벡터 영역

3차원 기하학 및 벡터 미적분학에서 영역 벡터는 면적 양과 방향을 결합한 벡터로서, 3차원으로 방향 영역을 나타낸다.

3차원의 모든 경계 표면은 그것의 벡터 영역이라고 불리는 독특한 영역 벡터와 연관될 수 있다. 그것은 표면이 정상인 표면 적분과 같으며, 일반적인 (스칼라) 표면 영역과 구별된다.

벡터 영역은 2차원에서 서명된 영역의 3차원 일반화로 볼 수 있다.

정의

스칼라 영역 S와 단위 정규 n̂의 유한 평면 표면의 경우 벡터 영역 S는 면적에 의해 정규 눈금 단위로 정의된다.

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat{n}S}$

평평한 면적의 세트 S로_i 구성된 방향성 표면 S의 경우 표면의 벡터 영역은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat{n}} _{i}S_{i}}}}$

여기서 n̂_i는 영역 S에_i 대한 단위 정상 벡터다.

충분히 품행이 좋은 경계가 있고 방향성이 있는 곡선 표면의 경우에도 벡터 영역을 정의할 수 있다. 먼저 표면을 극소수의 원소로 나누었는데, 각각은 사실상 평탄하다. 각 영역의 최소 요소들에 대해, 우리는 면적 벡터를 가지고 있으며, 또한 최소도 가지고 있다.

${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\n}ds}$

여기서 n̂는 dS에 수직인 국소 단위 벡터다. 통합은 표면의 벡터 영역을 제공한다.

${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S}}$

특성.

표면의 벡터 영역은 표면이 가장 큰 평면에서 표면의 (서명된) 투사 영역 또는 "그림자"로 해석될 수 있다. 그 방향은 평면의 정규에 의해 주어진다.

곡선 또는 면(즉, 비 평면) 표면의 경우 벡터 영역은 실제 표면 영역보다 크기가 작다. 극단적인 예로, 닫힌 표면은 임의로 큰 면적을 가질 수 있지만, 벡터 면적은 반드시 0이다.^[1] 경계를 공유하는 표면은 매우 다른 영역을 가질 수 있지만 벡터 영역은 동일한 벡터 영역을 가져야 한다. 벡터 영역은 완전히 경계에 의해 결정된다. 스톡스의 정리 결과들이다.

평행사변형의 벡터 영역은 그것을 가로지르는 두 벡터의 교차 생산물에 의해 주어진다; 그것은 동일한 벡터에 의해 형성된 삼각형의 (벡터) 영역의 두 배다. 일반적으로 경계가 일련의 직선 세그먼트로 구성된 모든 표면의 벡터 영역(2차원의 다각형에 대한 아날로그)은 표면의 삼각화에 해당하는 일련의 교차 제품을 사용하여 계산할 수 있다. 이것이 슈엘레이스 공식을 3차원으로 일반화한 것이다.

적절히 선택된 벡터 필드에 적용된 스토크의 정리를 사용하여 벡터 영역에 대한 적분된 경계를 도출할 수 있다.

여기서 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial S}$은 S의 경계, 즉 하나 이상의 방향의 닫힌 공간 곡선이다. 이는 그린의 정리를 이용한 2차원 면적 계산과 유사하다.

적용들

영역 벡터는 표면을 통한 벡터장의 유량을 결정할 때와 같이 표면 적분 계산에 사용된다. 플럭스는 필드의 도트 생산물과 (적외선) 영역 벡터의 적분으로 주어진다. 필드가 표면 위에 일정하게 있을 때 적분은 필드의 도트 곱과 표면의 벡터 영역으로 단순화한다.

면에 면적 투영

평면에 투사된 영역은 벡터 영역 S의 도트 곱과 목표 평면 단위 정규 m³에 의해 주어진다.

예를 들어 xy-평면에 투사된 영역은 벡터 영역의 z 성분과 같으며, 또한 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\왼쪽 \mathbf {S} \오른쪽 \cos \theta}$

여기서 θ은 평면의 n̂과 z축 사이의 각도다.

참고 항목

• 바이벡터(Bivector), 임의의 치수에서 방향 영역을 나타냄
• De Gua의 정리, 벡터 영역을 직교 성분으로 분해하는 것에 관한 것
• 크로스 제품
• 표면 정규
• 표면 적분

메모들