시각 미적분학
Visual calculus
마미콘 므나츠카니안(일명 마미콘)이 발명한 시각적 미적분은 다양한 적분 문제를 푸는 접근법이다.[1]그렇지 않으면 꽤 어려워 보이는 많은 문제들이 계산의 한 줄도 거의 없이 그 방법에 굴복하게 되는데, 종종 마틴 가드너가 "아하! 해결책"이나 로저 넬슨이 말 없는 증거라고 부르는 것을 연상시킨다.[2][3]
설명
마미콘은 학부 시절인 1959년에 이 방법을 고안해 냈는데, 먼저 잘 알려진 기하학 문제에 적용했다: 안쪽 둘레에 접하는 화음의 길이를 감안할 때 고리(아누스)의 면적을 찾는다.아마도 놀랍게도, 추가 정보가 필요하지 않다; 해결책은 링의 내부와 외부 치수에 의존하지 않는다.
전통적인 접근법은 대수학과 피타고라스 정리의 적용을 포함한다.그러나 마미콘의 방법은 반지의 대체 구조를 구상하고 있는데, 처음에는 안쪽 원만 그어진 다음, 일정한 길이의 접선을 만들어 그 둘레를 따라 이동하게 하고, 그 둘레를 따라 반지를 "냄새나게" 한다.
이제 링을 구성하는 데 사용된 (정규 길이) 탄젠트들을 그들의 탄젠스 지점이 일치하도록 번역하면 결과는 알려진 반경(그리고 쉽게 계산된 영역)의 원형 디스크가 된다.실제로 내부 원의 반지름은 무관하기 때문에 반경 0의 원(점)으로 시작할 수도 있었다. 그리고 0 반지름의 원을 중심으로 고리를 쓸어내는 것은 단순히 끝점 중 하나에 대한 선 세그먼트를 회전시키고 디스크를 쓸어내는 것과 구별할 수 없다.
마미콘의 통찰력은 두 건축물의 등가성을 인식하는 것이었다; 그리고 그것들이 동등하기 때문에, 그들은 동등한 영역을 산출한다.더욱이 접선 길이가 일정하다고 주어지는 한, 두 개의 출발 곡선은 원형일 필요가 없다. 즉, 더 전통적인 기하학적 방법으로 쉽게 입증되지 않는 발견이다.이로써 마미콘의 정리:
- 접선 스위프의 면적은 원래 곡선의 모양에 관계 없이 접선 군집의 면적과 동일하다.
적용들
사이클로이드의 면적
사이클로이드의 면적은 사이클로이드와 둘러싸인 사각형 사이의 면적을 고려하여 계산할 수 있다.이 접선들은 모두 뭉쳐 원을 형성할 수 있다.만약 사이클로이드를 생성하는 원이 반지름 r을 가지고 있다면, 이 원은 또한 반지름 r과 면적 rr을2 가지고 있다.직사각형의 면적은 2r × 2 2r = 4πr이다2.따라서 사이클로이드의 면적은 3㎛r2: 생성원 면적의 3배이다.
접선 군집은 사이클로이드가 원에 의해 생성되고 사이클로이드에 대한 접선은 발생 지점에서 롤링 지점까지의 선에 직각이기 때문에 원이라고 볼 수 있다.따라서 접점까지의 접선과 선은 생성 원 안에서 직각 삼각형을 형성한다.즉, 접선이 함께 모여 생성 원의 모양을 설명할 것이다.[5]
참고 항목
- 카발리에리의 원리
- Hodograph – 이것은 극지도를 사용하여 점의 속도를 매핑하는 관련 구조물이다.
- 기계식 이론의 방법
- 파푸스의 중심 정리
- 평면측정기
참조
- ^ 시각적 미적분 마미콘 므나츠카니안
- ^ 넬슨, 로저 B. (1993)'말 없는 증거' 케임브리지 대학 출판부 ISBN978-0-88385-700-7.
- ^ 마틴 가드너(1978년) 아하! Insight, W.H. Freeman & Company; ISBN 0-7167-1017-X
- ^ Haunsperger, Deanna; Kennedy, Stephen (2006). The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. ISBN 9780883855553. Retrieved May 9, 2017.
- ^ Apostol, Mnatsakanian (2012). New Horizons in Geometry. Mathematical Association of America. ISBN 9781614442103.
