투테 임베딩

그래프 그리기와 기하학적 그래프 이론에서, 단순한 3-Vertex 연결 평면 그래프의 투트 임베딩 또는 이변성 임베딩은 외부 표면이 볼록한 다각형이고 각 내부 정점이 주변 위치의 평균(또는 바이센터)에 있다는 특성을 가진 교차 자유 직선 임베딩이다.외부 폴리곤이 고정된 경우, 내부 꼭지점의 이 조건은 선형 방정식 시스템에 대한 해법으로서 그들의 위치를 고유하게 결정한다.방정식을 기하학적으로 풀면 평면 임베딩이 만들어진다.W. T. T. Tutte(1963년)에 의해 증명된 Tutte의 봄 정리는 이 독특한 해법은 항상 교차되지 않으며, 결과적인 평면 임베딩의 모든 얼굴이 볼록하다는 것을 더욱 강하게 기술하고 있다.^[1]그러한 임베딩이 그래프의 가장자리를 나타내는 스프링 시스템의 평형 위치로 발견될 수 있기 때문에 스프링 정리라고 한다.

예

G를 입방체의 그래프로 하고, (사방면 중 하나를 바깥 면으로 선택) x와 y 좌표가 모두 0과 1의 네 가지 조합인 점인 단위 사각형의 네 모서리에 바깥 면의 네 꼭지점을 고정시킨다.그런 다음 그림에서와 같이 x 좌표와 y 좌표가 1/3과 2/3의 조합인 4개 지점에 나머지 4개의 꼭지점을 배치하면 결과는 투트 임베딩이 된다.예를 들어, 내장의 각 내부 꼭지점 v에서 그리고 두 좌표 각각에 대해, v의 세 이웃은 v와 같고, 1/3 더 작고, 1/3만큼 큰 좌표값을 가지고 있다. 이러한 값의 평균은 v 자체의 좌표값과 같다.

선형 방정식 체계

정점 v가 주변 위치의 평균에 있다는 조건은 v의 x 좌표에 대한 것과 v의 y 좌표에 대한 다른 두 개의 선형 방정식으로 표현될 수 있다. n 정점이 있는 그래프의 경우, h가 바깥 면에 고정되어 있는 경우, 각 내부 정점에 대해 두 개의 방정식이 있고, 또한 알 수 없는 두 개의 등식이 있다(좌표).각 내부 꼭지점에 대한 네이트)따라서, 이것은 2(n - h) 미지의 2(n - h) 방정식을 갖는 선형 방정식의 시스템을 제공하며, 그 해결책은 투트 임베딩이다.Tutte(1963)가 보여주듯이, 3-Vertex로 연결된 평면 그래프의 경우, 이 시스템은 쇠퇴하지 않는다.따라서 독특한 솔루션을 가지고 있으며, (외면이 고정된 상태에서) 그래프는 독특한 투테 임베딩이 되어 있다.이러한 임베딩은 예를 들어 가우스 제거를 사용하여 방정식 시스템을 풀어서 다항식 시간에 찾을 수 있다.^[2]

다면 표현

슈타이니츠의 정리로는 투트의 봄 정리가 적용되는 3개의 연결 평면 그래프가 다면 그래프, 즉 볼록 다면체의 정점과 가장자리에 의해 형성된 그래프와 일치한다.맥스웰-크레모나 통신에 따르면 평면 그래프의 2차원 내장에서는 평형응력이 있는 경우에만 각 가장자리에 힘을 할당(가장자리와 평행한 동일 방향과 반대 방향으로 모두 영향을 미치는) 3차원 볼록 다면체의 수직 돌출부를 형성한다.그 힘은 모든 정점에서 사라진다.투테 임베딩의 경우 길이(스프링과 같이)에 비례하는 매력적인 힘을 각 가장자리에 할당하면 힘이 모든 내부 정점에서 취소되지만, 이것은 반드시 외부 다각형의 정점에서의 평형 응력이 되는 것은 아니다.그러나, 바깥쪽 다각형이 삼각형일 때, 세 개의 가장자리에 반발력을 부여하여 그 힘이 거기서 취소되도록 하는 것도 가능하다.이런 식으로 투테 임베딩은 모든 볼록한 다면체의 슐레겔 도표를 찾는 데 사용될 수 있다.모든 3개의 연결된 평면 그래프 G에 대해 G 자체 또는 G의 이중 그래프는 삼각형을 가지므로, 이것은 G의 다면체 또는 그 이중의 다면체 표현을 제공하며, 이중 그래프가 삼각형이 있는 경우, 양극화는 G 자체의 다면체 표현을 한다.^[2]

