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Absolute Infinite

절대 무한대(, 기호: ω)는 수학자 게오르크 칸토어가 제안한 무한대 개념의 확장입니다.

이것은 유한 또는 초유의 다른 생각할 수 있는 양 또는 생각할 수 없는 양보다 더 큰 수로 간주될 수 있습니다.

칸토어는 절대무한을 신과 연결시켰고,[1][2]: 175 [3]: 556 그것이 반사 원리를 포함한 다양한 수학적 속성을 가지고 있다고 믿었습니다: 절대무한의 모든 속성은 또한 더 작은 물체에 의해 소유된다는 것입니다.[4][clarification needed]

칸토어의 견해

캔터는 이렇게 말했습니다.

실제 무한은 세 가지 관계로 구별되었습니다: 첫째, 그것이 최고의 완벽함에서 실현되는 것처럼, 내가 그것을 절대적인 무한 또는 단순히 절대적이라고 부르는 데오에서, 둘째, 의존적인 창조적인 세계에서 표현되는 것처럼, 셋째, 추상적인 것으로 구상될 수 있는 것처럼.n은 수학적 크기, 수 또는 순서 유형으로 생각됩니다.후자의 두 관계에서, 그것은 분명히 제한적이고 더 이상의 증식이 가능하며, 따라서 유한체에 친숙하다고 자신을 드러내는, 나는 그것을 트랜스니티움이라고 부르고 절대자와 강하게 대조합니다.[5]

칸토어는 리처드 데데킨트에게 보낸 편지에서 이 아이디어를 언급하기도 했습니다.[7]

[그는 우리가 지금 집합이라고 부르는 것을 의미하는 것처럼 보입니다]라는 다중도는 모든 하위 다중도가 첫 번째 요소를 갖는 조건을 충족한다면 잘 정렬된 것이라고 불립니다. 그러한 다중도는 짧은 "수열"이라고 부릅니다.
...
이제 저는 모든 [보통] 숫자의 체계를 구상하고 그것을 ω로 표현합니다.
...
시스템 ω은 규모에 따른 자연적 순서에서 "순서"입니다.
이제 이 수열에 추가적인 요소로 0에 접근하여, 분명히 첫 번째 위치에 배치한 다음, ω' 수열을 얻습니다.
0, 1, 2, 3, ... ω, ω+1, ... γ...
그 중에서 발생하는 모든 수 γ가 모든 선행 원소들의 수열의 유형[즉, 순서형]임을 쉽게 확신할 수 있습니다(0을 포함하여). (수열 ω는 ω+1의 경우 이 속성을 먼저 갖습니다.[ω+1은 ω이어야 합니다.]

이제 ω'(따라서 ω')은 일관된 다중도가 될 수 없습니다.ω'이 일치하면 순서가 잘 맞는 집합으로서 숫자 δ는 시스템 ω의 모든 숫자보다 더 큰 숫자에 해당합니다. 그러나 숫자 δ는 모든 숫자로 구성되므로 시스템 ω에도 속합니다.따라서 δ이 δ보다 클 것이며 이는 모순입니다.따라서:

모든 [순수] 숫자의 시스템 ω는 일정하지 않고 절대 무한대의 다중도입니다.

부랄리-포르티 역설

주요 기사:부랄리-포르티 역설

모든 순서수의 집합이 논리적으로 존재할 수 없다는 생각은 많은 사람들에게 역설적으로 보입니다.이것은 체사레 부랄리-포르티의 "패러독스"에서 서수가 가장 클 수 없다는 것과 관련이 있습니다.이 모든 문제는 논리적으로 정의될 수 있는 모든 속성에 대해 해당 속성을 가진 모든 개체의 집합이 존재한다는 생각으로 거슬러 올라갈 수 있습니다.그러나 칸토어의 주장(위)과 같이 이러한 생각은 어려움을 초래합니다.

좀 더 일반적으로, A가 언급한 바와 같이. W. 무어, 집합 형성의 과정에 끝이 있을 수 없고, 따라서 모든 집합의 전체성이나 집합 계층 구조 같은 것은 없습니다.그러한 전체성은 그 자체가 집합이어야 하고, 따라서 계층 구조 내 어딘가에 놓여 있어서 모든 집합을 포함하지 못합니다.

