비에타 공식

수학에서 비에타의 공식은 다항식의 계수를 그 근의 합과 곱과 연관시킵니다. 그 이름은 프랑수아 비엣(François Vieta)에서 따온 것입니다.

기본식

차수 n의 임의의 일반 다항식

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

(

계수

가 실수 또는 복소수이고 ≠

가

0인 경우) 대수의 기본 정리에 의해 n개(반드시

구별되지

는 않음)의

복소수 r

, r, ..., r을 갖습니다. 비에타의 공식은 다항식 계수를

근 1

r,

r 2, ...,

r

의_n 부호화된 곱의 합과 다음과 같이 연관시킵니다.

{\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{case}}

(*)

비에타의 공식은 동등하게 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}

k

= 1, 2,

...,

n

(

k

근의 각 곱이 정확히 한 번만 사용되도록 하기 위해 지수

i

가 증가하는 순서로 정렬됨).

비에타 공식의 좌변은 근의 기본 대칭 다항식입니다.

비에타의 체계(*)는 명시적인 단순 반복 공식인 듀랑-케르너 방법을 통해 뉴턴의 방법으로 해결할 수 있습니다.

링에 대한 일반화

비에타의 공식은 임의의 적분 $영역$ R의 계수를 갖는 다항식과 함께 자주 사용됩니다. 그런 다음, 몫 $a_{i}/a_{n}$ / $a_{i}/a_{n}$ ${\$ 는 $R$ 의 분수 필드에 속합니다 $a_{i}/a_{n}$ ( $a_{n}$ 만약 $a_{n}$ {\ $display a_{n}}$ 가 $a_{n}$ R에서 가역적이라면, $R$ 자체에 속할 수도 있습니다). 근 $r_{i}$ {\ $display r_{i}$ 는 대수적으로 닫힌 확장에서 취합니다 $r_{i}$ . 일반적으로 $R$ 은 정수의 고리, 분수의 장은 유리수의 장, 대수적으로 닫힌 장은 복소수의 장입니다.

비에타의 공식은 계산할 필요 없이 뿌리 사이의 관계를 제공하기 때문에 유용합니다.

For polynomials over a commutative ring that is not an integral domain, Vieta's formulas are only valid when $a_{n}$ is not a zero-divisor and $P(x)$ factors as $a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})$ . 예를 들어, 정수 모듈로 8의 환에서 2차 $P(x)=x^{2}-1$ P $P(x)=x^{2}-1$ ) = $P(x)=x^{2}-1$ - 1 {\displaystyle P(x) = x^{2}-1}은 1, 3, 5, 7의 4개의 근을 갖습니다. $r_{1}=1$ 를 들어, r $r_{1}=1$ = $1$ {\ $display$ r_{1}=1}이고 r 2 = $3$ {\display r_{2}=3}인 경우 P ( $x)$ ≠ (x - 1 ) {\display p( $x$ )\n $eq (x-1)(x-3$ 하지만, $P(x)$ ( $P(x)$ ) ${\displaystyle$ P $(x)}$ 는 $P(x)$ $(x-1)(x-7)$ ( $(x-1)(x-7)$ - 1 $(x-1)(x-7)$ $(x-1)(x-7)$ - 7 $(x-1)(x-7)$ ${\displaystyle (x-1)$ (x - 7 $)}$ 및 $(x-1)(x-7)$ $(x-3)(x-5)$ ( $(x-3)(x-5)$ - $(x-3)(x-5)$ (x - 5) {\displaystyle $($ x - 3) (x - 5 $)}$ 로 인수를 수행합니다 $(x-3)(x-5)$ $r_{1}=1$ 비에타 공식은 r $r_{1}=1$ 1 = $1$ {\ $display$ $r_$ { $1}$ =1} 및 $r_{2}=5$ 2 = $7$ ${\display$ r_{2}=7} 또는 r 1 = 3 {\display r_{1}=3} 및 r 2 = 5 {\display r_{2}=5} 중 하나를 설정하면 유지됩니다.

예

비에타의 공식은 2차 다항식과 3차 다항식에 적용됩니다.

