오일러 수

수학에서 오일러 번호는 테일러 시리즈 확장에 의해 정의된 정수(OEIS에서 순서 A122045)의 시퀀스 E이다_n.

${\frac$$}}\cdot$ t$^{n$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cosh(t)}$은 쌍곡 코사인 함수다.오일러 번호는 오일러 다항식의 특수 값, 즉 다음과 같은 값과 관련이 있다.

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

오일러 번호는 시차 및 쌍곡 시차 함수의 테일러 시리즈 확장에 나타난다.후자는 정의의 함수다.특히 짝수 수의 원소가 있는 집합의 교대 순열 수를 계산할 때 조합체에서도 발생한다.

예

홀수 색인 오일러 번호는 모두 0이다.짝수 지수(OEIS의 순서 A028296)는 교대 부호를 가지고 있다.일부 값은 다음과 같다.

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	1385
E10	=	−50521
E12	=	2702765
E14	=	−199360981
E16	=	19391512145
E18	=	−2404879675441

일부 저자는 값이 0인 홀수 번호 오일러 숫자를 생략하거나 모든 부호를 양수로 바꾸기 위해 시퀀스를 다시 색인화한다(OEIS의 순서 A000364).이 글은 위에서 채택된 규약을 준수한다.

명시적 공식

제2종 스털링 숫자로 따지면

다음의 두 공식은 오일러 숫자를^[1] 두 번째 종류의 스털링 숫자로 표현한다.

${\displaystyle E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right),}$

${\displaystyle E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}{2l}(1-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}{k+1}}}{\frac {3}{4}\cdot \{(k)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},$

여기서 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle S(r,$${\displaystyle k^{}}$$)}$은 두 번째 종류의 스털링 숫자를 나타내고$$, $x{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$⋯${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+${\displaystyle 1}$ )${\displaysty$ x$^{n)=(x+1)\cdots (x+n-1)}$은 상승하는 요인수를 나타낸다$$.

이중합계로

다음의 두 공식은 오일러 숫자를 이중 합으로^[3] 표현한다.

${\displaystyle E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k},}$

${\displaystyle E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(1)^{i}}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}^{\binom {2i}{}}}{{{{{-ell}}}}}}}(i-ell )^{{{{{{}}}}}}.}$

반복된 합계로서

오일러 숫자에 대한 명시적 공식은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}{\frac {(-1)^{{j}(k-2j)^{2n+1}:{2}:{2}{2}}{2}}}{{{{2}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}{{{{2}}}^{k}i^{k}k}},}$

여기서 i는 i² = -1로 상상 단위를 나타낸다.

파티션의 합계

오일러 번호 E는_2n 2n의 짝수 분할에 대한 합으로 표현할 수 있다.^[5]

${\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots, k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots,k_{n}}\delta _{n,\n,\sum mk_}}}\ledata(-\frac {1}{1}{2}!}}\오른쪽).^{k_{1}}\왼쪽{\frac{1}{4!}}\오른쪽).^{k_{2}}\cdots \왼쪽{\frac {1}{(2n)!}}\오른쪽).^{k_{n}},}$

2n - 1의 홀수 분할에 대한 합계를 더한 것,^[6]

${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots, k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots,k_{n}}}\delta _{2n-1,\n-k_}}}}\{m(-\frac {1}{1!}}\오른쪽).^{k_{1}}\왼쪽 사진\frac {1}{3!}}\오른쪽).^{k_{2}}\cdots \leftleft\frac {(-1)^{n}{{n-1)!}}\오른쪽).^{k_{n}},}$

여기서_n 두 경우 모두 K₁ = k + ····················

${\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}\equiv {\frac {K!}}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}$

다항 계수다.위의 공식에서 크로네커 델타스는 ks에서 2k₁ + 4k₂ + ···+2nk_n = 2n, k₁ + 3k₂ + ··+(2n - 1)k_n = 2n - 1로 각각 제한한다.

