안정 다지관

수학, 특히 역동적인 시스템에 대한 연구에서는 안정적이고 불안정한 집합이나 안정적이고 불안정한 다지관에 대한 관념은 유인자나 반발자의 관념에 내재된 일반적인 개념에 형식적인 수학적 정의를 준다. 쌍곡선 역학의 경우, 해당 개념은 쌍곡선 집합의 개념이다.

물리적인 예

토성의 고리에 작용하는 중력 조석력은 시각화하기 쉬운 물리적 예를 제공한다. 조석력은 반지름 방향으로 고리를 뻗어도 적도면으로 납작하게 만든다. 고리가 토성 주위의 궤도에 있는 모래나 자갈 입자("먼지")라고 상상하면, 조석력은 적도의 평면 위나 아래로 입자를 밀어내는 섭동이 그 입자를 복원력을 느끼게 하여 다시 평면으로 밀어넣게 된다. 입자는 충돌에 의해 축축한 조화 우물에서 효과적으로 진동한다. 안정된 방향은 고리에 수직이다. 불안정한 방향은 힘이 뻗쳐 입자를 떼어내는 반경을 따라 있다. 위상 공간에서 서로 매우 가까이에서 시작하는 두 개의 입자는 방사상의 힘을 경험하게 되어 방사적으로 갈라지게 된다. 이 힘들은 리아푸노프 지수를 가지고 있다; 궤도는 쌍곡 다지기에 놓여 있고, 입자의 움직임은 본질적으로 혼란스러워서 고리를 헤매고 있다. 중심 다지관은 고리에 접하고, 입자는 압축도 스트레칭도 경험하지 않는다. 이를 통해 2차 중력이 지배할 수 있고, 그래서 입자들은 고리 안의 달이나 달팽이에 의해 잠길 수 있고, 그것들에 위상적으로 고정될 수 있다. 달의 중력은 위상-잠금 루프에서 발견되는 것과 같이, 매번 궤도를 돌면서 정기적으로 반복되는 작은 킥을 제공한다.

링에 있는 입자의 이산 시간 운동은 푸앵카레 지도에 의해 대략적으로 추정될 수 있다. 지도는 시스템의 전송 매트릭스를 효과적으로 제공한다. 행렬의 가장 큰 고유값과 연관된 고유 벡터는 프로베니우스-페론 고유벡터로서, 또한 불변 측정치, 즉 링 내 입자의 실제 밀도이다. 전달 행렬의 다른 모든 고유 벡터는 작은 고유값을 가지며 붕괴 모드에 해당한다.

정의

다음은 반복 함수 또는 이산 시간 역학을 갖는 시스템의 경우에 대한 정의를 제공한다. 유사한 개념은 흐름으로 시간 진화가 주어지는 시스템에 적용된다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간으로 하고$$, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon$ X$\to$ X$}$은(는) 동형상주의로 한다$$. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$의 고정 지점인 경우 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 안정적 집합은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{{n\to \py \}}}}}}$

$p$ ${\displaystyle p}$의 불안정한 집합은

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{{n\to }}}.$

Here, ${\displaystyle f^{-1}}$ denotes the inverse of the function ${\displaystyle f}$, i.e. ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$, where ${\displaystyle id_{X}}$ is the identity map on ${\displaystyle X}$.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 최소 $주기{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$의 주기적인 점이라면, f ${\displaystyle k^{}}$ ${\$의 고정점이며, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 안정적이고 불안정한 집합은 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

그리고

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 인접 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을$($를) 제공하면 p {\$displaystyle p}$의 로컬 안정적이고 불안정한 집합이 정의된다$.$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc}{}^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ 각 }}}}}{}n\geq 0\}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle W_{\mathrm {loc}}^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc}{}^{s}(f^{-1},p,U).}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 메트리징할 수 있는 경우 다음을 기준으로 모든 포인트에 대해 안정적이고 불안정한 세트를 정의할 수 있다.

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p)\to \inflt \}에 0{\mbox{{{{{{}}}}{}}}}{n\n\fto\py}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 메트릭이다$.$ 이 정의는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 주기적인 지점일$$ 때 이전 정의와 분명히 일치한다.

$이제{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 콤팩트한 평활 다지관이고, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) ${\displaystyle C^{}}$ k ${\displaystyle {C}^{k}}}}}$의 차이점형성, $k{\displaystyle 1}$ 1$${\$displaystystyle$$$k\$geq 1}$이라고 가정해 보자$.$$$p} $p{\displaystyle }$ ${\$p} p}이 쌍곡성 다지점인$$ 경우, 안정적 다지점인 다지점인 다지점은 어떤 동네에 대해 안정적 다지점이 된다.${\displaystyle }$$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U$$\},$ 로컬 안정적이고 불안정한 세트는 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$C}^{$k}$ 임베디드$$ 디스크로, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp}$의 접선 ${\displaystyle {공간}^{}}$은 ${\displaystyle E^{}}$ s ${\\$$$E^{{{{$s}$ 및 $^{{{{u}($${\displaystyle D)}$이다.${\displaystyle Df(p)}$), respectively; moreover, they vary continuously (in a certain sense) in a neighborhood of ${\displaystyle f}$ in the ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ topology of ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$ (the space of all ${\displaystyle {\mathc$$al{C}^{k$$}}}$의 차이점형$$ X{\$displaystyle$ X$}$부터 그 자체까지$$). 마지막으로 안정적이고 불안정한 세트는 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 주입식$$ 몰입형 디스크 입니다. 이것이 그들이 보통 안정적이고 불안정한 다지관이라고 불리는 이유다. 이 결과는 일부 쌍곡선 집합( 쌍곡선 집합에 대한 안정적 다지관 정리)에 있는 한 비주기적 점에도 유효하다.

비고

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 벡터 공간이고 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 이소모르퍼시즘이라면, 그 안정적이고 불안정한 세트는 각각 안정적 공간과 불안정한 공간이라고 한다.

참고 항목

• 불변 다지관
• 중심다지관
• 한계 집합
• 줄리아 세트
• 슬로우 다지관
• 관성 다지관
• 보통 쌍곡 불변 다지관
• 라그랑고의 일관성 있는 구조

참조

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Irwin, Michael C. (2001). "Stable Manifolds". Smooth Dynamical Systems. World Scientific. pp. 143–160. ISBN 981-02-4599-8.
• Sritharan, S. S. (1990). Invariant Manifold Theory for Hydrodynamic Transition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

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