극성 분해

수학에서 정사각형 실행렬 또는 $복소행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 극분해는 A $=$ $A=UP$ P $(\displaystyle$ A=) $A=UP$ 의 인수분해이다.UP $A=UP$ $U$ 서U {\ $displaystyle$ U}는 $U$ 단일 $P$ 이고 P {\ $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ 정사각형 및 ^[1]같은 크기의 양의 반정의 에르미트 $매트릭스$ 입니다.

직관적으로 실제 $n\times n$ × $n\times n$ n $n\times n$ $A$ 를 $n\times n$ n\ $displaystyle$ n \ $times$ n \ $displaystyle$ $\mathbb {R} ^{n}$ n n \ displaystyle \ $mathbb { R$ ^ { $n$ }의 $A$ $n$ 선형 변환으로 해석하면 극분해는 $\mathbb {R} ^{n}$ 를 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 회전 $또는$ 반사U \ $displaystyle$ U로 $U$ 분할한다. $(\$ $displaystyle$ $\mathbb$ {R} $^{n$ $})$ 및n개의 직교 $n$ 축에 $따른$ 공간의 스케일링.

정사각형 $매트릭스 A$ 의 $A$ 극성 분해는 항상 존재합니다 $.$ A $(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 반전 가능한 $경우$ 분해는 고유하며 $인자$ P(\ $displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 양의 확정입니다.이 경우 $A({displaystyle$ A})는 $A$ A $A=Ue^{X}$ X $({$ A $=Ue^{X$ $A=Ue^{X}$ 으로 고유하게 쓸 수 있습니다. $U$ 서U({ $displaystyle$ U $})$ 는 $U$ $X$ ({ $displaystyle$ X $})$ 는행렬 P({ $displaystyle$ ^[2]P})의 고유 자기점 로그입니다.이 분해는 (행렬) Lie ^[3]그룹의 기본 그룹을 계산하는 데 유용합니다.

극성 분해는 A $=$ $A=PU$ U $(\displaystyle$ A=)로도 정의할 수 있습니다. $P$ 서 $A=PU$ PU는 P ${displaystyle$ P $}$ 는 $A=PU$ $P$ 대칭 정의 정의이지만 일반적으로 다른 매트릭스이며 U ${displaystyle$ U $}$ 는 $U$ 위와 같은 매트릭스이다.

행렬의 극분해는 $복소수$ z $z=ur$ $displaystyle$ z $z=ur$ 의 $z$ 극형식의 행렬 아날로그로 볼 수 $.$ $여기$ 서 r $(\displaystyle$ $r)$ 은 $r$ 절대값(부정수가 아닌 실수 $),$ u $\displaystyle$ $z=ur$ 는 $u$ 단위규범(ci의 요소)을 갖는 복소수이다.rcle 그룹).

$A=UP$ A $=$ $(\displaystyle$ A=)UP는 $A=UP$ $A=UP$ $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ × $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ \ $displaystyle$ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ U $\ in$ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ \ $mathbb$ { $C$ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ ^ { $m$ $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ \ $times$ n $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ } 、 P $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ × $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ n $display style$ p\ $mathbb$ n $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ } $display$ C × $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ n $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ C display $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ C × n \ times $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ n $}$ display C display c display C mathbb n \ display $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ 로 확장할 수 $있습니다$ .rix. 분해는 항상 $P$ 하며 P $(\displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 항상 고유합니다. $매트릭스$ U $($ 디스플레이 스타일 $U)$ 는 $U$ A $(디스플레이 스타일$ A $)$ 가 $A$ 전체 순위를 가질 $A$ 에만 고유합니다.^[4]

