베블렌 함수

수학에서 베블렌 함수는 (1908) 베블렌의 오스왈드 베블렌에 의해 도입된 정상 함수의 계층 구조다. 만일 φ이₀ 어떤 정상 함수라면, 0이 아닌 서수 α에 대해서, φ은_α β<α에 대해 φ의_β 공통 고정점을 열거하는 함수다. 이 기능들은 모두 정상이다.

베블렌 계층 구조

이 함수 계열이₀ family(α)=Ω인^α 특별한 경우, 베블렌 계층 구조로 알려져 있다. 만약α<>β,{\displaystyle \alpha<>\beta \,,}한 다음α(φ β(γ)φ)β(γ)φ 그 기능 φ1은 ε 기능:φ1(α)= εα으로 반환합니다.{\displaystyle \varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma))=\varphi _ᆯ(\gamma)\,.}이 사실 φβ 엄격하게 우리가 순서:φ게 증가하고 있부터 같다.α(β)<>φγ(δ){\displaystyle \varphi_{\alpha}(\beta)<, \varphi _ᆮ(\delta)}만일 양쪽(α)γ{\displaystyle \alpha =\gamma}과β<>δ{\displaystyle \beta<>\delta})또는(α<>γ{\displaystyle \alpha<>\gamma}과β<>φ γ(δ){\displaystyle \beta<>\varphi_{\g.amma}(\delta)})또는(> ${\displaystyle \alpha >\gamma$ ()< ${\displaystyle \varphi _{\$varphi _{\$reason }(\$$display$}).

Veblen 계층 구조의 기본 시퀀스

공완성 Ω을 갖는 서수의 기본 순서는 서수를 한계로 하는 엄격히 증가하는 Ω-시퀀스다. 만일 어떤 사람이 α에 대한 기본 시퀀스와 모든 작은 한계 서수를 가지고 있다면, Ω과 α 사이에 명시적으로 건설적인 바이어스를 만들 수 있다(즉, 선택의 공리를 사용하지 않는 것). 여기서 우리는 서수들의 베블렌 계층 구조에 대한 기본적인 순서를 설명할 것이다. α에 대한 기본 염기서열 하의 n의 이미지는 α[n]로 표시된다.

A variation of Cantor normal form used in connection with the Veblen hierarchy is — every nonzero ordinal number α can be uniquely written as ${\displaystyle \alpha =\varphi _{\beta _{1}}(\gamma _{1})+\varphi _{\beta _{2}}(\gamma _{2})+\cdots +\varphi _{\$베타 _{k}}(\gamma_{k})}, k>첫번째 후 0은 자연 번호와 매 학기보다 작거나 전인 같은지 φ 적다β m(mγ)≥φ β m+1(γ m+1),{\displaystyle \varphi_{\beta_{m}}(\gamma_{m})\geq\varphi _{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1})\,,}과 각 γ m<>φ β m(γ. m).{\displaystyle \gamma_{m}<, \varphi _{\beta_{m}}(\gamma_{m})\,.}만약 근본적인 순서가 지난 학기에 그 용어 같은 시퀀스에 의해α[n]을 얻기 위해 대체될 수 있는)제공될 수 있φβ 1(γ 1)+⋯+φ β k− 1(γ k− 1)+(φ β k(γ k)[n]){\displaystyle \alpha[n]=\varphi. _${\cHB_{1}(\cHB_{1})+\cdots +\varphi _{\cdots _{\cHB_{k-1}+(\varphi _{\cHB_{k}[n])\,\,$$}$

For any β, if γ is a limit with ${\displaystyle \gamma <\varphi _{\beta }(\gamma )\,,}$ then let ${\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma )[n]=\varphi _{\beta }(\gamma [n])\,.$$}$

공완성${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$이 없으므로$$ ( 0 ) {\$displaystyle \varphi$_{0}(0) = Ω⁰ = 1에 대해 이러한 시퀀스를 제공할 수 없다.

