로렌츠 변환의 역사

The history of Lorentz transformations comprises the development of linear transformations forming the Lorentz group or Poincaré group preserving the Lorentz interval ${\displaystyle -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ and the Minkowski inner product ${\displaystyle -x_{0$$}}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n$

수학에서는 후에 다양한 차원의 로렌츠 변환으로 알려졌던 것과 동등한 변환이 19세기에 이차적 형태, 쌍곡 기하학, 뫼비우스 기하학, 구 기하학 이론과 관련하여 논의되었는데, 이는 쌍곡 공간에서의 운동 그룹인 뫼비우스 그룹과 연결되어 있다. 또는 투영 특수 선형 그룹, 그리고 Laguerre 그룹은 로렌츠 그룹에 이형성이다.

물리학에서 로렌츠 변환은 20세기 초 막스웰 방정식의 대칭을 보여주는 것이 발견되면서 알려지게 되었다. 그 후, 그것들은 모든 물리학의 기본이 되었는데, 민코프스키 스페이스타임의 대칭을 나타내는 특수 상대성의 기초를 형성했기 때문에 빛의 속도는 다른 관성 프레임들 사이에서 불변하게 만들기 때문이다. 그것들은 기준의 두 임의 관성 프레임의 스페이스타임 좌표를 일정한 상대 속도 v와 연관시킨다. 한 프레임에서 이벤트의 위치는 x,y,z 및 time t에 의해 주어지는 반면, 다른 프레임에서 동일한 이벤트는 x,y,z,z,t에 좌표를 가진다.

대부분의 일반 로렌츠 변환

대칭 행렬 A의 계수를 가진 일반 2차 형식 q(x)와 관련 이선형 형식 b(x,y) 및 변환 행렬 g를 사용한 q(x,y)와 b(x,y)의 선형 변환은 다음과^[1] 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}{\regated}{\regated}q=\sum _{0}^{n}}A_{ij}x_{i}x_{j}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} \end{aligned}}&=q'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} '\cdot \mathbf {x} '\\b=\sum _{0}^{n}A_{ij}x_{i}y_{j}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {y} &=b'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} '\cdot \mathbf {y} '\end{aligned}}\quad \left(A_{ij}=A_{{ji}\오른쪽)\\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}x_{i}^{\prime }&=\sum _{j=0}^{n}g_{ij}x_{j}=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\x_{i}&=\sum _{j=0}^{n}g_{ij}^{(-1)}x_{j}^{\prime }=\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{aligned}}\right \mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} =\mathbf {A} '\end{matrix}}}$

(Q1)

여기서 n=1은 이항 2차 형태, n=2는 2차 2차 형태, n=3은 2차 2차 형태다.

Wikiversity의 학습 자료: 이항 2차 형태는 라그랑주(1773년)와 가우스(1798년/1801년)가, 3차 2차 형태는 가우스(1798년/1801년)가 도입했다.

일반적인 로렌츠 변환은 (Q1)에서 A=A′=diag(-1,1, ...,1)와 det g=±1을 설정하여 따른다. Lorenz 그룹 O(1,n)라고 하는 무한직교 그룹을 형성하는 반면, 사례 det g=+1은 제한된 로렌츠 그룹 SO(1,n)를 형성한다. 2차 형태 q(x)는 무한 2차 형태 민코프스키 공간(사이비 유클리드 공간의 특별한 경우)의 관점에서 로렌츠 간격이 되고, 관련 이선 형태 b(x)는 민코프스키 내제품이 된다.^[2][3]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline \left.{\begin{행렬}\mathbf{)}'=\mathbf{g}\cdot \mathbf{)}\\\downarrow \\{\begin{정렬}x_{0}^{\prime}&amp을 말한다.=x_{0}g_{00}+x_{1}g_{01}+\dots +x_{n}g_{중·소도시 택지 공급 사업}\\x_{1}^{\prime}&.=x_{0}g_{10}+x_{1}g_{11}+\dots +x_{n}g_{1n}\\&, \dots \\x_{n}^{\prime}&.=x_{0}g_{n0}+x_{1}g_{n1}+\dots +x_{n}g_{nn}\end{정렬}}{)}'\\\ \mathbf{)}=\mathbf{g}^{)}\cdot \\\\\mathbf.downarrow \\{\begin{aligned}x_{0}&=x_{0}^{\prime }g_{00}-x_{1}^{\prime }g_{10}-\dots -x_{n}^{\prime }g_{n0}\\x_{1}&=-x_{0}^{\prime }g_{01}+x_{1}^{}^{\premy }g_{11}++++++++x_{n}^{\premy }g_{n1}\\\premy }g_{n1}\premy \\\\x_=-x}^{0}g_{0n}+x_{1}}}\right{\begin{행렬}{\begin{정렬}\mathbf{A}\cdot \mathbf{g}^{\mathrm{T}};=\mathbf{g}^{)}\\\mathbf{g}^{\rm{T}}\cdot\mathbf{A}\cdot \mathbf{g}&=\mathbf{A}\\\mathbf{g}\cdot \mathbf{A}\cdot \mathbf{g}^{\mathrm{T}}&=\mat +x_{n}^{\prime}g_{nn}\end{정렬}}\end{매트릭스}\cdot\mathbf{A}및 ^{\prime}g_{1n}+\dots.hbf{A}\\\\\end{aligned}}\\{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}g_{ij}g_{ik}-g_{0j}g_{0k}&=\left\{{\begin{aligned}-1\quad &(j=k=0)\\1\quad &(j=k>0)\\0\quad &(j\neq k)\end{aligned}}\right.\\sum _{j=1}^{nj}g_{kj}g_{kj}-g_{i0}g_{i0}=\{\nited}-1\pair &(i=k=0)\1\pair &(i=k)\0\nd(i\neq k)\jpriged\riged\ried\ried\riged\ried\riged\rigeddriged\ried\ried\ried\riged\riged\riged\riged\ri\end{aigned}\end{data}\end{data}}$

(1a)

Wikiversity의 학습 자료: 다양한 차원에 대한 이러한 일반적인 로렌츠 변환(1a)은 타원함수와 통합의 연산을 단순화하기 위해 가우스(1818), 자코비(1827, 1833), 레베게(1837), 부르(1856), 소모프(1863), 힐(1882)에 의해 사용되었다.^[4][5] They were also used by Poincaré (1881), Cox (1881/82), Picard (1882, 1884), Killing (1885, 1893), Gérard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1901, 1903), Liebmann (1904/05) to describe hyperbolic motions (i.e. rigid motions in the hyperbolic plane or hyperbolic space), which were expressed in terms of Weierstrass coordinates of the hyperboloid model 02+⋯+x 관계 − Satisfying)n2)− 1{\displaystyle -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-1}또는 사영 기하학의 Cayley–Klein 측정 −은"절대"양식을 사용하여)02+⋯+)n2=0{\displaystyle -x_{0}^{2}+\cdots 게다가}.[6][7], 무한소의 변환 rel +x_{n}^{2}=0.세포 매개 to 죽이기(1888-1897)에$$ 의한 쌍곡 운동 그룹의 Lie 대수는 Weierstrass 좌표${\displaystyle }$- x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -x_{0}^{2}+\$cdots +{$n}^{n}^{2}=-1}$의 관점에서 $주어졌다$.

만약 (1a)의 x$$ i${\displaystyle {}_{}}$, x ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$이(가) 동종 좌표로 해석되면 해당$$ 비균형 좌표 ${\displaystyle u_{}}$,$u$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle \left[{\frac {x_{0}}{x_{0}}},\ {\frac {x_{s}}{x_{0}}}\right]=\left[1,\ u_{s}\right],\ \left[{\frac {x_{0}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }}},\ {\frac {x_{s}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }}}\right]=\left[1,\ u_{s}^{\prime }\right],\ (s=1,2\dots n)}$

따라서 로렌츠 변환이 단위 구형의 방정식을 불변시키는 동음이의어가 되도록 하는데, 존 라이트온 싱게는 특수 상대성(변환 매트릭스 g는 (1)a와 동일하게 유지됨) 측면에서 "속도 구성을 위한 가장 일반적인 공식"이라고 불렀다.^[8]

${\displaystyle {\premit}{\premit}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-x_{0}^{premate 2}+{x_{n}^{\premium 2}&\priged}-1+u_{1}{1}}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}&={\scriptstyle {\frac {-1+u_{1}}^{}^{\premy 2}+\cdots +{n}^{\premy {{}}}{{00}}+g_{01}u_{1}^{0n}^{0n}u_{n}^{{n}^}}}}}^{2}}\\\\criptylefrcriptylean{-1+u_{-{{-{-{-}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{nt}}}}}}^{2}+\cdots +{n}^{2}}:{\좌측(g_{00}-g_{10}u_{1}-{1}-{1}-{1}-{1}-\n0}u_{n}\오른쪽)^{2}}:=-1+u_{1}{1}}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}\end{aligned}}\\\hline -x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}=0&\rightarrow &-1+u_{1}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}=-1+u_{1}^{\prime 2}+\cdots +u_{n}^{\prime 2}=0\end{matrix}}\\\hline {\begin{aligned}u_{s}^{\prime }&={\frac {g_{s0}+g_{s1}u_{1}+\dots +g_{sn}u_{n}}{g_{00}+g_{01}u_{1}+\dots +g_{0n}u_{n}}}\\\\u_{s}&={\frac {-g_{0s}+g_{1s}u_{1}^{\prime }+\dots +g_{ns}u_{n}^{\prime }}{g_{00}-g_{10}u_{1}^{\prime }-\dots -g_{n0}u_{n}^{\prime }}}\end{aligned}}\left {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{nj}g_{ij}g_{ik}-g_{0j}g_{0j}g_\{0k}=\{\nited}-1\pair &(j=k=0)\1\pa &(j=k=0)\0\pa &(j\neged\d)\riged\riged\neged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\\sum _{j=1}^{nj}g_{kj}g_{kj}-g_{i0}g_{i0}=\{\nited}-1\pair &(i=k=0)\1\pair &(i=k)\0\nd(i\neq k)\jpriged\riged\ried\ried\riged\ried\riged\rigeddriged\ried\ried\ried\riged\riged\riged\riged\ri\end{aigned}\오른쪽.\end{{11}}}$

(1b)

Wikiversity의 학습 자료: Such Lorentz transformations for various dimensions were used by Gauss (1818), Jacobi (1827–1833), Lebesgue (1837), Bour (1856), Somov (1863), Hill (1882), Callandreau (1885) in order to simplify computations of elliptic functions and integrals, by Picard (1882-1884) in relation to Hermitian quadratic forms, or by Woods (1901, 1903) in terms of the Beltrami-Klein 모델의 쌍곡 기하학. 또한 단위 구체${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ +${\displaystyle }$u 1 motions 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + ${\displaystyle u_{}^{}}$ +${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}^{}}$ n${\displaystyle {}_{}^{}0{\mathrm{}2}_{}^{}}$ =$$0 {\$displaystyle -1$+${1$}를 남기는 쌍곡 운동 그룹의 Lie 대수적 관점에서 극미량의 변환.$}^{\premy 2}+\cdots +u_{n}^{\premy 2}=0}$는 Lie(1885-1893)와 Werner(1889)와 Killing(1888-1897)이 주었다$$.

가상 직교 변환을 통한 로렌츠 변환

By using the imaginary quantities ${\displaystyle [{\mathfrak {x}}_{0},\ {\mathfrak {x}}'_{0}]=\left[ix_{0},\ ix_{0}^{\prime }\right]}$ in x as well as ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{0s},\ {$$\mathfrak {g}}_{s0}]=\left[ig_{0s},\ ig_{s0}\right]}$ (s=1,2...n) in g, the Lorentz transformation (1a) assumes the form of an orthogonal transformation of Euclidean space forming the orthogonal group O(n) if det g=±1 or the special orthogonal group SO(n) if det g=+1, the Lorentz interval becomes the Euclidean norm, and the Minkowski inner product 도트 제품이 됨:^[9]

${\displaystyle {\filename{properated}{\mathfrak {x}_{0}^{2}+x_{1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&={\mathfrak{x}}{0}^{\premium2}+x_{1}}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\{\mathfrak {x}}_{0}{\mathfrak {y}}_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}&={\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }{\mathfrak {y}}_{0}^{\prime }+x_{1}{\begin{행렬}\mathbf{)}'=\mathbf{g}\cdot \mathbf{)}\\\mathbf{)}=\mathbf{\mathbf{g}^{)}}\cdot\mathbf{)}'\end{매트릭스}}\left{\begin{정렬}\sum _{i=0}^{n}g_{ij}g_{ik}&, =\left\{{\begin{정렬}1\quad&(j=k)\\0\quad&(kj\neq)\end{align+x_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime}\end{정렬}}\\\hline ^{\prime}y_{1}^{\prime}+\cdots.교육}}\right.\\sum _{j=0}^{nj}g_{ij}g_{kj}&=\left\{\nified}1\pair &(i=k)\0\pair &(i\neq k)\end{ned}\riged}\riged}\right.\end{aigned}\오른쪽.\end{{11}}}$

(2a)

Wikiversity의 학습 자료: 실제 좌표 측면에서 직교 변환의 사례 n=1,2,3,4는 오일러(1771)가, n차원은 코우치(1829)가 각각 논의하였다. 이러한 좌표 중 하나가 가상이고 다른 좌표들이 실제로 남아 있는 경우는 상상 반경을 가진 구체의 관점에서 Lie(1871)에 의해 암시된 반면, 상상 좌표의 해석은 시간의 차원뿐만 아니라 n=3을 가진 로렌츠 변환의 명시적 공식화와 관련이 있다고 민코프스키에 의해 제시되었다.(1907)과 소머펠트 (1909).

이 직교 변환의 잘 알려진 예는 삼각함수의 측면에서 공간 회전이 있는데, 삼각함수는 상상의 각도 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \phi =i\eta }$를 사용하여 로렌츠 변환이 되어 삼각함수의 함수가 쌍곡 함수와 동등하게 된다.

${\displaystyle {\cs{array}{c cc}{\mathfrac {x}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={\mathfrak{x}_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}&\좌(ix_{0}\우){}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\왼쪽(ix_{0}^{\premy }\오른쪽)^{2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}&&-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline (1){\begin{aligned}{\mathfrak {x}}_{0}^{\prime }&={\mathfrak {x}}_{0}\cos \phi -x_{1}\sin \phi \\x_{1}^{\prime }&={\mathfrak {x}}_{0}\sin \phi +x_{1}\cos \phi \x_{2}^{\premate }{x_{2}\\\\\\\\\\mathfrak {x}_{0}&={\mathfrak {x}}}^{0}^{0}}}}\cos \phi +x_{1}^{\primate }\sin \phi \x_{1}&=-{\mathfrak{x}^{0}^{\primate \phi +x_{1}}^{\prime }\cos \phi \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&(2){\begin{aligned}ix_{0}^{\prime }&=ix_{0}\cos i\eta -x_{1}\sin i\eta \\x_{1}^{\prime }&=ix_{0}\sin i\eta +x_{1}}\cos i\eta \\x_{2}^{\premy }&=x_{2}\\\\\ix_{0}^{\premy }{0}^{premy }\cos i\eta +x_{1}}^{\prime }\sin i\eta \\x_{1}&=-ix_{0}^{\prime }\sin i\eta +x_{1}}^{\prime }\cos i\eta \\x_{2}&=x_{2}^{\prime }\end{aligned}}&\rightarrow &{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\x_{2}^{\premy }&=x_{2}\\\\\x_{0}^{\premy \eta+x_{1}^{\cosh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\premium }\cosh \eta \\x_{2}&=x_{2}^{\premium }{\premium}}}}}$

(2b)

또는 오일러의 공식 e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle \varphi {}^{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle i}$ + i ${\displaystyle \sin }$ ϕ ${$ {\$displaystyle$e^{$i\pi$}=\$cos$\phi $+i\sin \pi }$:

${\displaystyle {\cs{array}{c cc}{\mathfrac {x}_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={\mathfrak{x}_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}&\좌(ix_{0}\우){}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\왼쪽(ix_{0}^{\premy }\오른쪽)^{2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}&&-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}\\\hline (1){\premit}x_{1}^{\premy{x}}{0}^{\mathfrak{x}_{0}^{0}^{\premy }&=e^{-i_{1}+i}\mathfrak{x_{0}\오른쪽)\x_{1}^{\x}-i{\mathfrak{x}}-i{0}^{\prime }&=e^{i\phi }\좌(x_{1}-i{x}-{x}}}-i)\x_{2}^{\x_{2}^{\premiumfrak {x}\\\\x_{1}i{0}}{x}}+i{0}={0}={0}^{{1}}\prematfrak{x_{0}^{0}\primatfline }\right)\x_{1}-i{\mathfrak{x}}_{0}_{0}&=e^{-i\phi }\왼쪽(x_{1}^{\primate }-i{x}_{0}^{0}^{\mathfrak {x}}}{\premymprime}\rimeight)\\x_{2}&=x_{2}^{\premy}}\end{aigned}x_{1}{1}{\premy{1}^{\premy }+i\left(ix_{0}^{0}{premy }\right)&=e^{-i(i\eta )}\왼쪽(x_{1}+i\왼쪽(ix_{0}\오른쪽)\오른쪽)\x_{1}^{\premy }-i-\왼쪽(ix_{0}^{\premy }\오른쪽)&=e^{i(i\eta )}\좌(x_{1}-i-좌(ix_{0}\우)\우)\x_{2}^{\premy }&=x_{2}\\\\x_{1}+i\좌측(ix_{0}\우측)&=e^{i(i\eta )}\좌(x_{1}^{\premy }+i\좌(ix_{0}^{0}^{\premy }\우)\우)\\x_{1}-i\왼쪽(ix_{0}\오른쪽)&=e^{-i(i\eta )}\좌(x_{1}^{\premy }-i\좌(ix_{0}^{0}^{\premy }\우)\우)\x_{2}&=x_{2}^{\premium }\ended{aigned}}\reightarrow &#{1}^{\premy }-x_{0}^{premy }\e^{\eta }\{{1}-x_{0}\right)\\x_{1}^{\premy }+x_{0}^{\premy }&=e^{-\eta }\왼쪽(x_{1}+x_{0)}\오른쪽)\x_{2}^{\x_{2}^{\premy }}\\x_{1}-x_{0}\\\x_{1}=e^{-\eta }}\좌측(x_{1}^{premy }-x_{0}^{0}}}\오른쪽)\x_{1}+x_{0}&=e^{\eta }\왼쪽(x_{1}^{\premy }+x_{0)}^{\premy }\오른쪽)\x_{2}&=x_{2}^{\premy }\ended{array}}}}}$

(2c)

Wikiversity의 학습 자료: [ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle \text{0}{\mathfrak{}}_{}^{}}$, x ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}^{}[,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ] ${\displaystyle [{\mathfrak {x}_{0},\\mathfrak {x}_{0},\phi ]}$을 형식(2b-1)에서 실제$$ 공간 회전을 정의한 것은 오일러(1771)에 의해, 형식(2c-1)에 도입되었다. The interpretation of (2b) as Lorentz boost (i.e. Lorentz transformation without spatial rotation) in which ${\displaystyle [{\mathfrak {x}}_{0},\ {\mathfrak {x}}'_{0},\ \phi ]}$ correspond to the imaginary quantities ${\displaystyle [ix_{0},\ ix'_{0},\ i\eta$$]}}$은 민코프스키(1907)와 소머펠트(1909)가 주었다. 쌍곡선 함수를 사용하는 다음 절에서 보듯이 (2)b는 (3b)가 되고, (2c)는 (3d)가 된다.