직관적인 해석

실제 $m\times m$ m × $m\times m$ A(\ $displaystyle m\$ times $m\times m$ $)는$ 열 $벡터$ x(\ $displaystyle$ x $)$ 를 $x$ $(\displaystyle$ Ax $Ax$ 로 변환하는 $\mathbb {R} ^{m}$ m(\displaystyle $\mathbb {R}$ ^{ $m})$ 의 $\mathbb {R} ^{m}$ $\mathbb {R} ^{m}$ 변환으로 해석할 수 있습니다.다음으로 극분해 $A=RP$ $A=RP$ $A=RP$ (\ $displaystyle$ A $=RP$ 에서 계수R (\ $displaystyle$ R $)$ 은 $R$ m $m\times m$ × $m\times m$ (\ $displaystyle$ m $\times$ m)의 $m\times m$ $m\times m$ 직교 정규 행렬이다.극분해는 $A$ 의 $각$ $e_{i}$ $e_{i}$ e i(\displaystyle $e_$ ${$ $i$ })에 $e_{i}$ 따라 $A$ 공간 $\mathbb {R} ^{m}$ m $(\$ ^{ $m})$ 의 $\mathbb {R} ^{m}$ 축척으로 A $(\displaystyle$ A $)$ 에 $A$ 의해 정의된 선형 변환을 스케일 계수 $(\$ { $i$ })로 표현한 것으로 볼 수 있다.}( $\sigma _{i}$ $P{displaystyle$ P $}$ 의 작용), 그 $\mathbb {R} ^{m}$ 후 $Rm(\displaystyle$ \ $mathbb$ { $R}^{$ m})( $\mathbb {R} ^{m}$ $R{displaystyle$ R $}$ 의 $작용$ )이 1회 회전 또는 $\mathbb {R} ^{m}$ 됩니다 $.$

$A=PR$ 분해 A $A=PR$ $A=PR$ R $A=PR$ {\ $displaystyle$ A $=PR}$ 은 $A=PR$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 에 $A$ $의해$ 정의된 변환( $R$ {\ $displaystyle$ R $R$ 에 이어 특정 직교 방향에 따른 스케일링( $P$ ${displaystyle$ P $P$ 을 나타냅니다.축척 요인은 같지만 방향이 다릅니다.

특성.

$A$ 의 $A$ $복합공역체$ 의 극분해는 A ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ P ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ . ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ { $displaystyle$ { $A$ } = \ $overline$ { ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ U } } { \ overline { U } { \ $overline$ { P } } ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ 。

\displaystyle \det A=\det U=e^{i\theta }r}

\det U=e^{i\theta }

U

\det U=e^{i\theta }

\det U=e^{i\theta }

\

det

U = e θ \

det

U

\det U=e^{i\theta }

\det P=r=\left|\det A\right|

e

^ {

\det P=r=\left|\det A\right|

\

theta }

}

\det P=r=\left|\det A\right|

a

\det P=r=\left|\det A\right|

P

=

r =

det

A = r

left

\

det

A

\

right

}

\det U=e^{i\theta }

det 、

gives

gives gives gives gives gives gives gives gives

A

gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives 、 U

ant gives then

u

gives gives gives = e

gives

gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives gives

P에는

행렬식 1이 있습니다.

양의-반정의 행렬 P는 A가 단수일지라도 항상 유일하며 다음과 같이 표시된다.

{{displaystyle P=\left(A^{*}A\오른쪽)^{\frac {1}{2}}}

A^{*}

서 A

{\

{ \

displaystyle

A

A^{*}

^ { * }는

A^{*}

A

의 공역 전치(\

displaystyle

A

A

를 나타냅니다.P가 고유하기 때문에 이 표현은 명확하게 정의됩니다.A

A^{*}A

A

A^{*}A

{

displaystyle

A^ { *

}

A }는

A^{*}A

정의-반정의 에르미트 행렬이며, 따라서 고유한 양의-반정의 에르미트 제곱근을 ^[5]갖는다는

A^{*}A

에 의해 고유성이 보장된다.A가 가역일 경우 P는 양의 유한이며, 따라서 가역 행렬 U는 다음과 같이 고유하게 결정된다.

