교번다항식

대수학에서 교번 다항식은 $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ f $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ , $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ … , $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ ) $f(x_{1},\dots ,x_{n}}$ 을 $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ (를) 의미하므로, 두 변수 중 하나를 전환하면 다항식이 다음과 같이 부호를 변경한다.

f(x_{1},\displaysty,x_{j},\displaysty,x_{n},\x_{n},\f(x_{1},\fair,x_{n})=-f(x_{n},\displaysty,x_{n}).

마찬가지로 변수를 허용하면 다항식은 순열의 부호에 따라 값이 변경된다.

f\ft(x_{\probma(1)},\matrix ,x_{\probma(n)}\right)=\mathrm {sgn}(\probma )f(x_{1},\mates,x_{n}).

More generally, a polynomial $f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})$ is said to be alternating in $x_{1},\dots ,x_{n}$ if it changes sign if one switches any two of the $x_{i}$ , leaving the $y_{j}$ $y_{j$ 고정 $y_{j}$ .^[1]

대칭 다항식과의 관계

대칭 및 교번 다항식 제품(동일한 변수 $x_{1},\dots ,x_{n}$ 1 $x_{1},\dots ,x_{n}$ , $x_{1},\dots ,x_{n}$ … $x_{1},\dots ,x_{n}$ , $x_{1},\dots ,x_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ ${\$ 은 다음과 같이 동작한다.

두 개의 대칭 다항식의 곱은 대칭이다.
대칭 다항식과 교번 다항식의 곱은 교번이며,
두 개의 교차 다항식의 곱은 대칭이다.

이것은 정확히 패리티에 대한 추가 표로, "이상"에 해당하는 "대칭"과 "대체"에 해당하는 "대칭"이 있다.따라서 대칭과 교번 다항식의 공간의 직접적인 합은 초거대( $\mathbf {Z} _{2}$ 2 ${\$ -graded $\mathbf {Z} _{2}$ 대수)를 형성하는데, 여기서 대칭 다항식은 짝수 부분이고, 교번 다항식은 홀수 부분이다.이 등급은 정도별 다항식 등급 설정과 무관하다.

특히 교번 다항식은 대칭 다항식의 대수(초대칭 다항식의 홀수 부분은 짝수 부분의 모듈이다) 위에 모듈을 형성한다. 사실 그것은 순위 1의 자유 모듈이며, n개의 변수에 Vandermonde 다항식을 생성기로 한다.

계수 링의 특성이 2인 경우, 교번 다항식이 정확히 대칭 다항식이라는 두 개념 사이에는 차이가 없다.

반데르몽드 다항식

기본 교번 다항식은 Vandermonde 다항식:

v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})).

두 변수를 바꾸면 한 용어의 부호가 바뀌고 다른 용어의 부호가 바뀌지 않기 때문에 이는 분명히 교대로 나타난다.^[2]

교번 다항식은 정확히 Vandermonde 다항식 시간이다. 대칭 다항식: $a=v_{n}\cdot s$ = $a=v_{n}\cdot s$ $a=v_{n}\cdot s$ $a=v_{n}\cdot s$ s $a=v_{n}\cdot s$ {\ $displaystyle$ a $=v_{n}\cdot$ s $}$ $s$ 서 $a=v_{n}\cdot s$ s ${\displaysty s}$ 은 대칭이다 $s$ .그 이유는 다음과 같다.

$v_{n}$ $v_{n}$ ${\$ 은 $v_{n}$ (는) 모든 교번 다항식의 인자임 $x_{i}=x_{j}$ ( x $(x_{j}-x_{i})$ - $(x_{j}-x_{i})$ ) $(x_{j}-x_{i})$ ${\$ 은 $(x_{j}-x_{i})$ (스위칭이 다항식을 변경하지 않으므로) 0인 것처럼 모든 교번 다항식의 인자임.

f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),

따라서

(x_{j}-x_{i})

( x

(x_{j}-x_{i})

-

(x_{j}-x_{i})

i

(x_{j}-x_{i})

)

{\displaystyle (x_{j}-x_{n}})

이 하나의

(x_{j}-x_{i})

요인이고,

v_{n}

v_{n}

{\

displaystyle v_{n}}

이

v_{n}

하나의 요인이다.

교번 다항식 시간 대칭 다항식은 교번 다항식이므로 $v_{n}$ ${\$ 의 모든 배수는 교번 다항식이다 $v_{n}$ .

