칸토어 이론에 대한 논쟁

이 기사의 중립성은 논란의 여지가 있습니다. 관련 토론은 대화 페이지에서 확인할 수 있습니다. 조건이 충족될 때까지 이 메시지를 제거하지 마십시오. (2020년 6월) (본 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기에 대해 알아봅니다)

수학적 논리학에서 무한 집합의 이론은 게오르크 칸토어에 의해 처음으로 개발되었습니다. 이 연구는 고전 집합론의 철저한 표준 고정 장치가 되었지만, 수학자와 철학자들에 의해 여러 영역에서 비판을 받았습니다.

칸토어 정리는 자연수 집합의 무한 기수보다 큰 기수를 갖는 집합이 있음을 의미합니다. 이 정리에 대한 칸토어의 주장은 작은 변화 하나로 제시됩니다. 이 주장은 그가 나중에 제시한 정의를 사용하여 개선할 수 있습니다. 결과적인 논쟁은 집합론의 다섯 가지 공리만을 사용합니다.

칸토어의 집합론은 처음에는 논란이 있었지만, 나중에는 대체로 받아들여지게 되었습니다. 대부분의 현대 수학 교과서는 수학적 무한에 대한 칸토어의 견해를 함축적으로 사용합니다. 예를 들어, 일반적으로 선은 점들의 무한 집합으로 표시되며, 일반적으로 유리수보다 실수가 더 많다고 배웁니다(연속체의 기수성 참조).

칸토어의 논법

무한 집합이 서로 다른 기수를 가질 수 있다는 칸토어의 첫 번째 증거는 1874년에 발표되었습니다. 이 증명은 자연수 집합과 실수 집합의 기수가 다르다는 것을 보여줍니다. 이것은 실수의 유계 증가 수열에 한계가 있다는 정리를 사용하는데, 이것은 칸토어나 리처드 데데킨드의 무리수 구성을 사용하여 증명할 수 있습니다. 레오폴드 크로네커가 이러한 구성을 받아들이지 않았기 때문에 칸토어는 새로운 증명을 개발할 동기를 갖게 되었습니다.^[1]

1891년, 그는 "훨씬 더 간단한 증명"을 출판했습니다. 비합리적인 숫자를 고려하는 것에 의존하지 않습니다."^[2] 그의 새로운 증명은 그의 대각선 논법을 사용하여 자연수 N={1, 2, 3, ...}의 집합보다 더 많은 수의 원소(또는 더 큰 기수)를 가진 무한 집합이 존재한다는 것을 증명합니다. 이 더 큰 집합은 각₁ x가_n m 또는 w인₂₃ 원소(x, x, x, ...)로 구성됩니다.^[3] 이러한 각 요소는 N의 하위 집합에 해당합니다. 즉, 요소(x, x, x, ...)는 {n ∈ N: x = w}에 해당합니다. 따라서 칸토어의 주장은 N의 모든 부분집합의 집합이 N보다 더 큰 카디널리티를 갖는다는 것을 암시합니다. N의 모든 부분집합의 집합은 N의 거듭제곱 집합인 P(N)로 표시됩니다.

칸토어는 자신의 주장을 임의의 집합 A와 A부터 {0, 1}^[4]까지의 모든 함수로 구성된 집합으로 일반화했습니다. 이 함수들은 각각 A의 부분 집합에 해당하므로, 그의 일반화된 주장은 다음과 같은 정리를 의미합니다. 전력 집합 P(A)는 A보다 카디널리티가 더 큽니다. 이것은 칸토어 정리라고 알려져 있습니다.

아래 논법은 멱집합을 사용하는 칸토어 논법의 현대적 버전입니다(그의 원래 논법은 칸토어의 대각선 논법 참조). 현대적인 논증을 제시함으로써, 공리적 집합론의 어떤 가정이 사용되는지 알 수 있습니다. 논법의 첫 부분은 N과 P(N)가 서로 다른 기수를 가지고 있다는 것을 증명합니다.