(\displaystyle U=AP^{-1}).}

SVD와의 관계

A $(\displaystyle$ A $A$ $A=W\Sigma V^{*}$ $A=W\Sigma V^{*}$ $A=W\Sigma V^{*}$ s V of $A=W\Sigma V^{*}$ { \ $displaystyle$ A $= W$ \ $Sigma$ V $^$ { $A=W\Sigma V^{*}$ 의 특이치 분해(SVD)에 관해서는 다음과 같다.

디스플레이 스타일P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}

U

서

U(\

displaystyle

U

U

(\displaystyle

V

V

및

W(\

displaystyle

W

)

는

W

단일 매트릭스입니다(필드가

\mathbb {R}

R

(\

displaystyle

\mathbb

{

R})

인 경우 직교 매트릭스라고 합니다).이를 통해 P

(디스플레이 스타일

P

)

는

P

양의 정의이고

(디스플레이 스타일

U

)

는

U

단일임을

P

할 수 있습니다.따라서 SVD의 존재는 극성 분해의 존재와 동등합니다.

A를 $분해할$ 수도 있습니다 $A$ (\ $display$ A로 $A$ 할 수도 있습니다.

(\displaystyle A=P')U}

$U$ 서 U $(\displaystyle$ U $)$ 는 $U$ 이전과 같으며 P $(\$ P $')$ 는 $P'$ 다음과 같습니다.

{\displaystyle P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\오른쪽)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}}.

이것을 왼쪽 극성 분해라고 하는 반면, 이전 분해를 오른쪽 극성 분해라고 합니다.좌극 분해는 역극 분해라고도 합니다.

정사각형 가역 $A의$ 극성 $분해$ 는 다음과 같다.

A= AR

|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}

서 A

=

(

|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}

T )

|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}

2

|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}

{\

displaystyle

A =\

left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1

}{

2}}}

은

|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}

양의

R=|A|^{-1}A

정의 항목

R=|A|^{-1}A

이고

R=|A|^{-1}A

R=|A|^{-1}A

R=|A|^{-1}A

1

A =

A

R=|A|^{-1}A

^{-1

}A

는 직교 행렬입니다.

정규 행렬과의 관계

극분해 $A=UP$ A $(\displaystyle$ A $)$ $=$ $(\displaystyle$ A=)UP는 $A=UP$ $A=UP$ U ${displaystyle$ U $}$ 와 $U$ P ${displaystyle$ P $}$ 만 $P$ 출퇴근하는 경우 정상입니다. $=$ $PU$ 또는 이와 동등하게 대각선화할 수 있습니다.

건축 및 존재 증명

극성 분해의 구성 뒤에 있는 핵심 아이디어는 특이값 분해 계산에 사용되는 것과 유사합니다.

$A$ 의 A $(\displaystyle$ A $A$ 에 대해 $A^{*}A$ A $A^{*}A$ A(\ $displaystyle$ A $^{*}A$ )는 에르미트이며 양의 반확정 대각 행렬과 단일적으로 동등합니다. $V$ 으로 V $({displaystyle$ V $A^{*}A=VDV^{*}$ 를 $V$ D({ $displaystyle$ D}) 대각선 $D$ 및 양의 $반각선$ A $=$ 와 $A^{*}A=VDV^{*}$ $A^{*}A=VDV^{*}$ 행렬로 하자 $.$

정규 행렬에 대한 파생

A $(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ $V$ 정상일 $경우$ , $A=V\Lambda V^{*}$ (\ $A=V\Lambda V^{*}$ A) $\Lambda$ V(\ $displaystyle$ A $=V\Lambda$ V $^{*})$ 의 $A=V\Lambda V^{*}$ $대각행렬$ V $(\displaystyle$ V $)$ 및 대각행렬 $(\da$ V)에 대해 대각행렬 A $(\$ displaystyle \Lambda V) $=$ $A=V\Lambda V^{*}$ )의 대각행렬)이 됩니다.s 그러면 쓸 수 있습니다.

