수학 에서 체비셰프 함수 는 두 가지 관련 함수 중 하나이다. 첫 번째 체비셰프 함수 ϑ (x )θ (x )
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x 통나무를 하다 p {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p} 여기서 로그 {\displaystyle \log } x 보다 작거나 같은 모든 소수 p 에 걸쳐 확장된 자연 로그 를 의미한다
두 번째 체비셰프 함수 ψ (x )x 를 초과하지 않는다.
ψ ( x ) = ∑ k ∈ N ∑ p k ≤ x 통나무를 하다 p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ 통나무를 하다 p x ⌋ 통나무를 하다 p , {\displaystyle \psi (x)=\sum \mathb {N}\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\lambda(n)=\sum _{p\leq x}\lefloor \{p}x\rfloor \llog,p},},}} 여기 서 λ 은 폰 망골트 함수 다. 체비셰프 함수, 특히 두 번째 ψ (x )소수 와의 작업이 프라임 카운팅 함수 인 π (x )아래 공식 참조). 체비셰프 함수 두 가지 모두 x 에 대한 점증상이며, 소수 정리에 해당하는 문장 이다.
두 기능 모두 Pafnuty Chebyshev 의 경의를 표하여 명명되었다.
관계들 제2차 체비셰프 기능은 1차적인 것과 관련이 있다고 볼 수 있다.
ψ ( x ) = ∑ p ≤ x k 통나무를 하다 p {\displaystyle \cHB=\sum _{p\leq x}k\log p} 여기서 k 는 p k x p k + 1 k 값은 OEIS :A206722 보다 직접적인 관계는 에 의해 주어진다.
ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ϑ ( x 1 n ) . {\displaystyle \cHB(x)=\sum _{n=1}^{\partheta \left(x^{\frac{1}{n}\right) } 이 마지막 합은 다음과 같이 한정된 수의 비반복 항만 가지고 있다는 점에 유의하십시오.
ϑ ( x 1 n ) = 0 을 위해 n > 통나무를 하다 2 x = 통나무를 하다 x 통나무를 하다 2 . {\displaystyle \vartheta \left(x^{\frac {1}{n}\right)=0\properties {\text{n}\frac n>\log _{2}x\={\frac {\log x}{\log 2}}}. } 두 번째 체비셰프 함수는 1에서 n 까지의 정수의 최소 공통 배수 의 로그다.
lcm ( 1 , 2 , … , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \chostname {lcm}(1,2,\reason,n)=e^{\reason(n)}} 정수 변수 n 에 대한 lcm(1,2,...,n ) 값은 OEIS :A003418
점근법 및 한계 체비셰프 함수에는 다음과 같은 한계가 알려져 있다: [1] [2] p k p 1 2 , p = 3 2 등
ϑ ( p k ) ≥ k ( 통나무를 하다 k + 통나무를 하다 통나무를 하다 k − 1 + 통나무를 하다 통나무를 하다 k − 2.050735 통나무를 하다 k ) 을 위해 k ≥ 10 11 , ϑ ( p k ) ≤ k ( 통나무를 하다 k + 통나무를 하다 통나무를 하다 k − 1 + 통나무를 하다 통나무를 하다 k − 2 통나무를 하다 k ) 을 위해 k ≥ 198 , ϑ ( x ) − x ≤ 0.006788 x 통나무를 하다 x 을 위해 x ≥ 10 544 111 , ψ ( x ) − x ≤ 0.006409 x 통나무를 하다 x 을 위해 x ≥ e 22 , 0.9999 x < ψ ( x ) − ϑ ( x ) < 1.00007 x + 1.78 x 3 을 위해 x ≥ 121. {\displaystyle{\begin{정렬}\vartheta(p_{k})&, \geq k\left(\log k+\log\log k-1+{\frac{\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&,&{\text{에}}k\geq 10^ᆱ,\\[8px]\vartheta(p_{k})&, \leq k\left(\log k+\log\log k-1+{\frac{\log \log k-2}{\log k}}\right)&,&{\text{에}}k\geq 198,\\[8px]\vartheta())-x&\leq 0.006788{\frac. {)}{\log)}}&&{\text{에}}) \geq 10\,544\,111,\\[8px] \psi (x)-x &\leq 0.006409{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121. \end{정렬}}} 게다가 리만 가설 하에서는
ϑ ( x ) − x = O ( x 1 2 + ε ) ψ ( x ) − x = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle {\begin{aigned} \vartheta (x)-x &=O\left(x^{1}+\varepsilon }\rift)\\\psi(x)-x(x^{{1}{1}+\varepsilon }\}}}}}}}}}}{aineed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 어떤 0 에 대해서도.
상한이 ϑ (x )ψ (x )[1]
ϑ ( x ) < 1.000028 x ψ ( x ) < 1.03883 x {\displaystyle {\regated}\vartheta (x)&<1.000028x\\\nd(x)&<1.03883x\end{arged}}}}} 어떤 0 에 대해서도.
