키르즈브라운 정리

수학, 구체적으로는 실제 분석과 기능 분석에서 키르즈브라운 정리는 U가 일부 힐버트 공간 H의₁ 부분집합이고, H는₂ 또 다른 힐버트 공간이며,

f : U → H₂

Lipschitz-연속 지도, 그리고 Lipschitz-연속 지도가 있다.

F: H₁ → H₂

f를 확장하고 f와 같은 립슈비츠 상수를 가진.

특히 이 결과는 유클리드 공간 E와ⁿ E에^m 적용되며, Kirszbraun이 원래 정리를 공식화하고 증명했던 것은 이 형태라는 점에 유의한다.^[1]예를 들어 힐버트 공간의 버전은 (Schwartz 1969, 페이지 21)에서 찾을 수 있다.^[2]H가₁ 분리 가능한 공간(특히 유클리드 공간인 경우)이라면 그 결과는 제로멜로-프라엔켈 집합 이론에서 사실이며, 완전한 일반 사례에 대해서는 어떤 형태의 선택 공리가 필요한 것으로 보인다; 부울 프라임 이상 정리는 충분한 것으로 알려져 있다.^[3]

정리의 증명은 힐베르트 공간의 기하학적 특징을 이용한다; 바나흐 공간에 대한 상응하는 진술은 유한차원 바나흐 공간에도 일반적으로 사실이 아니다.예를 들어 도메인이 R의ⁿ 하위 집합이고 R이^m 유클리드 규범을 전달하는 경우 counterrexamp를 구성할 수 있다.^[4]보다 일반적으로, $\ell {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$$displaystyle$ ^[2]$\$$mathb${$R$$} ^{$$m}$에 대한$$ 정리가 실패한다(${\displaystyle \mathrm{p}}${$$2 {\$displaystyle p\neq 2$ (Schwartz 1969, 페이지 20).

R 값 함수의 경우 확장자는 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{u}}$u ${\displaystyle \underset{}{u}u}$ ( )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \text{Lip}}$(${\displaystyle f}$)${\displaystyle d}$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {\tilde {f}(x):$$=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{$Lip$}}}(f$)\$cdot$ d$(x$$,u$){\big $)}}}}.$ ${\displaystyle \text{여기}}$서 $립($ )은$$U에서 f의 립스키츠 상수다.

역사

이 정리는 모히제스 다비드 키르즈즈브라운에 의해 증명되었고,^[5] 후에 유클리드 비행기를 위해 처음 그것을 증명했던 프레데릭 발렌타인에 의해 책망되었다.^[6]때로는 이 정리를 키르즈브라운-발렌타인 정리라고도 한다.

참조

외부 링크

• 수학 백과사전의 Kirsbraun 정리.