우르셀 함수

통계 역학에서 우르셀 함수 또는 연결된 상관 함수(Ursell 함수)는 랜덤 변수의 적분이다.연결된 파인만 도표(모든 파인만 도표에 대한 합계는 상관 함수를 제공함)를 합쳐서 얻을 수 있는 경우가 많다.

우르셀 함수는 1927년 이를 도입한 해롤드 우르셀의 이름을 따서 명명되었다.

정의

X가 랜덤 변수인 경우, moments_n s와 적운(Ursell 함수와 동일) u는_n 지수 공식에 의해 관련된 X의 함수다.

${\displaystyle \operatorname {E}(\exp(zX))=\sum _{n}{n}{\frac {z^{n}}{n!}}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac{z^{n}}{n!}}}$

($여기$서 E ${\displaystyle \operatorname {E}}$이(가) 예상됨).

다변량 랜덤 변수에 대한 Ursell 함수는 위와 유사하게 다변량 적산제와 같은 방식으로 정의된다.^[1]

${\displaystyle u_{n}\왼쪽(X_{1},\ldots ,X_{n}\오른쪽)=\왼쪽.{\frac {\partial z_{1}}\cdots {\frac {\partial z_{n}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\오른쪽)\right _{z_{i}=0}}}}}$

단일 랜덤 변수 X의 Ursell 함수는 X = X₁ = … = X를_n 설정하여 이들로부터 얻는다.

처음 몇 개는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(X_{1})={}&,\operatorname{E}(X_{1})\\u_ᆷ(X_{1},X_{2})={}&,\operatorname{E}(X_{1}X_{2})-\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{2})\\u_ᆼ(X_{1},X_{2},X_{3})={}&,\operatorname{E}(X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{2}X_{3})-\operatorname{E}(X_{2})\operatorname. {E}(X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&,\operatorname{E}(X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname{E}(X_{2})\operatorname{E}(X_{1}X_{3}X_{4})-\operatorname{E}(X_{3})\operatorname{E}(X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname{E}(X_{4})\operatorname{E}(X_{1}X_{2}X_{3})\\&,-\operatorname{E}(X_{1}X_{2})\operatorname{E}(X_{3}X_{4})-\operatorname{E}(X_{1}X_{3})\operatorname{E}(X_{2}X_{4})-\operatorname{E}(X_{1}X_{4})\operatorname{E}(X_{2}X_{3})\\&,+2\operatorname{E}(X_{1}X_{2})\operatorname{E}(X_{3})\operatorname{E}(X_{4})+2\operatorname{E}(X_{1}X_{3})\operatorname{E}(X_{2})\operatorname{E}(X_{4})+2\operatorname{E}(X_{1}X_{4})\operatorname{E}(X_{2.})\oPeratorname{E}(X_{3})+2\operatorname{E}(X_{2}X_{3})\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{4})\\&,+2\operatorname{E}(X_{2}X_{4})\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{3})+2\operatorname{E}(X_{3}X_{4})\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{2})-6\operatorname{E}(X_{1})\operatorname{E}(X_{2})\operatorname{E}(X_{.3}))연산자 이름 {E}(X_{4})\end{aigned}}}$

특성화

Percus(1975)는 여러 랜덤 변수의 다중선 함수로 간주되는 Ursell 함수가 변수 X를_i 두 개의 비어 있지 않은 독립 집합으로 나눌 수 있을 때마다 소멸한다는 사실에 의해 상수까지 고유하게 결정된다는 것을 보여주었다.

참고 항목

• 누런트

참조

• Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Quantum physics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
• Percus, J. K. (1975), "Correlation inequalities for Ising spin lattices" (PDF), Comm. Math. Phys., 40 (3): 283–308, Bibcode:1975CMaPh..40..283P, doi:10.1007/bf01610004, MR 0378683, S2CID 120940116
• Ursell, H. D. (1927), "The evaluation of Gibbs phase-integral for imperfect gases", Proc. Cambridge Philos. Soc., 23 (6): 685–697, Bibcode:1927PCPS...23..685U, doi:10.1017/S0305004100011191