이 문제에 대한 표준적인 해결책은 임의의 성질로부터 자유롭게 집합을 형성하는 것을 허용하지 않는 저멜로의 집합론에서 찾을 수 있습니다.오히려, 우리는 주어진 성질을 가지고 어떤 주어진 집합에 놓여 있는 모든 대상들의 집합을 형성할 수 있습니다(저멜로의 분리 공리).이것은 제한된 의미에서, 이론의 일관성을 유지하면서, (바라건대) 속성에 기초한 집합의 형성을 허용합니다.

이것이 논리적인 문제를 해결하는 동안, 철학적인 문제가 남아있다고 주장할 수 있습니다.개체가 존재하는 한 개체의 집합이 존재해야 하는 것은 당연해 보입니다.실제로 순진한 집합론은 이 개념에 기초한 것이라고 할 수 있습니다.체르멜로의 수정은 클래스가 임의의(아마도 "큰") 개체를 설명할 수 있게 해주지만, 메타 언어의 이러한 술어는 이론 내에 형식적인 존재(즉, 집합)가 없을 수 있습니다.예를 들어, 모든 집합의 클래스가 적절한 클래스가 됩니다.이것은 몇몇 사람들에게 철학적으로 만족스럽지 않고 윌러드 반 오르만 퀸의 새로운 기초와 같은 수학의 기초를 공식화하는 다른 방법들과 집합론에 대한 추가적인 연구를 동기 부여했습니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ §3.2,Ignacio Jané (May 1995). "The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set". Erkenntnis. 42 (3): 375–402. doi:10.1007/BF01129011. JSTOR 20012628. S2CID 122487235. Cantor (1) took the absolute to be a manifestation of God [...] When the absolute is first introduced in Grundlagen, it is linked to God: "the true infinite or absolute, which is in God, admits no kind of determination" (Cantor 1883b, p. 175) This is not an incidental remark, for Cantor is very explicit and insistent about the relation between the absolute and God.
  2. ^ a b c Georg Cantor (1932). Ernst Zermelo (ed.). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Berlin: Verlag von Julius Springer. 야네가 칸토어 1883b로 인용, 아돌프 프랑켈이 쓴 전기, 힐데스하임을 재인쇄:Georg Olms, 1962, 그리고 Berlin: Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-09849-6.
  3. ^ Georg Cantor (1883). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)". Mathematische Annalen. 21 (4): 545–591. 원래 기사.
  4. ^ 인피니티: 마이클 헬러와 W의 새로운 연구와 프론티어휴 우딘 (2011), p. 11.
  5. ^ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf
    독일어로 번역된 인용문:

    에스부르데다스 악투알 운엔드리체(A-U) 나흐드레이 베지에헝겐 운터치덴: 에르스텐스, der höchsten Volkommenheit의 소프네스, im völigunabhengigen au ßerwellichen Sein, Deo realisiertist에서, woiches Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, der abhengigen의 소프네스, kreatürlichen Weltreteenist; drittens, sofernes 또한 소프네스수학자 그뢰 ß, Zahloder Ordnungstypus vom Denken, 추상적으로 aufegafa ßtwerden kann.덴베이덴 레츠텐 베지에훈겐, 펜바랄 베슈랑크테스, 노흐위터 베르메룽 페하이게스운트, 엔니체 트란스피니툼, 세체 데메 압솔루텐 강화겐.

    [Ca-a,[2] 페이지 378].
  6. ^ 칸토어-디데킨드 서신의 재발견, I. 그라탄-기니스, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), pp. 104–139, pp. 126 ff.
  7. ^ 게삼멜테 아반들룽겐,[2] 게오르크 칸토어, 에드.에른스트 체르멜로, 힐데스하임:Georg Olms Verlagsbuchhandlung, 1962, pp. 443-447; From Frege to Gödel 영어로 번역: 수학 논리학의 원천 책, 1879-1931, ed.장 반 하이즈노르트, 케임브리지, 매사추세츠:Harvard University Press, 1967, pp. 113-117이 두 자료는 모두 1899년 7월 28일자 칸토어가 데데킨트에게 보낸 편지라고 주장합니다.그러나, 아이버 그라탄-기니스가 발견했듯이,[6] 이것은 사실 칸토어의 편집자인 에른스트 체르멜로가 칸토어에서 데데킨드로 보낸 두 편지를 병합한 것인데, 첫 번째 날짜는 7월 28일이고 두 번째 날짜는 8월 3일입니다.

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