({displaystyle A=V\Phi_{\Lambda}\Lambda V^{*}=\underbrace(왼쪽(V\Phi)_{\Lambda}V^{*}\right})

여기서

\Phi _{\Lambda }

\

display

\

Phi

_ { \

Lambda

}

\Lambda

、

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

\

display

style \

Lambda

요소의 위상을 포함하는 대각행렬, 즉

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

/

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

/

λ

I

(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|

\

Phi _

Da }

。

{ii}\neq

0

\Lambda _{ii}\neq 0

및

(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0

(

(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0

(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0

(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0

(\

displaystyle(\Phi

_

{\Lambda

})

_{ii}=0

}(

\Lambda _{ii}=0

\Lambda _{ii}=0

=

\Lambda _{ii}=0

{

displaystyle \Lambda

_

{i

}=

0

일

(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0

경우).

$A=UP$ 극성 분해는 A $=$ $(\displaystyle$ A=)입니다. $UP$ U $\displaystyle$ U $\$ $displaystyle$ P $\displaystyle$ A $\$ displaystyle A\ $displaystyle$ A\displaystyle A $A$ 의 위상 및 절대값과 각각 $A$ 한 $A$ $U$ 을 가진다.

가역 행렬에 대한 유도

특이치 분해에서 $A$ 는 $A$ A $A^{*}A$ A $a$ A{ A { A { A { { * $A^{*}A$ } A $AA^{*}$ A ) { * } A {\ A ) { * } （ 동등하게 A ${\$ { \ $display style$ AA $}$ } } and $A^{*}A$ 만 반전됨을 알 수 있다.또한 이는 A $a$ A a A $^{*}A$ 의 $A^{*}A$ 고유값이 모두 ^[6]0이 아닌 경우에만 해당된다.

이 경우 극성 분해는 다음과 같은 방법으로 직접 얻을 수 있다.

{{displaystyle A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},

A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

(

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

) -

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

2 ( \

displaystyle

A \

left

(

A

^ { * * A \

right )^{

- { \

frac

{

1} {

2}}}}이

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

단일임을 관찰합니다.이를 위해 A

(\displaystyle

A

^{*}A)

의

A^{*}A

A^{*}A

분해를 이용하여 A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

- 1

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

-

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

2

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

{\

{ \

displaystyle

A \

left

( A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

^ { * }

A

\

right )^{

- { \

frac

{ } { }

=

}로

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}

된다.

AVD^{-{\frac {1}{2}}}V

이 표현에서 V ${\$ V $^{*}$ 는 $V^{*}$ V{\ $displaystyle$ V $}$ 이므로 $V$ V $V^{*}$ displaystyle V^{*}는 유니터리입니다. $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ - $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ 2 $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ ({ $displaystyle AVD$ ^ { - { \ $frac$ { $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ 1 $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ } { $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ } } })도 $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ 유니터리임을 나타내려면 SVD를 사용하여 A $=$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ D $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ V $∗$ ({ $displaystyle$ A=) 라고 쓸 수 있습니다. $WD^{\frac {1}{2}}V$ 다음과 같이 합니다.

AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}=W,

W

서도 W

(\displaystyle

W

)

는

W

구조적으로 통일되어 있습니다.

$A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ A $displaystyle$ A $) -$ 1 $2(\displaystyle$ A\ $(A^{*}$ A\right)^{-{\ $frac {1}{$ 2}}})의 $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ 단일성을 직접적으로 보여주는 또 다른 방법은A(\displaystyleA $A$ )의 ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ 를 A ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ k $($ )로 표기하는 $것$ 이다. $s_{k}$ {\ $displaystyle$ $s_{k$ $A$ 는 $s_{k}$ $A의$ 단수값입니다 $.$

{\displaystyle A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}=\left(\sum_{j}\sum_{j}w_{*}\right)\left(\sum_{k}\sum_{j}{k}^{k}^{k}^{k}^{k}}}}{k}}}{k}}}{k}}}{k}}}}{k}}}}}}}{\left}}}}}}}}}}}{

행렬이 단수 절대값을 갖는 경우에만 단일이기 때문에 행렬은 A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

A

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

) -

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

2({

displaystyle A\left(A^{*}A\

right

)^{-{\frac {1}{

2}}}})의

A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}

단일성을 직접 나타냅니다.

