신발레이스식

신발끈 공식 또는 신발끈 알고리즘(가우스의 면적 공식과 측량자의 공식으로도^[1] 알려져 있음)은 단순한 다각형의 영역을 결정하기 위한 수학 알고리즘으로, 정점이 평면의 데카르트 좌표로 설명된다.^[2] 그것은 신발끈을 실처럼 다각형을 구성하는 좌표에 대한 끊임없는 교차 다중화 때문에 신발끈 공식이라고 불린다.^[2] 구두끈법이라고도 한다. 그것은 조사와 임업에 응용하고 있다.^[3]

이 공식은 1769년^[4] 알브레히트 루트비히 마이스터(1724–1788)가 기술한 것으로 칼 프리드리히 가우스와 C.G.J. 야코비가 기술한 사다리꼴 공식에 바탕을 두고 있다.^[5] 면적 공식의 삼각형 형태는 그린의 정리의 특별한 경우라고 볼 수 있다.

자기 겹치는 폴리곤은 일반적으로 단순하지 않지만 영역의 의미가 여전히 명확하기 때문에 자기 겹치는 폴리곤에도 면적 공식을 적용할 수 있다.^[6] 나아가 자가 겹치는 폴리곤은 복수의 「해석」을 가질 수 있지만, 슈엘레이스 공식을 사용해 폴리곤의 면적이 해석에 관계없이 동일하다는 것을 보여줄 수 있다.^[7]

폴리곤 영역 공식

주어진: 데카르트 좌표계의 P$$ ${\displaystyle i_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle i}$= 1${\displaystyle }$, .${\displaystyle }$. .${\displaystyle \mathrm{n}}${\$displaystyle P_{$i}=(x_${i},y_{i}),i=$1, ...$n}$ 순서의 평면 단순 다각형.
아래 수식의 단순성을 위해 P ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${1$}={1}}$를 설정하는 것이 편리하다$.$

공식:
주어진 다각형의 영역은 간단한 연산에 의해 연결되는 다양한 공식으로 표현할 수 있다(아래 참조).
폴리곤이 음의 방향이면 수식의 결과$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 음이 된다. ${\displaystyle 어떤}$ 경우에도 A $displaystyle$A$}$은(는) 다각형의 탐색 영역이다$$. ^[8]

사다리꼴 공식

The trapezoid formula sums up a sequence of oriented areas ${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$ of trapezoids with ${\displaystyle P_{i}P_{i+1}}$ as one of its four edges (see below):

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})\quad }$

${\displaystyle \quad ={\frac {1}{1}{1}+y_{2}(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{\color {red}1}{red}1}(x_{n}-x_{\color {red}1}{big}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).$

삼각식

삼각형 공식은$$O ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ P ${\displaystyle i_{}}$+ 1 ${\$의 ${\displaystyle {\mathrm{방향}}_{}}$ 영역 ${\displaystyle A_{}}$ i ${\$i+1}를 요약한다.

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\quad }$

${\displaystyle \quad ={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{\color {red}1}-x_{\color {red}1}y_{n}{\Big )}}$

신발레이스식

결정 공식은 2x2 결정제의 합계를 손으로 계산하는 것을 최적화하는 계획인 인기 신발끈 공식의 기초가 된다.

• ${\displaystyle 2A=\underbrace {{\begin{vmatrix}x_{1}x_{1}\y_{1}\nd{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}}\\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}+\cdots +{\\bmatrix}x_{n}x_{\color {red}1}\y_{n_}}{\color {red}1}\color {red}1}\end{vmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \quad \ ={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\quad }$ (horizontal shoelace scheme)

${\displaystyle \quad \ ={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\\cdots &\\x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}\quad }$ (vertical form )

기타 공식

• ${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{n2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$

${\displaystyle \quad ={\frac {1}{1}{1}{{1}{1}(x_{red}-n}-x_{2}+Y_{2}+{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +n}(x_{n-1}-x_{red}}}}}}{big}}}}{big}}}}}}}}}}{big}}}).$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{n2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$

