부세만 함수

기하학적 위상에서, Busemann 함수는 Hadamard 공간과 특히 Hadamard 다지관(비양성 곡률의 완전한 리만 다지관)에서 대규모 지질학적 기하학을 연구하기 위해 사용된다. 그들은 허버트 부세만의 이름을 따서 지어졌다. 허버트 부세만은 1955년 저서 "지오디지오데틱스의 기하학"에서 이 주제에 대해 폭넓은 설명을 했다.

정의 및 기본 속성

$(X,d)$ $(X,d)$ , $(X,d)$ ) $(X,d)$ 을(를) 메트릭 공간으로 설정하십시오 $(X,d)$ . 측지선(geodesic ray)은 $\gamma :[0,\infty )\to X$ 전체에 걸쳐 거리를 최소화하는 경로 $\gamma :[0,\infty )\to X$ $\gamma :[0,\infty )\to X$ : $\gamma :[0,\infty )\to X$ [ $0$ $\gamma :[0,\infty )\to X$ $\gamma :[0,\infty )\to X$ ) $\gamma :[0,\infty )\to X$ → X ${\displaystyle \gamma :[0,\$ $inflt$ $)\to$ X $}$ 을(를) $t,t'\in [0,\infty )$ 한다. $t,t'\in [0,\infty )$ 즉, $t,t'\in [0,\infty )$ , $t,t'\in [0,\infty )$ t $,$ [ $in$ ], $t.$

d{\big (}\big (t),\big (t'){\big )}={\big }t-t'{\big }}}}}

. 동등하게, 레이는 유클리드 메트릭이 장착된

[0,\infty )

"

[0,\infty )

레이"(세트

[0,\infty )

[ 0

[0,\infty )

[0,\infty )

)

{\디스플레이

스타일

[0,\fty ))

에서 미터 공간 X로 이등분법이다.

레이 γ이 주어지면 Busemann 함수 $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ : $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 는) 정의된다 $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ .

B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infit }{\big (}d{\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}}}}}}}

때 t는 매우 다량이다. 그러므로 거리 d(γ(t), x){\displaystyle d{\big(}\gamma(t),x{\big)}}대략 Bγ에())+t{\displaystyle B_{\gamma}())+t}. 한 줄기 빛 γ을 감안할 때는 Busemann 항상:사실은 오른손 Ft())위인 빈곤은 학우 side 점별의 윤곽은 사에 좌측과 같습니다mpacta, since $t-d(\gamma (t),x)=d(\gamma (t),\gamma (0))-d(\gamma (t),x)$ is bounded above by $d(\gamma (0),x)$ and non-increasing since, if $s\leq t$ ,

[\displaystyle t-s+d(x,\cHB(s))-d(x,\cHB(t))]\geq t-s-d(s)(s),\cHB(t)=0.}

는 것은 삼각 불평등에서 바로 나온다.

B_{\gamma }-B_{\gamma }(y) \leq d(x,y),

$B_{\gamma }$ ${\$ 이(가) 균일하게 연속되도록 $B_{\gamma }$ 한다. 좀 더 구체적으로, 위의 추정치는 다음과 같다.

부세만 함수는 일정한 1을 가진 립스치츠함수다.^[1]

Dini의 정리로는, $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ t ( $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ ) = $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ ( $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ , $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ ( $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ ) - t $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ {\ $displaystyle F_{t}(x)=d(x,\gamma (t)-t)$ 는 t가 무한대로의 경향이 있는 것처럼 콤팩트 세트에서 $B_{\gamma }(x)$ 같이 $B_{\gamma }(x)$ B $B_{\gamma }(x)$ ( $B_{\gamma }(x)$ ) ${\displaystystylema }$ 을 경향이 $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ 있다.

예: Poincaré 디스크

Poincaré 메트릭이 있는 복잡한 평면에서 $D$ $D$ 을(를) 단위 디스크로 $D$ 설정

ds^{2}={4\, dz ^{2} \over(1-z ^{2})^{2}}.