쌍곡선 함수를 통한 로렌츠 변환

공간 회전이 없는 로렌츠 변환의 경우를 로렌츠 부스트라고 한다. 예를 들어, (1a)에서 n=1을 설정하여 가장 간단한 사례를 제시할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}g_{00}+x_{1}g_{01}\\x_{1}^{\prime }&=x_{0}g_{10}+x_{1}g_{11}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }g_{00}-x_{1}^{\prime }g_{10}\\x_{1}&=-x_{0}^{\prime }g_{01}+x_{1}^{\prime }g_{11}\end{aligned}}\left {\begin{aligned}g_{01}^{2}-g_{00}^{2}&=-1\\g_{11}^{2}-g_{10}^{2}&=1\\g_{01}g_{11}-g_{00}g_{10}&=0\\g_{10}^{2}-g_{00}^{2}&=-1\\g_{11}^{2}-g_{01}^{2}&=1\\g_{10}g_{11}-g_{00}g_{01}&=0\end{aligned}}\rightarrow {\begin{aligned}g_{00}^{2}&=g_{11}^{2}\\g_{01}^{2}&=g_{10}^{2}\end{aligned}}\right.\end{{11}}}$ 또는 행렬 표기법 ${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\begin{bmatrix}g_{00}&g_{01}\\g_{10}&g_{11}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} &={\begin{bmatrix}g_{00}&-g_{10}\\-g_{01}&g_{11}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} '\end{aligned}}\right \det {\begin{bmatrix}g_{00}&g_{01}\\g_{10}&g_{11}\end{bmatrix}}=1\end{matrix}}}$

(3a)

쌍곡각 $angle{\displaystyle }$${\$$displaystyle \eta }$의 관점에서 쌍곡함수의 관계를 정확히 닮음$.$ 따라서$$ n=2에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ 변경되지 $않은{\displaystyle }$ x 2 {\$displaystyle x_{2$}}$$- 축을 추가함으로써(${\displaystyle \mathrm{상상상각}}$ i ϕ${\displaystyle }$= $ϕ$ = ${\displaysty$i\$ea$=\$phi }).$2b) 또는 하이퍼볼로이드 모델 측면에서 쌍곡면에서의 번역은 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}\\\hline g_{00}=g_{11}=\cosh \eta,\{01}=g_{10}=-\sinh \eta \\hline \왼쪽.{\premit{aigned}x_{0}^{\premy }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\\x_{1}^{premy }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}}\cosh \eta \\x_{2}^{\premy }&=x_{2}\\\\\x_{0}^{\premy \eta+x_{1}^{\cosh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\prime}\cosh \eta \\x_{2}&, =x_{2}^{\prime}\end{정렬}}\right{\scriptstyle{\begin{정렬}\sinh ^{2}\eta-\cosh ^{2}\eta&=-1&,(를)\\\cosh ^{2}\eta-\sinh ^{2}\eta&=1&,(b)\\{\frac{\sinh \eta}{\cosh \eta}}&=\tanh \eta&(c)\\{\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}&=\cosh \eta&(d)\\{\frac{\tanh \eta}{\sqrt.{1-\tanh ^{2}\eta}}}&=\sinh \eta&.(e)\\\\frac {\tanh q\pm \tanh \eta \eta }{1\pm \tanh \eta \}}}}=\tanh \left(q\pm \eta \right)&(f)\ended}\end{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 또는 행렬 표기법 ${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}\mathbf{)}'&, ={\begin{bmatrix}\cosh \eta&-\sinh \eta\\-\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot\mathbf{)}\\\mathbf{)}&={\begin{bmatrix}\cosh \eta&\sinh \eta\\\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot\mathbf{)}'\end{정렬}}\right\det{\begin{bmatrix}\cosh \eta&-\sinh \eta\\-\sinh \eta. &\cosh \eta \end{bmatrix}}=1\end{{11}}}$

(3b)

여기서 급도는 쌍곡선 및 코사인 각섬 법칙에 따라 임의의$$ 많은 급도 ities ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\eta \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$… ${\displaystyle \eta_{1},\eta_{2}\i1}$로 구성될 수 있으므로, 하나의 쌍곡선 회전이 많은 다른 쌍곡선 회전의 합계를 나타낼 수 있으며, 이는 원형 트라이의 각도 합법 사이의 관계와 유사하다.지오메트리 및 공간 회전 또는 쌍곡선 각도 합법 자체는 하이퍼볼라 단위의 파라미터화를 사용하여 입증된 바와 같이 로렌츠 부스트로 해석할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}=1\\\hline \left[\eta =\eta _{2}-\eta _{1}\right]\\\{\party}x_{0}^{\premy }&=\sinh \eta _{1}&=\sinh \left(\eta _{2}-\eta \right)&&=\sinh \eta _{2}\cosh \eta -\cosh \eta _{2}\sinh \eta &&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=\cosh \eta _{1}&&=\cosh \left(\eta _{2}-\eta \right)&&=-\sinh \eta _{2}\sinh \eta +\cosh \eta _{2}\cosh \eta &&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\\x_{0}&=\sinh \eta _{2}&=\sinh \left(\eta _{1}+\eta \right)&&=\sinh \eta _{1}\cosh \eta +\cosh \eta _{1}\sinh \eta &&=x_{0}^{\primate }\cosh \eta +x_{1}^{\prime }\sinh \eta \\eta \\x_{1}=\cosh \eta _{2}&=\cosh \left(\eta _{1}+\eta \right)&&=\sinh \eta _{1}\sinh \eta +\cosh \eta _{1}\cosh \eta &&=x_{0}^{\prime }\sinh \eta +x_{1}}^{\premium }\cosh \eta \ended{aigned}\end}}}$ 또는 행렬 표기법 ${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\prime 2}=1\\\hline {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}x_{0}^{\prime }\\x_{1}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sinh \eta _{1}\\\cosh \eta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sinh \left(\eta _{2}-\eta \right)\\\cosh \left(\eta_{2}-\eta\right)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta&-\sinh \eta\\-\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}\sinh\eta _{2}\\\cosh \eta _{2}\end{bmatrix}}&&, ={\begin{bmatrix}\cosh \eta&-\sinh \eta\\-\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatri.x}}\\&,{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}={\nd{bmatrix}\sinh \eta _{2}\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}={\nd{bmatrix}\sinhleft(\eta _{1}+\eta \rig)\right)\\\\\\nota)\\\\\\chdata.\\cosh \left(\eta_{1}+\eta\right)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \eta&\sinh \eta\\\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}\sinh\eta _{1}\\\cosh \eta _{1}\end{bmatrix}}&&, ={\begin{bmatrix}\cosh \eta&\sinh \eta\\\sinh \eta&\cosh \eta \end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}x_{0}^{\prime}\\x_{1}^{\pr.ime}\end{bmatrix}}\end{정렬}}\끝{{matrix}}}$

(3c)

마지막으로 로렌츠 부스트(3b)는 (2c)의 오일러 공식에 비유하여 압착 매핑을 사용하여 간단한 형태를 가정한다.^[10]

${\displaystyle (1){\displaystyle}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{}^{\premium 2}\\hline {\premise}x_{1}^{\premy }-x_{0}^{\premy }&=e^{\eta }\왼쪽(x_{1}-x_{0}\right)\\x_{1}^{\premy }+x_{0}^{\premy }&=e^{-\eta }\왼쪽(x_{1}+x_{0)}\오른쪽)\x_{2}^{\x_{2}^{\premy }}\\x_{1}-x_{0}\\\x_{1}=e^{-\eta }}\좌측(x_{1}^{premy }-x_{0}^{0}}}\오른쪽)\x_{1}+x_{0}&=e^{\eta }\왼쪽(x_{1}^{\premy }+x_{0)}^{\premy }\오른쪽)\x_{2}&=x_{2}^{\premium }\ended{matrix}\end}\end}}\왼쪽 {\scriptstyle {\begin}X_{1}=x_{1}+x_{0}}\\X_{2}&=x_{2}\\X_{3}&=x_{1}-x_{0}\\\\a_{1}&=e^{-\eta }\\a_{2}&=1\\a_{3}&=e^{\eta }=a_{1}^{-1}\end{aligned}}}(2){\begin{matrix}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}\\\hline {\begin{aligned}X_{1}^{\prime }&=a_{1}X_{1}\\X_{2}^{\prime }&=a_{2}X_{2}\\X_{3}^{\prime }&=a_{3}X_{3}\\\\X_{1}&=a_{3}X_{1}^{\prime }\\X_{2}&=a_{2}X_{2}^{}^{\premy }}\\X_{3}&=a_{1}X_{1}^{3}{3}}}\\\좌측(a_{1}a_{3}-a_{2}-{2}^=0\right)\end{matrix}}\right}\right}\right}}$

(3d)

Wikiversity의 학습 자료: (3b) 오른쪽의 쌍곡 관계(a,b)는 리카티(1757), 관계(a,b,c,d,e,f)는 램버트(1768–1770)가 주었다. 로렌츠 변형(3b)은 라이산트(1874), 콕스(1882), 린데만(1890/91), 제라드(1892), 킬링(1893, 1897/98), 화이트헤드(1897/98), 우즈(1903/05) 및 리브만(1904/05)이 하이퍼볼로이드 모델의 바이에스트라스 좌표에서 주어졌다. 로렌츠 부스트(3c)에 해당하는 쌍곡선 각도 합계 법칙은 리카티(1757년)와 램버트(1768년–1770년)가, 행렬 표현은 글라이셔(1878년)와 귄터(1880년/81)가 각각 부여했다. 로렌츠 변환(3d-1)은 린데만(1890/91)과 헤르글로츠(1909)가, 공식은 클라인(1871년)이 (3d-2)에 준한다.

In line with equation (1b) one can use coordinates ${\displaystyle [u_{1},\ u_{2},\ 1]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{2}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{0}}{x_{0}}}\right]}$ inside the unit circle ${\displaystyle u_1^2+u_2^2}$${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2$$}^{2}=1}$따라서 해당하는 로렌츠 변환(3b)은 다음과 같은 형식을 얻는다.

${\displaystyle {\displaystyle {\property}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}&\오른쪽 화살표 &{\\premit{aigned}-1+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}&={\frac {-1+u_{1}}^{\premium 2}+u_{2}^{\premy2}}:{\좌(\cosh \eta +u_{1)}^{\prime }\sinh \eta \right)^{2}}\\\\frac {-1+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}:{{{2}}:{\cosh \eta -u_{1}\sinh \eta \right)^{2}}&=-1+u_{1}}^{\premium 2}+u_{2}^{\premium 2}\ended{aigned}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premium 2}=0&\오른쪽 화살표 &-1+u_{x}^{2}+u_{y}}^{2}=-1+u_{x}^{\premium 2}+u_{y}}^{\prime 2}=0\end{matrix}}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {\sinh \eta }{\cosh \eta }}&=\tanh \eta =v\\\cosh \eta &={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}\end{aligned}}}\left {\begin{aligned}&(a)&&(b)&&(c)\\u_{1}^{\prime }&={\frac {-\sinh \eta +u_{1}\cosh \eta}{\cosh\eta -u_{1}\sinh \eta}}&&={\frac{u_{1}-\tanh \eta}{1-u_{1}\tanh \eta}}&&={\frac{u_{1}-v}{1-u_{1}v}}\\u_{2}^{\prime}&, ={\frac{{2u_}}{\cosh\eta -u_{1}\sinh \eta}}&&={\frac{{2u_}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}{1-u_{1}\tanh \eta}}&&={\frac{{2u_}{\sqrt{1-v^{2}}}}{1-u_{1}v}}\\\\u_{1}&^{.\frac{\sinh\eta +u_{1}^{\prime }\cosh \eta }{\cosh \eta +u_{1}^{\premy }\sinh \eta \}&={\frac {u_{1}^{\premy }+\tanh \eta }{1+u_{1}}^{\premy }\tanh \eta \}&={\frac {u_{1}^{\premy }{1+v}{1+u_{1}}^{\premy }v}\\u_{2}&={\frac {u_{2}^{\premy }{\cosh \eta +u_{1}}}}}{\cosh \eta +u_{1}}}}}^{\premy }\sinh \eta \}&={\frac {u_{2}^{\premy }{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta }}}{1+u_{1}}^{\premy }\tanh \eta }}&={\frac {u_{2}^{\premy }{\sqrt{1-v^{2}}:{1+u_{1}{1}}^{\premium }v}\end{aigned}\right.\end{{11}}}$

(3e)

Wikiversity의 학습 자료: 이러한 로렌츠 변환은 쌍곡 기하학의 벨트라미 좌표와^[11] 관련하여 에스체리히(1874년)와 킬링(1898년)(1898년)이, 벨트라미(1868년)와 슈르(1885년/86년, 1900년/02년)가 주었다.

$[$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 스칼라 제품을 사용함으로써, 결과 로렌츠 변환은 코사인 쌍곡선 법칙과 동등한 것으로 볼 수 있다.^{[12][R 1][13]}

${\displaystyle {\displaysty}&#{\display}u^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}}^{2}\\u'^{2}=u_{1}^{\premy 2}+u_{2}}^{\prime 2}\end{매트릭스}}\left{\begin{행렬}u_{1}=u\cos \\u_{2}=u\sin\alpha \\\\u_{1}^{\prime}=u'\cos '\\u_{2}^{\prime}=u'\sin \alpha '\end{매트릭스}}\right{\begin{정렬}u\cos \alpha 및 \alpha, ={\frac{u'\cos \alpha '+v}{1+vu'\cos \alpha의}},&, u'\cos \alpha '&, ={\frac{u\cos \alpha -v}{1-vu\cos \alpha}}\\u\sin \alpha 및^{\f \alpha.rac{u'\sin)하 '{\sqrt{1-v^{2}}}}{1+vu'\cos \alpha의}},&,u'\sin \alpha '&, ={\frac{u\sin \alpha{\sqrt{1-v^{2}}}}{1-vu\cos \alpha}}\\\tan \alpha&={\frac{u'\sin \alpha'{\sqrt{1-v^{2}}}}{u'\cos \alpha '+v}},&,\tan \alpha '&, ={\frac{u\sin \alpha{\sqrt{1-v^{2}}}}{u\cos \alpha -v}}\end{정렬}}\\\Rightarrow&u={\frac{\sqrt{v^{2}+u^{.\prime 2}+2vu'\cos \alphA'-\left(vu'\sin \alpha '\right){}^{2}}}{1+vu'\cos \alpha의}},\quad u'={\frac{\sqrt{-v^{2}-u^{2}+2vu\cos(+\left(vu\sin \alpha \right){}^{2}}}{1-vu\cos \alpha}}\\\Rightarrow&{\frac{1}{\sqrt{1-u^{\prime 2}}}}={\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}}-{\frac{v}{\sqrt{1-v^{2}}}}{\frac{마}{\sqrt{1-u^{2}}}}\cos \alpha. &(b)\\\Rightarrow&{\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\xi}}}={\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}{\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\zeta}}}-{\frac{\tanh \eta}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}{\frac{\tanh \zeta}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\zeta}}}\cos\alpha \\\Rightarrow&\cosh \xi=\cosh\eta\cosh \zeta -\sinh \eta\sinh\zeta\cos \alpha&(를)\end{매트.rix}}}$

(3f)

Wikiversity의 학습 자료: 코사인(a)의 쌍곡법칙은 타우리누스(1826년)와 로바체프스키(1829년/30년) 등이, 변종(b)은 슈르(1900년/02년)가 부여했다.