위의 구조에서 가역행렬의 극분해에서 유니터리행렬이 고유하게 정의되는 방법에 주목하십시오.

일반 파생

$A({displaystyle$ A})의 $A$ SVD는 A $=$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ V로 $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ 됩니다 $({$ A=). $WD^{\frac {1}{2}}V$ W $,$ $,$ $V,$ $(\displaystyle$ D $)$ 는 $W,V$ $D$ 대각의 양의 반확정 행렬입니다.W $(\displaystyle$ W $)$ $V$ V $(\displaystyle$ V $)$ 의 $V$ 추가 쌍을 삽입하는 것만으로 A $(\displaystyle$ A $A$ 의 두 가지 극성 분해 형식을 얻을 수 있습니다.

(\displaystyle A=)WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\frac {1}{2}}W^{*}\right}_{P}\underbrace(왼쪽(WV^{*}\right)_{U}=\underbrace(왼쪽(WV^{*}\right)}_{U}\underbrace(VD^{\frac{2}}}{P}_{\right})_P}_{P}}

힐베르트 공간의 유계 연산자

복소 힐베르트 공간 사이의 경계 선형 연산자 A의 극성 분해는 부분 등각학과 비음성 연산자의 산물로서 정규 인수 분해이다.

행렬의 극성 분해는 다음과 같이 일반화된다. A가 유계 선형 연산자일 경우, A의 고유한 인수분해는 곱 A = UP로서 존재하며, 여기서 U는 부분 등각학이고, P는 음이 아닌 자기 점 연산자이고, U의 초기 공간은 P의 범위의 폐쇄이다.

연산자 U는 다음과 같은 문제로 인해 단일이 아닌 부분 등각계로 약화되어야 한다.A가 l(N)의² 단측 이동이면 A = {AA^*}^1/2 = I입니다.따라서 A = U A이면 U는 A여야 하며, 이는 단일이 아닙니다.

극성 분해의 존재는 더글러스의 보조개념의 결과이다.

Lemma — A, B가 힐베르트 공간 H에서 유계 연산자이고 AA^* bb^* BB이면 A = CB가 되는 수축 C가 존재합니다.또한 Ker(B^*)가 Ker(C)일 경우 C는 고유합니다.

연산자 C는 H의 모든 h에 대해 C(Bh) := Ah로 정의할 수 있으며, Ran(B)의 폐쇄에 대한 연속성으로 확장되며, H 모두에 대한 직교 보형에서 0으로 정의할 수 있다.이어서 AA 'BB'가 Ker(B) 'Ker(A)'를^* 의미하기 때문에^* lema가 계속됩니다.

특히.AA = BB일^* 경우^* C는 부분 등각계로 Ker(B^*) ) Ker(C)일 경우 고유합니다.일반적으로, 모든 유계 연산자 A에 대해,

{{displaystyle A^{*}A\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},

여기서 (AA^*)^1/2는 일반적인 함수 미적분에 의해 주어진 AA의 고유한^* 양의 제곱근이다.그래서 보조군단에 의해, 우리는

{{displaystyle A=U\left(A^{*}A\오른쪽)^{\frac {1}{2}}}

일부 등각 U의 경우 Ker(A^*) ker Ker(U)일 경우 고유합니다.P를 (AA^*)^1/2로 하면 극분해 A = UP를 얻는다.유사한 인수를 사용하여 A = P'U'를 나타낼 수 있습니다. 여기서 P'는 양수이고 U'는 부분 등각이다.

H가 유한 차원일 경우, U는 단일 연산자로 확장될 수 있습니다. 일반적으로 이것은 사실이 아닙니다(위의 예 참조).또는 극분해는 특이치 분해 연산자 버전을 사용하여 나타낼 수 있다.

연속함수 미적분의 성질에 의해 A는 A에 의해 생성된 C*대수에 있다.부분 등각법에 대해서도 비슷하지만 약한 문장이 존재한다: U는 A에 의해 생성된 폰 노이만 대수이다.A가 반전 가능한 경우 극성 부품 U도 C* 대수에 포함됩니다.

