월리스의 통합

수학에서, 그리고 더 정확히 분석하면, 월리스 통합은 존 월리스에 의해 소개된 통합의 집단을 구성한다.

정의, 기본 속성

월리스 통합은 (${\displaystyle {Wn}_{}{}_{}}$)${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 0 ${\$에 의해 정의된$$ 시퀀스$({\displaystyle }$Wn )의 용어다.

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}$

또는 동등하게

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }}}:{n}x\,dx.}$

이 시퀀스의 처음 몇 개 용어는 다음과 같다.

${\displaystyle W_{0}}$	${\displaystyle W_{1}.$	${\displaystyle W_{2}}:$	${\displaystyle W_{3}}$	${\displaystyle W_{4}}$	${\displaystyle W_{5}}$	${\displaystyle W_{6}}$	${\displaystyle W_{7}}$	${\displaystyle W_{8}}$	...	${\displaystyle W_{n}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}:}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{16}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{32}}}$	${\displaystyle {\frac {16}{35}}$	${\displaystyle {\frac {35\pi }{256}}$	...	${\displaystyle {\frac {n-1}{n}W_{n-2}}$

시퀀스$({\displaystyle {Wn}_{}}$) ${\displaystyle(W_{n})}$이(가) 감소하고$$ 있으며 양수 항이 있다.실제로 모든 $n{\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle n\geq$ 0$:}$에 대해

• > ${\displaystyle W_{n}>0,}$은(는) 동일한 0이 아닌 음이 아닌 연속 함수의 정수이므로,
• Wn− Wn+1)∫ 0π 2죄와 ⁡)d)−∫ 0π 2죄 n+1⁡)d))∫ 0π 2(n⁡ 죄))(1− 죄 ⁡))d)>;0,{\displaystyle W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin ^{n}))(1-\sin))\,dx>, 0,}다시.왜냐하면 마지막 적분은 음이 아닌 연속함수의 것이기 때문이다.

시퀀스$({\displaystyle {Wn}_{}}$) ${\displaystyle(W_{n})}$이(가) 감소하고$$ 0으로 경계되므로 음이 아닌 한계로 수렴한다.실제로 한계는 0(아래 참조)이다.

재발관계

부품별 통합을 통해 감량식을 얻을 수 있다.$ID{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2$}${\displaystyle \mathrm{x}}$$},$ 모든$$n$$${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle n\geq 2$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx.\qquad{\text}{Equivation(1)}\end{arged}}$

두 번째 적분을 부품별로 통합하는 방법:

• ${\displaystyle u'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)}$, whose anti-derivative is ${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle v}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle v($${\displaystyle x}$$)=\cos(x$ 파생 모델은 $v{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle$ v$'(x)=-\sin(x),}$

다음이 있음:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n}.}$

이 결과를 등식 (1)로 대체하는 것은

${\displaystyle W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}W_{n},}$

따라서

${\displaystyle W_{n}={\frac {n-1}{n}{n}W_{n-2}}$

$모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ 2${\displaystyle n\geq$ 2$.}$에 대해

This is a recurrence relation giving ${\displaystyle W_{n}}$ in terms of ${\displaystyle W_{n-2}}$. This, together with the values of ${\displaystyle W_{0}}$ and ${\displaystyle W_{1},}$ give us two sets of formulae for the terms in the sequence ${\displaystyle (W_{n})$$\},$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수인지$$ 짝수인지에 따라 다름:

• ${\displaystyle W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{1}:{2}}:W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{{(2p)!!}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {2p+1}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}}:}\cdots {\frac {2}{2}}{3}W_{1}={\frac {(2p)!!}{{(2p+1)!!}}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{{p+1)!}}.}$

월리스의 통합을 평가하는 또 다른 관계

Wallis의 통합은 오일러 통합을 사용하여 평가할 수 있다.

1. 첫 번째 종류의 오일러 적분: 베타 함수:

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ for Re(x), Re(y) > 0

2. 두 번째 유형의 오일러 적분: 감마 함수:

   ${\displaystyle \gamma }$( z ) = 0 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$- 1 ${\displaystyle e^{}}$- t ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \감마(z)=\$int$_{0}^{0}{\t^{$z-1$}$e$^{-t}\,dt}$

If we make the following substitution inside the Beta function: ${\displaystyle \quad \left\{{\begin{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos udu\end{matrix}}\right.,}$
당사는 다음을 얻는다.