그런 다음, $|z|<1$ < 1 ${\displaystyle z$ <1} $|\zeta |=1$ $|\zeta |=1$ = $|\zeta |=1$ $\zeta =1$ 에 대해, Busemann 함수는 다음과^[2] 같이 주어진다 $|\zeta |=1$

B_{\zeta }}=-\log \left({1- z ^{2} \over z-\zeta ^{2}}\right),

where the term in brackets on the right hand side is the Poisson kernel for the unit disk and $\zeta$ corresponds to the radial geodesic $\gamma$ from the origin towards $\zeta$ , $\gamma (t)=\zeta \tanh(t/2)$ . The computation of $d(x,y)$ can be reduced to that of $d(z,0)=d( z ,0)=2\operatorname {artanh} ( z )=\log \left({\tfrac {1+ z }{1- z }}\right)$ , since the metric is invariant under Möbius transformations in $SU(1,1)$ ; the geodesics through $0$ have the form $\zeta g_{t}(0)$ where $g_{t}$ is the 1-parameter subgroup of $SU(1,1)$ ,

g_{t}={\pmatrix}\cosh(t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmatrix}}}}}}}

위의 공식도 뫼비우스 불변성에 의해 부세만 함수를 완전히 결정한다.

Busemann은 Hadamard 공간에서 기능한다.

In a Hadamard space, where any two points are joined by a unique geodesic segment, the function $F=F_{t}$ is convex, i.e. convex on geodesic segments $[x,y]$ . Explicitly this means that if $z(s)$ is the point which divides ${\displaystyle$ $[x,y]}$ in the ratio $s : (1 - s)$ , then $F(z(s))\leq sF(x)+(1-s)F(y)$ . For fixed $a$ the function $d(x,a)$ is convex and hence so are its translates; in particular, if $\gamma$ is a geodesic ray in $X$ ${\displaystyle X$ 그 $F_{t}$ F $F_{t}$ t {\ $displaystyle$ F_ ${t$ }}가 볼록하다 $F_{t}$ . Busemann 함수 $B_{\gamma }$ ${\$ 은 $B_{\gamma }$ (는) F $F_{t}$ {\ $displaystyle F_{t}}$ 의 포인트 제한이므로 $F_{t}$

Busemann 기능은 Hadamard 공간에서 볼록하다.^[3]
Hadamard 공간에서 $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ t $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ ( $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ ) = $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ ( $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ , $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ ( $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ t $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ ) - $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ {\ $displaystyle F_{t}(y)=$ $B_{\gamma }$ $(y,\gamma (t)-t)$ 함수 F t는 X ${\displaystyle$ $B_{\gamma$ $}}$ 의 경계 부분 집합에서 균일하게 $B_{\gamma }$ $B_{\gamma }$ 된다 $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ $X$ ^[4]^[5]

$h (t)$ = $d (y,through(t)$ - $t$ = $F t (y$ )로 한다 $.$ $\gamma (t)$ ( $\gamma (t)$ ) $\gamma (t)$ 은 $\gamma (t)$ arclength에 의해 파라메트레이션되므로, 알렉산드로프의 하드마드 공간에 대한 첫 번째 비교 정리는 함수 $g (t)$ = $d (y,th)(2 t)$ - $t$ 가² 볼록스임을 암시한다. $따라서$ 0 $(s)$ t.

g(s)\leq(1-{s \over t}g(0)+{s \over t}g(t).

그러므로

2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},

하도록

F_{s}-F_{t}(y) = h(s)-h(t) \leq {1 \1 \{-1}(s^{-1}+t^{-1}d(x,y)^{2}}

t가 ∞을 중시하도록 내버려두면, 그것은 다음과 같다.

F_{s}-B_{\gamma }(y) \leq {d(x,y)^{2} \2s 이상

그래서 컨버전스는 경계가 있는 세트에서 균일하다.