무제한 연산자

A가 복잡한 힐버트 공간 사이의 닫힌, 조밀하게 정의된 무한 연산자일 경우, 여전히 (독특한) 극성 분해를 갖는다.

A=U A

여기서 A는 A와 같은 도메인을 가진 (아마도 무제한인) 비음성 자기 인접 연산자이고, U는 Ran(A) 범위의 직교 상보에서 소실되는 부분 등각계이다.

증명은 위와 동일한 보조항목을 사용하며, 이는 일반적으로 무제한 연산자에 적용됩니다.모든 h µ 돔(AA^*)에 대해 돔(AA^*) = 돔(BB^*) 및 AAh^* = BBh이면^*, A = UB가 되는 부분 등각 U가 존재한다.Ran(B)^⊥ ker Ker(U)일 경우 U는 고유합니다.연산자 A는 폐쇄적이고 조밀하게 정의되어 연산자^* AA가 (밀도의 도메인과) 자기접속되므로 (AA^*)^1/2를 정의할 수 있다.보조제를 바르는 것은 극성 분해를 일으킨다.

무한 연산자 A가 폰 노이만 대수 M에 관련되고, A = UP가 극분해라면, U는 M에 있고, [0 $,$ δ]의 보렐 집합 B에 대한_B P, 1(P $)$ 의 스펙트럼 투영도 마찬가지이다.

사분극 분해

4원소 H의 극성 분해는 $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ 2차원 구 $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ { $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ i + $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ j + $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ H : $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ 2 + $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ + $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ $=$ $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ }({ $style \lbrace$ xi $+yj+zk\in$ H $:x^{2}+y^{2}+z^{2$ }= $1\race$ )의 $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ 제곱근 빼기 에 의존합니다.이 구면상의 임의의 r 및 각도 -θ < $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ θ θ가 주어졌을 때, $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ e $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ cos $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ ( $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ ) + $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ θ ( $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ $){ar$ }=\ $cos (a)+r\sin (a)}$ 는 $e^{{ar}}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ H의 단위 3구면상에 있다. A = 0 또는 a = θ, 1에 관계없이, 또는 1이다.사분위수 q의 노름 t는 원점에서 q까지의 유클리드 거리이다.4분의 1이 단순히 실수가 아닌 경우, 고유한 극성 $q=te^{ar}.$ $q=te^{ar}.$ $q=te^{ar}.$ $q=te^{ar}.$ a $q=te^{ar}.$ . \ $displaystyle$ q $q=te^{ar}.$ = te $^{ar$ }가 존재합니다. $}$

대체 평면 분해

데카르트 평면에서 다음과 같은 대체 평면 링 분해가 발생합니다.

$x 0$ 0일 $경우$ $z$ = x $(1$ + $y (y /$ x))는 $이중수$ $z$ = x + $yθ$ 의 극성 분해이다. 여기서 $θ 2$ = $0$ , 즉 θ는 0이다.이 극성 분해에서 단위 원은 $선$ $x$ = 1, 극각은 기울기 y/x로 대체되었으며 반지름 x는 왼쪽 반평면에서 음수입니다.
$x 2 y 2$ y이면 단위 쌍곡선 $2$ - y = $1$ 과 그 $켤레 2$ x - $y 2 2$ $=$ - $1$ 을 사용하여 단위 쌍곡선을 통과하는 분기에 $기초$ 한 극성 분해를 형성할 수 있다 $.$ 이 분지는 쌍곡선 앵글에 의해 매개 변수화되며 다음과 같이 쓰여집니다.
$\displaystyle \cosh(a)+j\sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}$ $여기$ 서² j = + $1$ 및 분할 복소수 산술이^[7] 사용됩니다. $(-1, 0)$ 까지의 브랜치는 -e로^aj 추적됩니다.j를 곱하는 연산은 y = $x$ $선$ 의 점을 반영하므로, 두 번째 쌍곡선은 je 또는 -je로^aj 추적되는^aj 분기를 가진다.따라서 사분원 중 하나의 점은 다음 중 하나의 형태로 극성 분해가 됩니다. $\displaystyle re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\displayr>0}$
$세트$ {1, $-1, j, -j}$ 에는 클라인 4그룹과 동형인 제품이 있습니다.분명히 이 경우 극성 분해는 그 그룹의 원소를 포함합니다.