• 하나 이상의 무한 집합이 존재합니다. 이 가정은 (칸토어에 의해 공식적으로 명시되지 않음) 무한의 공리에 의해 공식 집합 이론에서 포착됩니다. 이 공리는 모든 자연수의 집합인 N이 존재한다는 것을 의미합니다.
• N의 모든 부분집합의 집합인 P(N)가 존재합니다. 형식적 집합론에서 이것은 모든 집합에 대하여 모든 부분집합들의 집합이 존재한다는 멱집합 공리에 의하여 암시됩니다.
• "같은 숫자를 가지고 있다" 또는 "같은 카디널리티를 가지고 있다"는 개념은 일대일 대응이라는 개념에 의해 포착될 수 있습니다. 이 (순수하게 정의된) 가정은 때때로 흄의 원리로 알려져 있습니다. 프레게가 말했듯이, "웨이터가 테이블에 정확히 접시만큼의 칼을 놓는 것을 확실하게 하고자 한다면, 그는 그들 중 어느 것도 셀 필요가 없습니다. 그가 해야 할 일은 테이블 위의 모든 칼이 접시의 오른쪽에 즉시 놓이도록 주의하면서 모든 접시의 오른쪽에 즉시 눕히는 것입니다. 따라서 접시와 칼은 하나와 하나의 상관관계가 있습니다."^[5] 이러한 상관 관계에 있는 집합을 등치수라고 하며, 상관 관계를 일대일 대응이라고 합니다.
• 집합은 해당 전원 집합과 일대일 대응할 수 없습니다. 이것은 N과 P(N)가 다른 기수를 가지고 있다는 것을 의미합니다. 그것은 집합론의 아주 적은 가정에 의존하며, 존 P처럼. Mayberry는 "단순하고 아름다운 주장"으로 "결과를 가지고 임신한" 것이라고 말합니다.^[6] 주장은 다음과 같습니다.

  $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$를 집합으로 하고 $P{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$를 해당 전원 집합으로 합니다. 다음 정리가 증명됩니다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$에서 P${\displaystyle (A),}$ ${\displaystyle P(A)}$까지의 함수이면 위에 표시되지$$ 않습니다. 이 정리는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$와 P${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ 사이에 일대일 대응이 없음을 의미합니다. 이러한$$ 대응은 다음과 같습니다. 정리 증명: ${\displaystyle \mathrm{대각선}}$ 부분 집합 $D$ =${\displaystyle }${ x ∈ A : x ∉ f ( x )}를 정의합니다. {\displaystyle$D$ =\{x\in A:x\n$otin f(x)\}}$ $모든$ ${\displaystyle x}$$∈$ A에 대하여 {\$displaystyle$ D\in P(A)}임을 증명하는 D $∈$ P ($A)$이므로, D $≠$ f (x) {\$displaystyle$ x\in A,\,D\n$eq f(x)}$은(는) f ${\displaystyle f}$이(가) 온이 아님을 의미합니다$$. $x$∈ A.$$${\displaystyle$ x\in A.} 그런 다음 x ∈ D ⇔ x ∉ f (x ), ${\displaystyle$ x\in D\leftright 화살표 x\n${\displaystyle x}$ $∉$ ${\displaystyle D}$ $⇔$ x $∈$ f$($x )를 의미하는 $otin f(x),}$ {\displaystyle x\n$otin D\Leftrightarrow x\in f(x).$$}$${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ x $∈$ D, ${\displaystyle$x\in D${\displaystyle ,\}}$이면 ${\displaystyle x}$ $∉$ ${\displaystyle f}$ (x ); {\$displaystyle$ x\n$otin f(x);}$이고 ${\displaystyle x}$ $∉$ $D$인 경우 ${\displaystyle$ x\n$otin D,}$ 다음 ${\displaystyle x}$ $∈$ f${\displaystyle }$($x$ ). ${\displaystyle x\in$ f (x).$}$이 집합 중 하나에 $x$ ${\displaystyle x}$이(가) 포함되어 있고 다른 집합에는 포함되어 있지 않으므로 $D$는${\displaystyle }$f$(x$ )를${\displaystyle }$$≠$. ${\displaystyle$ D\n$등식 (x)$$}$$따라서$ D ${\displaystyle D}$이$($가) $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ f$}$의 이미지에$$없으므로$$ {\$displaystyle f}$이(가$)$ 켜지지 않습니다.