상수 1.03883에 대한 설명은 OEIS :A206431
정확한 공식 1895년 한스 칼 프리드리히 폰 망골트 는 리만 제타 함수 의 비경쟁적 0에 대한 합으로 as (x )명시적 표현 을 증명하였다[4]
ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ζ ′ ( 0 ) ζ ( 0 ) − 1 2 통나무를 하다 ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \cHB_{0}(x)=x-\sum }{\rho }{\frac {x^{\rho }}}}}{\frac {\zeta '(0)}{\prac {1}{1}{{1}-x^{-2}} } .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den의( 있는 수치{.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬζ′(0)(0)log(2π) 있다.). 여기서 ρ 은 제타함수의 비경쟁적 0을 뛰어 넘으며, ψ 0 점프 불연속(주력)에서 값을 좌우의 값 중간으로 가져간다는 점을 제외하면 ψ 과 같다.
ψ 0 ( x ) = 1 2 ( ∑ n ≤ x Λ ( n ) + ∑ n < x Λ ( n ) ) = { ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) x = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … ψ ( x ) 그렇지 않으면 {\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise. }}}\end{case}} 로그 에 대한 테일러 시리즈 에서 명시적 공식의 마지막 항은 Ω -2, -4, -6, ..., 즉 제타 함수의 사소한 0에 대한 xω / Ω
∑ k = 1 ∞ x − 2 k − 2 k = 1 2 통나무를 하다 ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \sum \{k=1}^{\inflt }{x^{-2k}}}{-2k}}}={\tfrac {1}:{1}2}}:\log \left(1-x^{-2}\오른쪽). } 마찬가지로 첫 번째 용어인 x x 1 / 1 극 에 해당한다. 0이 아니라 장대라는 것이 그 말의 반대 신호를 설명해 준다.
특성. Erhard Schmidt 에 의한 정리에서는, 어떤 명시적인 양의 상수 K에 대해서는, 다음과 같은 자연수가 무한히 많다고 말하고 있다 .
ψ ( x ) − x < − K x {\displaystyle \psi(x)-x<-K{\sqrt{x}}} 그리고 무한히 많은 자연수 x 그런 것
ψ ( x ) − x > K x . {\displaystyle \psi (x)-x]K{\sqrt {x}. } [5] [6] little-o 표기법 에서는 위의 내용을 다음과 같이 표기할 수 있다.
ψ ( x ) − x ≠ o ( x ) . {\displaystyle \cHB(x)-x\neq o\left\sqrt {x}\오른쪽). } 하디 와 리틀우드 는[7]
ψ ( x ) − x ≠ o ( x 통나무를 하다 통나무를 하다 통나무를 하다 x ) . {\displaystyle \cHB(x)-x\neq o\left\sqrt {x}\log \log x\right). } 원시와의 관계 첫 번째 체비셰프 함수는 x 의 원수 의 로그로, x #:
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x 통나무를 하다 p = 통나무를 하다 ∏ p ≤ x p = 통나무를 하다 ( x # ) . {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod_{p\leq x}p=\log \left(x\#\오른쪽) } 이것은 원초적 # 가 점증적 (1 + o (1))x e와 동일하다는 것을 증명한다. 여기서 "o "는 little-o 표기법(큰 O 표기법 참조)이며, 소수 정리와 함께 p n
프라임카운트 함수와의 관계 체비셰프 함수는 다음과 같이 프라임 카운팅 함수와 관련될 수 있다. 정의
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) 통나무를 하다 n . {\displaystyle \Pi(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda(n)}{\logn}}. } 그러면
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) ∫ n x d t t 통나무를 하다 2 t + 1 통나무를 하다 x ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∫ 2 x ψ ( t ) d t t 통나무를 하다 2 t + ψ ( x ) 통나무를 하다 x . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}. } π 에서 prime-counting 함수 인 π 으로의 전환은 방정식을 통해 이루어진다.
Π ( x ) = π ( x ) + 1 2 π ( x ) + 1 3 π ( x 3 ) + ⋯ {\displaystyle \Pi(x)=\pi(x)+{\tfrac {1}{1}:{2}}\pi \left({\sqrt{x}\오른쪽)+{\tfrac {1}{3}\pi \left({\sqrt[{3}}}}}\오른쪽)+\codots}}}}}}} 확실히 π (x ) x
π ( x ) = Π ( x ) + O ( x ) . {\displaystyle \pi(x)=\Pi(x)+ O\왼쪽({\sqrt {x}\오른쪽). } 리만 가설 리만 가설 은 제타함수의 모든 비경쟁적인 0은 2 이 경우 xρ = √x
∑ ρ x ρ ρ = O ( x 통나무를 하다 2 x ) . {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}{\rho }}}}}}}{\rho }}}}}}}}=O\좌({\sqrt{x}\log ^{2}x\오른쪽). } 위와 같이, 이것은 함축하고 있다.