특히 공식에 대한 간결한 설명은 외부 대수학 측면에서 제시될 수 있다. $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$이(가) 다각형의 연속 정점이라면$$(카르트 평면에서 벡터로 간주됨) 다음

${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{n2}}\cdot \왼쪽 \sum _{i=1}^{nv_{i}\wedge v_{i+1}\오른쪽 .}$

예

펜타곤 면적의 경우

${\displaystyle P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),}$

${\displaystyle P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)}$

얻어먹다

${\displaystyle 2A={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle \\;=1-18\;+6-7\;+28-8\;+20-32\;+48-5=33}$

${\displaystyle \;A=16,5}$

신발끈 형태의 장점: 10개의 열을 가진 5개의 결정인자를 계산하려면 6개의 열만 작성하면 된다.

공식 도출

사다리꼴 공식

The edge ${\displaystyle P_{i},P_{i+1}}$ determines the trapezoid ${\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}$ with its oriented area

${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{1}:{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})$

< + 1 ${\$의 경우 $숫자{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i}=0}$이(${\displaystyle {가}_{}}$) 음수이고, 그렇지 않으면$$ $양수{\displaystyle {}_{}}$ 또는 ${\displaystyle x_{}}$ i = ${\displaystyle 1_{}}$이면${\displaystyle {}_{}}$A =${\displaystyle {}_{}}$0$${\$displaystystyle A_{i$}={$i}={i+$1$\}.$ 다이어그램에서 가장자리 방향은 화살표로 표시된다. 색상은 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 기호를 나타내며$,$ 빨간색은 < 0 ${\displaystyle A_{i}<0$ 녹색은 > ${\displaysty A_{i}}}}$을 의미한다 첫 번째 경우 사다리꼴은 두 번째 경우 양성이라고 한다. 음의 사다리꼴은 폴리곤 밖에 있는 양의 사다리꼴의 그 부분을 삭제한다. 볼록한 폴리곤(도표에서 위 예)의 경우 이는 명백하다. 폴리곤 영역은 양의 사다리꼴(녹색 가장자리) 영역에서 음의 사다리꼴(빨간색 가장자리) 영역을 뺀 값이다. 비 볼록한 경우에는 상황을 좀 더 신중하게 고려해야 한다(도표 참조). 어쨌든 결과는

• ${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A_{i}={\frac {1}{1}:{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$

삼각형 형태, 결정인자 형태

Eliminating the brackets and using ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}$ (see convention ${\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}$ above), one gets the determinant form of the area formula:

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}$

i번째 결정인자의 1/2은 삼각형 $O{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$ 이 버전의 면적 공식은 삼각형 형태라 불린다.

기타 공식

With ${\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }$ (see convention ${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$ above) one gets

${\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\color {red}x_{i-1}y_{i}}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}}$

${\displaystyle {두}_{}}$ 합을 모두 합하고 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 제외하면 다음과 같은 결과를$$ 얻을 수 있다.

• ${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{n2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{ID}}}$identity i =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}{}_{}\underset{}{\overset{}{}}{y}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{1n}}_{}}$ x ${\displaystyle i_{}}$- 1 $displaystyle \sum$\sum $_{i=1}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1^{n}x_{i-1}y_{i-1}\}}}\$을 얻는다.

• ${\displaystyle A={\frac {1}{1}:{n2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$

폴리곤의 조작

${\displaystyle A}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.$$. . . . . . ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A(P_{1},...,P_{n}}}}$은(는) $n{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 4_{}}$ ${\$$displaystyle$ $P_{1}, P_{$$n}}}$의 단순한 다각형 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, . . . . . . .N}의 방향 영역을 나타낸다$$.$$ ${\displaystyle \mathrm{다각형}}$의 방향이 양/음이면 $[\displaystyle$ A$}$이(가) 양/음이다$$. 면적 공식의 삼각형 형태 또는 아래 다이어그램에서 > n ${\displaystyle 1>$을 관찰한다

• ${\displaystyle A(P_{1},...,P_{n}}=A(P_{1}{1},...,P_{k-1},...,P_{n})+A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1}},P_{k+1},P_{k+1}}}}}}$

$k{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \text{또는}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1\;{\text{or}\;n}$의 경우 먼저$$ 지수를 이동시켜야 한다.

