방정식 이론
Theory of equations |
대수학에서 방정식 이론은 다항식으로 정의되는 대수 방정식("폴리놈 방정식"이라고도 함)을 연구하는 학문이다. 방정식 이론의 주된 문제는 대수 방정식이 언제 대수적 해답을 가지고 있는지를 아는 것이었다. 이 문제는 1830년 에바리스테 갈루아에 의해 현재 갈루아 이론이라고 불리는 것을 도입함으로써 완전히 해결되었다.
갈루아 이전에는 "정식의 이론"과 "알지브라" 사이에 뚜렷한 구분이 없었다. 그 이후로 대수학은 많은 새로운 하위 영역을 포함하도록 극적으로 확대되었고 대수 방정식의 이론은 훨씬 덜 주목을 받는다. 따라서 방정식의 이론이라는 용어는 주로 수학사의 맥락에서 '알제브라'의 낡은 의미와 새로운 의미 사이의 혼동을 피하기 위해 사용된다.
역사
19세기 말까지만 해도 방정식 이론은 '알제브라'와 거의 동의어였다. 오랫동안, 주요 문제는 단일 비선형 다항식 방정식의 해답을 알 수 없는 단일에서 찾는 것이었다. 복잡한 해법이 항상 존재한다는 사실은 19세기 초에야 증명되었고 순수하게 대수적 증거를 가지고 있지 않은 대수학의 근본적인 정리다. 그럼에도 불구하고 대수학자들의 주요 관심사는 급진적인 관점에서 해결하는 것이었는데, 그것은 산술의 네 가지 연산과 n번째 근원으로 이루어진 공식으로 해결책을 표현하는 것이었다. 이것은 16세기 동안 4급까지 행해졌다. Scipione del Ferro와 Niccolia Fontana Tartaglia는 입방정식에 대한 해결책을 발견했다. 제롤라모 카르다노는 자신의 제자 로도비코 페라리가 발견한 정사각형 방정식의 해결책과 함께 1545년 책 아르스 마그나에서 이 책들을 출판했다. 1572년 라파엘 봄벨리는 카르다노의 입방정식을 푸는 공식에 나타날 수 있는 상상의 양에 대처하는 방법을 보여주는 라파엘 봄벨리를 발표했다.
고등도의 경우는 19세기까지 열려 있었는데, 그 때 닐스 헨릭 아벨은 급진론(아벨-루피니 정리)에서는 어떤 5도 방정식이 풀릴 수 없다는 것을 증명했고(아벨-루피니 정리), 에바리스테 갈루아는 급진론(현재의 갈루아 이론)을 도입하여 어떤 방정식이 급진론자가 해결할 수 있는가를 결정했다.
추가 문제
방정식 이론의 다른 고전적인 문제들은 다음과 같다.
- 선형 방정식: 이 문제는 고대에 해결되었다.
- 동시 선형 방정식: 일반적인 이론적 해결책은 1750년 가브리엘 크레이머에 의해 제공되었다. 그러나 이러한 시스템을 해결하기 위한 효율적인 방법(알고리즘)을 고안하는 것은 현재 선형대수학이라 불리는 적극적인 연구과제로 남아 있다.
- 방정식 또는 방정식 시스템의 정수 해법 찾기. 이러한 문제들은 현재 디오판틴 방정식이라고 불리고 있는데, 이것은 숫자 이론의 한 부분으로 간주된다(정수 프로그래밍도 참조).
- 다항식 시스템: 그들의 어려움 때문에, 이러한 시스템들은 거의 예외 없이, 19세기 2부 때부터 연구되어 왔다. 그들은 대수 기하학의 발달로 이어졌다.