다음 칸토어는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$가 $P{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$의 부분 집합과 동일하다는 것을 보여줍니다$.$ 이것과 $P{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$와 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$가 서로 다른 기수를 가지고$$ 있다는 사실로부터, 그는 $P{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$가 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$보다 더 큰 카디널리티를$$ 가진다고 결론지었습니다$.$ 이 결론은 그의 1878년 정의를 사용합니다. A와 B의 기수가 다른 경우, B는 A의 부분 집합과 동차이거나(이 경우, B는 A보다 카디널리티가 적다), A는 B의 부분 집합과 동차이거나(이 경우, B는 A보다 카디널리티가 크다).^[7] 이 정의는 A와 B가 다른 집합의 부분 집합과 동치인 경우를 제외합니다. 즉, A는 B의 부분 집합과 동치이고 B는 A의 부분 집합과 동치인 경우를 제외합니다. 칸토어는 암묵적으로 기수가 선형적으로 정렬되어 있다고 가정했기 때문에 이러한 경우는 발생할 수 없습니다.^[8] 1878년의 정의를 사용한 후, 칸토어는 1883년의 기사에서 추기경들이 잘 정렬되어 있다는 것을 증명했고, 이것은 추기경들이 선형적으로 정렬되어 있다는 것을 의미한다고 말했습니다.^[9] 이 증명은 "모든 집합은 잘 정렬될 수 있다"는 그의 질서정연한 원칙을 사용했고, 그는 이것을 "생각의 법칙"이라고 불렀습니다.^[10] 질서정연한 원칙은 선택의 공리와 동등합니다.^[11]

1895년경, 칸토어는 등차원리를 정리로 간주하기 시작했고, 증명을 시도했습니다.^[12] 1895년, 칸토어는 또한 그의 질서정연한 원칙의 도움 없이 이 개념을 올바르게 정의하는 "보다 큰"이라는 새로운 정의를 내렸습니다.^[13] 칸토어의 새로운 정의를 사용하면 P(N)가 N보다 더 큰 카디널리티를 가지고 있다는 현대적인 주장은 그의 원래 주장보다 약한 가정을 사용하여 완성될 수 있습니다.

• "더 큰 카디널리티"의 개념은 칸토어의 1895년 정의에 의해 포착될 수 있습니다: (1) A가 B의 부분 집합과 동일하고, (2) B가 A의 부분 집합과 동일하지 않으면 B는 A보다 더 큰 카디널리티를 갖습니다.^[13] (1)항은 B가 적어도 A만큼 크며, 이는 "동일한 카디널리티를 갖는다"는 우리의 정의와 일치합니다. 항 (2)는 A와 B가 다른 집합의 부분 집합과 동차인 경우가 거짓임을 의미합니다. (2)항에서 A는 적어도 B만큼 크지 않다고 하므로, 두 항을 합하면 B가 A보다 더 크다(심신성이 더 크다)고 합니다.
• 전원 집합 $P{\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$의 카디널리티는 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A}$보다 크며, 이는$$ P(N)의 카디널리티가 N보다 크다는 것을 의미합니다. 그 증거는 다음과 같습니다.
  1. Define the subset ${\displaystyle P_{1}=\{\,y\in P(A):\exists x\in A\,(y=\{x\})\,\}.}$ Define ${\displaystyle f(x)=\{x\},}$ which maps ${\displaystyle A}$ onto ${\displaystyle P_{1}.$$}$ Since ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ implies ${\displaystyle x_{1}=x_{2},\,f}$ is a one-to-one correspondence from ${\displaystyle A}$ to ${\displaystyle P_{1}.}$ Therefore, ${\displaystyle A}$ is equinumerous with a subset of ${\displaystyle P(A).}$${\displaystyle P(A).$$}$
  2. Using proof by contradiction, assume that ${\displaystyle A_{1},}$ a subset of ${\displaystyle A,}$ is equinumerous with ${\displaystyle P(A).}$. Then there is a one-to-one correspondence ${\displaystyle g}$ from ${\displaystyle A_{1}}$ to ${\displaystyle P(A).$$}$$h{\displaystyle }${\$displaystyle$ $h$$}$를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$에서 $P{\displaystyle (A)}$로 정의합니다${\displaystyle .}$ ${\$ P$(A){\text{:$$}}}$ if ${\displaystyle x\in A_{1},}$ then ${\displaystyle h(x)=g(x);}$ if ${\displaystyle x\in A\setminus A_{1},}$ then ${\displaystyle h(x)=\{\,\}.}$ Since ${\displaystyle g}$ maps ${\displaystyle A_{1}}$ onto ${\displaystyle P(A),}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ P$(A),\,h}$는 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $P$$($A$),$ $displaystyle$ P(A)}에서 P$($${\displaystyle A)}$로의 함수가 위에 있지$$ 않다는 위의 정리와 모순되는 A$$ ${\$$displaystyle$ $P$$(A)}$를 매핑합니다$$$$$.$ $따라서{\displaystyle }$ P${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle$ P$(A)}$는 $A$의 부분 집합${\displaystyle$ A}과 동일하지 않습니다$$$.$$}$