2차 $P(x)=ax^{2}+bx+c$ P $P(x)=ax^{2}+bx+c$ = $P(x)=ax^{2}+bx+c$ $P(x)=ax^{2}+bx+c$ 2 + b x + c {\displaystyle P(x) = ax^{2}+bx+c}의 $r_{1},r_{2}$ $r_{1},r_{2}$ 1, $r_{1},r_{2}$ 2 $r_{1},r_{2}$ {\ $displaystyle r_{1}}$ 는 다음을 만족합니다.

r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.

이 방정식들 중 첫 번째 $방정식$ 은 P의 최소값(또는 최대값)을 찾는 데 사용될 수 있습니다. 2차 방정식 § 비에타 공식을 참조하십시오.

$r_{1},r_{2},r_{3}$ 다항식 $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 의 근 $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 1 $,$ r 2, r 3 {\ $displaystyle r_{1}, r_{2}, r_{3}}$ = $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx+ d} 가 다음을 만족하는 것을 특징으로 하는 방법

r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.

증명

비에타의 공식은 평등을 확대함으로써 증명될 수 있습니다.

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})

(

r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}

1

r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}

r

r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}

r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}

{\display r_{1}, r_{2},\

dots

,r_

{n}}는 모두 이 다항식의 근이며, 우변의 인자를 곱하고

x의

각

x.

의 계수를 식별합니다. {\

display style

x.}

형식적으로 $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ ( $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ - $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ ) $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ ( $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ - $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ ) ⋯ ( $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),$ - r $n$ ), ${\displaystyle (x-r_{1})\cdots ($ $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ {n}), 항은 $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ 하게 ( $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ - $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ ) $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ - $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ ⋯ r n $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},$ x k, ${\displaystyle (-1)^{$ n-k} $r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{$ n}^{b_{n}}, $}$ $b_{i}$ ${\$ 는 0 또는 $b_{i}$ 1이고, 이에 $r_{i}$ $r_{i}$ {\ $display r_{i}$ 는 $r_{i}$ 제품에 포함되어 있는지 여부이고, k는 $r_{i}$ 되어 $r_{i}$ $r_{i}$ {\ $display$ r_ ${i}$ 의 개수이고, 따라서 제품의 총 인자 수는 n(다중도 k를 갖는 counting x k $x^{k}$ {\ $displaystyle$ $r_{i}$ x $^{k}})$ 입니다. n개의 이진 선택이 있으므로(include r {\ $displaystyle$ r_{i} 또는 x), $2^{n}$ 의 $2^{n}$ {\ $displaystyle 2^{$ n} 항이 $2^{n}$ 기하학적으로 하이퍼큐브의 꼭짓점으로 이해할 수 있습니다. 이 항들을 차수별로 그룹화하면 $r_{i}$ {\ $display r_{i}$ – $r_{i}$ x의^k 경우, ${\display r_{i}$ 의 서로 다른 k-접힌 모든 곱의 기본 대칭 다항식이 생성됩니다. $}$

예를 들어, 2차를 생각해보세요.

f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).

Comparing identical powers of $x$ , we find $a_{2}=a_{2}$ , $a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})$ and $a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})$ , 예를 들어 $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ 1 $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ + $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ 2 = $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ - $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ a $r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}$ $r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}$ / $r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}$ $r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}$ ${\displaystyle r_{1$ }+ $r_{2$ } =- $a_{1}/a_{2}$ 및 r 1 r 2 = $n=2$ a 0 / a 2 {\display r_{1}r_{2} = a_{0}/a_{2}}를 식별할 수 있습니다. 이는 n = 2 {\displaystyle n=2}에 대한 비에타 공식입니다.

대체 증명(수학적 귀납법)

비에타의 공식도 귀납법으로 증명할 수 있습니다.

귀납적 가설:

${P(x)}$ ${P(x)}$ 를 실수 또는 복소수 근 ${r_{1}},{r_{2}},{\cdots },{r_{n}}$ ${r_{1}},{r_{2}},{\cdots },{r_{n}}$ r ${r_{1}},{r_{2}},{\cdots },{r_{n}}$ ⋯, r ${\displaystyle {r_{1}},$ {r_{2}, $cdots$ }, {r_{n}}의 차수 다항식이라고 합니다.

