이오르토곤계

수학에서, 이오르토곤 시스템은 벡터들의 지수화된 한 쌍의 가족이다.

그런여기서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$${\displaystyle \}}$ $및{\displaystyle }$ F$$ ${\displaystyle F}$은 이중성에 있는 위상학적 벡터 공간의 한 쌍을$$ 형성하며$,$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ i, j ${\$\$langle$\langle $\cdot \,\rangele}$은 양면 매핑이고 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ {\$delta_{i,j$$}$은 크론커 델타이다.

예를 들어 고유값이 구별되는 경우 고유값으로 인덱싱된 행렬의 왼쪽 및 오른쪽 고유 벡터 집합 쌍이 그 예다.^[1]

$E{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E=F},$ v$$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle i_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{\stackrel{~}{}i}_{}}$ ${\$ {$v}_{i}={\tilde{u}}_{i$}}}}}}이$($가) 정형화된$$ 시스템이다.

투영

이오르토곤 시스템과 관련된 것은 투영이다.

여기서 (${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \otimes }$ v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩;}$ ${\displaystyle (u\otimes$ v$)(x):$$=u\langle v,x\rangle ;}$ its image is the linear span of ${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},}$ and the kernel is ${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.$$}$

건설

비직교 벡터 $u{\displaystyle \mathbf{}}$= (${\displaystyle u_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\$}\$우측$) 및 v = ( v ${\displaystyle i_{}}$)$${\$displaystyle \mathbf$ {v}$=\좌측(v_{i}\우측)}$의 세트가 있을 수 있는 경우, 투영과 관련이 있는$$ 투영

where ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ is the matrix with entries ${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i},}$ and ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=(I-P)^{*}v_{i}}$ then is a biorthogonal system.

참고 항목

• 이중기준
• 이중 공간 – 스칼라 반환 벡터의 선형 함수의 벡터 공간; 도트 제품 일반화
• 듀얼 페어
• 직교-직교-직교 및 일반화의 기타 이름
• 직교화

참조

• Jean Dieudonné, On biorthogonal systems Michigan Math. J. 2(1953), no. 1, 7–20 [1]