비콘주게이트 그라데이션 방식

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수학에서 보다 구체적으로 말하면, 수적 선형대수에서, 바이콘쥬게이트 그라데이션 방법은 선형 방정식의 시스템을 푸는 알고리즘이다.

$(\displaystyle Ax=b.\,}$

이 알고리즘은 결합 그라데이션 방법과 달리 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 자체 적응시킬 필요가 없고, 그 대신 결합 전이(transpose)에 의해 곱셈을 수행할 필요가 있다.

알고리즘

1. 초기 추측 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle x_{0$ 두 개의 다른 벡터 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및 $b$ \ {\$displaystyle$ b$^{*},$ 사전 조건자 $M{\displaystyle }$ ${\$을 선택하십시오.
2. ${\displaystyle r_{0}\왼쪽 화살표 b-A\,x_{0}\,}$
3. ${\displaystyle r_{0}^{*}\왼쪽 화살표 b^{*}-x_{0}^{*}\,A}$
4. ${\displaystyle p_{0}\왼쪽 화살표 M^{-1}r_{0}\,}$
5. ${\displaystyle p_{0}^{*}\왼쪽 화살표 r_{0}^{*}M^{-1}\,}$
6. $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…에 대해 ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$ do$$.
   1. ${\displaystyle \alpha _{k}\왼쪽 화살표 {r_{k}^{*}M^{-1}r_{k} \over p_{k}^{*}Ap_{k}}\,}$
   2. ${\displaystyle x_{k+1}\좌측 화살표 x_{k}+\now_{k}\{k}\,}$
   3. ${\displaystyle x_{k+1}^{*}\왼쪽 화살표 x_{k}^{*}+{\overline {\cdot p_{k}^{*},}$
   4. ${\displaystyle r_{k+1}\왼쪽 화살표 r_{k}-\알파 _{k}\cdot Ap_{k}\,}$
   5. ${\displaystyle r_{k+1}^{*}\왼쪽 화살표 r_{k}^{*}-{\overline {\alpha _{k}}\cdot p_{k}^{*}\,A}$
   6. ${\displaystyle \ftarrow {r_{k+1}^{*}}M^{-1}r_{k+1} \over r_{k}^{*}M^{-1}r_{k}\,},}$
   7. ${\displaystyle p_{k+1}\왼쪽 화살표 M^{-1}r_{k+1}+\beta _{k}\cdot p_{k}\,}$
   8. ${\displaystyle p_{k+1}^{*}\왼쪽 화살표 r_{k+1}^{*}}M^{-1}+{\overline {\beta_{k}}\cdot p_{k}^{*}\,}$

위의 공식에서 계산된 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ $displaystyle r_{k}\,}$ 및$$ $r{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은(는) 충족된다$$.

${\displaystyle r_{k}=b-Ax_{k}\,}$

${\displaystyle r_{k}^{*}=b^{*}-x_{k}^{*}\,A}$

${\displaystyle {따라서}_{}}$ x k $displaystyle x_{k}\,}$ 및$$ $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 해당하는 각 잔차가 시스템에 대한 대략적인 해결책이다$.$

$(\displaystyle Ax=b,\,}$

${\displaystyle x^{*}\,A=b^{*}\,;}$

$∗{\$은(는) 부선이고,$\alpha$의 {\$displaystyle$ {\$overline {\bline}}}$은(는) 복합 결합형이다.

알고리즘의 조건 없는 버전

1. 초기 추측 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle x_{0}\,}$을(를) 선택하십시오$.$
2. ${\displaystyle r_{0}\왼쪽 화살표 b-A\,x_{0}\,}$
3. ${\displaystyle {\r}_{0}\왼쪽 화살표 {\hat {b}-{\hat {x}_{0}A}$
4. ${\displaystyle p_{0}\왼쪽 화살표 r_{0}\,}$
5. ${\displaystyle {\p}_{0}\왼쪽 화살표 {\hat {r}_{0}\,}$
6. $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…에 대해 ${\displaystyle k=0,1,\ldots }$ do$$.
   1. ${\displaystyle \alpha _{k}\leftarrow {{\hat {r}_{k}r_{k}\over {\hat {p}_{k}Ap_{k}}\,}$
   2. ${\displaystyle x_{k+1}\좌측 화살표 x_{k}+\now_{k}\{k}\,}$
   3. ${\displaystyle {\x}_{k+1}\왼쪽 화살표 {\hat {x}_{k}+\i1\{k}\{k}\cdot {\p}_{k}\,}$
   4. ${\displaystyle r_{k+1}\왼쪽 화살표 r_{k}-\알파 _{k}\cdot Ap_{k}\,}$
   5. ${\displaystyle {\r}_{k+1}\왼쪽 화살표 {\hat {r}_{k}-\cdot {\p}_{k}}A}$
   6. ${\displaystyle \putarrow _{k}\{k}}{r}_{k+1}r_{k+1}{\hat {r}_{k}r_{k}}\,}$
   7. ${\displaystyle p_{k+1}\좌측 화살표 r_{k+1}++\\cdot p_{k}\,}$
   8. ${\displaystyle {\p}_{k+1}\왼쪽 화살표 {\hat {r}_{k+1}+\i1\{k}\{k}\cdot {\p}}},}$

토론

비콘주게이트 그라데이션 방식은 (비콘주게이트 그라데이션 안정화 방법에 비해) 수적으로 불안정하지만^{[citation needed]} 이론적인 관점에서 매우 중요하다. 반복 단계 정의 기준

${\displaystyle x_{k}:=x_{j}+P_{k}}A^{-1}\왼쪽(b-Ax_{j}\오른쪽),}$

${\displaystyle x_{k}^{*}}=x_{j}^{*}+\왼쪽(b^{*}-x_{j}^{*}A\right)P_{k}A^{-1}}$

여기서 < ${\displaystyle j<k}$ 관련 투영법을 사용한다.