지오메트리 처리 중인 응용 프로그램

In geometry processing, Tutte's embedding is used for 2D uv-parametrization ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$of 3D surfaces ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ most commonly for the cases where the topology of the surface remains the same across ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ and ${\displ$$aystyle {\mathcal{S$디스크 위상).투테의 방법은 각각의 변형된 정점을 점 질량으로, 그리고 해당 정점에 걸쳐 있는 가장자리를 스프링으로 고려함으로써 파라메트리된 공간의 총 왜곡 에너지를 최소화한다.각 스프링의 조임도는 모양을 보존하기 위해 원래 3D 표면의 가장자리 길이에 의해 결정된다.$S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 작은 에지에 대한 작은 파라메트리화된 에지 길이와$$$S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 큰 에지에 대한 파라메트리화된 에지 길이가 더 큰 것이 합리적이기 때문에$,$ ${\displaystyle {일반적}_{}}$으로 i ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle w_{ij}$의 봄 상수를 압솔의 역으로 간주한다$$.3D 공간의$$ 꼭지점 $i{\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{j}}$ ${\displaystyle i,$ ~$j}$ 사이의 ute 거리.

${\displaystyle {\text{Distortion Energy,}}~E=\Sigma _{(i,j)\in E({\mathcal {S}})}~w_{ij}~\ {\textbf {u}}_{\text{i}}-{\textbf {u}}_{\text{j}}\ ^{2}{\text{, where }}w_{ij}={\frac {1}{\ {\textbf {v}}_{\text{i}}-{\textbf {v}}_{\text{j}}\ }}{\text{, }}\{{\textbf {u}}_{\text{i}}\}\in {\mathcal {S}}^{*}{\text{, }}\{{\textbf {v}}_{\text{i}}\}\in {\mathcal{S}}$

여기서 $E{\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle E({\mathcal{S}})$는 원래 3D 표면의 가장자리 집합을 나타낸다$$.$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 가중치가$$ 양수일 때(위의 경우처럼) 아무런 반전이 없이 매핑이 바이버적이라는 것을 보장한다.그러나 더 이상의 제약조건이 적용되지 않을 때 사소한 왜곡 에너지를 최소화하는 해결책은 파라메트리된 공간의 한 점으로 붕괴된다.

따라서 3D 표면의 알려진 정점 집합이 2D 매개변수화된 공간의 알려진 지점에 매핑되는 경계 조건을 제공해야 한다.그러한 경계 조건을 선택하는 한 가지 일반적인 방법은 원래 3D 표면의 가장 큰 경계 루프의 정점을 고려하는 것이다. 이 정점은 2D 파라메터링된 공간에서 단위 디스크의 외부 링에 매핑되도록 제한될 수 있다.3D 표면이 다지관일 경우 경계 가장자리는 메쉬의 한 면에만 속하는지 확인함으로써 검출할 수 있다는 점에 유의한다.

그래픽과 애니메이션의 파라메트리제이션 어플리케이션으로는 텍스처 맵핑을 들 수 있다.

