최종 위상

일반적으로 위상 기하학 그리고 수학이 관계된 지역 집합 X에 대한 최종 토폴로지(또는 coinduced,[1] 강한, colimit, 또는 유도 토폴로지), 기능 중 한 가족에게 위상 공간에서 X에 관련해서 이 모든 functi게 만든다 X{X\displaystyle}에{X\displaystyle,}는 당대 최고의 토폴로지{X\displaystyle,}.ons연속의

지수 공간의 지수 토폴로지는 단일 추체함수, 즉 지수 맵에 관한 최종 위상이다.분리 결합 위상은 포함 지도와 관련된 최종 위상이다.최종 위상은 위상 공간의 범주에 있는 모든 직접 한계가 부여되는 위상이며, 최종 위상이 자주 나타나는 것은 직접 한계와 맥락을 같이한다.위상은 자연적 포함에 의해 유도된 최종 위상일 경우에만 일부 하위 공간 집합과 일치한다.

이중 개념은 초기 위상이며, 정해진 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 위상학적 공간에 이르는$$ 특정 기능 계열의 경우 $그러한{\displaystyle }$ 기능을 연속적으로 만드는$$ X ${\displaystyle X}$에서 가장 강력한 위상이다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 세트와$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ - 관련 기능이 있는$$ 위상학적 공간(${\displaystyle {Yi}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)의 색인화된$$ 패밀리$({$}\right$)$가 지정됨

the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by these maps ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ is the finest topology${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle X}$ such that

각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ i$\in I}$에 대해 연속됨$.$

명시적으로 최종 위상은 다음과 같이 설명할 수 있다.

a subset ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle X}$ is open in the final topology ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ (that is, ${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$) if and only if ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ is open in ${\displaystyle (Y_{}}$${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\$ $각$ i${\displaystyle i}$ I$${\$displaystyle$ i$\in$ I$\}.$

닫힌 하위 집합은 다음과 유사한 특성을 갖는다.

a subset ${\displaystyle C}$ of ${\displaystyle X}$ is closed in the final topology ${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ if and only if ${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$ is closed in ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$에 대해$.$

예

지도 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 패밀리가 하나의$$ 돌출 지도로 구성된 중요한 특수 사례는 지도의 개념을 사용하여 완전히 특성화할 수 있다.A surjective function ${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$ between topological spaces is a quotient map if and only if the topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X}$ coincides with the final topology ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ induced$f{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}=\{f$ 패밀리별. 특히: 몫 위상은 몫 지도가 유도하는 몫 공간의 최종 위상이다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 값$$ 맵 가족이 유도한$$ $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 최종 위상은 하나의 지도가 아닌 여러 지도가 사용될 수 있고 이러한 지도가 거절될 필요가 없는 지도의 광범위한 일반화라고 볼 수 있다.

위상학적 공간 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을(를) 감안할 때$,$ 분리 유니언의 분리 유니언 위상 $\coprod {\displaystyle \underset{}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{X}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은 자연 주입에 의해 유도된 분리 유니언의 최종 위상이다.

Given a family of topologies ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ on a fixed set ${\displaystyle X,}$ the final topology on ${\displaystyle X}$ with respect to the identity maps ${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}$$\right)\to X}$ as ${\displaystyle i}$ ranges over ${\displaystyle I,}$ call it ${\displaystyle \tau ,}$ is the infimum (or meet) of these topologies ${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$ in the lattice of topologies on ${\displaystyle X.}$ That is, the final topology $$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 교차로 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle \bigcap _{}}$ $.$ {\$displaystyle \tau =\bigcap$_{$i\in I}\$tau _{i$}$$와 같다$.$}$

공간과 연속 지도의 모든 직접 시스템의 직접 한계는 표준 형태론에 의해 결정되는 최종 위상과 함께 설정-이론적 직접 한계다.명시적으로, 이는 ${\displaystyle {Sys}_{}}$Y${\displaystyle }$= (${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$i , ${\displaystyle I}$)$${\$displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i}},f_{ji})$인 경우를 의미한다.$I\right)}$ is a direct system in the category Top of topological spaces and if ${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ is a direct limit of ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$ in the category Set of all sets, then by endowing ${\displaystyle X}$ with thefinal topology ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ induced by ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$ becomes상단 범주에서$$ ${\displaystyle {\mathrm{Sys}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$의 직접 제한.