$|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ 의 $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ ( $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ ) $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ - $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ ( $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ ) $displaystyle F_{s}(y)-F_{t}(y$ )}(y) }(y) }( $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ y) $}($ $y$ ) }(증거와 함께)에 대한 불평등도 지질 세그먼트에 대해 유지된다는 점에 $유의하십시오. )($ $t$ )가 x에서 시작하는 지질 세그먼트이고 arclillegenitudituditudent에 의해 파라메트인 경우

d(y,\Gamma(s))-s-d(y,\Gamma(t))+t \leq(s^{-1}+t^{-1}d(x,y)^{2}

다음으로 $x,$ $y$ 는 Hadamard 공간의 점이라고 가정하고, $Δ($ $s$ $)$ 는 $Δ(0$ ) = y $및$ Δ $(t)$ = $x$ 인 x를 $통과$ 하는 지오데틱으로 한다(여기서 $t$ = $d (x, y)).$ 이 지오데틱은 $Δ(r$ ) 지점에서 닫힌 볼 $B (y, r)$ 의 경계를 절단한다 $.$ 따라서 $d (x, y)$ > $r이면$ $d$ $(y, v)$ = $r$ 을 가진 점 $v$ 가 있다. d $(x, v)$ = $d ($ x,y) = $d$ ( $x, y)$ - r

이 상태는 Busemann 기능에 대해 지속된다. The statement and proof of the property for Busemann functions relies on a fundamental theorem on closed convex subsets of a Hadamard space, which generalises orthogonal projection in a Hilbert space: if $C$ is a closed convex set in a Hadamard space $X$ , then every point $x$ in $X$ has a unique closest point $P (x) \equiv P C (x)$ in $C$ and $d (P (x), P (y)) \leq d (x, y)$ ; mo $reverover a$ = P $(x$ )는 $C$ 의 $y$ 에 대해 특유하게 결정되는 속성에 의해 결정된다.

d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},

$a, x, y$ 에 대한 유클리드 비교 삼각형의 $a$ 각도가 $π /2$ 보다 크거나 같도록 한다.

If $h$ is a Busemann function on a Hadamard space, then, given $y$ in $X$ and $r > 0$ , there is a unique point $v$ with $d(y,v) = r$ such that $h(v) = h(y) - r$ . For fixed $r > 0$ , the point $v$ is the closest point of $y$ to the closed convex $C$ set of points $u$ such that $h(u) \leq h(y) - r$ and therefore depends continuously on $y$ .^[6]

$v$ 가 $C$ 에서 $y$ 에 가장 가까운 지점이 되게 하라. $그$ 다음, H $(v)$ = $h (y)$ - r $등$ 은 $B (y, R)$ 에서 $V$ 에 의해 최소화되며, 여기서 $R$ = $d (y, v)$ 및 $v$ 는 $h$ 가 최소화된 고유 지점이다. Lipschitz 조건 $r$ = $h(y)$ - $h (v)$ ≤ $R$ . $주장$ 을 증명하기 위해서는 R = $r$ , 즉 $d (y, v)$ = $r$ . 반면에 $h$ 는 함수 $h$ 의_n 닫힌 볼에 대한 균일한 한계임을 보여주는 것으로 충분하다. $B (y, r$ )의 경우 $,$ 이것들은 $h n (v n)$ = $h n (y)$ = h(y) - $r$ 로 지점 $v$ 에_n 의해 최소화된다. 따라서 $B (y,r)$ 의 $최소치$ 는 h $(y)$ - $r$ 이고_n h $($ v)는 $h$ ( $y$ ) - $r$ 의 경향이 있다. $따라서$ h( $v n$ $)$ = $h (y)$ - $r$ 과_n $함께 n$ $r$ 을 향해 $회전$ 한다_n. $h n (u n)$ ≤ $h (y)$ - $r$ 로_n $y$ 에 가장 가까운 지점이 되게 하라. $R n$ = $d (y, u n)$ ≤ r. $그러면$ $h (u n)$ = $h(y)$ - $r n$ . 그리고 Lipschitz 조건에 의해 $h$ ( $r n) r n$ r. 특히 $R$ 은_n $r$ 이 되는 경향이 있다. 필요한 경우 하위절차에 전달하면 $r$ 과_n $R$ 이_n 모두 증가( $r$ 로 증가)한다고 가정할 수 있다. 볼록 최적화에 대한 불평등은 $n$ > $m$ 에 대한 것을 의미한다.

d(u_{n}u_{m}^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r R_{n}-R_{m},},

$그래서 n$ 넌 코치 시퀀스야 $u$ 가 한계인 경우 $d (y, u)$ = $r$ 및 $h (u)$ = $h (y)$ - $r$ . 고유성 기준 $u$ = $v$ , $d (y, v)$ = $r$ 을 따른다.