${\displaystyle \mathrm {B}(a,b)=2\int _{0}^{0}^{\frac {\pi }2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u,du,}$

월리스 통합 평가와 관련하여 다음과 같은 관계를 제공한다.

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \좌측({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\우측)={\frac {\\gamma \좌측({\tfrac {n+1}{2}}\우측)\감마 \left({\tfrac {1}{2}}\오른쪽)}{2\,\감마 \left({\tfrac {n}{2}}+1\오른쪽)}}}}.}$

따라서$,$ $n{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{2p}}$+ ${\displaystyle 1}$${\$$displaystyle$ $n}$의 $홀수{\displaystyle }$ n {\displaystyle n$=2p+1}$의 경우$,$

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\오른쪽)\감마 \left({\frac {1}{2}}\오른쪽)}{2\,\감마 \left(p+1+{\frac {1}{1}:{2}}\오른쪽)}}}}={\frac{p!\감마 \왼쪽({\frac {1}{2}}\오른쪽)}{{p+1)\\\\감마 \왼쪽(p+{\frac {1}{1}2}}\오른쪽)}}}}={\frac {2^{p}\;p!}{{(2p+1)!!}}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{{p+1)!}},}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$에도 $불구하고{\displaystyle }$$,$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2p}}$ ${\displaystyle n=2p}$을${\displaystyle (}$를) 쓰고 ${\displaystyle \gamma \sqrt{}}$ ${\displaystyle (\frac{1}{}}$2 ) = $\$ {\$displaystyle \Gamma$\left$({\tfrac{1}{2$}}\오른쪽$)={\sqrt${\pi$\}\}\}\}\}\}\}\},$ 다음과 같은 정보를 얻는다.

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)\감마 \왼쪽({\frac {1}{2}}\오른쪽)}{2\,\감마 \왼쪽(p+1\오른쪽)}}}={\frac{(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}}={\frac{(2p)!}}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.}$

등가성

• 위의${\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle \mathbf{2}\mathbf{}}$) ${\$의 반복 공식에서$,$ 우리는 그것을 추론할 수 있다.

${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$~ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$\$W_{n+1}\sim W_{n}}($두 시퀀스의 동일함)

실제로 모든 n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대해:$$

${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$시퀀스가 감소하므로)

${\displaystyle {\frac$$n$$W_{n}}\leqslant {\frac {W_{n+1}:{n2}}$$W_{n}}}\leqslant 1}($> ${\displaystyle$\$W_{n}>0}$ 이후

${\frac 스타일 {\$$$$W_{n}}}\leqslant 1}($${\displaystyle \mathbf{식별}}$: (${\displaystyle \mathbf{}}$2${\displaystyle \mathbf{}}$) ${\$

샌드위치 정리로는 $W{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ n${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{W_{}}{}}$ n${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac{W_{n+1$}}}{{n+1}}}{{$}}}}{{$n}}}}}}}}}}}}로 결론을 내린다.$W_{n}}}\1$ 그리고 따라서 ${\displaystyle {\mathrm{W}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$\$W_{n+1}\sim W_{n$

• ${\displaystyle {\mathrm{Wn}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ 1 ${\$}을$($를) 검사하여 다음과 같은 동등성을 얻는다$.$

${\displaystyle W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad }$ (and consequently ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$ ).

스털링의 공식 추론

다음과 같은 동등성(스털링 공식으로 알려져 있음)이 있다고 가정합시다.

${\displaystyle n!\sim C{\sqrt{n}}\왼쪽({\frac {n}{e}\오른쪽)^{n}}}$

우리가 결정하고자 하는 일부$$ $상수{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$의 경우.위로부터, 우리는

${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2p}}_{}}$ ~${\displaystyle {}_{}\pi \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{\mathrm{4p}}{}}}$ =${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}\pi \frac{\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2p\sqrt{}}{}}$ ${\$3)$$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2p}}_{}}$ ${\$을(를) 확장하고$$ 요인 설계에 대해 위의 공식을 사용하면

${\displaystyle {\reasoned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^{2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{(문자){{정렬}}}$

(3)과 (4)에서 우리는 transitivity를 통해 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\frac{\pi}{C{\\sqrt{2p}}}\pi}\py}}\frac {\sqrt{{2}\sqrt{p}}}}}.}$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) $해결$하면${\displaystyle }$C = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2\pi }}}$. ${\displaystyle C={\sqrt {2\pi }}}.$ 즉$$,

${\displaystyle n!\sim {2\pi n}\frac {n}{e}\오른쪽)^{n}}$

이중 요인 비율 추론

이와 유사하게, 위로부터 다음과 같은 정보를 얻는다.