속도를 통한 로렌츠 변환

상대성 이론에서 로렌츠 변환은 빛의 속도로 상수 c를 사용하고, 두 관성 기준 프레임 사이의 상대 속도로 파라미터 v를 사용함으로써 민코프스키 스페이스타임의 대칭을 나타낸다. In particular, the hyperbolic angle ${\displaystyle \eta }$ in (3b) can be interpreted as the velocity related rapidity ${\displaystyle \tanh \eta =\beta =v/c}$, so that ${\displaystyle \gamma =\cosh \eta }$ is the Lorentz factor, ${\displaystyle \beta \gamma =\sinh \eta }$$$ 적정 속도, $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= c ${\displaystyle \tanh q}$ ${\displaystyle u'=c\tanh q}$ 다른 물체의 속도$$, $u{\displaystyle }$= c ${\displaystyle \tanh }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$+ ${\displaystyle \eta }$) ${\displaysty u=c\tanh(q+\eta )}$ 속도 수식, 따라서(3b)는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\gamma -x_{1}\beta \gamma \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\beta \gamma +x_{1}\gamma \\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\gamma +x_{1}^{\premy }\premy \\premy \\x_{1}&=x_{0}^{\premy }\premy \premy \premyme +x_{1}}^{\prime}\gamma \\x_{2}&, =x_{2}^{\prime}\end{정렬}}\left{\scriptstyle{\begin{정렬}\beta ^{2}\gamma ^{2}-\gamma ^{2}&, =-1&,(를)\\\gamma ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}&, =1&,(b)\\{\frac{\beta \gamma}{\gamma}}&=\beta&(c)\\{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}&=\gamma&(d)\\{\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}&.=\beta \gamma&(e)\\{\frac{u'+v}{1+{\frac{uv}{c^{2}}:}&=u&(f)\end{aigned}}\right.\end{{11}}}$

(4a)

Or in four dimensions and by setting ${\displaystyle x_{0}=ct,\ x_{1}=x,\ x_{2}=y}$ and adding an unchanged z the familiar form follows, using ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {c+v}{c-v}}}}$ as Doppler factor:

${\displaystyle {\premy}-c^{2}+x^{2}+x^{2}+x^{2}=-c^{2}=-c^{2}+x^{\premy2}+y^{\premy2}+z^{}\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\cHB(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}}$

(4b)

물리학에서 유사한 변환은 Voigt (1887년)에 의해 도입되었고, 로렌츠 (1892년, 1895년)가 맥스웰의 방정식을 분석하여 Larmor (1897년, 1900년)와 로렌츠 (1899년, 1904년)에 의해 완성되었으며, 변환에 로렌츠라는 이름을 붙인 포앵카레 (1905)가 그들의 현대적인 형태로 들여왔다.^[14] 결국 아인슈타인(1905)은 특수상대성이론의 개발에서 로렌츠와 푸앵카레와 대조되는 기계적인 에테르를 요구하지 않고 공간과 시간의 전통적인 개념을 수정함으로써 상대성 원리와 일정한 광속에서만 변형이 따른다는 것을 보여주었다.^[15] 민코프스키(1907–1908)는 공간과 시간이 분리할 수 없이 스페이스타임으로 연결되어 있다고 주장하기 위해 그것들을 사용했다. 민코프스키(1907–1908)와 변수차크(1910)는 가상 및 쌍곡 함수와의 관계를 보여주었다. 로렌츠 변환의 수학적 이해에 중요한 공헌은 헤르글로츠(1909/10), 이그나토스키(1910), 노에더(1910), 클라인(1910), 보렐(1913–14)과 같은 다른 저자들에 의해서도 이루어졌다.

Wikiversity의 학습 자료: 순수 수학에서는 립스치츠(1885/86)가 유사한 변형을 사용해 왔다.

또한 (1a)에 따른 임의 방향의 로렌츠 부스트는 다음과 같이 제공할 수 있다.^[16]

${\displaystyle \mathbf{)}'={\begin{bmatrix}\gamma&-\gamma \beta n_{)}&, -\gamma \beta n_{y}&, -\gamma\beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{)}&, 1+(\gamma))n_{)}^{2}&,(\gamma))n_{)}n_{y}&,(\gamma))n_{)}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&,(\gamma))n_{y}n_{)}&, 1+(\gamma))n_{y}^{2}&,(\gamma))n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&amp을 말한다.(\gamma))n_{z}n_{)}&,(\gamma))n_{z}n_{y}&1+(\reason -1)n_{z}^{2}\end{bmatrix}\cdot \mathbf {x},\cdot \mathbf {n} ={\frac {}{v}}}\mathbf {v}\right]}$

또는 벡터 표기법

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \end{aligned}}}$

(4c)

그러한 변형은 헤르글로츠(1911년)와 실버슈타인(1911년) 등이 공식화했다.

In line with equation (1b), one can substitute ${\displaystyle \left[{\tfrac {u_{x}}{c}},\ {\tfrac {u_{y}}{c}},\ 1\right]=\left[{\tfrac {x}{ct}},\ {\tfrac {y}{ct}},\ {\tfrac {ct}{ct}}\right]}$ in (3b) or (4a), producing the Lorentz 속도(또는 속도 추가 공식)를 (3e)의 벨트라미 좌표와 유사하게 변환:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}&\rightarrow &{\begin{aligned}-c^{2}+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}&={\frac {-c^{2}+u_{x}^{\premium 2}+u_{y}}^{\premium2}}:{\premy ^{2}\좌측(1+{\frac {v}{v}}{c^{2}}:u_{x}^{\prime}}\{2}}:\\\\\c^{-c^{2}+u_{x}}^{2}+u_{y}}^{1}:{2}}:{\preme ^{2}\왼쪽(1-{\frac {v}{c^{2}}:u_{x}\오른쪽)^{2}}:}&=-c^{2}+u_{x}^{\premium 2}+u_{y}}^{\premy 2}\ended}\\hline -c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}=-c^{2}=-c^{2}+x^{\premium 2}+x^{0&\premium 2}=0&\rightarrow &-c^{x}{x}{x}{{x}{{x}+}{n2}+}{n2}+}{n2}+}{x}+{n2}+}{x}{{{{n2}+}+}}^{2}=-c^{2}+u_{x}^{\premium 2}+u_{y}}^{\prime 2}=0\end{매트릭스}}\\\hline{\scriptstyle{\begin{정렬}{\frac{\sinh \eta}{\cosh \eta}}&=\tanh \eta ={\frac{v}{c}}\\\cosh \eta&={\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}\end{정렬}}}\left{\begin{정렬}u_{)}^{\prime}&, ={\frac{{2-c^}\sinh \eta +u_{)}c\cosh \eta}{c\cosh\eta -u_{)}\sinh \eta}}&&={\frac{u_{)}-c\.tanh \eta}{1-{\frac {u_{)}}{c}}\tanh \eta}}&&={\frac{u_{)}-v}{1-{\frac{v}{c^{2}}}u{}_{)}}}\\u_{y}^{\prime}&, ={\frac{cu_{y}}{c\cosh\eta -u_{)}\sinh \eta}}&&={\frac{u_{y}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}}{1-{\frac{u_{)}}{c}}\tanh \eta}}&&={\frac{u_{y}{\sqrt{1-{\frac{{2v^}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac{v}{c^{2}}}u{}_{)}}}\\\\u_{)}&^{\frac{c^{2}\sinh \eta +u_{)}^{\prime}C\cosh \eta}{c\cosh\eta +u_{)}^{\prime}\sinh \eta}}&&={\frac{u_{)}^{\prime}+c\tanh \eta}{1+{\frac{u_{)}^{\prime}}{c}}\tanh \eta}}&&={\frac{u_{)}^{\prime}+v}{1+{\frac{v}{c^{2}}}u_{)}^{\prime}}}\\u_{y}&, ={\frac{cy의}{c\cosh\eta +u_{)}^{\prime}\sinh \eta}}&&={\frac{u_{y}^{\prime}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\eta}}.}{1+{\frac{u_{)}^{\prime}}{{c}}\tanh \eta }&={\frac {u_{y}^{\primate }{1-{\frac{v^{2}}:{1+{v}{c^}}}}}}{x}^{}}}}}}}{primeged\}}}오른쪽.\end{{11}}}$

(4d)

또는 삼각 및 쌍곡선 정체성을 사용하여 (3f)의 관점에서) 코사인 쌍곡선 법칙이 된다.^{[12][R 1][13]}

${\displaystyle {\displaysty}&#{\display}u^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}}^{2}\\u'^{2}=u_{x}^{\premium 2}+u_{y}}^{\prime 2}\end{매트릭스}}\left{\begin{행렬}u_{)}=u\cos \\u_{y}=u\sin\alpha \\\\u_{)}^{\prime}=u'\cos '\\u_{y}^{\prime}=u'\sin \alpha '\end{매트릭스}}\right{\begin{정렬}u\cos \alpha 및 \alpha, ={\frac{u'\cos \alpha '+v}{1+{\frac{v}{c^{2}}};u'\cos \alpha '&, ={\frac{u\cos \alpha -v}{1-{\frac{v}{c^{2}}}u\cosu'\cos \alpha의}},& \alpha.\alpha}}\\U\sin \alpha&={\frac{u'\sin \alpha'{\sqrt{1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac{v}{c^{2}}}u'\cos \alpha의}},&,u'\sin \alpha '&, ={\frac{u\sin \alpha{\sqrt{1-{\frac{{v^ 2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac{v}{c^{2}}}u\cos \alpha}}\\\tan \alpha&={\frac{u'\sin \alpha'{\sqrt{1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}}{u'\cos \alpha '+v}},&,\tan \alpha. '&^{\frac{u\sin)Pha{\sqrt{1-{\frac{{2v^}}{c^{2}}}}}}{u\cos \alpha -v}}\end{정렬}}\\\Rightarrow&u={\frac{\sqrt{v^{2}+u^{\prime 2}+2vu'\cos('-\left({\frac{vu'\sin \alpha'}{c}}\right){}^{2}}}{1+{\frac{v}{c^{2}}}u'\cos \alpha의}},\quad u'={\frac{\sqrt{-v^{2}-u^{2}+2vu\cos(+\left({\frac{vu\sin \alpha}{c}}\right){}^{2}}}{1-{\frac{v}{c^.{2}}}(\alpha}}\\\Rightarrow&{\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{u^{\prime 2}}{c^{2}}}}}}={\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{{2v^}}{c^{2}}}}}}{\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}-{\frac{v/c}{\sqrt{1-{\frac{{2v^}}{c^{2}}}}}}{\frac{u/c}{\sqrt{1-{\frac{{2u^}}{c^{2}}}}}}\cos\alpha \\\Rightarrow&{\frac{1}{\sqrt{1-\tanh ^{2}\xi}}}){\frac{.1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}-{\frac {\tanh \eta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\eta }}}{\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\cos \alpha \\\Rightarrow &\cosh \xi =\cosh \eta \cosh \zeta -\sinh \eta \sinh \zeta \cos \alpha \end{matrix}}}$

(4e)

그리고 추가로 u=uu=c를 설정함으로써 빛의 상대론적 일탈은 다음과 같다.^[17]

${\displaystyle {\begin{matrix}\cos \alpha ={\frac {\cos \alpha '+{\frac {v}{c}}}{1+{\frac {v}{c}}\cos \alpha '}},\ \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1+{\frac {v}{c}}\cos \alpha '}},\ \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha '{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\cos \alpha '+{\frac {v}{c}}}},\ \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\tan {\frac {\alpha '}{2}}\\\cos \alpha '={\frac {\cos \alpha -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }},\ \sin \alpha '={\frac {\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \alpha }},\ \tan \alpha '={\frac {\sin \alpha {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{\cos \alpha -{\frac {v}{c}}}},\ \tan {\frac {\cHB '}{2}}={\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}\tan {\frac {\frac {}{{2}}\\end}}}}}}}$

(4f)

속도 첨가 공식은 아인슈타인(1905)과 푸앵카레(1905/06)가, 코스(α)에 대한 일탈 공식은 아인슈타인(1905)이, 코사인 구형 및 쌍곡 법칙과의 관계는 소머펠트(1909)와 변수차크(1910)가 각각 제공했다.

Wikiversity의 학습 자료: 이 공식들은 편심 v/c, 편심 이상 α' 및 참 이상 α의 타원 방정식과 유사하며, 케플러(1609)가 최초로 기하학적으로 공식화하고 오일러(1735, 1748), 라그랑주(1770) 등이 행성 운동에 관하여 명시적으로 적는다.^[18][19]

등각파, 구형파 및 라구에르 변환을 통한 로렌츠 변환

구를 구체로 변화시키는 가장 일반적인 변환을 ${\displaystyle \mathrm{요구}}$하는 것과${\displaystyle }$같은 미분방정식 d ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ +${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle d_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 = 0$${\$dx_{0}^{$0}^{$2}+\dx_{n}^{n$}^{2$}=0$로 대표되는 라이트콘의 불변성만 요구한다면 로렌츠 그룹은 확대 재생산할 수 있다.λ 인자에 의해 보내졌다. 그 결과는 특수 순응적 변환 및 관계를 생성하는 역변환 측면에서 스페이스 시간 순응적 변환 그룹 Con(1,p)이다.

${\displaystyle -dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}=\lambda \left(-dx_{0}^{\prime 2}+\dots +dx_{n}^{\prime 2}\right)}$.

어느 이 그룹의 두 표상 사이에 02+⋯ x+d)n2{\displaystyle dx_{0}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}}공형 변환에 관련된 간격 d를 지키는 범위 반지름 좌표 x0=iR을 사용하거나 간격으로 좌표 x0=R − 실제 반지름을 사용하여)02+⋯ 전환할 수 있+d)n2.${\displaystyle }$원과 구를 보존하는 접촉 변환 측면에서 구면파 변환과 관련된$$ ${\dx_{0}^{2}+\cHB +dx_{n}^{2}}.$ Con(1,3)은 특수직교군 SO(2,4)에 대해 이형성이며, tz=1을 설정하여 로렌츠군 SO(1,3)를 하위군으로 포함하는 것으로 밝혀졌다. 보다 일반적으로 Con(q,p)은 SO(q+1,p+1)와 이형이며 SO(q,p)를 하위 그룹으로 포함한다.^[20] 이것은 Con(0,p)이 임의의 치수 SO(1,p+1)의 로렌츠 그룹에 이형적이라는 것을 암시한다. 결과적으로, 뫼비우스 변환의 그룹으로 알려진, 평면 Con(0,2)의 등각 그룹은 로렌츠 그룹 SO(1,3)와 이형성이다.^[21][22] 이는 형식${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -x_{0}^{$2}+$x_{1}을$$($를) 만족하는 테트라사이클링 좌표를 사용하여 확인할 수 있다.$}^{2}+x_{2$$}^{2}+x_{3$$}^{2}=0}$.

리의 지향적인 구체의 기하학의 특별한 사례는 라구에르 그룹인데, 지향적인 평면과 선을 서로 변형시킨다. 불변성 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$2}+y^{$2}+z^{2}-R^{2$}} R을 반경으로 하여$$Laguerre 그룹은 로렌츠 그룹에$$ 이형성을 띠게 된다.^[23][24]

Wikiversity의 학습 자료: 리구 기하학의 표현과 정합성 변환은 모두 리(1871) 등이 연구하였다. 베이트맨&커닝햄(1909~1910)이 그룹 콘(1,3)이 맥스웰의 전기역학 방정식을 불변시키는 가장 일반적인 그룹임을 보여줬다. 테트라사이클론 좌표는 포켈스(1891), 클라인(1893), 베처(1894)가 논의하였다. 콘(1,3)과 로렌츠 그룹의 관계는 베이트만&커닝햄(1909–1910) 등이 주목했다. 라구에르 역전은 라구에르 (1882)가 도입하였고, 다르부스 (1887년)와 스미스 (1900년)가 논의하였다. 셰퍼스(1899)가 접촉 변형 측면에서 비슷한 개념을 연구했다. 스테파노스(1883년)는 리의 접촉 변환 측면에서의 방향화된 구체 기하학뿐만 아니라 방향화된 평면이 서로로 변환되는 특수한 경우(예: 라구에르에 의한)는 해밀턴의 바이쿼터니온에 대한 기하학적 해석을 제공한다고 주장했다. 라구에르 그룹과 로렌츠 그룹 사이의 집단 이형성은 바테만(1910), 카르탄(1912, 1915/55), 푸앵카레(1912/21) 등이 지적한 것이다.

케일리를 통한 로렌츠 변환헤르미트 변환

어떤 2차 형식의 자체에 대한 일반적인 변환(Q1)임의로 매개 변수 어디는 정체성 매트릭스를 케일리 변환(I-T)−1·(I+T), T는 임의의 역 대칭 매트릭스에 의거를 사용하고는 계수 가정 된다면 대칭 행렬은 2차 형식을 정의하는 A를 첨가하여( 없었 A'가 주어질 수 있다. 로 양쪽이 동일하다:^[25][26]

${\displaystyle {\begin{matrix}q=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =q'=\mathbf {x} ^{\mathrm {\prime T} }\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} '\\\hline \\\mathbf {x} =(\mathbf {I} -\mathbf {T} \cdot \mathbf {A} )^{-1}\cdot (\mathbf {I} +\mathbf {T} \cdot \mathbf {A} )\cdot \mathbf {x} '\\{\text{or}}\\\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\cdot (\mathbf {A} -\mathbf {T} )\cdot (\mathbf {A} +\mathbf {T})^{-1}\cdot \cdot \mathbf {x}\end{matrix}}}}}}}}$

(Q2)

예를 들어, 선택 A=diag(1,1,1)는 직교 변환을 제공하며, 이는 오일러-로드리게스 매개변수[a,b,c,d]에 해당하는 공간 회전을 기술하는데 사용될 수 있으며, 이는 쿼터니온 계수로 해석될 수 있다. d=1을 설정하면 방정식의 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b\\-a&0&c\\b&-c&0\end{vmatrix}}}\\\hline x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}1-a^{2}-b^{2}+c^{2}&2(bc-a)&2(ac+b)\\2(bc+a)&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}&2(ab-c)\\2(ac-b)&2(ab+c)&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left(\kappa =1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}\오른쪽)\끝{{matrix}}$

(Q3)

위키다양성의 학습 자료: 케이리(1846)가 양의 제곱합과 관련된 변환을 도입한 후, 헤르미트(1853/54, 1854)는 임의의 이차적 형태의 변환을 도출했고, 그 결과는 케이리(1855a, 1855b)에 의해 행렬(Q2)의 관점에서 재구성되었다. 오일러-로드리게스 매개변수는 오일러(1771년)와 로드리게스(1840년)에 의해 발견되었다.