매트릭스 극성 분해 수치 측정

극성 분해 A = UP의 근사치를 계산하기 위해 일반적으로 단일 인자 U는 ^[8]^[9]근사치입니다.반복은 1의 제곱근에 대한 Heron의 방법을 기반으로 하며 $U_{0}=A$ 0 $=$ {\ $displaystyle U_{0$ }= $A$ 부터 시작하여 계산됩니다.

U_{k+1}=flac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots

반전 및 헤르미트 활용의 조합은 특이값 분해에서 단일 인자가 동일하게 유지되고 반복이 특이값에 대한 헤론의 방법으로 감소하도록 선택된다.

이 기본적인 반복은 프로세스를 고속화하기 위해 조정할 수 있습니다.

매 단계 또는 정기적인 $U_{k}$ 으로 $U_{k}$ Uk(\ $displaystyle U_{$ k $U_{k}$ })의 특이값 범위를 추정하여 행렬의 크기를 $\gamma _{k}U_{k}$ $(\$ _ ${$ })로 조정합니다. $U_{k$ 단수값의 중심을 1에 맞춥니다.스케일링 계수 $\gamma _{k}$ k $(\$ _ ${k})$ 는 $\gamma _{k}$ 매트릭스와 그 역행렬의 매트릭스 규범을 사용하여 계산한다.이러한 규모 추정치의 예는 다음과 같다.
$_{k}={4}{\frac {\left}{-1}\right\{1}\left\U_{k}{-1}\right\right\{\infty}}{\left\U_{k}{\right}{\infty}{\fright\fright$ 행-합 및 열-합 매트릭스 규범을 사용하거나 $({displaystyle_{k}={frac}{-1}\right\{F}}{\left\U_{k}\right\{F}})$ 프로베니우스 규범을 사용해서요스케일 팩터를 포함하여 반복은 다음과 같습니다.
$U_{k+1}=black {1}{2}}\left(\displaystyle _{k})U_{k}+{\frac {1}{\frac _{k}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$
QR 분해는 준비 단계에서 단일 행렬 A를 더 작은 정규 행렬로 축소하고 모든 단계에서 역행렬의 계산을 가속화하기 위해 사용할 수 있습니다.
$x$ 2 - $x^{2}-1=0$ $= 0의$ 루트를 계산하는 헤론의 $방법$ 은 예를 들어 핼리의 3차 방법에 $기초$ 한 고차법으로 대체될 수 있으며, 결과적으로 다음과 같은 결과가 초래됩니다 $.$ $U_{k+1}=U_{k}\left(I+3)U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$ 이 반복은 다시 재스케일링과 결합할 수 있습니다.이 특정 공식은 단수 행렬 또는 직사각형 행렬 A에도 적용할 수 있다는 장점이 있다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Hall 2015 섹션 2.5
^ 홀 2015 정리 2.17
^ Hall 2015 섹션 13.3
^ Higham, Nicholas J.; Schreiber, Robert S. (1990). "Fast polar decomposition of an arbitrary matrix". SIAM J. Sci. Stat. Comput. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 11 (4): 648–655. CiteSeerX 10.1.1.111.9239. doi:10.1137/0911038. ISSN 0196-5204.
^ 홀 2015 레마 2.18
^ A $A^{*}A$ A {\ $displaystyle$ A $^{*}$ A $A^{*}A$ 의 양성에 의해 고유값이 모두 실재하고 엄밀하게 양수임을 알 수 있습니다.
^ Sobczyk, G.(1995) "초과기수 평면", 대학수학저널 26:268-80
^ Higham, Nicholas J. (1986). "Computing the polar decomposition with applications". SIAM J. Sci. Stat. Comput. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 7 (4): 1160–1174. CiteSeerX 10.1.1.137.7354. doi:10.1137/0907079. ISSN 0196-5204.
^ Byers, Ralph; Hongguo Xu (2008). "A New Scaling for Newton's Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability". SIAM J. Matrix Anal. Appl. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 30 (2): 822–843. CiteSeerX 10.1.1.378.6737. doi:10.1137/070699895. ISSN 0895-4798.