피복의 에탈레 공간은 최종 위상에 의해 토폴로지된다.

첫 번째 카운트할 수 있는 하우스도르프${\displaystyle \mathrm{공간}(X}$ ,${$ ) {\$displaystyle$(X,\${\displaystyle \mathrm{tau}}$$)}$은(는$)$ $세트{\displaystyle }$ C$([ 0$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ];}$X${\displaystyle }$)에 의해$$ 유도된 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$의 최종 위상과 동일한 경우에만$$ 로컬 경로로 연결된다.모든 연속 지도${\displaystyle }$중 [${\displaystyle 0}$$,$ 1${\displaystyle ]}$→ (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle )}$ $)},$${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$의 경로라고 하는 곳에서는 이러한 지도를${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle (X,\tau$)$}$

If a Hausdorff locally convex topological vector space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is a Fréchet-Urysohn space then ${\displaystyle \tau }$ is equal to the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the set ${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];$$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (X,\tau })$에 있는 모든 호$$ 중 $X\\}}$이(가) 정의에 따라$$ 연속 경로${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )$도 위상학적 내장이다.

성성.

한국 특성화화화

주어진 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle {Yi}_{}}$→ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f_{i}:$위상학적 $공간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Yi}_{}}${\$displaystyle Y_{i}$부터 $세트{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$까지 $Y_{i}\to X},$$$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 최종 위상은 다음과 같은 속성으로 특징지어질 수 있다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 일부 $공간$까지의 함수 $g{\displaystyle }$${\displaystyle g_$${$$i$$}$는 각 i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ f {\$displaystyle g$$\circ$ f_{$i$$}$가 연속적인$$ 경우에만 연속적이다$.$

구인인 인人 동동동동동

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle :=}${${\displaystyle f_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {Yi}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle I\}}$ ${\$을(를) 가정합시다.$Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}}$ is a family of maps, and for every ${\displaystyle i\in I,}$ the topology ${\displaystyle \upsilon _{i}}$ on ${\displaystyle Y_{i}}$ is the final topology induced by some family ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$ of maps valued in ${\displays$$tyle Y_{i}}$.Then the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is equal to the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the maps ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.$$}$

As a consequence: if ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ is the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ and if ${\displaystyle \pi :X\to (S,\sigma )}$ is any surjective map valued in some topological space ${\displaystyle (S,\sigma ),}$ then ${\displaystyle \pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )}$ is a quotient map if and only if ${\displaystyle (S,\sigma )}$ has the final topology induced by the maps ${\displaystyle \{\pi \circ f_i:i}$${\displaystyle \left\{\pi \circ f_{i}~~:~i\in I\right\}.$$}$

분리 연합 토폴로지의 보편적 속성에 의해 $우리$는 연속 지도 f :${\displaystyle {}_{}{Yi}_{}}$→ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{i:$$Y_{i}\to$ X$,}$에 고유한 연속 지도가 있음$$

자연 주사제와 호환되는 것.If the family of maps ${\displaystyle f_{i}}$covers${\displaystyle X}$ (i.e. each ${\displaystyle x\in X}$ lies in the image of some ${\displaystyle f_{i}}$) then the map ${\displaystyle f}$ will be a quotient map if and only if ${\displaystyle X}$ has the final topology induced by the maps f ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle f_{i}.$$}$

의 영향

Throughout, let ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ be a family of ${\displaystyle X}$-valued maps with each map being of the form ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$ and let ${\displaystyle$$\tau _{\mathcal {F}}}$ denote the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ The definition of the final topology guarantees that for every index ${\displaystyle i,}$ the map ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\$$upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}\right)}$은(는) 연속적이다$$.