획일적인 한계. 위의 주장은 더욱 일반적으로 만약 d(xn,x0)에 무한대와 기능을 경향이 있다는 hn()))d(x,xn)– d(xn,x0)한결같이 한정적 세트에 h는 볼록, 립쉬쯔 리프 시츠와 함께 1계속 조르고, X에서 y고 r을 h())는 경향이 있고, 0이 다른 손에 있는 것처럼 h(v))h(y)− r. 만약 순서가 있d(y,v))r 고유한 점 v다는 것을 증명했다. (xn)b은ounded, 그러면 모든 용어는 어떤 폐쇄된 공에 놓여있고 거기서 균일한 수렴은 ( $x n)$ 가 Cauchy 시퀀스여서 X에서 어떤 $X$ 로_∞ 수렴된다는 것을 암시한다. 그래서 $h$ 는_n 동일한 형태의 함수인 $h \infty (x)$ = $d (x, x \infty)$ – $d (x \infty, x 0$ )에 균일하게 경향이 있다. 같은 주장은 또한 같은 세 가지 조건(볼록스, 립스키츠, 닫힌 볼에 미니마를 갖는 것)을 만족시키는 기능의 등급이 경계 세트에 대해 균일한 제한을 가하면서 닫힌다는 것을 보여준다.

댓글을 달다. 하다마드 공간의 하다마드 부분집합 중 닫힌 볼록 부분집합도 하다마드 공간이기 때문에, 하다마드 공간의 닫힌 공은 하다마드 공간이라는 점에 유의한다. 특히 모든 지오디지컬 $세그먼트$ 가 R 전체에서 정의된 지오디지컬에 포함되거나 심지어 $반무한$ 간격[ $0,$ 197]에 포함되는 경우는 필요하지 않다. 힐버트 공간의 닫힌 단위 공은 적절한 미터법 공간이 아닌 명시적인 예를 제공한다.

만약 h는 볼록 함수, 립쉬쯔 1상수와 h어떤 닫힌 공에 대한 최소 전제로 한다 반지름 r로 어두워져서에 대한 특이한 점 v의 경계에 h(v))h(y)− r과, 그런 다음 X에서 있는 고유한 측지 광선이 각은 yδ가 hr을과 ≤ h(y)– rδ(0))y과δ 삭감 각 닫힌 볼록 집합;0δ(r)에, h(δ(t))= h(y)–가 주목 받고 있다.t 특히 이것은 각 부세만 기능에 적용된다.^[7]

$세$ 번째 조건은 $v$ 가 $u$ ${\ displaystyle u}$ $u$ 의 닫힌 볼록 $세트$ $C$ 에서 y에 가장 가까운 지점임을 의미하며 $u$ , 0 $t$ t $Δ(t)$ 는 $y$ 와 v의 지오데틱 결합이 되도록 한다 $.$ $그$ 다음 $k (t$ ) = $h (Δ (t)$ - h( $y)$ 는 $[0, r]$ 의 볼록한 립슈츠 기능으로, 립슈츠 상수 1은 $k (t)$ ≤ – $t$ 와 k( $0)$ = $0$ 과 $k (r)$ = $- r$ 을 만족한다. $따라서$ $k$ 는 0 < $r,$ $k (s$ ) $)$ – $s$ 및 $k(s)$ ≤ $s이면$ 어디에서나 사라진다. 따라서 $h (t)$ = $h (y)$ – $t$ . 고유성에 의해 $Δ(t)$ 가_t $C$ 에서 y에 가장 가까운 점이며, $B$ ( $y, t$ )에서 h를 최소화하는 고유한 점이라는 것을 따른다 $.$ 고유성은 임의의 $r$ 에 대해 이러한 지오디컬 세그먼트가 일치하므로 $Δ$ 가 명시된 속성과 함께 지오디컬 레이로 확장된다는 것을 의미한다.