For ${\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)=\omega ^{\gamma +1}=\omega ^{\gamma }\cdot \omega \,,}$ we choose ${\displaystyle \varphi _{0}(\gamma +1)[n]=\varphi _{0}(\gamma )\cdot n=\omega ^{\gamma }\cdot n\,.}$

For ${\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)\,,}$ we use ${\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)[0]=0}$ and ${\displaystyle \varphi _{\beta +1}(0)[n+1]=\varphi _{\beta }(\varphi _{\beta +1}(0)[n])\,,}$ i.e. 0, ${\displaystyle {\phi }_{}}$${\displaystyle {}_{}\mathrm{\beta }{}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi _{\property }(0)},$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle {\beta }_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \varphi _{\varphi _{\pi$ }(0)$등$

For ${\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)}$, we use ${\displaystyle \varphi _{\beta +1}(\gamma +1)[0]=\varphi _{\beta +1}(\gamma )+1}$ and ${\displaystyle \varphi _{\beta +1$$}}(\reason +1)[n+1]=\varphi _{\barphi _{\barphi _{\barfi _{\barfi +1}(\barfi +1)[n]\,\,$$}$

이제 β가 한계라고 가정해 보십시오.

If ${\displaystyle \beta <\varphi _{\beta }(0)}$, then let ${\displaystyle \varphi _{\beta }(0)[n]=\varphi _{\beta [n]}(0)\,.$$}$

For ${\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)}$, use ${\displaystyle \varphi _{\beta }(\gamma +1)[n]=\varphi _{\beta [n]}(\varphi _{\beta }(\gamma )+1)\,.$$}$

그렇지 않으면, $서수$를 {$${\$displaystyle \varphi$}을(를) 사용하여 더 작은 서수의 관점에서 설명할 수 없으며$$, 이 체계는 여기에 적용되지 않는다.

γ 함수

γ함수는 φ_α(0) = α. γ은₀ Feferman-Schütte 서수, 즉 φ_α(0) = α가 되도록 서수 α를 열거한다.

For Γ₀, a fundamental sequence could be chosen to be ${\displaystyle \Gamma _{0}[0]=0}$ and ${\displaystyle \Gamma _{0}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{0}[n]}(0)\,.$$}$

For Γ_β+1, let ${\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[0]=\Gamma _{\beta }+1}$ and ${\displaystyle \Gamma _{\beta +1}[n+1]=\varphi _{\Gamma _{\beta +1}[n]}(0)\,.$$}$

< > β ${\$_{\$beta }}}$이(가) 한계인 γ_β ${\displaystyle {\beta }_{}}$[${\displaystyle n]}$ = ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$[${\displaystyle {]}_{}}$ .${\displaystyle \Gamma _{\\beta },}}}}}}}}}}}}}$을(으)로 한다.

일반화

상당히 많은 변수

유한한 수의 인수(Fininalthy Veblen 함수)의 베블렌 함수를 구축하려면 위에서 정의한 바와$$ 같이 이진 $함수{\displaystyle }$ ,${\displaystyle )}$ ){\$alpha }{\alpha$$}}$을$($를) $α$($)$로 한다.

Let ${\displaystyle z}$ be an empty string or a string consisting of one or more comma-separated zeros ${\displaystyle 0,0,...,0}$ and ${\displaystyle s}$ be an empty string or a string consisting of one or more comma-separated ordinals ${\displaystyle \alpha _{1},\alp$$ha$ $_{2$}, $...,\cHB$ ${$$n},$ > 0 ${\displaystyle \cHB _{1}}.$ 이진 함수 $function{\displaystyle (\beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle \varphi (\$${\displaystyle \mathrm{beta}}$, z ,${\displaystyle \gamma }$)$$${\displaystyle \varphi (s$$,\$$beta ,z$$,\displaysty z})$는 $모두{\displaystyle }$ 빈 문자열인$$ $($$displaystylease z})$로 쓸 수 있다$$. 파인니터리 베블렌 함수는 다음과 같이 정의된다.