{P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}},{a_{n}}\neq 0

기본 케이스,

n=2

(quadratic):

${a_{2}},{a_{1}}$ ${a_{2}},{a_{1}}$ ${a_{2}},{a_{1}}$ ${\$ { $a_{1}}$ 는 ${a_{2}},{a_{1}}$ 2차의 계수이고 $a_{0}$ ${\$ 은 상수항이라고 합니다 $a_{0}$ . 마찬가지로 ${r_{1}},{r_{2}}$ ${r_{1}},{r_{2}}$ ${r_{1}},{r_{2}}$ ${r_{1}},{r_{2}}$ ${\$ { $r_{2}}$ 를 2차의 근이라고 ${r_{1}},{r_{2}}$ 합니다.

{a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2)}}

분배 속성을 사용하여 오른쪽을 확장합니다.

{a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}

같은 항을 수집합니다.

{a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}

분배 속성을 다시 적용합니다.

{a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}

귀납적 가설은 이제 n=2에 대해 참임이 증명되었습니다.

유도 단계:

귀납적 가설이 모든 $n개의$ ⩾ 2 {\ $displaystyle$ n\geqslant 2}에 대해 참이라고 가정하면 $n+1$ n + 1 $displaystyle$ n+1}에 $n+1$ 대해 참이어야 합니다.

{P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}

인자 정리에 의해

{(x-r_{n+1})}

(

{(x-r_{n+1})}

{(x-r_{n+1})}

r

{(x-r_{n+1})}

n +

{(x-r_{n+1})}

)

{(x-r_{n+1})}

{\

displaystyle {(x-r_{n+1}}}

은

P(x)

(

P(x)

)

P(x)

{\

displaystyle P(x

))}에서

P(x)

나머지를 인수분해할

{(x-r_{n+1})}

수 있습니다. 대괄호 안의 다항식의 근은 r

r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}

r

r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}

⋯, r

{\display r_{

1},

r_{2},\cdots

r_{n}입니다.

{P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}

대괄호의

a_{n+1}

에서

a_{n+1}

+

a_{n+1}

{\

displaystyle a_{n+1

선행

P(x)

P

P(x)

)

P(x)

{\

displaystyle

P(

x

를 계산합니다.

{P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}]}

단순화를 위해 다항식의 계수와 상수를

\zeta

ζ {\displaystyle

\zeta

\zeta}로 표시할 수 있습니다.

P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}

귀납적 가설을 사용하여 대괄호 안의 다항식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}

분배 속성 사용:

P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}

용어처럼 확장하고 수집한 후:

{\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{align}}

귀납적 가설은

n+1

+

n+1

{\displaystyle

n

+1}

에 대해 true이며

n+1

따라서 \mathbb {N}에서 모든 n

\

에 대해

\forall n\in \mathbb {N}

∀ n ∈

N {\displaystyle \forall

n\"이어야 합니다.

결론:

{a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}

양변을

{\

으로 나누어

a_{n}

비에타 공식이 참임을 증명합니다.

역사

이름에 반영된 것처럼, 이 공식들은 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트에 의해 양의 근의 경우에 대해 발견되었습니다.

18세기 영국 수학자 찰스 허튼(Charles Hutton)은 펑하우저(^[1]Funkhouser)가 인용한 바와 같이 일반적인 원리(양의 실수근에 국한되지 않음)는 17세기 프랑스 수학자 알베르 지라르(Albert Girard)에 의해 처음 이해되었습니다.

...[지라드는] 뿌리와 그 산물의 합으로부터 열의 계수가 형성된다는 일반적인 교리를 이해한 최초의 사람이었습니다. 그는 어떤 방정식의 근의 거듭제곱의 합에 대한 규칙을 발견한 최초의 사람이었습니다.

참고 항목

참고문헌

^ (Funkhouser 1930)

"Viète theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273
Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4
Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6

[1] (Funkhouser 1930)

[1]

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기본식

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예

증명

대체 증명(수학적 귀납법)

역사

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