For any subset ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$ the final topology ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ on ${\displaystyle X}$ will be finer than (and possibly equal to) the topology ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$; that is, ${\display$$style {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ implies ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$ where set equality might hold even if ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is a proper subset of ${\displaystyle {\mathcal {F}}.$$}$

If ${\displaystyle \tau }$ is any topology on ${\displaystyle X}$ such that for all ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )}$ is continuous but ${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}},$$}$ then ${\displaystyle \tau }$ is strictly coarser then ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ (in symbols, ${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$ which means ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle \tau \neq \tau _$${\mathcal {F}}}$) and moreover, for any subset ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$ because ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$ the topology ${\displaystyle \tau }$ will also be strictly coarser than the final topology ${\displaystyle {\tau }_{\mathcal{S}}}$${\displaystyle \$$tau\_{\displaystyle \mathcal{}}$${\mathcal${$S$$}$에 유도된$$$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ ${\\mathcal$ {$S};,$ 즉 ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle ⊊}$ \ {$subsetneq \tau_{\mathcal${$S}.$$}$

Suppose that in addition, ${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}}$ is a family of ${\displaystyle X}$-valued maps whose domains are topological spaces ${\displaystyle \left(Z_{a},\zeta _{a}\right).$$}$ If every ${\displaystyle g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ is continuous then adding these maps to the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ will not change the final topology on ${\displaystyle X;}$ that is, $$${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$ Explicitly, this means that the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by the "extended family" ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ is equal to the final topology ${\displaystyle {\tau }_{\mathcal{F}}}$$원래$ 계열 $F{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle f_{}}$: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \}}$. ${\$$displaystyle$ {F}이$($가) 유도한$$ ${\$$displaystyle {\f$}=\$f_{i}i:i\in I\right\}.$$}$ However, had there instead existed even just one map ${\displaystyle g_{a_{0}}}$ such that ${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ was not continuous, then the final topology $$${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$ on ${\displaystyle X}$ induced by the "extended family" ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ would necessarily be strictly coarser than the final topology ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ induced by $$${\displaystyle \mathcal{F}}$; ${\displaystyle {\mathcal {F};},$ 즉$$ ${\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle {\cup }_{}}$ ${\displaystyle {G\mathcal{}}_{}}$ \ ${\displaystyle {F\mathcal{}}_{}}$ ${\$ {$F}\cup${\$mathcal {G}\subsetneq \tau _{\mathcal}}}}.$ (해설명은 이 각주^{[note 1]} 참조).

하위 스페이스와의 일관성

Let ${\displaystyle (X,\tau )}$ be a topological space and let ${\displaystyle \mathbb {S} }$ be a family of subspaces of ${\displaystyle (X,\tau )}$ where importantly, the word "subspace" is used to indicate that each subset ${\displaystyle S\in \mathbb {S} }$ is endowed with the subspace topology $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \backslash }$$vert _{S}$로부터 상속됨${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$$$ The space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is said to be coherent with the family ${\displaystyle \mathbb {S} }$ of subspaces if ${\displaystyle \tau =\tau _{\mathcal {S}},}$ where ${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$ denotes the final topology induced by the inclusion maps ${\displaystyle \mathcal{S}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\left\{\operatorname {In} _{S}^{X}~:~S\in \mathbb {S} \right\}}$ where for every ${\displaystyle S\in \mathbb {S} ,}$ the inclusion map takes the form

$}{{\displaystyle \operatorname {In} _{S}^{X}:\properties(S,\tau \vert _{S}\right)\X.}$

다음 문장이 참인 경우에만$$ S ${\$($X,\$$tau$$$$)}$과(와$)$ $일치$하여 정의를 푼다$.{\displaystyle }$

for every subset ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle U}$ is open in ${\displaystyle (X,\tau )}$ if and only if for every ${\displaystyle S\in \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle U\cap S}$ is open in the subspace ${\displaystyle \left(S,\tau \vert$$_{S}\right).$$}$