$h$ = $h이면 γ$ $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ 에서 $시작$ 되는 지오데틱 레이 $Δ$ 는 $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ( $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ( $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ) $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ , $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ( $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ) < $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ ${\displaystyle \sup d(\gamma (t),\delta$ (t $)$ 를 만족한다. $<\inful$ $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ $만약 1$ $Δ$ 가 $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ d $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ ( $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ ) , $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ 1 ( $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ t $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ 로 $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ 하는 또 다른 광선이라면 $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ Δ는 style ${\displaystyle \sup d(\delta (t),\delta _{1}(t)$ 로 시작한다. $<\cHB }$ 그러면 $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ = $Δ$ .

첫 번째 주장을 증명하기 위해서, 충분히 $이것$ 을 충분히 크게 점검하는 것으로 충분하다. 이 경우 $γ(t)$ 와 $Δ(t$ - $h (y))$ 는 닫힌 볼록 세트 $h$ ≤ $-t$ 에 $x$ 와 $y$ 의 투영이다. 따라서 $d (γ)(t),Δ(t$ - $h (y))$ ≤ $d (x, y$ )이다 $.$ Hence $d (γ(t),δ(t)) \leq d (γ(t),δ(t - h (y))) + d (δ(t - h (y)),δ(t)) \leq d (x, y) + h (y)$ . The second assertion follows because $d (δ 1 (t),δ(t))$ is convex and bounded on $[0,\infty)$ , so, if it vanishes at $t = 0$ , must vanish everywhere.

$h$ 가 연속 볼록 함수이며 $X$ 의 각 $y$ 에 대해 Δ(0 $)$ = $y$ 및 $Δ$ 가 $Δ(r$ )에서 r > $0$ 으로 각각의 닫힌 볼록 세트 $h$ ≤ $h(y)$ – $r$ 을 자르는 고유한 지오데틱 광선 $Δ$ 가 있다고 가정하여 $h(Δ(t$ ) = $h(y)$ – $t$ , 그리고 $h$ 가 부세만 함수라고 가정해 보자. $h$ - $h$ 는_δ 상수 함수다.^[7]

$C$ 를_r $h (z)$ ≤ $-r$ 과 함께 z $지점$ 의 폐쇄 볼록 집합으로 한다. $X$ 는 $X$ 의 모든 $지점$ y에 대한 Hadamard 공간이기 $때문$ 에_r C에는 $Y$ 와 가장 $가까운 r$ $지점 P($ y)가 있다. 그것은 지속적으로 $y$ 에 의존하며, $만약$ $y$ 가_r C 밖에 있다면, $P r (y)$ 는 h $(z) =$ - $r$ ( $C$ 의_r $경계 r$ )에 놓여있고 $P r (y)$ 는 볼록 최적화의 불평등을 만족시킨다. $Δ(s)$ 를 y에서 시작하는 지오데틱 광선이 되게 한다.

$X$ 에 X를 고정하십시오. $γ$ ( $s)$ 를 x에서 시작하는 지오데틱 광선으로 한다. base point $x$ 로 $γ$ 에 대한 부세만 함수인 $g (z)$ = $h γ (z$ )로 한다. 특히 $g (x)$ = $0$ . $g$ = h – $h (y)1$ 을 나타내면 충분하다. $이제$ h $(x)$ = $h (y)$ 로 $y$ 를 취하고 $Δ(t)$ 를 $h$ 에 해당하는 $y$ 에서 시작하는 지오데틱 광선으로 한다. 그러면

d(x,y)\geq d(\displayty)(t),\\,\,\,d(x,\displaysty)(t)^{2}\geq d(x,\properties (t)^{2}+d(\properties (t),\properties (t)^{2},\,\,\,d(y,\cHB(t))^{2}\geq d(y,\buffer(t)^{2}+d(\buffer(t),\buffer(t)^{2}

반면, 하다마드 공간에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 어떤 네 점에 대해서도, 레셰트냐크의 다음과 같은 4각 불평등은 다음을 지탱한다.

d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2} \leq 2d(a,b)d(c,d)^{d).

