달랑베르 원리

달랑베르의 원리, 일명 라그랑주-드'렘버트 원리는 기본적인 고전 운동 법칙의 진술입니다. 발견자인 프랑스 물리학자이자 수학자인 장 르롱드알렘베르와 이탈리아계 프랑스 수학자인 조제프 루이 라그랑주의 이름을 따서 지어졌습니다. D'Alembert의 원리는 시스템에서 인가된 힘에 추가될 때 동적 평형을 초래하는 관성력을 도입함으로써 정적 시스템에서 동적 시스템으로 가상 작업의 원리를 일반화합니다.^[1]^[2]

달랑베르의 원리는 속도에 의존하는 운동학적 제약의 경우에 적용될 수 있습니다.^[1]^{: 92} 슬라이딩 마찰과 같은 비가역적 변위에 대해서는 원리가 적용되지 않으며, 비가역성에 대한 보다 일반적인 사양이 필요합니다.^[3]^[4]

원칙명세서

이 원리는 거대한 입자의 계에 작용하는 힘과 계의 제약 조건과 일치하는 가상 변위에 투영된 계 자체의 운동량에 대한 시간 도함수의 차이의 합은 0이라고 말합니다.^{[clarification needed]} 따라서 수학적 표기법에서 달랑베르의 원리는 다음과 같이 쓰여집니다.

\sum_{i}(\mathbf {F}_{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v}}_{i}-{\dot {m}}-{\mathbf {v}_{i})\cdot \delta \mathbf {r}_{i}=0,

위치:

$i$ $i$ 는 $i$ 시스템의 특정 입자에 해당하는 변수를 (첨자를 통해) 나타내기 위해 사용되는 정수입니다.
$\mathbf {F} _{i}$ ${\$ 는 ${\mathbf {F}}_{i}$ $i$ $i$ 번째 $i$ 입자에 가해지는 총 힘(제약력 제외)이며,
$m_{i}$ ${\$ 는 $m_i$ i ${\displaystyle$ i $}$ 번째 $i$ 입자의 질량입니다.
$\mathbf {v} _{i}$ $vi$ ${\$ 는 $\mathbf {v} _{i}$ i ${\displaystyle$ i $}$ 번째 $i$ 입자의 속도입니다.
$δ$ r ${\$ displaysty $\delta \mathbf {r} _{i}$ elta \mathbf {r} _{i}}은 i {\displaystyle i}번째 입자의 가상 변위로, 제약 조건과 일치합니다.

뉴턴의 점 표기법은 시간에 대한 도함수를 나타내는 데 사용됩니다. 위의 방정식은 흔히 달랑베르의 원리라고 불리지만, 조셉 루이 라그랑주에 의해 이 변주 형식으로 처음 쓰였습니다.^[5] 달랑베르의 기여는 동적 계의 전체성에서 제약의 힘이 사라짐을 증명하는 것이었습니다. 즉, 일반화된 힘 $\mathbf {Q} _{j}$ ${\$ 는 구속력을 포함할 필요가 $\mathbf {Q} _{j}$ 없습니다. 다소 번거로운 가우스의 최소 구속의 원리에 해당합니다.

도함수

질량이 가변적인 일반 케이스

달랑베르 원리의 일반적인 진술은 "계의 모멘트의 시간 도함수"를 언급합니다. 뉴턴의 제2법칙에 의해 운동량의 첫 번째 미분은 힘입니다. $i$ $i$ 번째 $i$ 질량의 운동량은 질량과 속도의 곱입니다.

