*-영문

수학, 그리고 좀 더 구체적으로 추상대수학에서 *-알제브라(또는 비자발 대수학)는 두 개의 비자발적인 고리 $R$ 과 $A$ 로 구성된 수학 구조로, 여기서 $R$ 은 교감적이고 $A$ 는 $R$ 보다 연상 대수학 구조를 가지고 있다. 비자발적 알헤브라는 복잡한 숫자와 복잡한 결합, 복잡한 숫자와 결합 전이에 대한 행렬, 그리고 힐버트 공간과 에르미타니아 부대에 걸친 선형 연산자와 같은 결합을 갖춘 숫자 시스템의 개념을 일반화한다. 그러나 대수학은 전혀 비자발성을 인정하지 않는 경우가 생길 수도 있다.

정의들

*-링

수학에서 *링은 지도가 있는 링이다 $*$ $:$ A → $A$ 는 반동형이며 비자발적이다.

보다 정확하게는*가 다음 특성을 만족시키기 위해 필요하다.^[1]

$(x + y)* = x * + y *$
$(x y)* = y * x *$
$1* = 1$
$(x *)* = x$

모든 $x$ 에 $대해$ y $in$ A.

이것을 비자발적인 고리, 비자발적인 고리, 비자발적인 고리라고도 한다. 세 번째 공리는 실제로 중복된다는 점에 유의하십시오. 두 번째 공리와 네 번째 공리는 $또한$ 1 $*$ 이 복수적 정체성을 의미하며, 정체성은 고유하기 때문이다.

$x *$ = $x$ 와 같은 원소를 자기 성찰이라고 한다.^[2]

*링의 전형적인 예로는 복잡한 숫자와 복잡한 결합을 비자발성으로 하는 대수적 숫자의 장이다. 어떤 *링에 대해서도 sesquilinar 형식을 정의할 수 있다.

또한 * invariant: $x$ ∈ $i$ $x *$ ∈ $I$ 등의 요건에 따라 이상과 서브링과 같은 대수적 객체의 *-version을 정의할 수 있다.

*-영문

*-알제브라 $A$ 는 *-링,^[a] 비자발적 *과 교감 *-링 $R$ 에 대한 연관 대수로서(r $x)*$ = $r'$ $x *$ $r,$ x ∈ $A$ 와 같다.^[3]

기본 *-링 $R$ 은 복잡한 숫자(*가 복잡한 결합으로 작용함)인 경우가 많다.

공리로부터 따르며, *의 A는 $R$ 의 공리선형이다.

(λ x + μ' y)* = λ' x * + μ' y *

$λ,$ $μ \in$ $R,$ $x,$ y ∈ $A$ 의 경우.

A *- $호모형성$ f : $A$ → $B$ 는 $A$ 와 B의 비자발성과 양립할 수 있는 대수동형성이다.

$f$ $(a *)$ = A의 모든 $A$ 에 대해 $f (a)*.$ ^[2]

*-작전의 철학

*-링에 대한 연산은 복잡한 숫자의 복잡한 결합과 유사하다. *-알제브라에서의 *-수술은 복잡한 매트릭스 알제브라에서 보조를 맞추는 것과 유사하다.

표기법

* 비자발성은 평균선 위 또는 근처에 위치한 접두사 항성 글리프를 사용하여 작성된 단항 연산이다.

x

↦ x

*

또는

x \mapsto x *

(TeX: x^*),

그러나 " $x$ "는 아니다. 자세한 내용은 별표 기사를 참조하십시오.