무한과 멱집합의 공리 외에도 분리, 확장, 쌍대의 공리가 현대의 논쟁에서 사용되었습니다. 예를 들어, 분리의 공리는 대각선 부분 집합 $D$를 정의하는 데 사용되었습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ D$,}$ 확장의 공리는 ${\displaystyle D}$ ≠${\displaystyle }$f$$(x ), ${\displaystyle$ D\n을 증명하는 데 사용되었습니다.$eq f(x),}$이며, 쌍의 공리는 부분 집합 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$의 정의에 사용되었습니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{1}.$

이의신청접수

처음에 칸토어의 이론은 수학자들과 (후에) 철학자들 사이에서 논란이 있었습니다. 레오폴드 크로네커(Leopold Kronecker)가 주장한 바와 같이, "나는 칸토어의 이론에서 무엇이 지배적인지는 모르지만, 거기에는 수학이 없다고 확신합니다."^{[citation needed]} 많은 수학자들은 완성된 무한이 철학이나 신학의 일부일 수도 있지만 수학에서 적절한 위치를 차지하지는 못한다는 크로네커의 의견에 동의했습니다. 논리학자 Wilfrid Hodges(1998)는 이 "해가 없는 작은 논쟁"(즉, Cantor의 대각선 논쟁)을 반박하는 데 전념하는 에너지에 대해 논평했습니다. "그 논쟁으로 그들을 화나게 만든 사람은 누구인가?"^[14] 수학자 솔로몬 페퍼만은 칸토어의 이론을 "일상적인 수학과는 관련이 없다"고 언급했습니다.^[15]

칸토어 이전에는 무한의 개념이 수학자들이 유한한 세계를 추론하는 데 도움을 주는 유용한 추상으로 받아들여졌습니다. 예를 들어 미적분학에서 무한한 극한의 경우를 사용하는 것입니다. 무한은 기껏해야 실제적인 존재가 아니라 잠재적인 존재라고 여겨졌습니다.^[16] "실제 무한은 존재하지 않습니다. 우리가 무한이라고 부르는 것은 아무리 이미 존재하는 물체라도 새로운 물체를 만들어낼 수 있는 무한한 가능성일 뿐입니다."^[17] 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 이 주제에 대한 견해는 다음과 같이 비유할 수 있습니다: "무한은 우리가 한계에 대해 이야기할 수 있도록 도와주는 말의 형상에 지나지 않습니다. 완전한 무한이라는 개념은 수학에 속하지 않습니다."^[18] 즉, 우리가 무한에 접근할 수 있는 유일한 방법은 극한의 개념을 통해서이며, 따라서 무한 집합은 유한 집합의 존재와 정확히 유사한 존재를 가지고 있는 것처럼 취급해서는 안 됩니다.

칸토어의 아이디어는 궁극적으로 데이비드 힐버트 등에 의해 강력하게 지지를 받으며 대체로 받아들여졌습니다. 힐베르트는 "아무도 칸토어가 우리를 위해 창조한 낙원에서 우리를 몰아내지 못할 것입니다."^[19]라고 예측했습니다. 비트겐슈타인은 이에 대해 "한 사람이 수학자들의 천국으로 볼 수 있다면, 왜 다른 사람이 그것을 농담으로 보지 말아야 하는가?"^[20]라고 답했습니다. 칸토어의 무한 사상에 대한 거부는 구성주의나 직관주의 같은 수학의 학교 발전에 영향을 미쳤습니다.

비트겐슈타인은 수학적 형식주의를 전면적으로 반대하지는 않았지만, 칸토어의 증명이 무엇을 의미하는지에 대해서는 유한주의적 견해를 가지고 있었습니다. 철학자는 무한에 대한 믿음은 수학 법칙의 집중적인 성질과 집합, 수열, 기호 등의 확장적인 성질을 혼동하는 데서 비롯된다고 주장했습니다. 그가 보기에 일련의 기호는 유한합니다. 비트겐슈타인의 말을 빌자면 "...곡선은 점들로 구성된 것이 아니라 점들이 준수하는 법칙, 다시 말해 점들이 구성될 수 있는 법칙입니다."