• ${\displaystyle \varphi(\displaystyle )=\omega^{\migration }}$
• ${\displaystyle \varphi(z,s,\based )=\varphi(s,\based )}$
• 만약β>0{\displaystyle \beta>0}, 그때(s, β, z, γ){\displaystyle \varphi(s,\beta ,z,\gamma)}의 기능(1+γ){\displaystyle(1+\gamma)}-th 일반적인 고정 소수 점 ξ 각 δ<>에 ↦φ(s, δ, ξ, z){\displaystyle \xi \mapsto \varphi(s,\delta ,\xi ,z)};β{\displaystyle을 나타내φ. \delta<>)$베타 }$

For example, ${\displaystyle \varphi (1,0,\gamma )}$ is the ${\displaystyle (1+\gamma )}$-th fixed point of the functions ${\displaystyle \xi \mapsto \varphi (\xi ,0)}$, namely ${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$; then ${\displaystyle \varphi (1,1,\gamma$$)}$ enumerates the fixed points of that function, i.e., of the ${\displaystyle \xi \mapsto \Gamma _{\xi }}$ function; and ${\displaystyle \varphi (2,0,\gamma )}$ enumerates the fixed points of all the ${\displaystyle \xi \mapsto \varphi (1,\xi ,0)}$. Each instance of the generalized Veblen 함수는 마지막 0이 아닌 변수에서 연속적이다(즉, 한 변수가 변화하도록 만들어지고 이후 모든 변수가 지속적으로 0과 동일하게 유지되는 경우).

서수 $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle \varphi ($1$,0,0$,0$)}$은(는) 애커만 서수(Ackermann 서수)라고도$$ 한다. 0의 수가 Ω을 초과하는$$ $\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle \varphi (1,0,...,0)}$의 한계는 때때로 "작은" 베블렌 서수로 알려져 있다.

작은 Veblen 서수(SVO)보다$$ 작은 모든 0이 아닌 서수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}은(는) 미세한 Veblen 함수에 대해 정상 형식으로 고유하게 작성할 수 있다.

${\displaystyle \cHB =\varphi(s_{1})+\varphi(s_{2})+\cdots +\varphi(s_{k}})}$

어디에

• ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$은(는) 양의 정수임
• ${\displaystyle \varphi(s_{1})\geq \varphi(s_{2})\geq \cdots \geq \varphi(s_{k}})}$
• Sm{\displaystyle s_{m}}은 일련의 α m, 1, α m, 2,...,α m, nm{\displaystyle \alpha_{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}}이α m1>0{\displaystyle \alpha_{m,1}>0}과 각 α m, 나는 <,φ(sm){\displaysty 하나 이상의comma-separated ordinals로 구성되어 있다.르)$알파 _{m,i}<\varphi(s_{m})}$

파인니터리 베블렌 함수의 한계 서수식에 대한 기본 시퀀스

한계 서수 < S ${\displaystyle \alpha <SVO}$의 경우 최종 Veblen 함수에 대해 일반 형식으로 기록:

• ${\displaystyle (\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k}))[n]=\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})[n]}$,
• ${\displaystyle \varphi (\gamma )[n]=\left\{{\begin{array}{lcr}n\quad {\text{if}}\quad \gamma =1\\\varphi (\gamma -1)\cdot n\quad {\text{if}}\quad \gamma \quad {\text{is a successor ordinal}}\\\var$$phi(\cHB[n])\cHB {\text{if}\cHB \cHB\\text}\text$는 제한 $서수}\\end{array}\right$
• ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=0}$ and ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)}$ if ${\displaystyle \gamma =0}$ and ${\displays$$tyle \reason }$은(는) 후계 서수,
• ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[0]=\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1}$ and ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n+1]=\varphi (s,\beta -1,\varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n],z)}$ if ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \property }$ 및$$$\beta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \properties$ }은$($는) 후속 서
• ${\displaystyle }$$\phi {\displaystyle }$${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle z}$ ,${\displaystyle \gamma }$)${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ =${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle z}$ ,$$[ ${\displaystyle n]}${\$displaystyle \varphi$ ($s,\barphi,z$,\n)]=\$varphi(s$$,\displaysty \gamma$$\gamma$ $})$인 경우$$$.$
• ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],z,\gamma )}$ if ${\displaystyle \gamma =0}$ and ${\displaystyle \beta }$ is a limit ordinal,
• ${\displaystyle \varphi (s,\beta ,z,\gamma )[n]=\varphi (s,\beta [n],\varphi (s,\beta ,z,\gamma -1)+1,z)}$ if ${\displaystyle \gamma }$ is a successor ordinal and ${\displaystyle \beta }$ is a limit ordinal.

