비에너-이케하라 정리

더 비너-이케하라 정리는 이케하라 시카오(1931년)가 도입한 타우베리안 정리다. 위너의 타우베리안 정리(Tauberian organ)에서 따르며, 소수 정리(PNT)를 증명하는 데 사용할 수 있다(Chandrasekharan, 1969).

성명서

A(x)를 0 ≤ x < ∞에 대해 정의된 x의 비음극, 단조 비감소 함수로 한다. 라고 가정해 보자.

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infit }A(x)e^{-xs}\,dx}$

ℜ > 1에 대한 수렴은 함수 ƒ에 대한 수렴이고, 그것에는 음이 아닌 숫자 c에 대한 수렴은 다음과 같다.

${\displaystyle f-{\frac {c}{s-1}}$

ℜ(s) ≥ 1의 연속함수로써의 확장을 가지고 있다. 그러면 x가 e^−x A(x)의 무한대로 가는 한계는 c와 같다.

한 가지 특정 애플리케이션

정리의 중요한 숫자-이론적 적용은 형태의 디리클레 시리즈에 있다.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }a(n)n^{-s}}}$

여기서 a(n)는 음성이 아니다. 영상 시리즈가 다음에서 분석 함수로 수렴되는 경우

${\displaystyle \Re(s)\geq b}$

s = b의 단순한 잔류물 c 극과 함께

${\displaystyle \sum _{n\leq X}a(n)\sim {\frac {c}{b}X^{b}.}$

이것을 리만제타함수의 로그파생물에 적용하면 디리클레 계열의 계수가 폰망골트함수의 값인 경우, 제타함수에 0이 없다는 사실에서 PNT를 추론할 수 있다.

$[\displaystyle \Re(s)=1]}$

참조

• S. Ikehara (1931), "An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers", Journal of Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of Technology, 10: 1–12, Zbl 0001.12902
• Wiener, Norbert (1932), "Tauberian Theorems", Annals of Mathematics, Second Series, 33 (1): 1–100, doi:10.2307/1968102, ISSN 0003-486X, JFM 58.0226.02, JSTOR 1968102
• K. Chandrasekharan (1969). Introduction to Analytic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag. ISBN 3-540-04141-9.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 259–266. ISBN 0-521-84903-9.