예를 들면,

${\displaystyle {\reasoned}E_{10}&=10!\왼쪽{\frac {1}{10!}}}+{\frac{2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}-{\frac {1}{2!^{5}}\오른쪽)\\[6pt]&=9!\왼쪽{\frac {1}{9!}}}{\frac{3}{1!^{2}\,7!}}}}{\frac{6}{1!\,3!\,5!}}}{\frac{1}{3!^{3}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}-{\frac {1}{1!^{9}}\오른쪽)\\[6pt]&=-50\,521.\end{정렬}}}$

결정요인으로서

E는_2n 결정 인자에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\reasoned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\reason{vmatrix}{\frac {1}{2!2}}&1&~&~\{\frac{1}{4!}}}{\frac{1}{2!2}}&1&~&#\\vdots &&#\ddots ~~~~~~~~~~~\{\frac {1}{{n-2)!}}}{\frac{1}{(2n-4)!}}}&#{\frac{1}{2!2}}&1\{\frac {1}{(2n)!}}}{\frac{1}{(2n-2)!}}}&\cdots &{\frac{1}{4!}}}{\frac{1}{2!}}}\end{vmatrix}.\end{정렬}}}$

일체형으로서

또한_2n E는 다음과 같은 통합에 의해 제공된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}())^{n}E_{2n}&, =\int _{0}^{\infty}{\frac{t^{2n}}{\cosh{\frac{\pi지}{2}}}});dt=\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{\cosh)}}\;dx\\[8pt]&, =\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^ᆾ\left(\tan{\frac{\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{2n+1.}\int_{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

컨그루션스

W^[7]. Zhang은 오일러 숫자에 관한 다음과 같은 결합 정체성을 얻었는데$,$ 어떤 프라임 $p{\displaystyle }$(\$displaystyle p})$에 대해서도 우리는 다음과 같이 말했다.

${\displaystyle(-1)^{\p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle{\begin}0\mod p&{\text}}}}}{p\bmod{4}}}}}}}}}p\equiv 3{\bmod}.\end{case}}}$

W. 장과 Z.${\displaystyle \mathrm{슈}}$는^[8] 어떤 프라임 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ 1${\displaystyle }$(${\displaystyle 모드\mathrm{}}$ 4${\displaystyle }$) ${\$ 및$$ 정수 $\alpha {\displaystyle }$ α ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \geq 1$에 대해 우리가 가지고 있다는 것을 증명했다.

${\displaystyle E_{\pi (p^{\alpha }/2}\not \equiv 0{\pmod{p^{\alpha }}}}}}}}}}}}\not \equiv 0{\pmod {pm$

어디ϕ(n){\displaystyle \phi(n)}은 오일러 피 함수.

점근 근사치

로 그들은 다음을 낮춰 바인딩 된 오일러 숫자는 아주 빨리 큰 지수에 자란다.

${\displaystyle E_{2n}>8{\sqrt{\frac{n}{\pi}}}\left({\frac{4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}$

오일러 지그재그 숫자

초 ⁡의 테일러 시리즈 x+태닝 ⁡ x)황갈색⁡(π 4+x2){\secx+\tanx=\tan \left({\frac{\pi}{4}}와{\frac{x}{2}}\right)\displaystyle} 있다.

${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{A_{n}}{n!}}x^{n},}$

시작과 함께 어디 한은 오일러 지그 재그 숫자,.

1,1,1,2,5,16,61,272,1385년, 7936,50521,353792,2702765,22368256,199360981,1903757312,19391512145,209865342976,2404879675441,29088885112832,...(시퀀스 A000111은 OEIS에).

모든 것은 n은

${\displaystyle A_{n}())^{\frac{n}{2}}E_{n},}$

어디 앙은 오일러 수;그리고 모든 이상한 n,.

${\displaystyle A_{n}())^{\frac{n-1}{2}}{\frac{2^{n+1}(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},}$

어디 Bn은 베르누이 수.

모든 n은

${\displaystyle{\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin{\left({\frac{n\pi}{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac{A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin{\left({\frac{m\pi}{2}}\right)}={\frac{1}{(n-1)!}}.}$^{[표창 필요한]}

참고 항목

• 벨 수
• 베르누이 수
• 오일러-마스케로니 상수

참조

외부 링크

• "Euler numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Euler number". MathWorld.