일반화

콜린 드 베르디에르(1991)는 가장자리가 측지학으로 표현되는 비양성 곡률의 상위 유전자 표면에 대한 그래프로 투테의 봄 정리를 일반화했다.[3] 이 결과는 나중에 Has & Scott(2015)에 의해 독자적으로 재발견되었다.^[4]토러스에 내장된 그래프의 유사한 결과는 델가도 프리드리히스(2005년),^[5] 고틀러, 고츠만 & 서스턴(2006년),^[6] 로바스츠(2019년)에 의해 독립적으로 입증되었다.^[7]

Chilakamarri, 딘 &, Littman(1995년)4차원 polytopes의 그래프, 같은 메서드에서 투떼읬던 1가지 이슈 때문이었습니다로 형성되는 3차원 그래프 embeddings을 조사하:3차원던 1가지 이슈 때문이었습니다의 외부 표면, 그리고 3차원 polyhedr의 vertices 자리에 대한 vertices을 고치다면체의 의학의 한 측면을 선택합니다.i에공백이 없다.폴리토프의 남은 각 꼭지점을 공간 내에서 자유롭게 이동하고, 폴리토프의 각 가장자리를 스프링으로 교체한다.그런 다음 스프링 시스템의 최소 에너지 구성을 찾으십시오.그들이 보여주듯이, 이런 방법으로 얻은 방정식의 체계는 다시 퇴화되지 않지만, 이 방법이 어떤 조건에서 폴리토프의 모든 면을 볼록한 다면체로서 실현하는 임베딩을 발견할지는 불분명하다.^[8]

관련결과

모든 단순한 평면 그래프를 직선 가장자리로 그릴 수 있는 결과를 파리의 정리라고 한다.^[9]Tutte 스프링 정리는 3개의 연결된 평면 그래프에 대해 이를 증명하지만, 그 결과는 연결에 관계 없이 평면 그래프에 더 일반적으로 적용된다.3-연결되지 않은 그래프에 Tutte 스프링 시스템을 사용하면 해당 그래프의 하위 그래프가 점이나 선 세그먼트로 축소되는 변형이 발생할 수 있지만, 3-연결되도록 추가 가장자리를 추가하여 결과 3-연결 그래프를 그린 후 제거하여 Tutte 임베딩으로 임의 평면 그래프를 그릴 수 있다.여분의 가장자리 ng

그래프는 (k -1)차원 공간에 (k -1)차원 공간에 볼록이 내장되어 있는 경우에만 k-vertex로 연결되지만 반드시 평면적인 것은 아니다. 이 공간에는 (k -1) 정점의 임의 k-tuple이 있고, 나머지 각 꼭지점 v에 대해 v의 주변 볼록 선체는 내부에 v가 있는 완전 차원이다.그러한 임베딩이 존재한다면, 투테의 평면 임베딩에서와 마찬가지로, 선택된 k 정점의 위치를 고정하고 각각의 정점을 이웃의 평균에 두는 방정식의 체계를 풀면 찾을 수 있다.^[10]

유한 요소 메쉬 생성에서 라플라시안 스무딩은 생성된 메쉬를 후처리하여 원소의 품질을 개선하는 일반적인 방법이며,^[11] 특히 삼각 메시 스무딩에 대한 로이드의 알고리즘과 같은 다른 방법들이 덜 적용되는 사각형 메쉬에 인기가 있다.이 방법에서는 각 꼭지점을 주변 위치의 평균으로 이동시키지만, 이 동작은 원소 크기의 큰 왜곡이나 (비콘벡스 메쉬 도메인의 경우) 비 평면 메쉬가 엉켜 있는 것을 피하기 위해 소수의 반복에 대해서만 수행된다.

강제 방향 그래프 그리기 시스템은 그래프를 시각화하는 데 계속 인기 있는 방법이지만, 일반적으로 이러한 시스템은 (투테의 내장처럼) 그래프 가장자리의 매력적인 힘과 임의의 꼭지점 쌍 사이의 반발력을 결합하는 더 복잡한 힘 시스템을 사용한다.이러한 추가적인 힘은 투테의 임베딩에서처럼 단일 글로벌 솔루션보다는 시스템이 로컬로 안정적인 구성을 많이 갖도록 할 수 있다.^[12]

참조