예

어떤 교감반지도 사소한(식별적인) 무의식과의 *링(*링)이 된다.
실제보다 *-링과 *-알지브라의 가장 친숙한 예는 복잡한 $숫자$ C의 분야인데, 여기서 *는 단지 복잡한 결합일 뿐이다.
보다 일반적으로 사각근(예: 상상의 단위 √-1)을 접합하여 만든 자기장 확장은 원래 영역에 대한 *-알지브라(*-ring)로, 사소한 것으로 간주된다. *는 그 제곱근의 기호를 뒤집는다.
2차 정수 링(일부 $D$ 의 경우)은 유사한 방법으로 정의된 *와 교호작용 *-링이며, 2차장은 적절한 2차 정수 링 위에 *-알게브라가 있다.
쿼터니온, 분할 복합 수, 이중 수 및 기타 하이퍼 복합 수 시스템은 *링(기본 결합 운영 포함) 및 *-알제브라를 reals(여기서는 *가 사소한 경우)를 형성한다. 세 가지 중 어느 것도 복잡한 대수학이라는 점에 유의한다.
Hurwitz quaternion은 quaternion 결합과 함께 non-commative *-링을 형성한다.
전위치에 의해 *가 주어진 R에 대한 $n$ × $n$ 행렬의 행렬 대수.
c에 대한 $n$ × $n$ 행렬의 행렬 대수(*)와 c에 대한 공차 전치(transpose)에 의해 주어진다.
힐버트 공간의 경계 선형 연산자 대수에서 은둔자 어정쩡한 그것의 일반화는 *-알지브라도 정의한다.
다항식 $링$ R[ $x]$ 은 교호작용 R $위$ 에 P $*(x)$ = P $(- x$ )가 있는 *-algebra이다 $.$
만약 ( $A,$ +, ×, $*)$ 가 동시에 *-링, 링R(명령어) 위의 대수, $그리고$ ( $r$ x $)*$ = r ( $x *) rr$ ∈ $R,$ $x$ a $A$ 에 대한 $대수$ 라면, $A$ 는 R에 대한 *-알지브라(여기서 *는 사소한 것)이다.
- 부분적인 경우로서, 어떤 *-링도 정수에 대한 *-알지브라이다.
모든 상호 작용 *링은 그 자체로 *-알지브라며, 더 일반적으로는 그 *-지브라이다.
역행 *-링 $R$ 의 경우 *-이상의 몫은 $R$ 에 대한 *-알지브라이다.
- 예를 들어, 모든 역순-*-링은 이중 숫자 링 위에 있는 *-알지브라(*-algebra)로, 비교가 아닌 *-링(*-ring)이다. $왜냐하면$ = = $0$ 의 몫이 원래 링을 만들기 때문이다.
- 정류 링 $K$ 와 그 다항 $링$ K[ $x$ ]도 같다 $:$ $x$ = $0$ 의 몫은 $K$ 를 회복시킨다.
헤케 대수학에서 비자발성은 카즈단-루지그 다항식에게 중요하다.
타원형 곡선의 내형성 링은 정수에 걸쳐 *-알제브라(*-algebra)가 되는데, 여기서 이중 이질성을 취함으로써 비자발성이 주어진다. 양극화가 있는 아벨리아 품종에도 이와 유사한 공사가 진행되는데, 이 경우 로사티 비자발이라 부른다(밀네의 아벨리아 품종에 대한 강의 노트 참조).

비자발적인 홉프 알제브라는 *-알제브라의 중요한 예로서 (호환 가능한 복제의 추가적인 구조와 함께) 가장 친숙한 예는 다음과 같다.

그룹 Hopf 대수학: $g$ ↦ $g가 -1$ 준 비자발성을 가진 그룹 링이다.

비예시

모든 대수학이 비자발성을 인정하는 것은 아니다.

복잡한 숫자에 대해 2×2 행렬을 고려한다. 다음 하위 지브라를 고려하십시오.

{\mathcal {A}:=\왼쪽\{\\begin{pmatrix}a&b\\\0&0\end{pmatrix}:a,b\in \mathb {C}\right\}}}}}

모든 비종교적 반동형성은 반드시 다음과 같은 형태를 가진다.

\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

모든 복잡한 숫자 z

z\in \mathbb {C}

C

{\

에 대해

z\in \mathbb {C}

따라서 비종교적 반동형성은 다음과 같이 무효화된다.

\varphi _{z}^{2}\왼쪽[{\pmatrix}0&\\0&0\end{pmatrix}\right]={\pmatrix}0&0\end{pmatrix}}\neq{pmatrix}0&1\0\end{pmatrix}}}}}}}}{pmatrix}}}}{pmatrix}}}}{pmatrix}}}}}{pmatrix}}}}}}}}}}}

아말게브라가 비자발성을 인정하지 않는다는 결론.