\mathbf {p} _{i} = m_{i}\mathbf {v} _{i

그리고 그것의 시간 도함수는

{\dot {\mathbf {p}}}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v}_{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v}}}_{i}

많은 응용 분야에서 질량은 일정하고 이 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

{\dot {\mathbf {p}}}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v}}_{i}=m_{i}\mathbf {a}_{i}

그러나 일부 애플리케이션은 질량을 변경하는 것(예: 체인을 말거나 말거나 푸는 것)을 포함하며, 이러한 경우 ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ ˙ $iv$ ${\displaystyle {\dot$ {m}_{i}_mathbf {v}_{i} 및 miv ˙i {\display m_{i}{\dot {\mathbf {v}}_{i}는 모두 존재해야 합니다.

\sum_{i}(\mathbf {F}_{i}-m_{i}\mathbf {a}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v}_{i})\cdot \delta \mathbf {r}_{i}=0.

질량이 일정한 특수한 경우

질량이 일정한 입자들로 이루어진 $계인$ i {\ $displaystyle i}$ 에 대한 뉴턴의 법칙을 생각해 보십시오 $i$ 각 입자에 대한 총 힘은^[6]

\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}

어디에

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ ( $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ ${\$ _ ${i}^{(T)}}$ 는 ${\mathbf {F}}_{{i}}^{{(T)}}$ 계의 입자에 작용하는 총 힘입니다.
$m_{i}\mathbf {a} _{i}$ ${\$ 는 $m_{i}{\mathbf {a}}_{i}$ 총 힘에서 발생하는 관성력입니다.

관성력을 왼쪽으로 이동시키면 준정적 평형을 나타내는 것으로 간주될 수 있는 표현이 나오지만 실제로는 뉴턴 법칙의 작은 대수적 조작에 불과합니다.^[6]

\mathbf {F}_{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a}_{i}=\mathbf {0}.

가상 작업을 고려할 때 $,$ 전체 힘과 관성 힘이 함께 임의의 가상 $\delta \mathbf {r} _{i}$ 인 $\delta \mathbf {r} _{i}$ 의 $\delta \mathbf {r} _{i}$ δ ri {\ $displaystyle$ \ $delta$ \mathbf {r}_{i}를 통해 수행되는 $\delta W$ δ W ${\$ displaystyle \delta $\delta \mathbf {r} _{i}$ $W$ }는 관련된 힘이 각 입자에 대해 0이 되기 때문에 0의 동일성으로 이어집니다.

\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0

원래 벡터 방정식은 일 표현식이 임의의 변위에 대해 유지되어야 한다는 것을 인식함으로써 복구될 수 있습니다. 총 힘을 가해진 힘, $\mathbf {F} _{i}$ ${\$ $_$ ${i}$ 및 구속력, $\mathbf {C} _{i}$ ${\$ _ ${i$ 수율^[6]

{\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F}_{i}\cdot \delta \mathbf {r}_{i}+\sum _{i}\mathbf {C}_{i}\cdot \delta \mathbf {r}_{i}-\sum _{i}m_{i}\cdot \delta \mathbf {r}_{i}=0.

임의의 가상 변위가 제약 힘과 직교하는 방향이라고 가정하면(일반적으로 그렇지 않으므로 이 유도는 특수한 경우에만 작동합니다), ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 힘은 아무런 작업도 수행하지 않습니다. ∑ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ⋅ δ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ = $0 {\$ textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \ delta \mathbf {r} _{i}=0}. 그러한 변위는 제약 조건과 일치한다고 합니다.^[7] 이것은 동적 계에 대한 인가된 힘과 관성력의 차이가 가상적인 작용을 하지 않는다는 달랑베르의 원리를 공식화하는 결과로 이어집니다.^[6]

\delta W=\sum_{i}(\mathbf {F}_{i}\mathbf {a}_{i})\cdot \delta \mathbf {r}_{i}=0.

가해진 힘에 대한 가상 일의 원리라고 불리는 정적인 시스템에 대한 대응 원리도 있습니다.