또한 어떤 차원에서도 로렌츠 간격과 일반 로렌츠 변환은 Cayley-에 의해 생성될 수 있다.허마이트 형식주의.^{[R 2][R 3][27][28]} 예를 들어, (Q2)에서 n=1을 가진 로렌츠 변환(1a)을 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag}(-1,1),\quad \quad \mathbf {t} ={\gin{vmatrix}0&a\-0\end{vmatrix}}}\\line -x}^{0}^{0}}^{0}}}}}}}^{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{1-a^{2}}:}\왼쪽[{\propers}1+a^{2a^{2}&#2a\-2a&a^{2]}\end{matrix}\오른쪽]\cdot \mathbf {x}\end{matrix}}\오른쪽 화살표 {\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\premit{ligned}x_{0}&=x_{0}^{\prime }{\frac {1+\film _{0}^{1}2}}-\film _{0}^{0}}}+x_{1}{1}}^{\prime }{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {x_{0}^{\prime }\left(1+\beta _{0}^{2}\right)+x_{1}^{\prime }2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}+x_{1}^{\primate }{\frac {1+\properties _{0}^{0}^{0}}}=&#{\frac {x_{0}^{0}^{{0}prime _{0}\premium _{0}+x_{1}}^{\prime }\left(1+\beta _{0}^{2}\right)}{1-\beta _{0}^{2}}}\\\\x_{0}^{\prime }&=x_{0}{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}-x_{1}{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=&{\frac {x_{0}\left(1+\beta _{0}^{2}\right)-x_{1}2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}+x_{1}{{\frac {1+\filename _{0}^{0}^{0}}{0}^{0}}&#{\frac {-x_{0}2\filename _{0}+x_{1}}{1}}}}\left(1+\beta _{0}^{2}\right)}{1-\beta _{0}^{2}}}\end{aligned}}\right {\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {2\beta _{0}}{1+\beta _{0}^{2}}}&=\beta \\{\frac {1+\beta _{0}^{2}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=\gamma \\{\frac {2\beta _{0}}{1-\beta _{0}^{2}}}&=\beta \gamma \end{aligned}}}\end{matrix}}}$

(5a)

$이것$은 2 ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{v}{}}$ ${\displaystyle c\frac{}{}}$ ${\$}를 설정하여 로렌츠 부스트(4a 또는 4b)가 된다.$}}}={\tfrac {v}{c}}}$, which is equivalent to the relation ${\displaystyle {\tfrac {2\beta _{0}}{1+\beta _{0}^{2}}}={\tfrac {v}{c}}}$ known from Loedel diagrams, thus (5a) can be interpreted as a Lorentz boost from the viewpoint of a "median frame" in which two other inertial frames are moving 반대 방향의$$ $동일$한 속도 ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$\ _$_{0}.$

또한, n=2를 가진 로렌츠 변환(1a)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (-1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b\\-a&0&c\\b&-c&0\end{vmatrix}}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}1+a^{2}+b^{2}+c^{2}&-2(bc-a)&-2(ac+b)\\2(bc+a)&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}&2(ab-c)\\2(ac-b)&-2(ab-c)&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left(\kappa =1-a^{2}-b^{2}+c^{2}}\오른쪽)\끝{{matrix}}$

(5b)

또는 n=3 사용:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {A} =\operatorname {diag} (-1,1,1,1),\quad \mathbf {T} ={\scriptstyle {\begin{vmatrix}0&a&-b&c\\-a&0&d&e\\b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{vmatrix}}}\\\hline -x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}+x_{3}^{\prime 2}\\\hline \mathbf {x} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\scriptstyle {\begin{aligned}&1+a^{2}+b^{2}+c^{2}+&&2(-bd+a+ec+pf)&&2(-ad-b+fc-pe)&&2(pd+fb-ea+c)\\&\quad d^{2}+e^{2}+f^{2}+p^{2}&&1+a^{2}-b^{2}-c^{2}&&2(-d-ab+pc-fe)&&2(fd+pb+ca-e)\\&2(bd+a-ec+pf)&&\quad -d^{2}-e^{2}+f^{2}+p^{2}&&1-a^{2}+b^{2}-c^{2}&&2(-ed-cb+pa-f)\\&2(ad-b-fc-pe)&&2(d-ab-pc-fe)&&\quad -d^{2}+e^{2}-f^{2}+p^{2}&&1-a^{2}-b^{2}+-c^{2}\\&2(pd-fb+ea+c)&&2(fd-pb+ca+e)&&2(-ed-cb-pa+f)&&\quad +d^{2}-e^{2}-f^{2}+p^{2}\end{aligned}}}\right]\cdot \mathbf {x} \\\left({\begin{aligned}\kappa &=1-a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-p^{2}\\p&=af+be+cd\end{aligned}}\right)\end{matrix}}}$

(5c)

Wikiversity의 학습 자료: The transformation of a binary quadratic form of which Lorentz transformation (5a) is a special case was given by Hermite (1854), equations containing Lorentz transformations (5a, 5b, 5c) as special cases were given by Cayley (1855), Lorentz transformation (5a) was given (up to a sign change) by Laguerre (1882), Darboux (1887), Smith (1900) in relation to Laguere 기하학으로, 로렌츠 변환(5b)은 바흐만(1869년)에 의해 주어졌다. 상대성에서는 (5b, 5c)와 유사한 방정식이 로렌츠 변환을 나타내기 위해 보렐(1913)에 의해 처음 채택되었다.

등식 (3d)에서 설명한 바와 같이 로렌츠 간격은 $대체{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {형태\mathrm{}}_{}^{}}$ X 2 2 -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ 1 ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$에 밀접하게 연결되어 있는데$,$^[29] 이 형식은 Cayley–의 관점에서 볼 때 다음과 같다.Hermite 매개변수는 변환 시 불변한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}\\\hline \mathbf {X} '={\frac {1}{\kappa }}\left[{\begin{matrix}(b+1)^{2}&-2(b+1)c&c^{2}\\a(b+1)&1-ac-b^{2}&(b-1)c\\a^{2}&-2a(b-1)&(b-1)^{2}\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {X} \\\left(\kappa =1+ac-b^{2}\right)\end{matrix}}}$

(5d)

Wikiversity의 학습 자료: 이러한 변환은 로렌츠 간격과 연관시키지 않고 $오히려{\displaystyle {}_{}^{}}$ x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}+x_${1$에 의해 이루어졌다.$}^{2}+x_{2$$}^{2}}$.

Cayley-Klein 매개변수, Möbius 및 스핀 변환을 통한 로렌츠 변환

The previously mentioned Euler-Rodrigues parameter a,b,c,d (i.e. Cayley-Hermite parameter in equation (Q3) with d=1) are closely related to Cayley–Klein parameter α,β,γ,δ in order to connect Möbius transformations ${\displaystyle {\tfrac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}}$ and rotations:^[30]

$#\displaystyle {\classed}\nfs &=1+ib,&\nfs &=a+ic,\nfs &=1-ib.\end{정렬}}}$

따라서 (Q3)은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\display}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline\mathbf{)}'={\frac{1}{\kappa}}\left는 경우에는{\begin{행렬}{\frac{1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&,\beta \delta -\alpha \gamma&{\frac{나는}{2}}\left(-\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\\\gamma\delta +\alpha \beta&\alpha \delta+\beta \gamma&나는(\alpha \beta +\gamm.한 \delta)\\-{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&-i(\alpha \gamma +\beta \delta )&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\kappa =\alpha \delta -\beta \gamma )\end{matrix}}}$

(Q4)

Wikiversity의 학습 자료: Cayley-Klein 매개변수는 Helmholtz(1866/67), Cayley(1879), Klein(1884)에 의해 도입되었다.

또한 로렌츠 변환은 Cayley-Klein 매개변수의 변형으로 표현할 수 있다. One relates these parameters to a spin-matrix D, the spin transformations of variables ${\displaystyle \xi ',\eta ',{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}'}$ (the overline denotes complex conjugate), and the Möbius transformation of ${\displaystyle \zeta ',{\bar {\zeta }}'}$. When defined in terms of isometries of hyperbolic space (hyperbolic motions), the Hermitian matrix u associated with these Möbius transformations produces an invariant determinant ${\displaystyle \det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}$ identical to the Lorentz 간격을 두고 따라서, 이러한 변환은 존 라이트온 싱지에 의해 "로렌츠 변환의 대량 생산을 위한 팩토리"^[31]라고 설명되었다. It also turns out that the related spin group Spin(3, 1) or special linear group SL(2, C) acts as the double cover of the Lorentz group (one Lorentz transformation corresponds to two spin transformations of different sign), while the Möbius group Con(0,2) or projective special linear group PSL(2, C) is isomorphic to both the Lorentz group and the 쌍곡선 공간의 등각류 그룹

우주에서 뫼비우스/스핀/로렌츠 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.^{[32][31][33][34]}

${\displaystyle {\displaysty}\zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{x_{0}-x_{3}}={\frac {x_{0}+x_{3}={3}}}{x_{1}-ix_{2}}}\rightarrow \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\left \zeta '={\frac {\xi '}{\eta '}}\rightarrow {\begin{aligned}\xi '&=\alpha \xi +\beta \eta \\\eta '&=\gamma \xi +\delta \eta \end{aligned}}\right.\\\hline \왼쪽.{\begin{matrix}\mathbf {u} =\left({\begin{matrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\bar {\xi }}\xi &\xi {\bar {\eta }}\\{\bar {\xi }}\eta &{\bar {\eta }}\eta \end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}x_{0}+x_{3}}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}}}&x_{0}-x_{3}\end{115}\오른쪽)\\\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{matrix}}\right {\begin{matrix}\mathbf {D} =\left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{matrix}}\right)\\{\begin{정렬}\det{\boldsymbol{\mathbf{D}}}&=1\end{정렬}}\end{매트릭스}}\\\hline\mathbf{u}'=\mathbf{D}\cdot\mathbf{u}\cdot{\bar{\mathbf{D}}}^{\mathrm{T}}={\begin{정렬}X_{1}^{\prime}&, =X_{1}\alpha{\bar{\alpha}}+X_{2}\alpha{\bar{\beta}}+X_{3}{\bar{\alpha}}\beta +X_{4}\beta{\bar{\beta}}\\X_{2}^{\prime}&.;=X_{1}{\bar {\alpha}}\gamma +X_{2}{\bar{\alpha}}\delta +X_{3}{\bar{\beta}}\gamma +X_{4}{\bar{\beta}}\delta \\X_{3}^{\prime}&, =X_{1}\alpha{\bar{\gamma}}+X_{2}\alpha{\bar{\delta}}+X_{3}\beta{\bar{\gamma}}+X_{4}\beta{\bar{\delta}}\\X_{4}^{\prime}&, =X_{1}\gamma{\bar{\gamma}}+X_{2}\gamma{\bar{\delta}}+X_{3}{\bar{\gamma}}\delta +X_.{4}\delta {\bar {\delta }}\end{aligned}}\\\hline {\begin{aligned}X_{3}^{\prime }X_{2}^{\prime }-X_{1}^{\prime }X_{4}^{\prime }&=X_{3}X_{2}-X_{1}X_{4}=0\\\det \mathbf {u} '=x_{0}^{\prime 2}-x_{1}^{\prime 2}-x_{2}^{\prime 2}-x_{3}^{\prime 2}&=\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

(6a)

따라서:^[35]

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}+x_{3}^{\prime 2}\\\hline\mathbf{)}'={\frac{1}{2}}\left는 경우에는{\scriptstyle{\begin{정렬}&, \alpha{\bar{\alpha}}+\beta{\bar{\beta}}+\gamma{\bar{\gamma}}+\delta{\bar{\delta}}&&\alpha{\bar{\beta}}+\beta{\bar{\alpha}}+\gamma{\bar{\delta}}+\delta{\bar{\gamma}}&&, 나는(\alpha{\bar{\beta}}-\beta{\bar{\alpha}}+\gamma.{\bar{\delta}}-\dElta{\bar{\gamma}})&&\alpha{\bar{\alpha}}-\beta{\bar{\beta}}+\gamma{\bar{\gamma}}-\delta{\bar{\delta}}\\&, \alpha{\bar{\gamma}}+\gamma{\bar{\alpha}}+\beta{\bar{\delta}}+\delta{\bar{\beta}}&&\alpha{\bar{\delta}}+\delta{\bar{\alpha}}+\beta{\bar{\gamma}}+\gamma{\bar{\beta}}&&, 나는(\alpha{\b.함께{\delta}}-\delta{\bar{\alpha}}+\gamma{\bar{\beta}}-\beta{\bar{\gamma}})&&\alpha{\bar{\gamma}}+\gamma{\bar{\alpha}}-\beta{\bar{\delta}}-\delta{\bar{\beta}}\\&, i(\gamma{\bar{\alpha}}-\alpha{\bar{\gamma}}+\delta{\bar{\beta}}-\beta{\bar{\delta}})&, &, 나는(\delta{\bar{\alpha}}-\alpha{\bar{\delta}}+\gamma{\bar{\beta}}-\beta.{\bar{\gamma}})&&\alpha{\bar{\delta}}+\delta{\bar{\alpha}}-\beta{\bar{\gamma}}-\gamma{\bar{\beta}}&&i(\gamma{\bar{\alpha}}-\alpha{\bar{\gamma}}+\beta{\bar{\delta}}-\delta{\bar{\beta}})\\&, \alpha{\bar{\alpha}}+\beta{\bar{\beta}}-\gamma{\bar{\gamma}}-\delta{\bar{\delta}}&&\alpha{\bar{\beta}}+\beta{\bar{\alph.는}}-\gamma{\bar{)delta }}-\delta {\bar {\gamma }}&&i(\alpha {\bar {\beta }}-\beta {\bar {\alpha }}+\delta {\bar {\gamma }}-\gamma {\bar {\delta }})&&\alpha {\bar {\alpha }}-\beta {\bar {\beta }}-\gamma {\bar {\gamma }}+\delta {\bar {\delta }}\end{aligned}}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\alpha \delta -\beta \gamma =1)\end{matrix}}}$

(6b)

or in line with equation (1b) one can substitute ${\displaystyle \left[u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ 1\right]=\left[{\tfrac {x_{1}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{2}}{x_{0}}},\ {\tfrac {x_{3}}{x_{0}}},\ {$$\tfrac$ {$x_{0}}{x_{0}}}\right]}$을(를) 사용하여 Möbius/Lorenz 변환이 단위 구와 연관되도록 하십시오.

${\displaystyle {\display}u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=u_{1}^{\premium 2}+u_{2}}^{\premium 2}+u_{3}^{\premy 2}=1\\\hline \왼쪽.{\frac{u}\zeta ={\frac {u_{1}++_{2}}:{1-u_{3}}}={\frac {1+u_{3}}}={\frac {1+u_{3}}}}}}}{3}}}}}{u_{1}-118_{2}}\\\제타 '={\frac {u_{1}^{\prime }}+118_{2}}^{\premy }{1-u_{3}^{\premy }}={\frac {1+u_{3}}^{}^{{u_{1}^{\premy }-premy_{2}^{}}}}\{premy }}\right \\epta '={\frace \\frac \\\beat \jeta +}}{\prempremed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(6c)

Wikiversity의 학습 자료: (6a)에서의 일반적인 변환 u′은 케이리(1854년)에 의해 주어졌고, 일반화된 원을 불변하게 하는 뫼비우스 변환과 변환 u′의 일반적인 관계는 푸앵카레(1883)가 클라인 그룹과 관련하여 지적하였다. (6a)가 로렌츠 변환이 되는 로렌츠 간격에 대한 적응은 클라인 (1889-1893, 1896/97), 비안치 (1893), 프리케 (1893, 1897)에 의해 주어졌다. 로렌츠 변환(6b)으로서의 그것의 개혁은 비안치(1893년)와 프리케(1893년, 1897년)에 의해 제공되었다. 로렌츠 변환(6c)은 클라인(1884)이 2도 표면과 단위 구면의 불변도와 관련하여 부여한 것이다. 상대성에서는 (6a)가 헤르글로츠(1909/10)에 처음 고용되었다.

평면에서 변환은 다음과 같이 기록할 수 있다.^[29][34]

${\displaystyle {\cHB}\zeta ={\frac {x_{1}:{x_{0}-x_{2}}={\frac {x_{0}+x_{2}}={\frac {x}+x_{2}}}{x_{1}}}\rightarrow \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\left \zeta '={\frac {\xi '}{\eta '}}\rightarrow {\begin{aligned}\xi '&=\alpha \xi +\beta \eta \\\eta '&=\gamma \xi +\delta \eta \end{aligned}}\right.\\\hline \왼쪽.{\begin{matrix}\mathbf {u} =\left({\begin{matrix}X_{1}&X_{2}\\X_{2}&X_{3}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\xi ^{2}&\xi \eta \\\xi \eta &\eta ^{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}x_{0}+x_{2}}&x_{1}\\x_{1}&x_{0}-x_{2}\end{{nd}}\오른쪽)\\\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\end{matrix}}\right {\begin{matrix}\mathbf {D} =\left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{matrix}}\right)\\{\begin{정렬}\det{\boldsymbol{\mathbf{D}}}&=1\end{정렬}}\end{매트릭스}}\\\hline\mathbf{u}'=\mathbf{D}\cdot\mathbf{u}\cdot \mathbf{D}^{\mathrm{T}}={\begin{정렬}X_{1}^{\prime}&, =X_{1}\alpha ^{2}+X_{2}2\alpha\beta +X_{3}\beta ^{2}\\X_{2}^{\prime}&, =X_{1}\alpha \gamma +X_ᆽ(\alpha \delta+\beta \gamma)+X_{3}\beta.\delta \\X_{3}^{\prime }&=X_{1}\gamma ^{2}+X_{2}2\gamma \delta +X_{3}\delta ^{2}\end{aligned}}\\\hline {\begin{aligned}X_{2}^{\prime 2}-X_{1}^{\prime }X_{3}^{\prime }&=X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}=0\\\det \mathbf {u} '=x_{0}^{\prime 2}-x_{1}^{\prime 2}-x_{2}^{\prime 2}&=\det \mathbf {u} =x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

(6d)

이리하여

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\prime 2}\\\hline\mathbf{)}'=\left는 경우에는{\begin{행렬}{\frac{1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)&, \alpha\beta +\gamma \delta&{\frac{1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)\\\alpha\gamma+\beta \delta&\alpha \delta+\beta \gamma&\alpha \gamma-\beta \delta \\{\frac{1}{2.}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)&\alpha \beta -\gamma \delta &{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\end{matrix}}\right]\cdot \mathbf {x} \\(\alpha \delta -\beta \gamma =1)\end{matrix}}}$

(6e)

여기에는 특수 케이스$\beta {\displaystyle }$ =${\displaystyle }$β =${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ =$$0 {\$displaystyle \beta$ =\gamma $=0}$을(를) 의미하는$$ = 1 /${\displaystyle \alpha }$ {\$displaystyle$ \$delta =1/\alpha }$을(를) 포함하는 것으로$,$ 로렌츠 부스트로의 변환을 1+1차원으로 축소한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}X_{3}=X_{1}^{\premium }^{\X_{3}^{\premy }\quad \rightarrow \quad \quad -x_{0}^{2}+x_{2}}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{2}}^{\prime 2}\\\hline{\begin{정렬}X_{1}&, =\alpha ^{2}X_{1}^{\prime}\\X_{2}&, =X_{2}^{\prime}\\X_{3}&, ={\frac{1}{\alpha ^{2}}}X_{3}^{\prime}\end{정렬}}\quad\Rightarrow \quad{\begin{정렬}x_{0}&, =ᆻ^ᆼ\left(\alpha ^{4}+1\right)+x_ᆽ^ᆾ\left(\alpha ^{4}-1\right)}{2\alpha ^{2}}}\\x_{1}&, =x_{1}^{\pri.나}\\x_{2}&^{\frac {x_{0}^{\premy }\left(\premy ^{4}-1\right)+x_{2}^{premy }\premy }\premise ^{4}+1\right)}{2\premit ^{2}}:\end{aigned}}\end}}}}}$

(6f)

마지막으로 하이퍼볼로이드와 관련된 로렌츠 간격을 사용하여 뫼비우스/로렌츠 변환을 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}=-1\\\hline \왼쪽.{\frac {x_{1}+ix_{2} = {\frac {x_}}}{x_{0}+1}={\frac {x_{0}-1}{x_{1}-ix_{2}}\\\제타 '={\frac {x_{1}^{{1}^{\prime }+ix_{2}}}^{\prime }}{x_{0}^{\prime }+1}}={\frac {x_{0}^{\prime }-1}{x_{1}^{\prime }-ix_{2}^{\prime }}}\end{matrix}}\right \quad \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }}\end{matrix}}}$

(6g)

Wikiversity의 학습 자료: (6d)의$$ 일반 변환 u u과 그 불변 X $2{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ X 3 {\$displaystyle X_{2}^{2}-X_{$1}X_{$3}}}$는 이미 라그랑주(1773)와 가우스(1798/1801)가 정수 이항 2차 형태 이론에서 사용하고 있었다. The invariant ${\displaystyle X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}}$ was also studied by Klein (1871) in connection to hyperbolic plane geometry (see equation (3d)), while the connection between u′ and ${\displaystyle X_{2}^{2}-X_{1}X_{3}}$ with the Möbius transformation was analyzed by Poinc후치안 그룹과 관련된 aré (1886). (6d)가 로렌츠 변환이 되는 로렌츠 간격에 대한 적응은 비안치 (1888)와 프리케 (1891)에 의해 주어졌다. 로렌츠 변환(6e)은 1800년경(후기 1863년) 가우스에 의해 정수의 무기한 2차 형태와 관련하여 판매(1873년), 비안치(1888년), 프리케(1891년), 우즈(1895년)에 의해 언급되었다. 로렌츠 변환(6f)은 비안치(1886, 1894), 아이젠하르트(1905)가 부여했다. 하이퍼볼로이드의 로렌츠 변환(6g)은 푸앵카레(1881년)와 하우스도르프(1899년)가 기술했다.