따라서 다음과 같다.

1. Moving ${\displaystyle P_{k}}$ affects only ${\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$ and leaves ${\displaystyle A(P_{1},...,P_{k-1},P_{k+1},...,P_{n})}$ unchanged. Pk{\displaystyle P_{km그리고 4.9초 만}}를 Pk-1P+1에 평행하게이동해도면적의 변화는 없다.
2. $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을(를) 제거하면 전체 면적이 $A{\displaystyle (P_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A(P_{k-1}, P_{k}, P_{k+1})$로 변경되며$,$ 양수 또는 음수일 수 있다.
3. $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$사이에$$ 점 Q {\displaystyle $Q$$}$을$($를) 삽입하면 총 면적이 $A{\displaystyle (P_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle Q}$,$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle A(P_{k}, Q,P_{k+1})$로 변경되며$$, 이 값은 양수 또는 음수일 수 있다$.$

예:

${\displaystyle P_{1}=(3,1),P_{2}=(7,2),P_{3}=(4,4),}$

${\displaystyle P_{4}=(8,6),P_{5}=(1,7),\Q=(4,3)}$

위의 신발끈 체계의 표기법으로는, 신발끈의 방향 영역을 알 수 있다.

파란색 다각형:

${\displaystyle \ A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}={\tfrac{1}{1}:{1}2}}:{\begin{vmatrix}3&4&8&3\1&4&6&1\end{vmatrix}=20.5}$

green triangle: ${\displaystyle \ A(P_{2},P_{3},P_{4})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}7&4&8&7\\2&4&6&2\end{vmatrix}}=-7\qquad }$

red triangle: ${\displaystyle \quad A(P_{1},Q,P_{2})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&3\\1&3&2&1\end{vmatrix}}=-3.5}$

파란색 폴리곤 마이너스 포인트 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$:

${\displaystyle \ A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5}={\tfrac{1}{1}:{1}2}}:{\begin{vmatrix}3&7&8&1&1&3\1&6&1\end{vmatrix}}=27.5.}$

$P$ 1, P${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle P_{1}, P_{2$

${\displaystyle \ A(P_{1},{\color {red}Q},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&{\color {red}4}&7&4&8&1&3\\1&{\color {red}3}&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=17}$

하나는 다음 방정식이 다음을 지탱하는지 점검한다.

${\displaystyle A(P_{1},P_{2},{\color {green}P_{3},P_{4},P_{5}=A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})+A(P_{2},{\color {green}P_{3},P_{4}=20.5}$

${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})+A(P_{1},{\color {red}Q},P_{2})=A(P_{1},{\color {red}Q},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=17}$

일반화

더 높은 치수에서 폴리곤의 면적은 Shoelace 공식의 외부 대수 형태를 사용하여 정점으로부터 계산할 수 있다(예: 3d, 연속 교차 제품의 합계).

(정점이 일직선이 아닌 경우, 이것은 루프로 둘러싸인 벡터 영역, 즉 가장 큰 평면의 투사 영역 또는 "그림자"를 계산한다.)

또한 이 공식은 정점의 좌표에서 n차원 폴리토프의 부피를 계산하기 위해 일반화할 수 있으며, 보다 정확하게는 초경면 메시에서 계산할 수 있다.^[10] 예를 들어, 3차원 다면체의 부피는 그 표면 망사를 삼각측량하고 각 표면 삼각형과 원점에 의해 형성된 사면체의 부호를 합하여 구할 수 있다.

합계가 면 위에 있고 정점을 일관성 있게 정렬하기 위해 주의를 기울여야 한다(모두 다면체 외부에서 시계 방향 또는 반시계 방향). 대안적으로, 표면 영역과 표면 규범에 관한 표현은 발산 정리를 사용하여 도출될 수 있다(다면체 § 볼륨 참조).

참고 항목

• 평면측정기
• 픽의 정리
• 헤론의 공식

외부 링크

• 가우스의 신발끈 공식에 대한 수학 비디오

참조