달랑베르의 관성력 원리

달랑베르는 가속 중인 강체를 소위 "인터리 힘"과 "인터리 토크" 또는 모멘트를 더하면 등가의 정적 시스템으로 변환할 수 있다는 것을 보여주었습니다. 관성력은 질량 중심을 통해 작용해야 하며, 관성 토크는 어디에서나 작용할 수 있습니다. 그러면 시스템은 이 "인텔리션 힘과 모멘트"와 외부 힘의 영향을 받는 정적 시스템으로 정확히 분석될 수 있습니다. 장점은 동등한 정적 시스템에서 질량 중심뿐만 아니라 모든 점에 대해 순간을 취할 수 있다는 것입니다. 이는 종종 모멘트 방정식을 적용할 적절한 점(모멘트의 합 = 0)을 선택하여 모멘트 방정식에서 모든 힘(순서)을 제거할 수 있기 때문에 더 간단한 계산으로 이어집니다. 기계의 역학 및 운동학의 기초 과정에서도 이 원리는 어떤 메커니즘이 작동할 때 링크에 작용하는 힘을 분석하는 데 도움이 됩니다. 공학 역학 교과서에서는 이것을 달랑베르 원리라고 부르기도 합니다.

동형평형

D'Alembert의 가상 작업 원리의 형태는 가해진 힘과 관성 힘의 합의 가상 작업이 시스템의 가상 변위에 대해 0일 때 강체 시스템이 동적 평형에 있다고 말합니다. $따라서$ 일반화 $m$ 좌표가 $m$ $m$ 인 n ${\displaystyle$ n $}$ 개 $n$ 강체 시스템의 동적 평형이 필요합니다.

\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1)}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,

임의의 가상 변위 세트에 대해

Qj

{\

displaystyle

Q_{j

}를 일반화된

Q_{j}^{*}

으로

Q_{j}^{*}

하고

Qj

∗

{\displaystyle

Q_{j}를 일반화된

관성력

으로

Q_{j}

δ qj {\displaystyle Q_{j}^{*}를 사용합니다.

이

조건은 m

m

개의

m

방정식을 생성합니다.

Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,

다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\dot {q}_{j}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots,m.

그 결과는 강체 시스템의 역학을 정의하는 m개의 운동 방정식입니다.

라그랑지안을 이용한 제형

달랑베르의 원리는 해밀턴의 원리의 일반화된 버전으로서 계의 라그랑지안 L=T-V로 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r},{\dot {\mathbf {r}},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F}_{i}\cdot \delta \mathbf {r}_{i}dt=0,

위치:

$\mathbf {r} = (\mathbf {r} _{1}, ...,\mathbf {r} _{N})$

$\mathbf {F} _{i}$ ${\$ 는 $\mathbf {F} _{i}$ 가해진 힘입니다.

$δ$ $r$ ${\$ displaysty $\delta \mathbf {r} _{i}$ $elta \mathbf$ {r} _{i}}는 i ${\$ displaystyle i}번째 입자의 가상 변위로, 제약 $\delta \mathbf {r} _{i}$ 조건 ∑ i $\delta \mathbf {r} _{i}$ ⋅ $\delta \mathbf {r} _{i}$ r = 0 {\ $displaystyle$ \sum _{i}\mathbf {C} _ ${$ i}\cd $\delta \mathbf {r} _{i}$ elta \mathbf {r} $\delta \mathbf {r} _{i}$ {i}=0}과 일치합니다.
임계 곡선은 제약 $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$ ∑ i $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$ ⋅ r ˙ $i$ = $0 {\$ displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r}}}_{i}=0}

라그랑지안과 함께

L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},

달랑베르 원리의 이전 진술이 회복되었습니다.

열역학의 일반화

달랑베르 원리의 확장은 열역학에서 사용될 수 있습니다.^[4] 예를 들어, 단일 엔트로피 S에 따라 일정한 질량 mi ${\$ 인 라그랑지안에 의해 기술된 단열적으로 닫힌 열역학계의 경우 $m_{i}$ 다음과 같이

L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),

다음과 같이 적혀있습니다.