쿼터니언 및 쌍곡수를 통한 로렌츠 변환

로렌츠 변환은 또한 바이쿼터니온 단위로 표현할 수 있다. 밍코우스키안 쿼터니온(또는 민쿼트) q는 실제 부분 하나와 순수하게 상상의 부분 하나를 갖는 q에 사전 및 사후 인자로서 적용된 biquaternion a를 곱한다. 퀀터니온 결합을 나타내기 위해 오버라인을 사용하고 * 복합 결합을 위해 일반 형태(왼쪽)와 해당 부스트(오른쪽)는 다음과 같다.^[36][37]

$왼쪽.{\premit{x}-x_{0}^{\premy 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}+x_{3}^{\premy 2}=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\\\hline q'=aq{\bar}^{\a}}\\hline {\regated}q&=ix_{0}+x_{1}e_{1}+e_{2}e_{2}+x_{3}}e_{3}\\q'&=ix_{0}^{\premy }+x_{1}^{\premy }e_{1}+x_{2}^{\premy }e_{2}+x_{3}}^{\prime }e_{3}\\a&=\cos \chi +i\sin \chi =e^{i\chi }\end{aligned}}\\\left(a{\bar {a}}=1,\ \chi ={\text{imaginary}}\right)\end{matrix}}\right {\begin{matrix}\chi ={\frac {1}{2}}i\eta \\\downarrow \\{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}\cosh \eta \\x_{2}^{\premy }&=x_{2},\premy x_{3}^{\premy }=x_{3}\ended}}\commited}}}}}}$

(7a)

Wikiversity의 학습 자료: 해밀턴(1844/45)과 케이리(1845)는 공간 회전에 대해$$ 쿼터니온 $변환$을${\displaystyle {\mathrm{q}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ - 1 ${\$로 도출했고, 케이리(1854, 1855)는 해당 변환에 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaysty aqb}$을 부여하여 ${\displaystyle {4제곱\mathrm{}}_{}^{}}$ $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$+ 2 x $2$의 합을 불변하게 했다$$$.$$레이스타일 x_{0}^{2}+x_{1$$}^{2}+x_{2$$}^{2}+x_{2$$}^{2}}$. Cox (1882/83) discussed the Lorentz interval in terms of Weierstrass coordinates ${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{2}^{2}=1}$ in the course of adapting William Kingdon Clifford's biquaternions a+ωb to hyperbolic geometry by setting ${\display$$스타일 \omega ^{2}=-1}$ $$(1968, 1은 타원형 및 0 포물선 형상을 나타냄) 스테파노스(1883)는 윌리엄 로완 해밀턴의 바이쿼터니온의 상상의 부분을 구의 반지름과 연관시켰고, 리구 기하학적 관점에서 방향화된 구체 또는 방향화된 평면의 방정식을 불변하게 하는 동음법을 도입했다. Buchheim (1884/85) discussed the Cayley absolute ${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{2}^{2}=0}$ and adapted Clifford's biquaternions to hyperbolic geometry similar to Cox by using all three values of ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Eventually, the modern Lore${\displaystyle {쌍곡\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{기하학}}$에서처럼$Ω$ 2 = - 1 {\$displaystyle$ \$omega ^{2}=-$1}을$$(를) 사용한 ntz 변환은 노에더(1910)와 클라인(1910)은 물론 콘웨이(1911), 실버슈타인(1911)이 제공했다.

종종 쿼터니온 시스템과 연결된 쌍곡수 ${\displaystyle {number\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1}$는 로렌츠 변환을 공식화할 수도 있다$.$^[38][39]

${\displaystyle{\begin{정렬}w'&, =we^{-\varepsilon \eta}\\&, =w((-\eta\cosh)+\varepsilon \sinh(-\eta))\\\\w&, =w'e^{\varepsilon \eta}\\&, =w'(\cosh \eta +\varepsilon \sinh \eta)\end{정렬}}\rightarrow{\begin{정렬}w&, =x_{1}+\varepsilon x_{0}\\w'&, =x_{1}^{\prime}+\varepsilon x_{0}^{\prime}\end{정렬}}\rightarrow{\begi.n{정렬}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\cosh \eta -x_{1}\sinh \eta \\\x_{1}^{\premium }=-x_{0}\sinh \eta +x_{1}}\cosh \eta \\\x_{0}&=x_{0}^{\premy }\cosh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta \\x_{1}&=x_{0}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\premy }\sinh \eta +x_{1}^{\premium }\cosh \eta \end{aigned}}}$

(7b)

Learning materials from Wikiversity: After the trigonometric expression ${\displaystyle e^{ix}}$ (Euler's formula) was given by Euler (1748), and the hyperbolic analogue ${\displaystyle e^{\varepsilon \eta }}$ as well as hyperbolic numbers by Cockle (1848) in the framework of tessarines, it was shown by Cox (1882/83${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\eta }^{}}$ ${\displaystyle {\eta }^{}}$ ${\$을(를) 연관 쿼터니온 곱셈과 식별할$$ 수 있다. Here, ${\displaystyle e^{\varepsilon \eta }}$ is the hyperbolic versor with ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1}$, while -1 denotes the elliptic or 0 denotes the parabolic counterpart (not to be confused with the expression ${\displaystyle \omega ^{2}}$ in Clifford's biquaternions also used by Cox, in 이 -1은 쌍곡선이다. 쌍곡선 버시버는 또한 맥팔레인(1892, 1894, 1900)에 의해 쌍곡선 쿼터니온의 관점에서 논의되었다. 쌍곡선 움직임$$(그리고 타원형의 경우 -1, 포물선 움직임의 경우 0)에 대한 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \varipsilon ^{2$}=1$}$라는 표현도 Vahlen(1901/02, 1905)이 정의한 "비쿼터니온"에 나타난다.

클리포드 대수학의 관점에서 더 확장된 형태의 복합체 및 (bi-)쿼터니온 시스템을 로렌츠 변환을 표현하는데도 사용할 수 있다. 예를 들어, Clifford 번호의 a 시스템을 사용하면 다음과 같은 일반 ${\displaystyle {2차\mathrm{}}_{}^{}}$ 형태를 그 자체로 변환할 수 있는데, 여기서 개별 값 $i{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 , ${\displaystyle {}_{}^{}}$2 , i 2 ,${\displaystyle }$… ${\displaysty i_{1}^{2}^{$2}^{$2}},\dots }}$은(는) 원하는 대로 +1 또는 -1로 설정할 수 있고$$, 1 i ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 기호가 있으면 로렌츠 간격이 뒤따른다.$i$$^{2}}:$ 다른 모든 것과 다르다.:^[40][41]

${\displaystyle {\begin{matrix}i_{1}^{2}x_{1}^{\prime 2}+\cdots +i_{n}^{2}x_{n}^{\prime 2}=i_{1}^{2}x_{1}^{2}+\cdots +i_{n}^{2}x_{n}^{2}\\\hline (1)\ x'=axa^{-1}\\(2)\ x'={\frac {ax+b}{\varepsilon ^{2}bx+a}}\end{matrix}}}$

(7c)

Wikiversity의 학습 자료: 일반확정형식 $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$+\cdots$+$${\displaystyle {x\_\{}_{}^{}}$$n}^{2}},$ 일반불한형식$$ $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ x p + ${\displaystyle 1_{}^{}}$ - ${\displaystyle \cdots }$ -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle q_{}^{}}$ + ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 +$q$ + q_${1}^{1}+\cdots$ + +_{x_{$x_{$nots}+}+}+}+}{p}{$p$.$}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}}$ and their invariance under transformation (1) was discussed by Lipschitz (1885/86), while hyperbolic motions were discussed by Vahlen (1901/02, 1905) by setting ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1}$ in transformation (2), while elliptic motions follow with -1 and parabolic motions with 0, al그 중 그는 또한 바이쿼터니온과 관련이 있었다.

삼각함수를 통한 로렌츠 변환

The following general relation connects the speed of light and the relative velocity to hyperbolic and trigonometric functions, where ${\displaystyle \eta }$ is the rapidity in (3b), ${\displaystyle \theta }$ is equivalent to the Gudermannian function ${\displaystyle {\rm {gd}}(\$$eta )=2\arctan(e^{\eta })-\pi /2}$, and ${\displaystyle \vartheta }$ is equivalent to the Lobachevskian angle of parallelism ${\displaystyle \Pi (\eta )=2\arctan(e^{-\eta })}$:

${\displaystyle {\frac {v}{c}=\tanh \eta =\sin \theta =\cos \vartheta }$

Wikiversity의 학습 자료: 이러한 관계는 처음에 변수차크(1910)에 의해 정의되었다.

a) Using ${\displaystyle \sin \theta ={\tfrac {v}{c}}}$ one obtains the relations ${\displaystyle \sec \theta =\gamma }$ and ${\displaystyle \tan \theta =\beta \gamma }$, and the Lorentz boost takes the form:^[42]

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\sec \theta -x_{1}\tan \theta &&={\frac {x_{0}-x_{1}\sin \theta }{\cos \theta }}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\tan \theta +x_{1}\sec \theta&={\frac {x_{0}\sin \theta -x_{1}{1}{\cos \theta }}\}\premy }}}={2}^{0}\x_{0}\x}^{0}\sec \ta +x_{1}}^{\premy }\tan \tan \theta &&={\frac {x_{0}^{\premy }}+x_{1}^{\premy }\sin \theta }{\cos \theta }}}}\cos \theta }\x_{1}=x_{0}^{\premy }\tan \theta +x_{1}}^{\premy }\sec \theta &&={\frac {x_{0}^{\premy }\sin \theta +x_{1}^{\prime}}{\cos \theta}}\\x_{2}&, =x_{2}^{\prime}\end{정렬}}\right{\scriptstyle{\begin{정렬}\tan ^{2}\theta-\sec ^{2}\theta&=-1\\{\frac{\tan \theta}{\sec \theta}}&=\sin \theta \\{\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2}\theta}}}&=\sec \theta \\{\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2}\theta}}}&,=\tan \theta \end{정렬}}}\en.d{매트릭스}}}$

(8a)

Wikiversity의 학습 자료: 이 로렌츠 변환은 비안치(1886)와 다르부스(1891/94)가 유사구면 변환을 하면서 도출한 것이며, 셰퍼스(1899)가 평면 내 접촉 변환의 특별한 사례로 도출한 것이다(Laguere 기하학(Laguere 기하학) 특수상대성이론에서는 로에델 도표를 개발하면서 그루너(1921년)가, 1920년대 블라디미르 카라페토프가 사용하였다.

b) Using ${\displaystyle \cos \vartheta ={\tfrac {v}{c}}}$ one obtains the relations ${\displaystyle \csc \vartheta =\gamma }$ and ${\displaystyle \cot \vartheta =\beta \gamma }$, and the Lorentz boost takes the form:^[42]

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}+x_{2}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}\csc \vartheta -x_{1}\cot \vartheta &&={\frac {x_{0}-x_{1}\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}\cot \vartheta +x_{1}\csc \vartheta &&={\frac {x_{0}\cos \vartheta -x_{1}}{\sin \vartheta }}\\x_{2}^{\prime }&=x_{2}\\\\x_{0}&=x_{0}^{\prime }\csc \vartheta +x_{1}^{\premy }\premy \vartheta &&={\frac {x_{0}^{\premy }+x_{1}^{\premy }\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\\\x_{1}=x_{0}^{\premy }\vartheta +x_{1}}\comes \vartheta +x_{1}}}^{\premy }\csc \vartheta &&={\frac {x_{0}^{\premy }}cos \vartheta +x_{1}^{\prime}}{\sin \vartheta}}\\x_{2}&, =x_{2}^{\prime}\end{정렬}}\right{\scriptstyle{\begin{정렬}\cot ^{2}\vartheta-\csc ^{2}\vartheta&=-1\\{\frac{\cot \vartheta}{\csc \vartheta}}&=\cos(\\{\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\vartheta}}}&=\csc \vartheta \\{\frac{\cos \vartheta}{\sqrt{1-\cos ^{2}\vartheta}}}&=.\cot\vartheta \end{정렬}}}\끝{{matrix}}}$

(8b)

Wikiversity의 학습 자료: 이 로렌츠 변환은 아이젠하르트(1905)가 유사구면 변환을 하면서 도출한 것이다. 특수 상대성에서는 로에델 도표를 개발하면서 그루너(1921)에 의해 처음 사용되었다.

스퀴즈 매핑을 통한 로렌츠 변환

기하급수적 형태의 방정식(3d)이나 케일리-클레인 파라미터의 측면에서 (6f)에 이미 나타난 바와 같이, 쌍곡선 회전 측면에서 로렌츠 부스트는 압착 매핑으로 표현될 수 있다. 하이퍼볼라(u,v)의 점근 좌표를 사용하여 일반 형식을 취한다(일부 저자는 2 $또는{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 2 ${\$의 인자를 추가한다).$$^[43]

${\displaystyle {\displaysty}(1)&#{\display{display{n1}{c c}u=x_{0}+x_{1}}}&2u=x_{0}+x_{1}&{\sqrt{2}}u=x_{0}+x_{1}\\v=x_{0}-x_{1}-x_{1}-x_{1}&#{\sqrt{2}}:v_{0}-x_{0}-x_{1}\u'}^{0}^{\premium }+x_{1}^{0}}}^{\premy }&2u'=x_{0}^{\premy }+x_{1}^{\premy }&{\sqrt{2}}u=x_{0}^{\premy }+x_{1}^{\prime }\\v'=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }&2v'=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }&{\sqrt {2}}v=x_{0}^{\prime }-x_{1}^{\prime }\end{array}}\\\hline (2)&(u',v')=\left(ku,\ {\frac {1}{k}}v\right)\Rightarrow uv'=uv\end{matrix}}$

(9a)

이 방정식 시스템이 실제로 로렌츠 부스트를 나타낸다는 것은 (1)을 (2)에 연결하고 개별 변수에 대해 풀면 알 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\premy 2}\\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x_{0}^{\prime}&, ={\frac{1}{2}}\left(k+{\frac{1}{k}}\right)x_{0}-{\frac{1}{2}}\left(k-{\frac{1}{k}}\right)x_{1}&,&=ᆷ\left(k^{2}+1\right)-x_ᆸ\left(k^{2}-1\right)}{2k}}\\x_{1}^{\prime}&, =-{\frac{1}{2}}\left(k-{\frac{1}{k}}\right)x_{0}+{\frac{1}{2}}\left(k+{\frac{1}{k}}\right)x_{1}&,&){\frac{.-x_{0}\left(k^{2}-1\righT=+x_ᆮ\left(k^{2}+1\right)}{2k}}\\\\x_{0}&, ={\frac{1}{2}}\left(k+{\frac{1}{k}}\right)x_{0}^{\prime}+{\frac{1}{2}}\left(k-{\frac{1}{k}}\right)x_{1}^{\prime}&,&=ᆹ^ᆺ\left(k^{2}+1\right)+x_ᆻ^ᆼ\left(k^{2}-1\right)}{2k}}\\x_{1}&, ={\frac{1}{2}}\left(k-{\frac{1}{k}}\right)x_{0}^{\prime}+{\frac{1}{2}}\l.eft(k+{\frac{1}{k}}\right)x_{1}^{\prime }&&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(k^{2}-1\right)+x_{1}^{\prime }\left(k^{2}+1\right)}{2k}}\end{aligned}}\right {\scriptstyle {\begin{aligned}{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}&=\beta \\{\frac {k^{2}+1}{2k}}&=\gamma \\{\frac {k^{2}-1}{2k}}&=\beta \gamma \end{aligned}}}\end{matrix}}}$

(9b)

위키 배움터에서, 자재를 배우는 것은 점근 좌표의 로렌츠 변환(9a)타원 삼각 법과 관련하여, 리(1879-81)에 의해, 비앙키(1886년, 1894), 다르부(1891/94), Eisenhart(1905년)pseudospherical 표면의 Sine-Gordon 방정식의 측면에서 리 변환)[43]로 Lipsc에 의해Laisant(1874년), 귄터(1880/81)사용되어 왔다.히트z (1885/86) 변환 이론. From that, different forms of Lorentz transformation were derived: (9b) by Lipschitz (1885/86), Bianchi (1886, 1894), Eisenhart (1905); trigonometric Lorentz boost (8a) by Bianchi (1886, 1894), Darboux (1891/94); trigonometric Lorentz boost (8b) by Eisenhart (1905). 로렌츠 부스트(9b)는 본디 k-미적분학의 관점에서 헤르만 본디(1964)^[44]에 의해 특수상대성이론의 틀에서 재발견되었는데, 이 틀에 의해 k는 물리적으로 도플러 인자로 해석될 수 있다. Since (9b) is equivalent to (6f) in terms of Cayley–Klein parameter by setting ${\displaystyle k=\alpha ^{2}}$, it can be interpreted as the 1+1 dimensional special case of Lorentz Transformation (6e) stated by Gauss around 1800 (posthumously published 1863), Selling (1873), Bianchi (1888), Fricke (1891), Woods (1895).