Closed sets can be checked instead: ${\displaystyle (X,\tau )}$ is coherent with ${\displaystyle \mathbb {S} }$ if and only if for every subset ${\displaystyle C\subseteq X,}$ ${\displaystyle C}$ is closed in ${\displaystyle (X,\tau )}$ if and only if for every ${\displa$$ystyle S\in \mathb {S},}$ ${\displaystyle \mathrm{C<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; S\backslash in\; \backslash mathbb\; \{S\}\; ,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ed8c609e804e1cf38c34effa16bdba6f439ec63d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.279ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="462">}}$ ${\displaystyle \cap }$ S ${\$${\displaystyle {}_{}}$ $C\cap S}$이$({\displaystyle 가)}$ 닫힘$$${\displaystyle \left(S,\tau \vert _{S}\right)$$}$

For example, if ${\displaystyle \mathbb {O} }$ is a cover of a topological space ${\displaystyle (X,\tau )}$ by open subspaces (i.e. open subsets of ${\displaystyle (X,\tau )}$ endowed with the subspace topology) then ${\displaystyle \tau }$ is coherent with ${\displaystyle \mathbb {O} .}$$$ In contrast, if ${\displaystyle \mathbb {S} }$ is the set of all singleton subsets of ${\displaystyle (X,\tau )}$ (each set being endowed with its unique topology) then ${\displaystyle (X,\tau )}$ is coherent with ${\displaystyle \mathbb {S} }$ if and only if ${\displaystyle \tau }$ is$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 이산 위상. 분리 결합은 표준 주사제 계열에 관한 최종 위상이다.A space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is called compactly generated and a k-space if ${\displaystyle \tau }$ is coherent with the set ${\displaystyle \mathbb {K} }$ of all compact subspaces of ${\displaystyle (X,\tau ).}$ All first-countable spaces and all Hausdorff locally compact spaces are k-s특히, 모든 다지관과 측정 가능한 공간이 모든 콤팩트한 서브 스페이스의 패밀리와 일치하도록 페이스를 설정한다.

다음의 예에서 입증된 바와 같이, 특정 상황에서 하위 공간과의 일관성 측면에서 보다 일반적인 최종 위상 특성을 나타낼 수 있다.Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ be a family of ${\displaystyle X}$-valued maps with each map being of the form ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$ and let ${\displaystyle \tau _{\m$$athcal {F}}}$ denote the final topology on ${\displaystyle X}$ induced by ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ Suppose that ${\displaystyle \tau }$ is a topology on ${\displaystyle X}$ and for every index ${\displaystyle i\in I,}$ the image ${\displaystyle \operat$$orname {Im} f_{i}:=f_{i}(X)}$은$({\displaystyle }$는) (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)로부터 상속된$$ 하위 공간 토폴로지 $topology{\displaystyle }$ ${\displaystyle {f_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( ${\displaystyle X_{}}$) ${\$$displaystyle$ $\vert _$${\displaystyle \{}$$f_{i}(X)}}}}$이$(가)$ 부여된다$.$$}$ If for every ${\displaystyle i\in I,}$ the map ${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(\operatorname {Im} f_{i},\tau \vert _{\operatorname {Im} f_{i}}\right)}$ is a quotient map then ${\displaystyle \$$tau =\tau _{\mathcal {F}}}$ if and only if ${\displaystyle (X,\tau )}$ is coherent with the set of all images ${\displaystyle \left\{\left(\operatorname {Im} f_{i},\tau \vert _{\operatorname {Im} f_{i}}\right)~:~i\in I\right\}.$$}$

유한차원 유클리드 공간의 직접적 한계에 관한 최종 위상

내버려두다

유한 시퀀스의 공간을 나타내며, $여기$서 R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은 모든 실제 시퀀스의 공간을 나타낸다.For every natural number${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ let ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ denote the usual Euclidean space endowed with the Euclidean topology and let ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\inf$$ty }}$은(${\displaystyle {In{\mathbb{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle R{}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle ,}$ x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$n )${\displaystyle :=(}$ ${\displaystyle x{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ , ${\displaystyle 0,}$…${\displaystyle }$) ${\$}}}}\{n$}}\ldots ,x_{n}\$rig}\$rig$}\right$):$에 의해 정의된 포함 맵을 나타낸다$$.$=\left(x_{$1},\$ldots ,x_{n},0,$0,\$ldots \right)}$을(를) 클릭하여 해당 이미지를 표시하십시오.그리고 결과적으로,