$a$ = $x$ , $b$ = $y$ , $c$ = $γ(t),$ d = $Δ(t$ )를 설정하면 다음과 같다 $.$

d(y,\property(t)^{2}-d(x,\properties(t))^{2} \leq 2d(x,y)^{2},

하도록

d(y,\cHB(t)-d(x,\cHB(t)) \leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\cHB(t)+d(x,\cHB(t))+d(x,\cHB(t))}}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.

따라서 $h γ ($ $y$ $)$ = $0$ . 이와 $유사$ 하게_δ h $(x)$ = $0$ . $따라서 γ$ $h (y$ ) = $x$ 를 포함하는 $h$ 의 수평면. 이제 $X$ 의 t $and$ $0$ 과 $z$ 의 경우 $α t (z)$ = $γ 1 (t)$ 에서 시작되는 지오데틱 광선을 $z$ 에서 시작하도록 한다. 그 $다음 s + t$ α = $α s α t$ $α$ 와 h $α t = h$ - $t$ . 더욱이 경계에 의해 $d (α t (u),α t (v)$ d $(u, v)$ 가 된다. 흐름 $α$ 는_s 이 결과를 $h$ 의 모든 레벨 표면으로 운반하는 데 사용될 수 있다. 일반 $y$ 의₁ 경우, $h$ $(y 1)$ < $h (x$ )인 경우 $h(α s)$ = $h$ ( $y 1)$ 가 되도록 $s$ > $0$ 을 취하고 $x 1$ = $α s (x$ )를 설정한다 $.$ 그런 다음 $h γ 1 (y 1)$ = $0$ , 여기서 $γ 1 (t)$ = $α t (x 1)$ = $γ(s$ + $t$ )이다 $.$ 그러나 그 $다음 γ 1$ $h γ$ = h – $s$ , $즉 γ$ h $(y 1)$ = s. $따라서$ $g 1 (y)$ = $s$ = h $(α s (x)$ – $h (x)$ = h $(y$ ) – $h$ (x) = $h 1$ (y) – h(x)이다 $.$ $마찬가지$ 로 h $(y 1)$ > $h (x$ )일 경우 $h (α s 1)$ = $h (x$ )가 되도록 s > $0$ 을 취한다 $.$ $y$ = $α s (y 1$ )를 그대로 두십시오 $.$ 그러면 $h γ (y)$ = $0$ 이므로 $h γ (y 1) =$ – $s$ . 따라서 $필요$ 에따라 $g 1 (y$ ) = $-s$ = h $(y 1)$ – h $(x$ )가 된다 $.$

마지막으로 두 가지 지오디컬이 동일한 Busemann 함수를 상수까지 정의하기 위한 필요조건과 충분한 조건이 있다.

On a Hadamard space, the Busemann functions of two geodesic rays $\gamma _{1}$ and $\gamma _{2}$ differ by a constant if and only if ${\displaystyle \sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))$ $<<\비대$ 한 $\sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty$ ^[8]

먼저 $γ$ 과 $Δ$ 가 상수에 의해 다른 Busemann 함수를 갖는 두 개의 지오데틱 광선이라고 가정해 보자. 지질학 중 하나의 인수를 상수로 바꾸면 $B γ$ = $B δ$ = B = $B$ 라고 가정할 수 있다. $C$ 를 $B (x)$ ≤ $-r$ 에 설정된 닫힌 볼록으로 한다. 그 $다음$ B $(γ)(t γ$ ) = B $(γ)($ t) = $-t$ 및 이와 유사하게 $B (Δ(t) =$ - $t$ . 그 $다음$ s ≤ $r$ 의 경우, $γ$ $($ $s)$ 과 Δ $(s)$ 는 C에서 가장 가까운 $점$ 인 $r ($ r)과 $Δ ($ r)를 $가지므로$ d $(()$ 와 $Δ(r)$ 는 d $(γ)$ 와 $Δ (s)$ 이다. 따라서 $supp t \geq 0$ $d (γ (t$ ), Δ( $t)$ < $\infty.$

이제 $supp t \geq 0$ $d (γ 1$ ( $t 2), t ($ t) < $\infty.$ Δ( $t i)$ 는 $h$ 와_{γ_i} 연관된 $y$ 에서 시작되는 지오데틱 광선이 되도록 한다. 그런 다음 $supp t \geq 0$ d $(t i), Δ i (t)$ < hence $.$ $따라서 t \geq 0$ $supp d(t 1), Δ 2 (t)$ <<. Δ와 $Δ 2$ $모두$ y에서 시작되므로, $Δ 11 (t) Δ 2 (t$ ) Δ(t)를 따른다 $.$ 이전의 결과 $h$ 와_{γ_i} $h$ 는_{δ_i} 상수로 다르다. 따라서 $h$ 와_γ₁ $h$ 는_γ₂ 상수로 다르다.