변수 u, v in (9a)를 다시 배열하여 다른 형태의 스퀴즈 매핑을 생성할 수 있으며, 그 결과 Cayley-Hermite 파라미터 측면에서 로렌츠 변환(5b):

${\displaystyle {\displaysty}{\display{property}u=x_{0}+x_{1}\\v=x_{0}-x_{1}-x_\u'=x_{0}^{\premy }+x_{1}^{{}^{\premy }\v'_x_{0}^{\premy }-x_{1}^{1}^{1}@{1}=x_{1}^{premy }\v_x}x_{0}x_{0}^{0}}}}}{0}}}{0}{0}_{0}}{0}}}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}{0}}}}}}}}}}^{\premy }\\u_{2}=x_{1}+x_{1}^{}^{\premy }\\v_{2}=x_{0}-x_{0}^{\premy }\end{premy}\\\hline (u_{2},v_{2})=\좌측(au_{1},{a}v_{1}}\오른쪽)\Rightarrow u_{2}v_{2}=u_{1}v_{1}\\(u',v')=\왼쪽({\frac {1+a}{1-a}u,\\\\frac {1-a}{1+a}}v\right)\Rightarrow uv'=uv\end{matrix}\Rightarrow {\begin{matrix}-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}=-x_{0}^{\premium 2}+x_{1}^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}x_{0}^{\prime }&=x_{0}{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}-x_{1}{\frac {2a}{1-a^{2}}}&&={\frac {x_{0}\left(1+a^{2}\right)-x_{1}2a}{1-a^{2}}}\\x_{1}^{\prime }&=-x_{0}{\frac {2a}{1-a^{2}}}+x_{1}{\frac {1+a^{2}}-a^{2}}&={\frac {-x_{0}2a+x_{1}}\{1-a^{2}\오른쪽){1-a^{2}}\\\\x_{0}=x_{0}^{{0}^{\frac{1+a^{2}}:{1-a^{2}}+x_{1}}+x_{1}{1-a^_{1}}+x_{1}}^{\prime }{\frac {2a}{1-a^{2}}}&&={\frac {x_{0}^{\prime }\left(1+a^{2}\right)+x_{1}^{\prime }2a}{1-a^{2}}}\\x_{1}&=x_{0}^{\prime }{\frac {2a}{1-a^{2}}}+x_{1}^{\prime }{\frac {1+a^{2}}:{1-a^{2}}:}&={\frac {x_{0}^{\prime }a+x_{1}}^{\premy }\왼쪽(1+a^{2}\오른쪽)}{1-a^{2}}:\ended{a^}\ediated}\end{data}}}$

(9c)

Wikiversity의 학습 자료: 이러한 로렌츠 변환은 라게르 기하학과 관련하여 라게르(1882), 다르부스(1887), 스미스(1900)에 의해 (사인 변경까지) 주어졌다.

요인 k 또는 a에 기초하여 이전의 모든 로렌츠 부스트(3b, 4a, 8a, 8b)도 스퀴즈 매핑으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{c c c c c c}&&(3b)&(4a)&(8a)&(8b)\\\hline k&{\frac {1+a}{1-a}}&e^{\eta }&{\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}&{\frac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}&{\frac {1+\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}=\cot {\frac {\vartheta }{2}}\\\hline {\frac {k-1}{k+1}}&a&\tanh {\frac {\eta }{2}}&{\frac {\gamma -1}{\beta \gamma }}&{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan {\frac {\theta }{2}}&{\frac {1-\sin \vartheta }{\cos \vartheta }}\\\hline {\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}&{\frac {2a}{1+a^{2}}}&\tanh \eta &\beta &\sin \theta &\cos \vartheta \\\hline {\frac {k^{2}+1}{2k}}&{\frac {1+a^{2}}{1-a^{2}}}&\cosh \eta &\gamma &\sec \theta &\csc \vartheta \\\hline {\frac {k^{2}-1}{2k}}&{\frac {2a}{1-a^{2}}}&\sinh \eta &\beta \gamma &\tan \theta &\cot \vartheta \end{array}}}$

(9d)

Learning materials from Wikiversity: Squeeze mappings in terms of ${\displaystyle \theta }$ were used by Darboux (1891/94) and Bianchi (1894), in terms of ${\displaystyle \eta }$ by Lindemann (1891) and Herglotz (1909), in terms of ${\displaystyle \vartheta }$ by Eisenhart (1905), in terms of ${\displaystyle \beta }$$$ 본디(1964)에 의해.

전기역학과 특수상대성이론

보이그트 (1887)

볼드마르 보이그트(1887)는 도플러 효과와 비압축성 매체와 관련하여 현대식 표기법으로 변형을 개발하였다.^{[R 4][45][46]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}\xi _{1}&, =x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&, =y_{1}q\\\zeta _{1}&, =z_{1}q\\\tau&=t-{\frac{\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&, ={\sqrt{1-{\frac{\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =x-vt\\y^{\prime}&, ={\frac{y}{\gamma}}\\z^{\prime}&, ={\frac{z}{\gamma}}\\t^.{\prime}&, =t-{\frac{vx}{c^{2}}}\\{)frac {1}{\message }&={\sqrt{1-{\frac{v^{2}}:{c^{2}}:}\ended{aigned}}\end{nd}}}}$

그의 방정식의 우측에 multiplied을 곱하면 현대 로렌츠 변환(4b)이다. Voigt의 이론에서 빛의 속도는 불변하지만, 그의 변환은 상대론적 부스트와 시공간을 재조정하는 것을 함께 섞는다. 자유공간의 광학현상은 스케일, 컨포멀(위에서 논의한 인자를 사용), 로렌츠 불변성이기 때문에 조합도 불변한다.^[46] 예를 들어 ${\displaystyle 로렌츠\sqrt{}}$ 변환은 $l{\displaystyle }$= = ${\$ l$={\sqrt {\lambda }}$을(를) 사용하여 확장할 수 있다$.$^{[R 5]}

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

l=1/1은 Voigt 변환, l=1 로렌츠 변환을 제공한다. 그러나 규모 변환은 모든 자연의 법칙의 대칭이 아니며, 전자석일 뿐이므로 이러한 변환은 일반적으로 상대성 원리를 공식화하는 데 사용될 수 없다. 위와 같은 변형을 대칭적으로 만들고 상대성 원리에 의해 요구된 대로 그룹을 형성하기 위해서는 l=1을 설정해야 한다는 것이 푸앵카레와 아인슈타인에 의해 증명되었으므로 로렌츠 변형이 유일하게 실행 가능한 선택이다.

보이그는 1908년 로렌츠에게 1887년 자신의 논문을 보냈고, 1909년에 그것이 인정되었다.^[47]

1887년(Gött)에 발표된 "위버 다스 도플러의 스키 프린세스"라는 논문에서. Nachrichten, p. 41) and which to my regret has escaped my notice all these years, Voigt has applied to equations of the form (7) (§ 3 of this book) [namely ${\displaystyle \Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}{\tfrac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0}$] a transformation equivalent to the formulae (287) and (288) [namely ${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)}$]. 따라서 위에서 사용된 (및 § 44에서) 변환에 대한 아이디어는 Voigt로부터 차용되었을 수 있으며, 이것이 자유 에테르에 대한 방정식의 형태를 바꾸지 않는다는 증거가 그의 논문에 수록되어 있다.^{[R 6]}

또한 헤르만 민코프스키도 1908년 상대성 원리에서 주 역할을 하는 변형이 1887년 보이트에 의해 처음 조사되었다고 말했다. Voigt는 같은 논문에서 그의 이론은 전자기 이론이 아니라 탄성 있는 빛의 이론에 기초하고 있다고 응답했다. 그러나 그는 일부 결과는 사실상 동일하다고 결론지었다.^{[R 7]}

Hubiside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

1888년 올리버 허비사이드^{[R 8]}(Oliver Hubiside)는 맥스웰의 전기역학에 따라 움직이는 전하의 성질을 조사했다. 그는 무엇보다도 이 공식으로 대표되는 움직이는 신체의 전기장에서 음이소트로피를 계산했다.^[48]

${\displaystyle \mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}}$.

결과적으로,^{[R 9]} 조셉 존 톰슨(1889)은 다음과 같은 수학적 변환(로렌츠나 라르모어와 같은 다른 저자와 마찬가지로 톰슨은 자신의 방정식에서^[49] 갈릴레이 변환 z-vt를 암묵적으로 사용함으로써 이동 전하와 관련된 계산을 실질적으로 단순화하는 방법을 발견했다.

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right &{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

따라서, 이종 전자파 방정식은 포아송 방정식으로 변형된다.^[49] 결국 조지 프레데릭 찰스 서얼은^{[R 10]} (1896년)에서 흐비사이드의 표현이 전기장의 변형으로 이어져 축비(Axial ratio)의 "헤비사이드-엘립소이드(Heaviside-Elipsoid)"라고 불렀다고 지적했다.

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right &{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$^[49]

로렌츠 (1892, 1895년)

맥스웰의 방정식에 따라 빛의 일탈과 피조 실험의 결과를 설명하기 위해 1892년 로렌츠는 에테르가 완전히 움직이지 않고 에테르 속의 빛의 속도가 모든 방향에서 일정하다는 모델("로렌츠 에테르 이론")을 개발했다. 움직이는 신체의 광학성을 계산하기 위해 로렌츠는 에테르계로부터 움직이는 계통(Voigt, Hubiside, Thomson의 영향을 받았는지는 알 수 없다)^{[R 11][50]}으로 변모하기 위해 다음과 같은 양을 도입했다.

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}{\mathfrak{)}}&={\frac{V}{\sqrt{V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&, =t-{\frac{\varepsilon}{V}}{\mathfrak{)}}\\\varepsilon&={\frac{p}{\sqrt{V^{2}-p^{2}}}}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\t^{\prime}&, =t-{\frac{\gamma ^{2}vx^{\ast}}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac{.vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\c^{2}-v^{2}}:\ended}\injusted}}$

여기서 x는^* 갈릴레이 변환 x-vt이다. 시간 변환의 추가 γ을 제외하고, 이것은 완전한 로렌츠 변환(4b)이다.^[50] t는 에테르에서 쉬고 있는 관찰자의 "진정한" 시간인 반면, t′는 움직이는 시스템의 프로세스를 계산하기 위한 보조 변수일 뿐이다. 로렌츠와 후에 라르모르가 이 변형을 두 단계로 공식화한 것도 중요하다. 처음에는 암묵적인 갈릴레이식 변환, 나중에는 로렌츠 변환의 도움을 받아 "정확한" 전자기계로의 확장. 미켈슨-몰리 실험의 부정적인 결과를 설명하기 위해 분자간 힘도 유사한 방식으로 영향을 받는다는 추가 가설을 도입하고 (자신이 인정한 대로 증거가 없는) 자신의 이론에 길이수축을 도입했다.^{[R 12]} 같은 가설은 이미 1889년 조지 피츠제럴드에 의해 헤비사이드의 작품을 바탕으로 만들어졌다. 길이 수축이 로렌츠에게는 실제적인 물리적 효과였지만, 그는 시간 변환을 휴리스틱 작업 가설과 수학적 규정으로만 여겼다.

1895년 로렌츠는 자신의 이론을 더욱 상세히 설명하면서 "해당 주의 주의 원리"를 소개했다. 이 정리는 자신의 "정확한" 분야에서 움직이는 관찰자(에테르에 상대적인)가 자신의 "실제" 분야에서 휴식 관찰자와 동일한 관찰을 함으로써 v/c에서 속도가 처음 순서가 되는 것을 말한다. 로렌츠는 에테르와 이동 프레임의 정전기 시스템의 치수가 다음과 같은 변환에 의해 연결되어 있음을 보여주었다.^{[R 13]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right &{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}}$

광학 문제를 해결하기 위해 로렌츠는 다음과 같은 변환을 사용했는데, 여기서 수정된 시간 변수를 "로컬 타임"(독일어: 오르츠제이트)는 그에 의해 다음과 같이 말했다.^{[R 14]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x&,=\mathrm{)}-{\mathfrak{p}}_{)}t\\y&,=\mathrm{y}-{\mathfrak{p}}_{y}t\\z&,=\mathrm{z}-{\mathfrak{p}}_{z}t\\t^{\prime}&, =t-{\frac{{\mathfrak{p}}_{)}}{V^{2}}}x-{\frac{{\mathfrak{p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac{{\mathfrak{p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =x-v_{)}t\\y^{\pri.나}&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\premy }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}{c^{2}}}}}y-{\frac {v_{z}{c^{2}}z'\end{arged}}\end}}}$

이 개념으로 로렌츠는 도플러 효과, 빛의 일탈, 그리고 피조 실험을 설명할 수 있었다.^[51]

라르모어 (1897, 1900)

1897년 라르모르는 로렌츠의 작품을 확장하여 다음과 같은 변혁을^{[R 15]} 이끌어냈다.

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x_{1}&, =x\varepsilon ^{\frac{1}{2}}\\y_{1}&, =y\\z_{1}&, =z\\t^{\prime}&, =t-vx{2}\\dt_{1}&, =dt^{\prime}\varepsilon ^{-{\frac{1}{2}}}\\\varepsilon&=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{)}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x_{1}&, =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\y_{1}&, =y\\z_{1}&, =z\\t^{\prime}&, =t.-{\frac{vx^{\ast}}{c^{2}}}=t-{\frac{v(x-vt){c^{2}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{{dt^{}\primate }{{n2}&={1}{1-{\frac{v^{2}}}}}}\c^{nd}}{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}$

라모르는 분자의 체질이 전기적이라고 가정한다면 피츠제럴드-로렌츠 수축은 이러한 변형의 결과라고 지적하면서 미셸슨-몰리 실험을 설명했다. 주목할 점은 "개별 전자는 비율 1/4에서 정지(rest) 시스템의 해당 궤도의 일부를 더 짧은 시간으로 설명하기 때문에" 라르모르가 이러한 변형의 결과라고도 인식했다는 것이다.^[52][53] Larmor는 (v/c)²보다 높은 순서의 조건을 무시한 전기역학 방정식과 변환을 썼다 – 1929년 1897년 논문이 재인쇄되었을 때, Larmor는 다음과 같은 논평을 덧붙였는데, 이 논문은 어떻게 v/c의 모든 주문에 유효하게 될 수 있는지를 기술하였다.^{[R 16]}

어떤 것도 소홀히 할 필요가 없다: v/c가² 방정식에서 εv/c로² 대체되고 또한 aeter and Matter(1900), 페이지 168에서 설명한 바와 같이 t에서 t로 이어지는 변화에서, 그리고 로렌츠가 1904년에 발견했듯이, 따라서 본질적인 관계 상대성의 현대적인 체계를 자극하는 변환은 정확하다.

그 논평에 발맞추어, 그의 책 Aether과 물질은 1900년에 게재된, 라모:1897년 표현 t′εv/c2과 v/c2를 교체함으로써 =t-vx/c2도록 t″ 현재 한 로렌츠에 의해 1892년에는 갈릴레오식 변화로 곱셈 부호를 결합과 동일하다′, y′, z′,t′ 좌표 대신 수정한 현지 시간 t″=t′-εvx′/c2을 사용했다.[미국의 17]

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x^{\prime}&, =x-vt\\y^{\prime}&, =y\\z^{\prime}&, =z\\t^{\prime}&, =t\\t^{\prime \prime}&, =t^{\prime}-\varepsilon vx^{\prime}{2}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =x-vt\\y^{\prime}&, =y\\z^{\prime}&, =z\\t^{\prime}&, =t\\t^{\prime \prime}=t^{\prime}-{\frac{\gamma ^{2}vx^{\prime.}}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac{vx}{c^{2}}:}\오른쪽)\end{정렬}\end{data}}$

라르모르는 미셸슨-몰리 실험이 요인(v/c)에 따라 움직임의 효과를 감지할 수 있을 만큼 정확하다는 것을 알고 있었고,² 그래서 "제2의 순서에 맞게 정확하게" 변환을 추구했다(그의 표현대로). 따라서 그는 최종 변환(여기서 x′=x-vt 및 t″)을 다음과 같이 썼다.^{[R 18]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&, =\varepsilon ^{-{\frac{1}{2}}}t^{\prime}-{\frac{v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac{1}{2}}x^{\prime}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x_{1}&, =\gamma x^{\prime}=\gamma(x-vt)\\y_{1}&, =y'=y\\z_{1}&, =z'=z\\dt_{1}&, ={\frac{dt^{\prime \prime}}{\gamma}}={\frac{1}{\gamma}}\left(dt^{\prime}-{\frac{\gamma ^{2}vdx^{\pri.나}}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}\오른쪽)\\t_{1}&={\frac{t^{\primate }}{\prac }-{\prac }{c^{2}}:}=\preme \reft(t-{\frac}{c^{2}}}\right}\depreged{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그것으로 그는 완전한 로렌츠 변환(4b)에 도달했다. Larmor는 Maxwell의 방정식이 "v/c에서 두 번째 순서로"라는 이 2단계 변환에서 불변성을 보인다는 것을 보여주었다. 나중에 로렌츠(1904)와 푸앵카레(1905)에 의해 그들이 v/c의 모든 주문으로 이 변환에서 실제로 불변성을 보인다는 것이 밝혀졌다.