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r},{\dot {\mathbf {r}},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F}_{i}\cdot \delta \mathbf {r}_{i}dt=0,

{\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}

∑ i

{\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}

{\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}

⋅ δ

{\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}

=

0 {\

textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 및 ∑ i Ci ⋅ r ˙ i = 0 {\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\mathbf {r}}_{i}=0}은 엔트로피를 포함하는 일반화입니다.

$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$
$\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r}}}_{i}+T{\dot {S}}=0.$

$T=\partial V/\partial S$ 서 T = ∂ $V$ / ∂ S {\displaystyle T = $\$ partial V/\ $partial$ S}는 계의 온도, Fi {\displaystyle \mathbf {F} _{i}는 외부 힘, Ci {\displaystyle \mathbf {C} _{i}는 내부 소산력입니다. 그 결과 기계적 균형과 열 균형 방정식이 생성됩니다.^[4]

m_{i}\mathbf {a}_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r}_{i}}+\mathbf {C}_{i}+\mathbf {F}_{i},\;\;i=1,...,N\qquad T{\dot {\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C}_{i}\cdot {\dot {\mathbf {r}}}_{i

원리의 대표적인 응용 분야로는 열역학 시스템, 막 수송 및 화학 반응이 있습니다.

δ $S$ = S ˙ = 0 ${\displaystyle$ \delta S = {\dot {S}}= 0}의 경우 고전적인 달랑베르 원리와 방정식이 복구됩니다.

참고문헌

^ ^a ^b Lanczos, Cornelius (1964). Variational principles of mechanics. Toronto, University of Toronto Press. p. 92.
^ d'Alembert, Jean le Rond (1743). Traité de dynamique. pp. 50–51.
^ Udwadia, F. E.; Kalaba, R. E. (2002). "On the Foundations of Analytical Dynamics" (PDF). Intl. Journ. Nonlinear Mechanics. 37 (6): 1079–1090. Bibcode:2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726. doi:10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Archived from the original (PDF) on 2010-06-13.
^ ^a ^b ^c Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "From Lagrangian Mechanics to Nonequilibrium Thermodynamics: A Variational Perspective". Entropy. 21 (1): 8. arXiv:1904.03738. Bibcode:2018Entrp..21....8G. doi:10.3390/e21010008. ISSN 1099-4300. PMC 7514189. PMID 33266724.
^ 아놀드 소머펠트 (1956), 역학: 이론물리학 강의, 1권, 53쪽
^ ^a ^b ^c ^d ^e Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
^ Jong, Ing-Chang (2005). "Improving Mechanics of Materials". Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples. 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. Retrieved June 24, 2014.^{[영구적 데드링크]}

[Lanczos-1] Lanczos, Cornelius (1964). Variational principles of mechanics. Toronto, University of Toronto Press. p. 92.

[2] 'Alembert, Jean le Rond (1743). Traité de dynamique. pp. 50–51.

[3] Udwadia, F. E.; Kalaba, R. E. (2002). "On the Foundations of Analytical Dynamics" (PDF). Intl. Journ. Nonlinear Mechanics. 37 (6): 1079–1090. Bibcode:2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726. doi:10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Archived from the original (PDF) on 2010-06-13.

[Gay2018-4] Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "From Lagrangian Mechanics to Nonequilibrium Thermodynamics: A Variational Perspective". Entropy. 21 (1): 8. arXiv:1904.03738. Bibcode:2018Entrp..21....8G. doi:10.3390/e21010008. ISSN 1099-4300. PMC 7514189. PMID 33266724.

[5] 아놀드 소머펠트 (1956), 역학: 이론물리학 강의, 1권, 53쪽

[Torby1984-6] Torby, Bruce (1984). "Energy Methods". Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.

[7] Jong, Ing-Chang (2005). "Improving Mechanics of Materials". Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples. 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. Retrieved June 24, 2014.^{[영구적 데드링크]}

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