반대로 Vandermonde 다항식에 대한 교대 다항식의 비율은 다항식이지만, 두 교대 다항식의 비율은 대칭함수로, 아마도 이성적(필수 다항식은 아님)일 수 있다.슈르 다항식은 반데르몬드 다항식으로 나누어진 교번 다항식으로서 이러한 방식으로 정의된다.

링 구조

그리고 교대 대칭 다항식의 그러므로 Λn에 의해 대칭 다항식의 반지를 나타내는, 그 반지를Λ n[vn]{\displaystyle \Lambda_{n}[v_{n}]}또는, 더 정확하게Λ n[vn]/⟨ vn2− Δ⟩{\displaystyle \Lambda_{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle},Δ=대 n2{\displ.a $ystyle \Delta =v_{n}^{2}}$ 은 $\Delta =v_{n}^{2}$ 대칭 다항식, 판별형이다.

즉, 대칭과 교번 다항식의 고리는 대칭 다항식의 고리를 2차적으로 확장한 것으로, 여기서 판별의 제곱근을 결합한 것이다.

또는 다음과 같다.

R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .

2가 변위할 수 없는 경우 상황은 다소 다르며 $W_{n}$ 다른 다항식 $W_{n}$ $W_{n}$ ${\$ 를 사용하여 다른 관계를 얻어야 한다. Romagny를 참조하십시오.

표현 이론

표현 이론의 관점에서 대칭과 교번 다항식은 n 변수의 다항 링에 있는 n글자에 대한 대칭 그룹의 작용의 하위 표현이다.(공식적으로 대칭 그룹은 n글자에 작용하여 파생된 객체, 특히 다항 링과 같은 n글자에 자유 객체에 작용한다.오미알)

대칭 그룹은 두 개의 1차원 표현을 가지고 있다: 사소한 표현과 부호 표현이다.대칭 다항식은 사소한 표현이고, 교번 다항식은 부호 표현이다.형식적으로 대칭(resp, 교대) 다항식의 스칼라 스팬은 대칭 집단의 사소한(resp, 기호) 표현이며, 다항식 시제를 곱한 표현이다.

특성 2에서 이것들은 뚜렷한 표현이 아니며, 분석이 더 복잡하다.

$n>2$ > $n>2$ ${\displaystyle n>2$ 일 경우, 대칭집단의 대표이론에서 논의한 바와 같이 다항식 링에 대칭집단의 작용에 대한 다른 하위표현도 있다.

불안정한

교번다항식은 불안정한 현상이다(안정적인 호모토피 이론의 언어에서). n 변수의 대칭다항식의 $x_{n}$ 은 x $x_{n}$ ${\$ {n}~0 $x_{n}$ : 대칭다항식은 x {\displaystyle x_ ${n}$ 을 초과하는 모든 변수를 평가하여 임의의 여러 변수의 대칭다항 링에서 얻을 수 있다. 따라서 대칭다항식은 o양립할 수 있도록 정의된다.그러나 교번 다항식, 특히 반데르몽드 다항식에서는 그렇지 않다.

참고 항목

메모들

^ 다항식 정체성과 점근법 페이지 12
^ Rather, it only rearranges the other terms: for $n=3$ , switching $x_{1}$ and $x_{2}$ changes $(x_{2}-x_{1})$ to $(x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})$ , and $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{2})$ $(x_{3}-x_{1})$ - $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{1})$ ) $(x_{3}-x_{1}$ 과 $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{2})$ 와) 교환하지만 $(x_{3}-x_{2})$ - $(x_{3}-x_{2})$ 2 ) $(x_{3}-x_{2})$ {\ $displaystyle (x_{3}-x_{$ 2 $(x_{3}-x_{2})$ 기호는 변경하지 않는다.

참조

A. Giambruno, Michael Zaicev, 다항식 정체성과 점증적 방법, AMS 서점, 2005 ISBN978-0-8218-3829-7, 페이지 352
2005년 9월 15일 Matthieu Romagny에 의한 교대 기능의 기본 정리

[1] 다항식 정체성과 점근법 페이지 12

[2] Rather, it only rearranges the other terms: for $n=3$ , switching $x_{1}$ and $x_{2}$ changes $(x_{2}-x_{1})$ to $(x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})$ , and $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{2})$ $(x_{3}-x_{1})$ - $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{1})$ ) $(x_{3}-x_{1}$ 과 $(x_{3}-x_{1})$ $(x_{3}-x_{2})$ 와) 교환하지만 $(x_{3}-x_{2})$ - $(x_{3}-x_{2})$ 2 ) $(x_{3}-x_{2})$ {\ $displaystyle (x_{3}-x_{$ 2 $(x_{3}-x_{2})$ 기호는 변경하지 않는다.

[1]

[2]

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