${\displaystyle P_{k}=\mathbf {u} _{k}\left(\mathbf {v} _{k}^{k}\오른쪽)^{-1}\mathbf {v} _{k}^{k}A,}$

와 함께

${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\left[u_{0},u_{1},\reason,u_{k-1}\right],}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\left[v_{0},v_{1},\reason,v_{k-1}\right].}$

이러한 관련 예측은 다음과 같이 반복될 수 있다.

${\displaystyle P_{k+1}=P_{k}+\left(1-P_{k}\right)u_{k}\otimes {v_{k}^{*}A\left(1-P_{k}\right) \over v_{k}^{*}A\left(1-P_{k}\right)u_{k}}.}$

A relation to Quasi-Newton methods is given by ${\displaystyle P_{k}=A_{k}^{-1}A}$ and ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-A_{k+1}^{-1}\left(Ax_{k}-b\right)}$, where

${\displaystyle A_{k+1}^{-1}=A_{k}^{-1}+\left(1-A_{k}^{-1}A\right)u_{k}\otimes {v_{k}^{*}\left(1-AA_{k}^{-1}\right) \over v_{k}^{*}A\left(1-A_{k}^{-1}A\right)u_{k}}.}$

새로운 방향

${\displaystyle p_{k}=\왼쪽(1-P_{k}\오른쪽)u_{k}}}$

${\displaystyle p_{k}^{*}=v_{k}^{*A\left(1-P_{k}\오른쪽)A^{-1}$

그런 다음 잔차에 직교한다.

${\displaystyle v_{i}^{*}r_{k}=p_{i}^{*r_{k}=0,}$

${\displaystyle r_{k}^{*}u_{j}=r_{k}^{*p_{j}=0,}$

스스로 만족하는.

${\displaystyle r_{k}=A\왼쪽(1-P_{k}\오른쪽)A^{-1}r_{j}}$

${\displaystyle r_{k}^{*}=r_{j}^{*}\좌측(1-P_{k}\우측)}$

서 i, < ${\displaystyle i, j$

이제 비콘주게이트 그라데이션 방법은 특별한 선택을 하고 설정을 사용한다.

${\displaystyle u_{k}=M^{-1}r_{k},\,}$

${\displaystyle v_{k}^{*}=r_{k}^{*}\,M^{-1}\,}$

이러한 특별한 선택으로 P ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대한 명시적 평가를 피하고 알고리즘은 위에 기술된 형식을 취한다.

특성.

• If ${\displaystyle A=A^{*}\,}$ is self-adjoint, ${\displaystyle x_{0}^{*}=x_{0}}$ and ${\displaystyle b^{*}=b}$, then ${\displaystyle r_{k}=r_{k}^{*}}$, ${\displaystyle p_{k}=p_{k}^{*}}$, and the conjugate gradient method produces 동일한 시퀀스 ${\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 계산 비용의 절반으로$$.
• 알고리즘에 의해 생성되는 시퀀스는 biorthogonal$,$ $즉{\displaystyle {}_{}^{}}$ $i{\displaystyle }$ ≠${\displaystyle {}_{}^{}}$ p ${\displaystyle j_{}}$= r ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle M_{}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p_{i}^{*}Ap_{j}=r_{i}^{*}M^{-1}r_{$$j}=0$$}$ i$j$ j$.$
• if ${\displaystyle P_{j'}\,}$ is a polynomial with ${\displaystyle \deg \left(P_{j'}\right)+j<k}$, then ${\displaystyle r_{k}^{*}P_{j'}\left(M^{-1}A\right)u_{j}=0}$. 따라서 알고리즘은 크릴로프 하위 공간에 투영을 생성한다.
• if ${\displaystyle P_{i'}\,}$ is a polynomial with ${\displaystyle i+\deg \left(P_{i'}\right)<k}$, then ${\displaystyle v_{i}^{*}P_{i'}\left(AM^{-1}\right)r_{k}=0}$.

참고 항목

• 비콘주게이트 구배 안정화 방법
• 공차 그라데이션법

참조

• Fletcher, R. (1976). Watson, G. Alistair (ed.). "Conjugate gradient methods for indefinite systems". Numerical Analysis. Lecture Notes in Mathematics. Springer Berlin / Heidelberg. 506: 73–89. doi:10.1007/BFb0080109. ISBN 978-3-540-07610-0. ISSN 1617-9692.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 2.7.6". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.