Larmor는 1904년에 발행된 두 논문에서 로렌츠에게 다음과 같은 좌표와 필드 구성의 첫 번째 순서 변환에 "로렌츠 변환"이라는 용어를 사용했다.

페이지 583: [..] 정지해 있는 전자동 물질 시스템의 활동 영역에서 에테르를 통한 균일한 번역 속도의 이동으로 전달하기 위한 로렌츠의 변환.
페이지 585: [..] 로렌츠 변환은 우리에게 그렇게 즉각적으로 명백하지 않은 것을 보여주었다 [..]^{[R 19]}
p. 622: [..] 로렌츠에 의해 처음 개발된 변환: 즉, 우주의 각 지점은 시간을 측정하는 자체적인 기원을 갖는 것이며, 로렌츠 문구의 "로렌츠"의 "로컬 타임"과 그 다음, 정지해 있는 시스템의 분자 사이의 에테르에 있는 모든 지점에서 전기와 자기 벡터의 값[..]은 그 기원과 동일하다. 벡터 [..]는 동일한 현지 시간에 대류계통의 해당 지점에 위치한다.^{[R 20]}

로렌츠 (1899, 1904년)

또한 로렌츠는 1899년에 그에 상응하는 상태의 정리를 확장했다. 먼저,^{[R 21]} 그는 1892년의 것과 동등한 변환을 썼다. (again, x*는 x-vt로 대체되어야 한다.)

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x^{\prime}&, ={\frac{V}{\sqrt{V^{2}-{\mathfrak{p}}_{)}^{2}}}}x\\y^{\prime}&, =y\\z^{\prime}&, =z\\t^{\prime}&, =t-{\frac{{\mathfrak{p}}_{)}}{V^{2}-{\mathfrak{p}}_{)}^{2}}}x\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =\gamma x^{\ast}=\gamma(x-vt)\\y^{\prime}&, =y\\z^{\prime}&, =z\\t^{\prime}&a.융점, =t-{\frac{\gamma ^{2}vx^{\ast}}{c^{2}}}=\c^{2}\왼쪽(t-{\frac {fract}{c^{2}}}\오른쪽)\ended{argined}\end{open}}}$

그런 다음 그는 자신이 결정할 수단이 없다고 말한 요소 introduced을 소개하고, 다음과 같이 자신의 변형을 수정했다(위의 t′ 값을 삽입해야 하는 곳).^{[R 22]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x&, ={\frac{\varepsilon}{k}}x^{\prime \prime}\\y&, =\varepsilon y^{\prime \prime}\\z&, =\varepsilon x^{\prime \prime}\\t^{\prime}&, =k\varepsilon t^{\prime \prime}\\k&, ={\frac{V}{\sqrt{V^{2}-{\mathfrak{p}}_{)}^{2}}}}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\ast}=x-vt&, ={\frac{\varepsilon}{\gamma}}x^{년.총리 \prime}\\y&, =\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이것은 x″과 t″에 대해 그리고 ε=1로 풀었을 때 완전한 로렌츠 변환(4b)과 동등하다. Larmor와 마찬가지로, 로렌츠는 1899년에^{[R 23]} "S에서 진동의 시간은₀ S에서와 같은 kε 배"의 진동 전자의 주파수와 관련하여 일종의 시간 팽창 효과를 발견했는데, 여기서 S는₀ 에테르 프레임이다.^[54]

1904년에 그는 l=1/162(again, x*는 x-vt로 대체되어야 함)를 설정하여 다음과 같은 형태로 방정식을 다시 썼다.^{[R 24]}

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x^{\prime}&, =klx\\y^{\prime}&, =ly\\z^{\prime}&, =lz\\t'&, ={\frac{나는}{k}}t-kl{\frac{w}{c^{2}}}x\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x^{\prime}&, =\gamma lx^{\ast}=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime}&, =ly\\z^{\prime}&, =lz\\t^{\prime}&, ={\frac{그것은}{\gamma}}-{\frac{\gamma lvx^{\ast}}{c^{2}}}=\gamma l\left(t.-{\frac{vx}{c^{2}}}\right)\end{alig네드}\end{matrix}}$

v=0일 때 l=1이라는 가정 하에, 그는 l=1은 모든 속도에서 해당하므로 길이 수축은 운동선에서만 발생할 수 있다는 것을 증명했다. 그래서 인자 l를 단결로 설정함으로써 로렌츠의 변형은 이제 라르모르의 것과 같은 형태를 가정하여 완성되었다. 맥스웰 방정식의 공분산을 2차 순서로 보여주도록 자신을 제한했던 라르모어와 달리 로렌츠는 그 공분산을 v/c의 모든 주문으로 넓히려고 했다. 그는 또한 전자기 질량의 속도 의존성에 대한 올바른 공식도 도출했고, 변환 공식은 전기적인 것뿐만 아니라 자연의 모든 힘에 적용되어야 한다고 결론지었다.^{[R 25]} 그러나 그는 전하 밀도와 속도에 대한 변환 방정식의 완전한 공분산을 달성하지 못했다.^[55] 따라서 1904년 논문이 1913년에 다시 인쇄되었을 때 로렌츠는 다음과 같은 말을 덧붙였다.^[56]

이 연구에서 아인슈타인의 상대성 이론의 변형 방정식이 제대로 달성되지 않았다는 것을 알게 될 것이다. [..] 이 상황에 따라 이 작품에 포함된 많은 추가 고려사항의 서투름에 따라 달라진다.

로렌츠의 1904년 변신은 1904년 7월 알프레드 부셰러가 인용하여 사용하였다.^{[R 26]}

${\displaystyle x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}}$

또는 1904년 7월 빌헬름 빈에 의해:^{[R 27]}

${\displaystyle x=kx',\display y=y=y',\disput z=z',\disput t'=kt-{\frac{v}{kc^{2}}x}$

또는 1904년 11월 에밀 쿤에 의해 (빛의 속도를 통일로 설정):^{[R 28]}

${\displaystyle x={\frac {x_}{0}}{k},\message z=y_{0},\message t=kt_{0},\message t={0}-w}-cdot r_{0},\message k^{1}={1-w^{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\frac {1}:{1-{{$

또는 1905년 2월 리처드 간스에 의해:^{[R 29]}

${\displaystyle x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}}$

푸앵카레(1900, 1905년)

현지 시간

로렌츠나 라르모어 모두 현지 시간의 기원에 대한 명확한 물리적 해석을 하지 않았다. 그러나 1900년 앙리 푸앵카레는 로렌츠가 현지 시간으로 '원더풀한 발명품'의 기원에 대해 언급했다.^[57] 그는 푸앵카레의 계산에는 길이 수축이나 시간 확장이 수반되지 않지만, 이동 기준 프레임의 시계가 양방향으로$$ 동일한 $속도{\displaystyle }$ c$[\디스플레이$ 스타일 c$]$로 이동한다고 가정하는 신호를 교환하여 동기화할 때 발생했다고 말했다.켜짐.^{[R 30]} 여기 지구상의 시계(x*, t* 프레임)를 동기화하기 위해, 한 시계(원점)의 빛 신호가 다른 시계(x*)로 전송되고, 다시 전송된다. 지구가 어떤 휴식 시스템(x, t)에서 x 방향(= x* 방향)으로 속도 v와 함께 움직이고 있다고 가정한다(즉, 로렌츠와 라르모어의 발광 에테르 시스템). 바깥으로 비행하는 시간은

${\displaystyle \propert t_{a}={\frac {x^{\ast }}}{\\reft(왼쪽)(c-v\오른쪽)}}}$

그리고 돌아오는 비행 시간은

${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$= ${\displaystyle x\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{c}}$+ ${\displaystyle \frac{v}{}}$) ${\$

신호가 반환되는 시계의 경과시간은 Δt_a+Δt이며_b t*=(Δt_a+Δt_b)/2는 광신호가 먼 시계에 도달한 순간으로 본다. 나머지 프레임에서 시간 t=Δt는_a 동일한 순간으로 간주된다. 어떤 대수학에서는 반성의 순간에 기인하는 다른 시간 좌표들 사이의 관계를 제공한다. 그러므로

${\displaystyle t^{\ast }=t-{\frac {\frac {\fract ^{2}{^{*}}{c^{2}}:$

로렌츠(1892)와 동일하다. poincaré는 v $2{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ 1 ${\displaystyle {\tfrac{v^{2}}:{c^{2}}:}\ll 1}}$을 가정하여 γ² 인자를 떨어뜨림으로써 1895년에 로렌츠가 사용한 형식인 t*=t-vx*/c² 결과를 주었다$.$

현지 시간에 대한 유사한 물리적 해석은 나중에 에밀 콘(1904)^{[R 31]}과 맥스 아브라함(1905)에 의해 제시되었다.^{[R 32]}

로렌츠 변환

1905년 6월 5일 (6월 9일 발행) 푸앵카레는 라르모어와 로렌츠와 대수적으로 동등한 변환 방정식을 공식화하여 그들에게 현대적인 형태(4b)를 주었다.^{[R 33]}

X′)kl는(x+ε지)y′)나는 yz′)나는 zt′)k나는(t+ε))k=11− ε 2{\displaystyle{\begin{정렬}x^{\prime}&, =kl(x+\varepsilon지)\\y^{\prime}&, =ly\\z^{\prime}&, =lz\\t'&, =kl(t+\varepsilon))\\k&, ={\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon ^{2}}}}\end{정렬}}}.

분명히 푸앵카레는 로렌츠만 언급하고 따라서 "로렌츠 변환"^[58][59]이라는 이름을 처음으로 사용했기 때문에 라르모르의 기여를 알지 못했다. 푸앵카레는 빛의 속도를 통일로 설정하고, l=1을 설정하여 변환의 그룹 특성을 지적하며, 상대성 원리를 완전하게 만족시키기 위해 전자역학 방정식의 로렌츠 유도(Lorenz covariant)를 일부 세부적으로 수정/수정했다.^[60]

1905년 7월 (1906년 1월 간행)^{[R 34]} 푸앵카레는 변환과 전기동적 방정식이 어떻게 최소한의 작용 원리의 결과인지를 자세히 보여 주었고, 로렌츠 그룹이라고 하는 변환의 그룹 특성을 좀 더 상세히 보여주었으며, x²+y²+z-t의²² 조합이 불변함을 보여주었다. 그는 로렌츠 변환이 c ${\displaystyle t}$ -${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$를 네 번째 가상 좌표로$$ 소개함으로써 원점에 대한 4차원 공간의 회전에 불과하다는 것을 알아차렸고, 초기 형태의 4벡터를 사용했다. 그는 또한 1905년 5월부터 로렌츠에게 이미 미발표문자로 도출한 속도 첨가식(4d)을 공식화했다.^{[R 35]}

${\displaystyle \xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}}$.

아인슈타인(1905) – 특수 상대성

1905년 6월 30일 (1905년 9월 간행) 아인슈타인은 지금 특수상대성이라 불리는 것을 출판하고 변환의 새로운 파생물을 주었는데, 이것은 상대성 원리와 빛의 속도에 대한 항상성 원리에만 기초하고 있었다. 로렌츠가 "로컬 타임"을 미셸슨-몰리 실험을 설명하기 위한 수학적 규정 장치로 간주한 반면, 아인슈타인은 로렌츠 변환에 의해 주어진 좌표가 사실 상대적으로 움직이는 기준 프레임의 관성 좌표라는 것을 보여주었다. v/c에서 첫 번째 주문의 수량에 대해서도 이것은 1900년에 푸앵카레에 의해서도 행해진 반면 아인슈타인은 이 방법에 의해 완전한 변형을 이끌어냈다. 로렌츠와 푸앵카레, 움직이는 관찰자들을 위한 에테르와 겉으로 보이는 시간 사이에 여전히 구별되는 것과는 달리, 아인슈타인은 그 변형이 공간과 시간의 본질과 관련이 있다는 것을 보여주었다.^[61][62][63]

아인슈타인이 빛의 속도를 통일로 설정하지 않았다는 점을 제외하면, 이러한 변형을 위한 표기법은 1905년과 (4b)의 푸앵카레와 동등하다.^{[R 36]}

${\displaystyle {\begin}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}x\오른쪽)\\\\xi &=\beta(x-vt)\\\\eta &=y\\\\zeta &\\beta &={\frac {1}{1-\좌측({\frac {V}{V}\우측)^{2}}\nd{정렬}}}}}}$

아인슈타인은 또한 속도 첨가 공식(4d, 4e):^{[R 37]}

${\displaystyle {\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left {\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}}=u_{\eta }\\\\frac {u_{z}}{\beta \좌측(1-{\{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\우측)}}}=u_{\\zeta }\end{nd}}\오른쪽.}$

빛 일탈 공식(4f):^{[R 38]}

${\displaystyle \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {V}}}\cos \varphi }}}}}}}$

민코프스키(1907–1908) – 스페이스타임

로렌츠, 아인슈타인, 플랑크의 상대성 원리에 관한 연구는 푸앵카레의 4차원 접근법과 함께 1907년과 1908년 헤르만 민코프스키의 하이퍼볼로이드 모델과 더욱 정교하고 결합되었다.^{[R 39][R 40]} 밍코프스키는 특히 전기역학을 4차원(Minkowski spacetime) 방식으로 개혁했다.^[64] 예를 들어 x, y, z, x₁, x 형식으로₂₃₄ 작성했다. ψ을 z축을 중심으로 한 회전각으로 정의함으로써 로렌츠 변환은 (2b)와 일치하는 형태(c=1)를 가정한다.^{[R 41]}

${\displaystyle {\regated}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}=x_{2}\x_{3}=x_{3}\cos i\x_{4}}\sin i\nows \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\nows +x_{4}}}\cos i\propert \\cos i\propert &={1}{\sqrt{1-q^{2}}:}\ended}}}}}$

민코프스키가 가상의 숫자 iψ를 사용했음에도 불구하고^{[R 41]} 한때는 속도 방정식에 탱겐 쌍곡선을 직접 사용했다.

${\displaystyle -i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q}$ with ${\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}}$.

민코프스키의 표현은 ψ=atanh(q)로 쓰임으로써도 할 수 있으며, 후에 신속성으로 불리게 되었다. 또한 로렌츠 변환을 (2a) (n=3)와 동등한 매트릭스 형태로 작성하였다.^{[R 42]}

${\displaystyle {\display}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\premy 2}+x_{2}}^{\premy 2}+x_{3}^{\premy 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left {\begiN{매트릭스}\alpha _{11},&, \alpha _{12},&, \alpha _{13},&,\alpha _{14}\\\alpha _{21},&, \alpha _{22},&, \alpha _{23},&,\alpha _{24}\\\alpha _{31일},&, \alpha _{32},&, \alpha _{33},&,\alpha _{34}\\\alpha _{41},&, \alpha _{42},&, \alpha _{43},&, \alpha _{44}\end{매트릭스}}\right,\{\begin{정렬}{\bar{\mathrm{A}}}\mathrm{A}.&=1\\\left(\det \mathrm{A}\right)^{2}&, =1\\\det \mathrm{A} &=1\\\\alpha _{44}&}0\ended{aigned}} \end{matrix}}}$

로렌츠 변환의 그래픽 표현으로 그는 민코프스키 다이어그램을 소개했는데, 이 도표는 상대성에 관한 교과서와 연구 기사에서 표준 도구가 되었다.^{[R 43]}

소머펠트(1909) – 구형 삼각법

민코우스키와 같은 상상 속도의 속력을 이용하여 아놀드 소머펠트(1909)는 로렌츠 부스트(3b)에 해당하는 변형을 공식화하였으며 삼각함수와 코사인의 구형 법칙에 관한 상대론적 속도 첨가(4d)는 다음과 같다.^{[R 44]}

$왼쪽.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \cos \not \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}}$

Bateman 및 Cunningham(1909–1910) – 구형파 변환

상상 반지름 좌표를 가진 구체 변환과 4D 순응 변환의 관계에 대한 리의 연구(1871)에 따라, 베이트만과 커닝햄(1909–1910)은 u=ict를 가상의 네 번째 좌표로 설정함으로써 시간 간격 순응 변환을 만들 수 있다고 지적했다. 2차 형태 $\lambda {\displaystyle (d}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ d ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ d z ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\$)$$}뿐만 아니라, 맥스웰 방정식은 choice의 선택에 관계없이 이러한 변환과 관련하여 공변형식도 공변형이다. 이러한 변이형 또는 리구 변환은 베이트만에 의해 구면파 변환이라고 불렸다.^{[R 45][R 46]} 그러나 이 공분산은 전기역학과 같은 특정 영역에만 국한되는 반면, 관성 프레임의 자연 법칙의 총성은 로렌츠 그룹 하에서는 공변량이다.^{[R 47]} 특히 ,=1을 설정함으로써 로렌츠 그룹 SO(1,3)를 15-모수 스페이스타임 등정규격 그룹 Con(1,3)의 10-모수 하위 그룹으로 볼 수 있다.

베이트먼(1910/12)^[65]도 라구에르 역변환과 로렌츠 변환 사이의 정체성을 암시했다. 일반적으로 라구에르 그룹과 로렌츠 그룹 사이의 이소모르피즘은 엘리 카르탄(1912, 1915/55),^{[24][R 48]} 앙리 푸앵카레(1912/21)^{[R 49]} 등이 지적하였다.