요약하자면, 위의 결과는 Hadamard 공간의 Busemann 기능에 대한 다음과 같은 특성을 제공한다.^[7]

정리. Hadamard 공간에서 함수 $f$ 에 대한 다음 조건은 동일하다.

$h$ 는 부세만 함수다.
$h$ 는 볼록 함수로서, 상수 $1$ 과 $h$ 가 $h(v)$ = $h(y)$ - $r과$ 의 경계에서 고유한 지점 $v$ 에서 반경 $r$ 을 $중심$ 으로 y를 중심으로 한 닫힌 볼에 최소값을 가정한다.
$h$ 는 연속 볼록 함수로서 $X$ 의 각 $y$ 에 대해 $Δ(0)$ = $y$ , 그리고 $임의의$ r > $0$ 에 대해, $레이$ Δ는 Δ(r)에서 각각의 닫힌 볼록 $세트$ h $h$ h $(y)$ – $r$ 을 Δ $($ r)에서 절단하는 독특한 지오데틱 레이 $Δ$ 가 있다 $.$

하다마드 공간의 보르도화

앞의 절에서 $X$ 가 Hadamard 공간이고 $X$ 가₀ X의 고정점일 경우, 부세만 함수의 공간 $결합$ 이₀ x에서 소멸되고 $함수 y$ h $(x)$ = $d (x, y)$ - $d (x 0, y)$ 의 공간은 경계 집합에 대해 균일한 한도를 적용하여 닫힌다는 것을 보여주었다. 이 결과는 $X$ 의 보르드화 개념으로 공식화될 수 있다.^[9] 이 위상에서, x $점들$ 은_n $d$ ( $x 0, x n)$ 가∞ 경향이 있는 경우에만 $x$ 에서₀ 시작하는 지오데틱 광선 $γ$ 을 대상으로 하며, $t$ > $0$ 의 경우 $x$ 에서₀ $γ(t$ )까지의 거리 $t$ 에서 각 세그먼트 $[x 0, x n]$ 에 있는 점을 ((t)에 취함으로써 얻은 시퀀스가 임의적으로 큰 경우 sequence에서 시작하는 경향이 있다 $.$

$X$ 가 미터법 공간이라면 그로모프의 보르도 다음과 같이 정의할 수 있다. $X$ 에 점 $X$ 를₀ 고정하고 $X N$ = $B (x 0, N$ )로 두십시오 $.$ Let $Y$ = $C (X)$ 는 $X$ 에 대한 Lipschitz 연속 기능의 공간, 즉 어떤 $상수$ A > $0$ 에 $대해$ f( $x)$ – $f (y)$ ≤ A $d (x, y)$ 가 있는 공간이다. 공간 $Y$ 는 경계 집합의 균일한 수렴 토폴로지인 $세미놈$ f $N$ = $supp X N$ $f$ 로 토폴로지를 해석할 수 있다. 세미노름들은 립스키츠 조건에 의해 유한하다. $이것$ 은 C $(X)$ 의 자연 지도가 $X$ 의_N 연속 경계 함수의 바나흐 공간 $C b (X N)$ 의 직접 산물로 유도한 위상이다. 미터법 D $(f, g)$ = = $2 - N f$ - $g$ ( $1$ $+ N$ f - g )로 $N -1$ 주어진다.