그는 또한 대각선 논법을 "호커스 포커스"라고 설명하고 그것이 무엇을 목적으로 하는지 증명하지 않았습니다.

무한의 공리에 대한 반대

칸토어의 무한수 이론에 대한 일반적인 반대는 무한의 공리(사실상 공리이지 논리적 진리가 아닙니다)를 포함합니다. 메이베리는 "현대 수학을 지탱하는 일련의 이론적 공리는 정도에 따라 자명하다"고 언급했습니다. 그들 중 가장 중요한 것들 중 하나, 즉 칸토어의 공리, 이른바 무한의 공리는 자기 증거에 대한 주장이 거의 없습니다…"^[21]

또 다른 반대는 무한 집합의 사용이 유한 집합에 비유하여 적절하게 정당화되지 않는다는 것입니다. 헤르만 바일은 다음과 같이 썼습니다.

... 고전 논리학은 유한 집합과 그 하위 집합의 수학에서 추상화되었습니다. 이 한정된 기원을 망각한 채, 나중에는 그 논리를 모든 수학 위와 그 이전의 것으로 착각하고, 마침내 그것을 무한 집합의 수학에 정당화하지 않고 적용했습니다. 이것은 [칸토르]의 집합론의 몰락이자 원죄입니다."^[22]

유한주의의 어려움은 유한주의 가정을 사용하여 수학의 기초를 개발하는 것이며, 모든 사람들이 합리적으로 수학으로 간주할 수 있는 것(예를 들어, 실제 분석을 포함함)을 통합하는 것입니다.

참고 항목

• 선직관주의

메모들

참고문헌

• Bishop, Errett; Bridges, Douglas S. (1985), Constructive Analysis, Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften, Springer, ISBN 978-0-387-15066-6
• Cantor, Georg (1878), "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 84: 242–248
• Cantor, Georg (1891), "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1: 75–78
• Cantor, Georg (1895), "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)", Mathematische Annalen, 46 (4): 481–512, doi:10.1007/bf02124929, S2CID 177801164, archived from the original on April 23, 2014
• Cantor, Georg; Philip Jourdain (trans.) (1954) [1915], Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover, ISBN 978-0-486-60045-1
• Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, ISBN 0-674-34871-0
• Dunham, William (1991), Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics, Penguin Books, ISBN 978-0140147391
• Ewald, William B., ed. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2, Oxford University Press, ISBN 0-19-850536-1
• Frege, Gottlob; J.L. Austin (trans.) (1884), The Foundations of Arithmetic (2nd ed.), Northwestern University Press, ISBN 978-0-8101-0605-5
• Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6
• Hilbert, David (1926), "Über das Unendliche", Mathematische Annalen, vol. 95, pp. 161–190, doi:10.1007/BF01206605, JFM 51.0044.02, S2CID 121888793

"Aus dem Paradies, das Cantoruns geschaffen, solunnem and vertreiben könen"

번역:

• Kline, Morris (1982), Mathematics: The Loss of Certainty, Oxford, ISBN 0-19-503085-0{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
• Mayberry, J.P. (2000), The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 82, Cambridge University Press
• Moore, Gregory H. (1982), Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence, Springer, ISBN 978-1-4613-9480-8
• Poincaré, Henri (1908), The Future of Mathematics (PDF), Revue generale des Sciences pures et appliquees, vol. 23, archived from the original (PDF) on 2003-06-29 (제4차 국제 수학자 대회 연설)
• Sainsbury, R.M. (1979), Russell, London{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
• Weyl, Hermann (1946), "Mathematics and logic: A brief survey serving as a preface to a review of The Philosophy of Bertrand Russell", American Mathematical Monthly, vol. 53, pp. 2–13, doi:10.2307/2306078, JSTOR 2306078
• Wittgenstein, Ludwig; A. J. P. Kenny (trans.) (1974), Philosophical Grammar, Oxford{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
• Wittgenstein; R. Hargreaves (trans.); R. White (trans.) (1964), Philosophical Remarks, Oxford{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)
• Wittgenstein (2001), Remarks on the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Oxford{{citation}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)

외부 링크

• 도론 질베르거 제68견해
• 철학자 하틀리 슬레이터가 칸토어의 집합론을 뒷받침하는 "수"의 개념에 반대하는 주장
• 볼프강 무켄하임: 트랜스피니티 - 소스북
• 호지스 "편집자가 절망적인 논문을 떠올립니다."