헤르글로츠(1909/10) – 뫼비우스 변환

케일리 절대, 쌍곡 운동 및 그 변형에 관한 클라인(1889–1897)과 프리케 & 클라인(1897)에 이어 구스타프 헤르글로츠(1909/10)는 1-모수 로렌츠 변형을 록소드롬, 쌍곡선, 포물선, 타원형으로 분류했다. 로렌츠 변환(6a)에 해당하는 일반 케이스(왼쪽)와 로렌츠 변환(3d) 또는 스퀴즈 매핑(9d)에 해당하는 쌍곡선 케이스(오른쪽)는 다음과 같다.^{[R 50]}

$왼쪽.{\reason{buff}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}}z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac{z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac{x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac{x'+iy의}{t'-z의}}\\Z={\frac{\alpha Z'+\beta}{\gamma Z'+\delta}}\end{매트릭스}}\right{\begin{행렬}Z=Z'e^{\vartheta}\\{\begin{정렬}x&, =x',&, t-z&, =(t'-z의)e^{\vartheta}\\y&, =y',&, t+z&,{-\var =(t'+z의)e^ ^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\.theta}\end{정렬}}\end{{{11}}}}$

변이차크(1910) – 쌍곡 함수

소머펠트(1909년)에 이어 1910년부터 여러 논문에서 블라디미르 변수치에 의해 쌍곡선 기능이 사용되었는데, 그는 위어스트라스 좌표면에서 쌍곡선 기하학을 기초로 특수 상대성 방정식을 대표하였다. 예를 들어, l=ct 및 v/c=tanh(u)를 u와 빠른 속도로 설정함으로써, 그는 (3b)와 합의하여 로렌츠 변환을 작성했다.^{[R 51]}

${\displaystyle {\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}}$

그리고 구더만 기능과의 신속성 및 병렬각과의 관계를 보여주었다.^{[R 51]}

${\displaystyle {\frac {v}{c}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd}(u)=\cos \Pi(u)}$

그는 또한 코사인의 쌍곡선 법칙에 속도 추가와 관련이 있다.^{[R 52]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left\frac {v_{1}v_{2}}:{c}\right)^{2}}:}\ \left(a={\frac{}{\pi{2}}\right}\end}}}}}}}}}}$

그 후, E. T와 같은 다른 작가들이 있다. 휘태커(1910년)나 알프레드 롭(1911년, 신속도라는 이름을 만들어 낸)도 비슷한 표현을 썼는데, 지금도 현대 교과서에서 사용되고 있다.^[10]

이그나토프스키(1910)

로렌츠 변환의 초기 유래와 공식은 광학, 전기역학 또는 빛의 속도의 불변성에 처음부터 의존했지만, 블라디미르 이그나토프스키(1910)는 다음과 같은 변환을 도출하기 위해 상대성 원리(및 관련 그룹 이론 원리)를 단독으로 사용하는 것이 가능하다는 것을 보여주었다.n 두 관성 프레임 사이:^{[R 53][R 54]}

${\displaystyle {\q^{2}n}\end{aigned}dx'&=dx-pq\dt\dt\=dx+pn\dx+p\dt\dt\dt\={\frac {1}{1}{\sqrt}{1-q^{2}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

변수 n은 실험에 의해 값을 결정하거나 전자역학 등 알려진 물리적 법칙에서 추출해야 하는 시공간 상수로 볼 수 있다. 그런 목적을 위해 이그나토프스키는 동작 방향에서 x/smx에 의한 정전기장의 수축을 나타내는 상기의 Hubiside 타원체를 사용했다. 이는 n=1/c일² 때 이그나토프스키의 변혁과 일치하여 p=1/c, 로렌츠 변혁(4b)이 발생함을 알 수 있다. n=0이면 길이 변화가 일어나지 않고 갈릴리 변형이 뒤따른다. 이그나토프스키의 방법은 필립 프랭크와 헤르만 로테(1911, 1912년)에 의해 더욱 발전되고 개선되었으며,^{[R 55]} 이후 여러 저자들이 유사한 방법을 개발하였다.^[66]

노에더(1910), 클라인(1910) – 쿼터니언

펠릭스 클라인(1908)은 케이리의 (1854) 4D 쿼터니온 승수를 "Drehstreckungen(Drehstreckungen)"이라고 표현하며, 민코프스키가 제공하는 현대의 상대성 원리는 본질적으로 그러한 드레스트레쿤겐의 결과적 적용에 불과하다고 지적했다.자세한 건 ^{[R 56]}안 알려줬어

프리츠 노에더는 클라인과 소머펠트의 '톱의 이론'(1910) 부록에서 $\Omega {\displaystyle }$=${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$의 바이쿼터니온을 이용한 쌍곡선 회전 공식화 방법을 보여주었는데$,$ 이 또한 Ω² =-c를² 설정하여 빛의 속도와 관련이 있었다. 그는 이것이 (7a)에 해당하는 로렌츠 변환 그룹의 합리적인 표현을 위한 주요 성분이라고 결론지었다.^{[R 57]}

${\displaystyle {\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}:{{}{{1}{2}}T_{1}T_{2}}:\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega^{2}S^{2}=x^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+{2}+\omega^{2}s^{2}\\\begin{aigned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\\Q_{1}&=(+Ai+Bj)+Ck+D)+\오메가(A'i+B'j+C'k+D')\\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\오메가(A'i+B'j+C'k-D')\\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+D^{2}+\오메가^{2}\{2}\왼쪽(A^{\premy 2}+B^{\premy 2}}+C^{\premy 2}}+D^{\premeged}}}}\end{matrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

노에더는 케이리(1854년)와 같은 쿼터니온 관련 표준 작품들을 인용한 것 외에도 에두아르드 스터디의 클라인의 백과사전(1899년)과 에일리 카르탄의 프랑스판(1908년)의 출품작들을 언급했다.^[67] 카르탄의 버전에는 Study의 이중 숫자, 클리포드의 바이쿼터니온(쌍곡 기하학의 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{경우}}}$ $\Omega {\displaystyle }$=${\displaystyle \sqrt{}}$- 1 ${\$ 포함), 클리포드 대수 등에 대한 설명이 들어 있으며 스테파노스(1883년), 부하임(1884/85년), 발렌(1901/02년) 등을 참조한다.

노에더를 인용하여 클라인 자신은 1910년 8월에 로렌츠 변형 집단을 구성하는 다음과 같은 쿼터니온 대체물을 발표했다.^{[R 58]}

${\displaystyle{\begin{행렬}{\begin{정렬}&, \left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&, \quad -\left(i_{1}x_{0}일 경우 +i_{2}y_{0}일 경우 +i_{3}z_{0}일 경우 +ict_{0}일 경우 \right)\end{정렬}}={\frac{\left[{\begin{정렬}&, \left(i_{1}(A+iA의)+i_ᆳ(B+iB의)+i_ᆴ(C+iC의)+i_ᆵ(D+iD의)\right)\\&,\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&, \quad\quad \c.점 \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\hline {\text{where}\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+C^{2}+D^{2}]>>A^{\premy 2}+B^{\premy 2}+C^{\premy 2}+D^{\premy 2}\end{matrix}}}}}}$

또는 1911년^{[R 59]} 3월에

${\displaystyle {\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\왼쪽(A^{2}+B^{2}+C^{2}+C^{2}+D^{2}\오른쪽)\왼쪽(A^{\premium 2}+B^{\premium 2}+C^{\premium 2}+D^{\premyme 2}\\&#\&##########################################################AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+C^{2}+D^{2}]>>A^{\premy 2}+B^{\premy 2}+C^{\premy 2}+D^{\premy 2}\ediated}\end{matrix}}}}}$

Conway(1911), Silberstein(1911) – Quaternion

아서 W. 콘웨이는 1911년 2월 속도 λ 측면에서 다양한 전자기량의 쿼터니온 로렌츠 변환을 명시적으로 공식화했다.^{[R 60]}

${\displaystyle{\begin{행렬}{\begin{정렬}{\mathtt{D}}&=\mathbf{를}^{)}{\mathtt{D}}{를}^{)}\\{\mathtt{\sigma}}및 '\mathbf, =\mathbf{를}{\mathtt{\sigma}}'\mathbf{를}^{)}\end{정렬}}\\e=\mathbf{를}^{)}e'\mathbf{를}^{)}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac{1}{4}}}.\end{매트릭스}}}$

또한 1914년뿐만 아니라 1911년 11월^{[R 61]} 루드윅 실버슈타인은 ^[68]속도 v:

${\displaystyle {\begin{matrix}q'=QQQ\\\hline {r}+l=xi+yj+zk+\iota ct\q&'=\mathbf {r}'+l'x'i+j'z+iota ct\'\\mathbfQ&={\frac {1}{\sqrt {2}}:}\왼쪽({\sqrt {1+\gamma }}}+\mathrm {u}{\sqrt {1-\gamma }\오른쪽)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

실버스타인은 카일리(1854년, 1855년)와 스터디의 백과사전 항목(1908년 프랑스판 확장판 카탄)을 인용하며 클라인과 소머펠트 책의 부록도 인용한다.

헤르글로츠(1911), 실버슈타인(1911) – 벡터 변환

Gustav Herglotz(1911)^{[R 62]}는 임의의 속도를 허용하고 v=(v_x, v_y, v_z) 및 r=(x, y, z)를 좌표화하기 위해 (4)c에 해당하는 변환을 공식화하는 방법을 보여주었다.

${\displaystyle {\displaysty}{\text{origin}&{\text{modern}\\hline \왼쪽.{\begin{정렬}x^{0}&, =x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&, =y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&, =z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&,=-\beta(ux+vy+wz)+\beta t\\&, \alpha ={\frac{1}{{\sqrt{1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt{1-s^{2}}}\right)}},\\beta ={\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}}}\end{정렬}}\right&{\begin{정렬}x'&, =x+\alph.한 v_{)}\left(v_{)}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

이것은 Ludwik Silberstein (왼쪽 1911, 오른쪽 1914)에 의해 벡터 표기법을 사용하여 단순화되었다.^{[R 63]}

${\displaystyle{\begin{배열}{cc}{\begin{정렬}\mathbf{r}'&, =\mathbf{r}+(\gamma))(\mathbf{ 지내})\mathbf{u}+i\beta \gamma lu\\l'&, =\gamma \left[l-i\beta(\mathbf{ 지내})\right]\end{정렬}}&{\begin{정렬}\mathbf{r}'&, =\mathbf{r}+\left[{\frac{\gamma)}{{2}v^}}(\mathbf{vr})-\gamma t\right]\mathbf{v}\\t'&, =\gamma. \left는 경우에는 t-{\frac{1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\ended{array}}}$

볼프강 파울리(1921년)가 준 등가 공식도 에르윈 마델룽(1922년)이 매트릭스 형식을^[70] 제공했다.^[69]

${\displaystyle{\begin{배열}{ccccc}&, x&, y&, z&,t\\\hline x'&, 1-{\frac{v_{)}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&, -{\frac{v_{)}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&, -{\frac{v_{)}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&,{\frac{-v_{)}}{\sqrt{1-\b.에타 ^{2}}}}\\y'&, -{\frac{v_{)}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&, 1-{\frac{v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&, -{\frac{v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&,{\frac{-v_{y}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\\z'&, -{\frac{v_{)}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right).&-{\frac{v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&, 1-{\frac{v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\right)&,{\frac{-v_{z}}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\\t'&,{\frac{-v_{)}}{c^{2}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}}&{\frac{-v_{y}}{c^{2}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}}&{\frac{-v_{z}}{c^{2}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}}&,{\frac.{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}}\end{array}}}$

이 공식"회전 없이 일반적인 로오 렌쯔 변환"는 외에는 데카르트 축 다른 방향이 훨씬 더 일반적인 로오 렌쯔 변환을 주었다 크리스티안 버섯(1952년)[71]에 의해,}는 회전 연산자 D{\displaystyle{\mathfrak{D}를 사용하여}. 이 경우 v′=(v′x, v′y, v′z) 같지 않은 경우 소집되었다. -v=에-v_x, -v_y, -v_z) 그러나 $관계{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ v${\displaystyle {}^{}=}$= - ${\displaystyle D\mathbf{}}$ v ${\$ v ${\displaystyle \$mathbf {v} $'=-{\mathfak {$D}\mathbf {$v}은($는) 대신$$ 유지되며 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

보렐(1913–14) – Cayley–헤르미트 매개변수

보렐(1913)은 오일러 로드리게스 매개변수를 3차원으로, 케이리(1846) 매개변수를 4차원으로 사용해 유클리드 운동을 시연하는 것으로 시작했다. 그리고 나서 그는 쌍곡선 움직임과 로렌츠 변형을 표현하는 무기한 2차적 형태에 대한 연결을 증명했다. (5b)에 해당하는 3차원:^{[R 64]}

${\displaystyle{\begin{행렬}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline{\scriptstyle{\begin{정렬}\delta a&, =\lambda, =-\lambda ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},& ^{2}+\mu, \del ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&,\delta b&, =2(\lambda \mu +\nu \rho),&,\delta c&, =-2(\lambda \nu +\mu \rho),\\\delta a'&, =2(\lambda \mu -\nu \rho),&,\delta b'& ^{2}+\mu.강타 c'&, =2(\lambda \rho -\mu \nu),\\\.delta a''&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b''&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{쌍곡선회}}\end{매트릭스}}$

(5c)와 동등한 4차원:^{[R 65]}

${\displaystyle{\begin{행렬}(x_{1}-x_{2}\right)^ᆯ+\left(y_{1}-y_{2}\right)^ᆰ+\left(z_{1}-z_{2}\right)^ᆱ-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline{\scriptstyle{\begin{정렬}&, \left(\mu ^{2}+\nu^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta}& \varphi,&-(\alpha \beta +\.\mu 람다)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})-\nu \sin \varphi -\gamma\operatorname{쉐}{\theta}\\&, -(\alpha\beta +\lambda \mu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})-\nu \sin\varphi +\gamma\operatorname{쉐}{\theta}&, &, \left(\mu ^{2}+\nu^{2}-\beta ^{2}\right)\cos +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operato \varphi.rname{ch}{\theta}\\&, -(\alpha \gamma +\lambda \nu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\mu\sin \varphi\operatorname{쉐}{\theta}& -\beta,&-(\beta \mu +\mu \nu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\lambda \sin\varphi +\alpha\operatorname{쉐}{\theta}\\&,(\gamma\mu -\beta \nu)(\cos \varphi-\operatorname{ch}{\theta}.)+\alpha \sin \vArphi, &, -(\alpha \nu -\lambda \gamma)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\beta\sin \varphi\operatorname{쉐}{\theta}\\\\& -\mu, \quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\mu\sin \varphi\operatorname{쉐}{\theta}& +\beta,&\quad(\beta \nu-\operatorname{쉐}{\theta}& -\lambda.\mu \nu)(\cos \varp안녕하세요-\operatorname{ch}{\theta})+\alpha \sin \varphi -\lambda\operatorname{쉐}{\theta}\\&,\quad -(\beta \mu +\mu \nu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})-\lambda \sin\varphi -\alpha\operatorname{쉐}{\theta}&,&\quad(\lambda \gamma -\alpha \nu)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\beta \sin \varphi-\mu \operato.rname{쉐}{\theta}\\&,\quad \left(\lambda ^{2}+\mu{2}-\gamma ^{2}\right^)\cos +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname{ch}{\theta}& \varphi,&\quad(\alpha \mu-\beta \lambda)(\cos\varphi -\operatorname{ch}{\theta})+\gamma \sin-\nu\operatorname{쉐}{\theta}\\& \varphi,\quad(\beta \gamma -\alpha \mu)(\cos \varphi-.\operatorname{ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}}$

그루너(1921) – 삼각 로렌츠 부스트

민코프스키 공간의 그래픽 표현을 단순화하기 위해 폴 그뤼너(1921) (요제프 사우테르의 도움으로)는 다음과 같은 관계를 이용하여 현재 로에델 도표라고 불리는 것을 개발하였다.^{[R 66]}

${\displaystyle {\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}}$

다른 논문에서 그루너는 다음과 같은 대안적 관계를 사용했다.^{[R 67]}

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}}$

오일러의 간격

로렌츠가 자신의 표현을 발음하기 몇 년 전의 역사를 추구함에 있어서, 그 개념의 본질에 주목한다. 수학적 용어로 로렌츠 변환은 스퀴즈 매핑으로, 정사각형을 같은 영역의 직사각형으로 바꾸는 선형 변환이다. 오일러 이전에, 짜는 것은 하이퍼볼라의 4각으로 연구되어 쌍곡 로그로 이어졌다. 1748년 오일러는 e라는 숫자가 단위 서클에서 삼각법으로 이용되는 그의 사전 계산 교재를 발행했다. 제1권 '무한도 분석 소개'는 도표가 없어 교사와 학생이 직접 삽화를 그릴 수 있었다.

오일러의 본문에는 로렌츠 변형이 일어나는 틈새가 있다. 자연 로그의 특징은 쌍곡선 섹터의 영역으로 해석된다는 것이다. 상대성에서는 속도에 대한 고전적인 개념이 쌍곡선 영역에 구축된 쌍곡선 각도 개념인 신속성으로 대체된다. 로렌츠 변환은 원형 섹터 영역이 원형 회전으로 보존되는 것처럼 빠른 속도의 차이를 보존하는 쌍곡선 회전이다. 오일러의 간격은 쌍곡각과 쌍곡함수의 결여로, 후에 요한 람베르트가 개발하였다. 오일러는 일부 초월함수, 즉 지수와 순환함수를 설명했다. ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{그}}}$는 지수 시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$/${\displaystyle n}$! ${\displaystyle \sum _{0}^{\inful }x^{n}/n!$을 사용했다.$}$ 상상의 단위² i = – 1로, 시리즈를 짝수 및 홀수 용어로 나누어$$ 얻은 것이다.

${\displaystyle e^{ix}=\sum _{0}^{0}^{2n}/(2n)!\\\\sum _{0}^{0}{\infit }^{2n+1}/(2n+1)!=}$

${\displaystyle =\sum _{0}^{{0}^{n1}-1)^{n}/2n!+i\sum _{0}^{0(-1)^{n}x^{2n+1}/(2n+1)!\ =\ \cos x+i\sin x.}$

이 개발은 대안을 놓친다.

${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$= ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle$ e$^{x}=\cosh x+\sinh$ x$}($짝수 및 홀수 항) 및

${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$= ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$+ j ${\displaystyle \sinh }$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{j}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle e^{jx}=\cosh x+j\sinh x\$sinh x\$reas (j^{2}=+1)}$ 단위 하이퍼볼라를 파라메트하는.

여기서 오일러는 복잡한 숫자와 함께 분할 복합 수를 기록할 수 있었다.

물리학의 경우, 하나의 공간 차원이 불충분하다. 그러나 분할 복합 산수를 4차원으로 확장하는 것은 쌍곡 쿼터니온으로 이어지고, 추상 대수학의 하이퍼 복합 숫자의 문을 연다. 로렌츠와 아인슈타인의 표현을 검토하면서 로렌츠 인자가 속도의 대수적 함수라는 것을 관찰한다. 초월함수 cosh와 sinh가 불편한 독자들에게 대수함수는 그들의 취향에 더 맞을 수 있다.

참고 항목

• 특수상대성이론의 역사

참조

역사적 수학적 출처

위키다양성 특수상대성/수학원 주제사 관련 학습자료

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외부 링크

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