라인-베레콩 데 노말슈베레 미트 버시덴 노말슈베레프룩펠른