${\displaystyle W_{2p}\심 {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}={\frac {1}{2}}:{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}}}.}$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2p}}_{}}$ ${\$을(를) 확장하고$$ 이중 요인 설계에 대해 위의 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle W_{2p}={\frac {(2p-1)!!}{{(2p)!!}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\심 {\frac {1}{2}}:{\sqrt {\frac {\pi}{p}}}}}$

단순화를 통해 얻을 수 있는 이점:

${\displaystyle {\frac {(2p-1)!!}{{(2p)!!}}}\심 {\frac {1}{\sqrt {\pi \,p}},}$

또는

${\displaystyle {\frac {(2p)!!}{{(2p-1)!!}}}\sim {\sqrt {\pi \,p}}.}$

가우스 적분 평가

가우스 적분은 월리스의 적분을 이용하여 평가할 수 있다.

우리는 먼저 다음과 같은 불평등을 증명한다.

• ${\displaystyle \forall n\in \mathb {N}^{*}\quad u\in \mathb {R}_{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad \quad (1-u/n)^{n}\leqslqsl-u}}}}}}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathb {N}^{*}\quad \forall u\r}_{+}\qquad e^{-u}\leqslant(1+u/n)^{-n}}}$

In fact, letting ${\displaystyle u/n=t}$, the first inequality (in which ${\displaystyle t\in [0,1]}$) is equivalent to ${\displaystyle 1-t\leqslant e^{-t}}$; whereas the second inequality reduces to ${\displaystyle e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}}$, which$e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle {}^{}1}$ + t ${\displaystyle$ e$^{t}\geqslant 1+t}$이(가) 된다$.$이러한 두 가지 후자의 불평등은 지수함수의 볼록함수(또는 함수 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ e ${\displaystyle t^{}}$- 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto$ e$^{t}-1-t})$에서 나타난다.$$

$u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 부적절한$$ 통합의 기본 특성을 사용(통합은 명백함)하면 다음과 같은 불평등을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+x^{2}$$/n)^{-n}dx}$ 샌드위치 정리용 ($n{\displaystyle }$→ $∞$ {\$displaystyle n\to \inforty }).$

첫 번째와 마지막 통합은 월리스의 통합을 사용하여 쉽게 평가할 수 있다.첫 번째 경우에는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle n\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ x$={\sqrt{n}\,\sin \,t}($0 $$~ $to{\displaystyle }$ /${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaysty \pi /2})$로 두십시오.$$그러면 적분은 $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle W{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$가 된다$.$마지막 적분인 경우 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle n\sqrt{}}$ ${\displaystyle 태닝}$ t ${\displaystyle$ x$={\sqrt{n}\,\tan \t}$ ($0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$에서${\displaystyle }to$/${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /2})$로 두십시오.$$$$그러면 n $W{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$이 된다$.$

앞에서 보여드린 바와 같이 ${\displaystyle \underset{}{im}}$n${\displaystyle \underset{}{}}$→ + ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}n\sqrt{}{}_{}{W}_{}}$ = ${\displaystyle \sqrt{/}}$ / ${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{}}}${\$displaystyle \lim_{n\오른쪽$ 화살표 $+\infit }{\sqrt{n}\$n};;$W_{n}={\sqrt$}={\$sqrt {\pi$/2$\}\}.$ 따라서${\displaystyle {}_{follows\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ $∞$ e${\displaystyle {}^{}}$- x ${\displaystyle \mathrm{2d}}$ x${\displaystyle }$= $π$/ 2 ${\displaystyle\int$_{0}^{+\$inft$}e^{-$x^{$2}}$dx={\sqrt {\pi }/2$

비고: 가우스 적분을 평가하는 다른 방법이 있다.그들 중 몇몇은 더 직접적이다.

참고

동일한 속성이 월리스 제품으로 이어져 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ $displaystyle {\frac {}{2}}\,}($ $$( ${\displaystyle \pi$} 참조$)$를 무한 제품 형태로 표현한다.

외부 링크

• 파스칼 세바와 사비에르 구르돈.감마 함수에 대한 소개.PostScript 및 HTML 형식.