폰 망골트 함수

수학에서 폰 망골트 함수는 독일의 수학자 한스 폰 망골트의 이름을 딴 산술 함수다. 승법도 가법도 아닌 중요한 산술함수의 예다.

정의

λ(n)으로 표시된 폰 망골트 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{case}\log p&{\text{{}{{n=p^{k}{\text{}}{\text{{}}}}{\text{}}}{\text}}}}}{{p}}}}p.p.p}/geq 1,\notherwise.}}}\end{case}}$

처음 9개의 양의 정수(즉, 자연수)에 대한 λ(n) 값은 다음과 같다.

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

(OEIS의 순서 A014963)과 관련이 있다.

제2의 체비셰프 함수로도 알려진 summ(x)의 요약 폰 망골트 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$

폰 망골트는 eman(x)에 리만 제타 함수의 비경쟁적 0에 대한 합계를 포함하는 명시적 공식에 대한 엄격한 증거를 제공했다. 이것은 소수 정리의 첫 번째 증명에서 중요한 부분이었다.

특성.

폰 망골트 함수는 정체성을^[1][2] 만족시킨다.

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda(d).}$

합계는 n을 나누는 모든 정수를 차지한다. 이것은 산술의 기본 정리에 의해 증명되는데, 이는 프라임의 힘이 아닌 용어는 0과 같기 때문이다. 예를 들어, 사례 n = 12 = 2² × 3을 고려하십시오. 그러면

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2)\log(2)(2)+0+0\&=\&=\log(12)\end{정렬}}}$

뫼비우스의 반대로, 우리는^[2][3][4]

$\displaystyle \Lambda(n)=-\sum _{d\mid n}\mu(d)\log(d)\.}$

디리클레트 시리즈

폰 망골트 함수는 디리클레 시리즈 이론에 중요한 역할을 하며, 특히 리만 제타 함수에 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 사람은

${\displaystyle \log \zeta(s)=\sum \n=2}^{\inflt }{\frac {\lambda(n)}{\log(n)}}}\\\prac {1}{n^{s}}}},\qquad{\text{Re}}}}1}1}}}}1.}$

로그파생물은 그 다음이다^[5].

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\premy ^}{\zeta }{\sum _-\n=1}^{n=1}\flac {\lambda (n){n^{s}}}}.}$

디리클레 시리즈에 관한 보다 일반적인 관계의 특별한 경우들이다. 있다면

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\nflac{f(n)}{n^{s}}}}}}}}}$

완전한 승법 함수 f(n)에 대해, 그리고 시리즈는 Re(s) > σ에₀ 대해 수렴한다.

${\displaystyle {\f^{\frac{\premy }{F^}}{F}}=-\sum _{n=1}^{n1}\frac {f(n)\lambda(n){n^{n^}}}}}}}}}}}}}$

Re(s) > σ에₀ 수렴한다.

체비셰프 함수

두 번째 체비셰프 함수 ψ(x)는 폰 망골트 함수의 합계 함수다.^[6]

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\lambda(n)\ .}$

체비셰프 함수의 멜린 변환은 다음과 같은 페론의 공식을 적용하여 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\premy }{\zeta }{\zeta(s)}}=-s\int _{1}^{1}{x^{s+1}}\,dx}$

R(s) > 1을 지탱한다.

지수계열

하디와 리틀우드는 시리즈를^[7] 조사했다.

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\ft }\왼쪽(\Lambda(n)-1\right)^{-ny}}}$

한계 y → 0⁺. 리만 가설을 가정하면 다음과 같은 것을 증명한다.

$F(y)=O\좌({\frac {1}{\sqrt {y}}\오른쪽)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Oomega _{\pm }\좌({\frac {1}{\sqrt {y}\오른쪽)}}}}}}}}$

특히 이 함수는 진동과 함께 진동한다: 두 불평등 모두 K > 0이 존재한다.

${\displaystyle F(y){-{\frac {K}{\sqrt{y}}},\quad {\text{\cext{ 및 }}}\quad F(z)}{\frac {K}{\sqrt{z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

0이라는 이웃에 무한히 머무르다 오른쪽의 그래픽은 이러한 행동이 처음에는 숫자로 명백하지 않다는 것을 나타낸다. 즉, 시리즈가 1억 개 이상의 항으로 요약될 때까지 진동은 뚜렷하게 보이지 않으며, y < 10⁻⁵>이 되어야 쉽게 볼 수 있다.

리에즈 평균

폰 망골트 함수의 리에츠 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sum _ᆰ\left(1-{\frac{n}{\lambda}}\right)^{\delta}\Lambda(n)&, =-{\frac{1}{2\pi 나는}}\int _{c-i\infty}^{c+i\infty}{\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta +s)}}{\frac{\zeta ^{\prime}(s)}{\zeta(s)}}\lambda ^{s}ds\\&, ={\frac{\lambda}{1+\delta}}+\sum _{\rho}{\frac{\Gamma(1+.\delta)\감마 (\rho )}{\감마 (1+\delta +\rho )}}}}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{정렬}}}$

여기서 λ과 Δ는 리에즈 평균의 특징을 나타내는 숫자다. c > 1을 복용해야 한다. ρ 이상의 합은 리만 제타 함수의 0에 대한 합이며,

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\nda ^{-n}\,}$

λ > 1의 수렴 시리즈임을 보여줄 수 있다.

리만 제타 0에 의한 근사치

다음과^[8] 같은 방법으로 부여된$$ 망골트$){\displaystyle \psi(x)}$의 요약 함수에 대한 명시적 공식이 있다.

${\displaystyle \cHB(x)=x-\sum _{\zeta(\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}}}{\\rho }}}}}{\rho }-\log(2\pi).}$

음의 짝수 정수인 제타함수의 사소한 0을 분리하면 얻을 수 있다.

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}}{\rho }}}{\rho }}}}}{\rho }-{1}{1}-x^{-2}.}$

융합 이슈를 무시하고 양쪽의 파생상품을 가져가면 분배의 '균등성'을 얻게 된다.

${\displaystyle \sum \{q=p^{r}\lambda (q)\delta (x-q)=1-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho}}{x}}}+{x-x^{3}}.}$

따라서, 우리는 비경쟁적 제타에 대한 합이 0이 될 것으로 예상해야 한다.

${\displaystyle -\sum _{\zeta(\rho )=0,\Re(\rho )}{\frac {x^{\rho}}}{x}}}$

고봉에 사실 이것은 인접한 그래프에서 볼 수 있듯이, 수치 계산을 통해서도 확인할 수 있다.

폰 망골트 함수의 푸리에 변환은 리만 제타 함수 0의 가상 부분과 동일한 서수의 스파이크를 가진 스펙트럼을 제공한다. 이것을 이중성이라고 부르기도 한다.

참고 항목

• 프라임 카운팅 함수

참조

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H. (eds.). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

외부 링크

• 앨런 굿, 리만 제타 유통 관련 일부 발언(2005)
• S.A. Stepanov (2001) [1994], "Mangoldt function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 하이케, 마티카에서 리만 제타 스펙트럼 제로 플롯은? (2012)