Endow the set ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ with the final topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ induced by the family ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ of all inclusion maps. 이 위상과 함께 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) Fréchet-Uryson 공간이 아닌 지역적으로 볼록한 완전한 Hausdorff 순차 위상 벡터 공간이 된다$$.The topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ is strictly finer than the subspace topology induced on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ by ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ where ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ is endowed with its usual product 위상Endow the image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ with the final topology induced on it by the bijection ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname$${Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ that is, it is endowed with the Euclidean topology transferred to it from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ via ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.$$}$ This topology on ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ is equal to the subspace topology induced on it by ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).$$}$ A subset ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ is open (resp. closed) in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ if and only if for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ the set ${\displays$$tyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ is an open (resp. closed) subset of ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$$}$ The topology ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ is coherent with family of subspaces ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$$$ 이렇게${\displaystyle }$하면 (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, )${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ )$${\$displaystyle \left(\mathb {R} ^{\inflt },\tau$^{\$infult }\right)}$이(가) LB-space로 만들어진다$$.Consequently, if ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ is a sequence in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ then ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ in ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\t$$au ^{\infty }\right)}$ if and only if there exists some ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ such that both ${\displaystyle v}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ are contained in ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ and ${\displaystyle v_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ → ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ({In{\mathbb{}}^{}}_{}}$ R ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname${$Im}$$\left(\operatorname {In} _{\mathb {R} ^{n}\right)$에 v$}$ {\$displaystysty$ \operatorname}.$}$

Often, for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ the inclusion map ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ is used to identify ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with its image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\$$mathbb {R} ^{n}}\right)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ explicitly, the elements ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right$$)}$을(를) 함께 식별한다$$.Under this identification, ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ becomes a direct limit of the direct system ${\displaystyle ({\left({\mathbb{R}}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{({}_{}^{}}_{}}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ where for every ${\displaystyle m\leq n,}$ the map ${\displaystyle {\mathrm{In}}_{{\mathbb{R}}^m}^{}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ is the inclusion map defined by ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m$$}}}^{\mathb {R}^{n}}\왼쪽(x_{1},\ldots ,x_{m}\rig):$$=\좌측(x_{1},\ldots,x_{m},0,\ldots,0\오른쪽)$이며, $여기$서 n${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n-m}$ 후행$$ 0이 있다.

범주형 설명

범주이론의 언어에서 최종 위상구조는 다음과 같이 설명할 수 있다.Let ${\displaystyle Y}$ be a functor from a discrete category ${\displaystyle J}$ to the category of topological spaces Top that selects the spaces ${\displaystyle Y_{i}}$ for ${\displaystyle i\in J.}$ Let ${\displaystyle \Delta }$ be the diagonal functor from Top to the functor category Top^J (this functor는 각 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를$)$ 상수 functor로 X {\$displaystyle X}$에 전송한다.$$The comma category ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ is then the category of co-cones from ${\displaystyle Y,}$ i.e. objects in ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$ are pairs ${\displaystyle (X,f)}$ where ${\displaystyle f_{i}:$$Y_{i}\to X}$ is a family of continuous maps to ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle Y}$ is the forgetful functor from Top to Set and Δ′ is the diagonal functor from Set to Set^J then the comma category ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ is the category of all co-conesfrom ${\displaystyle UY.}$ The final topology construction can then be described as a functor from ${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ to ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).$$}}$ 이$$ 펑터는 해당 건망증이 있는 펑터에 맞추어 남겨진다.

See also

• Direct limit – Special case of colimit in category theory
• Induced topology
• Initial topology – Coarsest topology making certain functions continuous
• LB-space
• LF-space

Notes

Citations

References

• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079. Zbl 0205.26601.. (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.