완전하게 많은 변수

보다 일반적으로 베블렌은 한정된 수를 제외한 모든 수가 0이라는 전제 하에, φ은 α의_β 트랜스핀 순서에 대해서도 정의할 수 있다는 것을 보여주었다. 그러한 서열은 헤아릴 수 없는 정규 추기경 κ 이하의 서열에서 선택하는 경우, 그 서열은 κ^κ 이하의 단일 서수로 인코딩될 수 있다는 점에 유의한다. 그래서 하나는 함수 φ을 κ에서^κ κ으로 정의하는 것이다.

정의는 다음과 같이 줄 수 있다: α는 0(즉, α₀=0)으로 끝나는 서수(즉, 유한지원이 있는 서수함수)의 트랜스피니트 시퀀스로 하고, α[00]는 최종 0이 γ으로 대체된 것과 동일한 함수를 나타낸다. 그리고 γ↦φ(α[0↦γ])은 함수는 모든 기능의 일반적인 고정 포인트를 열거하기로 정의된다 ξ↦φ(β)이β 있는 곳까지 모든 시퀀스들은 얻은 감소시키smallest-indexed 0이 아닌 값의 α과 교체 일부smaller-indexed 값을 사용하여 불확정한 ξ(즉, β=α[ι0↦ζ,ι↦ξ]의미들이 가장 작은 지수 ι0가 αι0.is nonzero 후자는 어떤 값 ζ<α_ι0>로 대체되었고, 어떤 작은 지수 ι<ι₀>의 경우 값 α_ι=0이 ξ)로 대체되었다.

For example, if α=(ω↦1) denotes the transfinite sequence with value 1 at ω and 0 everywhere else, then φ(ω↦1) is the smallest fixed point of all the functions ξ↦φ(ξ,0,...,0) with finitely many final zeroes (it is also the limit of the φ(1,0,...,0) with finitely many zeroes, the small Veblen ordinal).

α가 α의 지지를 받는 어떤 함수에 적용되는 α보다 큰 가장 작은 서수 α(즉, 완전히 많은 변수의 베블렌 함수를 사용하여 "아래로부터"에 도달할 수 없는 것)는 때때로 "큰" 베블렌 서수로 알려져 있다.

참조

• Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals 및 공지: 기록되지 않은 설명서의 경우(8페이지, PostScript)
• Pohlers, Wolfram (1989), Proof theory, Lecture Notes in Mathematics, 1407, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-46825-7, ISBN 978-3-540-51842-6, MR 1026933
• Schütte, Kurt (1977), Proof theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 225, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. xii+299, ISBN 978-3-540-07911-8, MR 0505313
• Takeuti, Gaisi (1987), Proof theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 81 (Second ed.), Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-87943-1, MR 0882549
• Smorynski, C. (1982), "The varieties of arboreal experience", Math. Intelligencer, 4 (4): 182–189, doi:10.1007/BF03023553 베블렌 계층 구조에 대한 비공식적인 설명을 포함한다.
• Veblen, Oswald (1908), "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals", Transactions of the American Mathematical Society, 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605
• Miller, Larry W. (1976), "Normal Functions and Constructive Ordinal Notations", The Journal of Symbolic Logic, 41 (2): 439–459, doi:10.2307/2272243, JSTOR 2272243