제휴사업자

수학에서는 무제한 연산자를 사용하여 단일 벡터에 의해 생성된 모듈을 연구하기 위한 기법으로 폰 노이만 알헤브라스 이론에서 머레이와 폰 노이만(Von Neumannalhbras)에 의해 제휴 연산자가 도입되었다. 이후 아티야와 싱어는 무한 기본 집단이 있는 폐쇄형 다지관의 타원 연산자에 대한 지수 이론이 그 집단의 폰 노이만 대수학 계열의 무제한 연산자의 관점에서 자연스럽게 표현될 수 있다는 것을 보여주었다. 관계 연산자의 대수적 특성은 그러한 지수 이론의 연구로부터 진화한 분석과 기하학 사이의 영역인² L 코호몰로지(L cohomology)에서 중요한 것으로 입증되었다.

정의

M을 힐버트 공간 H에 작용하는 폰 노이만 대수학으로 하자. 폐쇄적이고 조밀하게 정의된 연산자 A는 A가 M에 상응하는 모든 단일 연산자 U와 통근하는 경우 M에 소속되어 있다고 한다. 등가조건은 다음과 같다.

• M'의 각 단일 U는 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$: ${\displaystyle x\in }$ D (${\displaystyle A}$ )${\displaystyle }$}${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax$):x$\in D(A)\subseteq H\$o $플러스$ H$\}$에 의해 정의된 그래프를 불변으로 남겨야 한다.
• G(A)에 대한 투영은 M₂(M)에 있어야 한다.
• M'의 각 단일 U는 A의 영역인 D(A)를 스스로 운반하여 UAU* = A를 만족시켜야 한다.
• M'의 각 단일 U는 A의 극 분해 시 두 운영자와 함께 통근해야 한다.

마지막 조건은 극 분해의 고유성으로 이어진다. A가 극 분해된 경우

$[\displaystyle A=V A ,\,}$

부분 등위계 V는 M에 있어야 하며, 양성 자가 적응 연산자 A는 M에 소속되어야 한다고 되어 있다. 그러나 스펙트럼 정리에 의해 양성 자기 적응 연산자는 각각의 스펙트럼 $투영{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle N])}$ ${\displaystyle$E$([0,N])}$이 있는$$ 경우에만 단일 연산자와 통근한다. 이것은 또 다른 동등한 조건을 제공한다.

• A의 극 분해에 있어서 A의 각 스펙트럼 투영과 부분 등위계는 M에 있다.

측정 가능한 연산자

일반적으로 폰 노이만 대수 M에 소속된 연산자는 추가나 구성에서 반드시 예의 바르게 행동할 필요는 없다. However in the presence of a faithful semi-finite normal trace τ and the standard Gelfand–Naimark–Segal action of M on H = L²(M, τ), Edward Nelson proved that the measurable affiliated operators do form a *-algebra with nice properties: these are operators such that τ(I − E([0,N])) < ∞ for N sufficiently large. 이 무제한 연산자의 대수학은 측정의 수렴 개념을 일반화하면서 자연 위상에 대해 완전하다. 그것은 추적에 의해 정의된 모든 비확보^p L 공간을 포함하고 그들의 연구를 용이하게 하기 위해 도입되었다.

이 이론은 폰 노이만 대수 M이 타입 I 또는 타입 II일 때 적용할 수 있다. Hilbert-Schmidt 연산자의 Hilbert 공간 L²(H)에 작용하는 M = B(H)가 작용하는 경우, 섀튼과 폰 노이만으로 인한 비범용 L^p 공간 L^p(H)의 잘 알려진 이론을 제시한다.

M이 유한 폰 노이만 대수(예: 타입 II 인자₁)를 추가하면, 모든 제휴 사업자는 자동적으로 측정이 가능하므로, 관계 사업자는 머레이와 폰 노이만의 제1 논문에서 처음 관찰한 바와 같이 *-알제브라(*-algebra)를 형성한다. 이 경우 M은 폰 노이만 정규 링이다. 이미지 A의 닫힘에서 ATA = A로^* 측정 가능한 연산자를 정의하기 때문에, T = BV는 측정 가능한 연산자를^∞ 정의한다. 물론 X가 확률 공간이고 M = L(X)인 고전적인 경우, 우리는 단순히 X에서 측정 가능한 함수의 *알지브라만 복구한다.

그러나 M이 타입 III이라면 이론은 전혀 다른 형태를 취한다. 이 경우 토미타-덕분에다케사키 이론, 비확정 L 공간은^p 더 이상 폰 노이만 대수학 계열의 연산자에 의해 실현되지 않는 것으로 알려져 있다. Connes가 보여주었듯이, 이러한 공간들은 참조 모듈형 운영자의 특정한 양의 힘을 사용해야만 무제한 운영자로 실현될 수 있다. 간단한 제휴관계^* UAU = A에 의해 특징지어지는 대신에 모듈형 자동형성 그룹의 분석적 지속과 관련된 보다 복잡한 바이모듈 관계가 있다.

참조

• A. Connes, non-commentative 기하학, ISBN0-12-185860-X
• J. Dixmier, Von Neumannalhbras, ISBN 0-444-86308-7 [Les Algébres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: Algebres de von Neumann, Gautier-Villars(1957 & 1969)]
• W. 뤼크, L-Invariants²: 지오메트리 및 K-Theory에 대한 이론과 적용, (8장: 관계 운영자의 대수) ISBN 3-540-43566-2
• F. J. 머레이와 J. 폰 노이만, 연산자 반지, 수학 연보 37호(1936), 116–229호 (제16장)
• E. Nelson, Non-commative 통합에 대한 Notes, J. Funkt. 항문 15(1974년), 103–116.
• M. 다케사키, 오퍼레이터 알헤브라스 I, II, III, ISBN 3-540-42248-X ISBN 3-540-42914-X ISBN 3-540-42913-1