π ( x ) = ri ( x ) + O ( x 통나무를 하다 x ) . {\displaystyle \pi(x)=\displayname {li}(x)+ O\왼쪽({\sqrt {x}\log x\오른쪽). } 그 가설이 사실일 수 있다는 좋은 증거는 알랭 콘스 등이 제안한 사실에서 나온 것으로, x 에 관해서 폰 망골트 공식을 구별하면 x e u 얻게 된다는 것이다. 조작, 해밀턴 연산자의 기하급수적인 만족을 위한 추적 공식(Trace Formula)을 가지고 있다.
ζ ( 1 2 + i H ^ ) n ≥ ζ ( 1 2 + i E n ) = 0 , 왼쪽. \zeta \left({\tfrac {1}{1}:{2}}+i{\hat {H}\오른쪽)\오른쪽 n\\geq \jeta \left({\tfrac {1}{1}2}}+iE_{n}\오른쪽)=0,} , 그리고
∑ n e i u E n = Z ( u ) = e u 2 − e − u 2 d ψ 0 d u − e u 2 e 3 u − e u = TR ( e i u H ^ ) , {\displaystyle \sum _{n}e^{iuE_{n}}=Z(u)=e^{\frac {u}{2}}-e^{-{\frac {u}{2}}}{\frac {d\psi _{0}}{du}}-{\frac {e^{\frac {u}{2}}}{e^{3u}-e^{u}}}=\operatorname {Tr} \left(e^{iu{\hat {H}}}\right),} 여기서 "트리거 합"은 연산자(통계 역학 ) e iuĤ 트레이스로 간주될 수 있으며, 이는 ρ 1 2 iE (n .
반전위 접근법을 사용하여 H V
Z ( u ) u 1 2 π ∼ ∫ − ∞ ∞ e i ( u V ( x ) + π 4 ) d x {\displaystyle {\frac {Z(u)^{{1}{1}:{2}}: {\sqrt {\pi }}\심각 \{-\inflt }^{-\inflt }{\e^{i(x)+{\frac({4}}\pi\오른쪽)\,dx}} Z (u ) 0 을 u ∞ 으로 한다.
이 비선형 적분 방정식에 대한 해법은 다음을 통해 얻을 수 있다.
V − 1 ( x ) ≈ 4 π ⋅ d 1 2 d x 1 2 N ( x ) {\displaystyle V^{-1}(x)\약 {\sqrt {4\pi }}\cdot {\frac {d^{\frac {1}{1}:{dx^{1}{1}{1}:{1}{1}{1}{1}}N(x)}} 전위의 역치를 구하려면:
π N ( E ) = 아그 ξ ( 1 2 + i E ) . {\displaystyle \pi N(E)=\operatorname {Arg} \xi \left({\tfrac {1}{2}}+iE\right) } 평활함수 평활 10 의6 x 2 / 2 스무딩 함수 는 다음과 같이 정의된다.
ψ 1 ( x ) = ∫ 0 x ψ ( t ) d t . {\displaystyle \property_{1}(x)=\int_{0}^{x}\propert (t)\,dt.} 라는 것을[citation needed 알 수 있다.
ψ 1 ( x ) ∼ x 2 2 . {\displaystyle \cHB_{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}. } 변이성 제형식 x e t 평가된 체비셰프 함수는 기능을 최소화한다.
J [ f ] = ∫ 0 ∞ f ( s ) ζ ′ ( s + c ) ζ ( s + c ) ( s + c ) d s − ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − s t f ( s ) f ( t ) d s d t , {\displaystyle J[f]=\int _{0}^{\inflt }{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\ds-\int _{0}^{\infully }\! \!\int _{0}^{\\infit }e^{-st}f(t)\,ds\,dt,} 그렇게
f ( t ) = ψ ( e t ) e − c t 을 위해 c > 0. {\displaystyle f(t)=\lift(e^{t}\right)e^{-ct}\re^{\text{\text{{}}{}c}0의 경우. } 메모들 ^ Pierre Dusart , "R.H가 없는 프리타임에 대한 일부 기능 추정". arXiv :1002.0442 ^ ψ , π , ,, p k 약칭 버전은 "k번째 k (logk log 1) for k ≥ 2," Mathical of Computing , Vol. 68, No. 225 (1999), 페이지 411–415로 나타났다. ^ Matheatische Annalen , 57 (1903), 페이지 195–204.^ 액타 매티매티카 , 41 페이지 (1916) 119–196.^ 데이븐포트, 해롤드 (2000). 승수 이론 스프링거. 페이지 104. ISBN 0-387-95097-4 . 구글 북 검색. 참조 외부 링크 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abab056e0410ef28cc0deb2b38b2ea78dc1b97ca)
![{\displaystyle \psi _{0}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f39388f794625fb83a7e388c065122502a9b5d)
![{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6921e8c80084f93ab4c2eb6acde84c2cefca3f12)
![J[f]=\int _{{0}}^{{\infty }}{\frac {f(s)\zeta '(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}}\,ds-\int _{{0}}^{{\infty }}\!\!\!\int _{{0}}^{{\infty }}e^{{-st}}f(s)f(t)\,ds\,dt,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934e68a1fe60c4be0b06237286f305dc342fb883)