콘웨이, J.B:기능 분석 코스수학 대학원 교재뉴욕: Springer
더글러스, R.G.:Hilbert Space에서의 연산자의 대분화, 인수분해 및 범위포함.검사님. 아머. 수학. Soc. 17, 413-415 (1966)
를 클릭합니다Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7

[1] Hall 2015 섹션 2.5

[2] 홀 2015 정리 2.17

[3] Hall 2015 섹션 13.3

[higham1990-4] Higham, Nicholas J.; Schreiber, Robert S. (1990). "Fast polar decomposition of an arbitrary matrix". SIAM J. Sci. Stat. Comput. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 11 (4): 648–655. CiteSeerX 10.1.1.111.9239. doi:10.1137/0911038. ISSN 0196-5204.

[5] 홀 2015 레마 2.18

[6] A $A^{*}A$ A {\ $displaystyle$ A $^{*}$ A $A^{*}A$ 의 양성에 의해 고유값이 모두 실재하고 엄밀하게 양수임을 알 수 있습니다.

[7] Sobczyk, G.(1995) "초과기수 평면", 대학수학저널 26:268-80

[higham1986-8] Higham, Nicholas J. (1986). "Computing the polar decomposition with applications". SIAM J. Sci. Stat. Comput. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 7 (4): 1160–1174. CiteSeerX 10.1.1.137.7354. doi:10.1137/0907079. ISSN 0196-5204.

[byers2008-9] Byers, Ralph; Hongguo Xu (2008). "A New Scaling for Newton's Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability". SIAM J. Matrix Anal. Appl. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics. 30 (2): 822–843. CiteSeerX 10.1.1.378.6737. doi:10.1137/070699895. ISSN 0895-4798.

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v t 스펙트럼 이론과 -algebras
기본 개념	Involution/-대수 바나흐 대수 B대수 C대수 비가환 토폴로지 투영값 측정 스펙트럼 C대수의 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판드-마주르 정리 겔판드-나이마크 정리 겔판드 표현 극성 분해 특이값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*-대수의 스펙트럼 이론
특수 요소/오퍼레이터	등분광 보통의 교환입니다. 에르미트인/자신 보조인 교환입니다. 유니터리 교환입니다. 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*대수의 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭성 스펙트럼 갭
스펙트럼 분해	(계속) 포인트 잔존) 근사점 압축 디스크리트 스펙트럼 가로수
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분 최소-최대 정리 양의 연산자 값 측도 투영값 측정 Riesz 프로젝터 부정 힐베르트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*-대수의 스펙트럼 이론
특수 대수	어메너블 바나흐 대수 대략적인 아이덴티티 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균등 대수 폰 노이만 대수 토미타 다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나행 바우어-파이크 정리 수치 범위 슈어혼 정리
일반화	디랙 스펙트럼 기본 스펙트럼 유사 스펙트럼 구조 공간(Shilov 경계)
여러가지 종류의	추상 인덱스 그룹 바나흐 대수 코호몰로지 코헨-휴이트 인수분해 정리 대칭 연산자의 확장 제한 흡수 원리 무한 연산자
예	위너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼 모양 듣기(Dirichlet 고유값) 히트 커널 쿠즈네초프 트레이스 공식 느슨한 쌍 프로토 값 함수 라마누잔 그래프 레일리-페이버-크론 부등식 스펙트럼 지오메트리 스펙트럼법 상미분 방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 초강력 근사 전송 연산자 변환 이론 와일의 법칙 빈-킨친 정리

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