추가 구조물

일반 *-알게브라를 위한 전치물의 많은 특성:

에르미트 원소는 요르단 대수학을 형성한다.
스큐 에르미트 원소들은 리 대수학(Lie 대수학)을 형성한다.
만약 2*-ring에 가역다면, 그 사업자 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-o .mw-parser-output.대수 모듈(벡터 공간이 *-ri의 직접적인 합으로 분해 Utput.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆭ1(1+*)과 1(1−요) 있직교 idempotents,[2]과anti-symmetrizing symmetrizing, 그래서다.그리고anti-symmetric 대칭(그리고 기울이헤르미 이트 에르 미트 행렬의.)요소의 응 씨가 필드). 이 공간들은 일반적으로 연관성 있는 알제브라를 형성하지 않는다. 왜냐하면 특이점은 대수적 요소가 아니라 연산자이기 때문이다.

스큐 구조

*-링을 지정하면 지도 -* : $x$ ↦ $-x*$ 도 있다. 그것은 *-링 구조(특성이 2인 경우 -*가 원래 *와 동일하지 않는 경우)를 1 - $-1$ 로 정의하지 않지만, 다른 공리(선형, 비자발성)를 만족하므로 *-알지브라( $x$ ↦ $x *)$ 와 상당히 유사하다.

이 지도에 의해 고정된 요소(즉, $a$ = $-a*)$ 를 스큐 에르미트라고 한다.

복잡한 결합을 가진 복잡한 숫자의 경우, 실제 숫자는 에르미트 원소이고, 상상의 숫자는 에르미트 원소다.

참고 항목

메모들

^ 대부분의 정의는 *-알지브라에게 통일성을 갖도록 요구하지 않는다. 즉, *알지브라에는 *-rng만 허용된다.

참조

^ Weisstein, Eric W. (2015). "C-Star Algebra". Wolfram MathWorld.
^ ^a ^b ^c Baez, John (2015). "Octonions". Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archived from the original on 25 March 2015. Retrieved 27 January 2015.
^ nLab의 항성-알지브라

[3] 대부분의 정의는 *-알지브라에게 통일성을 갖도록 요구하지 않는다. 즉, *알지브라에는 *-rng만 허용된다.

[1] Weisstein, Eric W. (2015). "C-Star Algebra". Wolfram MathWorld.

[:0-2] Baez, John (2015). "Octonions". Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archived from the original on 25 March 2015. Retrieved 27 January 2015.

[4] nLab의 항성-알지브라

[1]

[2]

[a]

[3]

v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법

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정류대수학 정류 링 • 통합 도메인 • 통합적으로 닫힌 도메인 • GCD 도메인 • 고유한 요인화 영역 • 주요 이상 영역 • 유클리드 영역 • 현장 • 유한장 • 컴포지션 링 • 다항 링 • 공식 파워 시리즈 링 대수적 수 이론 • 대수적 수 필드 • 정수 링 • 대수적 독립성 • 초월수 이론 • 초월도 p-adic 수 이론과 소수점 • 직접 한계/반복 한계 • 제로 링 $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb {Z} _{1}$ ${\$ } • Integers modulo pⁿ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ${\$ • Prüfer p-링 $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ ( $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ $\mathbb {Z} (p^{\infty })$ ) $\mathb {Z}(p^{\inflt })$ • Base-p circle ring $\mathbb {T}$ ${\$ • 기본-p $\mathbb {Z}$ Z ${\$ } • p-adic $\mathbb {Z} [1/p]$ Z $\mathbb {Z} [1/p]$ [ 1 $\mathbb {Z} [1/p]$ / $\mathbb {Z} [1/p]$ ] $\mathb {Z} [1/p]$ • Base-p $\mathbb {R}$ R ${\$ • p-adic 정수 $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$ ${\$ • p-adic number $\mathbb {Q} _{p}$ $\mathbb {Q} _{p}$ ${\$ • p-adic 솔레노이드 $\mathbb {T} _{p}$ $\mathbb {T} _{p}$ ${\$ 대수 기하학 • 아핀 버라이어티
비계산 대수 비커밋 링 • 디비전 링 • 반비례 반지 • 심플 링 • 정류자 비계산 대수 기하학 자유대수학 클리포드 대수 • 기하 대수학 연산자 대수
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