공간 $X$ 는 함수 $f x (y)$ = $d (y, x)$ – $d (x 0, x$ )로 $x$ 를 전송하여 $Y$ 에 내장된다 $.$ $X$ 를 $Y$ 에서 $X$ 의 닫힘이 되게 하라. 그 다음 $X$ 는 $Y$ 이기 때문에 실현 가능하며 $X$ 를 오픈 서브셋으로 포함하고 있으며, 더욱이 다른 기준점 선택에서 발생하는 보드는 자연적으로 동형이다. $h (x) =$ ( $d (x, x 0)$ + 1)로 한다 $. -1$ 그리고 나서 $h$ 는 $C 0 (X$ )에 눕는다 $.$ $X$ 에 0이 아니고 $\infty$ 에서만 소멸한다. 따라서 이 기능은 $X$ 에 $0$ 으로 설정된 X \ $X$ 의 연속 함수로 확장된다. $따라서$ X \ $X$ 는 필요에 $따라$ X로 마감된다. $X$ = $X (x 0)$ 가 기준점과 독립되어 있는지 확인하려면 $k (x)$ = $d (x, x 0)$ - $d (x, x 1)$ 가 $X$ 의 연속 함수로 확장됨을 보여주기만 하면 된다. 그러나 $k (x)$ = $f x (x 1),$ 즉 $X$ 의 $g$ 에 대해서는 $k (g)$ = g $(x 1$ )이다 $.$ $따라서$ X $(x 0)$ 의 $g$ 를 $X (x 1$ )의 $g$ + $g (x 1)1$ 로 보내 $x$ 와₀ $x$ 의₁ 콤팩트화 사이의 일치성이 주어진다 $.$

$X$ 가 하다마드 공간일 때 그로모프의 이상적인 경계 $\partial X$ = $X$ \ $X$ 는 부세만 함수를 이용한 지오데틱 광선의 "아세트틱 한계"로 명시적으로 실현될 수 있다. $x$ 가_n_n h $(x)$ = $d (x, x n)$ - $d$ (x) - d $(x n, x 0)$ 가 $Y$ 에서 $h$ 로 표시된 $X$ 의 무한 시퀀스인 경우, $x$ 에서₀ $h$ 가 사라지고 Lipschitz 상수가 $1인$ Lipschitz가 볼록하며 닫힌 볼 $B (y, r$ )에 최소 $h (y)$ - $r$ 이 있다 $.$ 따라서 $h$ 는 $x$ 에서₀ 시작하는 고유한 지오데틱 광선 $to$ 에 해당하는 부세만 함수 $B$ 이다_γ.

반면, $h$ 는_n $d (x 0, x n)$ 가 $\infty$ 경향이 있고 $t$ > $0$ 이 $x$ 로부터₀ 거리 t에서 각 세그먼트 $[x 0, x n]$ 의 점을 $γ(t$ )으로 하여 얻은 시퀀스가 임의로 큰 경우에만 경계 집합에서 $B$ 를_γ 균일하게 경향이 있다 $.$ $d (x 0, x n)$ ≥ $t$ 의 경우, $x n (t)$ 가 $d (x 0, x n (t)$ = $t$ 인[ $x 0, x n]$ 의 점이 되게 한다. 먼저 $h$ 가_n $B (x 0, R$ )에 $대해 γ$ B의 경향이 균일하다고 가정한다 $.$ t $t$ R의 $경우$ , $h n (γ(t)$ – $B γ (γ)(t$ ) =d $(γ)(t$ ), $x n)$ – d $(x n, x 0)$ + $t$ . 볼록함수다. $t$ = $0$ 으로 사라지므로 증가하고 있다. $따라서$ t = $R$ 로 최대화된다. 따라서 각 $t$ 에 대해 $d(dm$ ( $t), x n)$ – $d (x n, x 0)$ – $t$ 는 0으로 향하는 경향이 있다. $a$ = $X 0$ , $b$ = $γ(t),$ c = $x$ 로_n 한다. $그러면$ d $(c, a)$ – $d (c, b)$ 는 $d (c, a)$ 가 큰 $d (a, b)$ 에 가깝다. 따라서 유클리드 비교에서 $CA$ - $CB$ 는 $AB$ 에 가깝고 $CA$ 는 크다. 그래서 $A$ 에서의 각도는 작다. 그래서 $AB$ 와 같은 거리에 $있는$ $AC$ 의 D 지점은 $B$ 에 가깝다. 따라서 지오데틱 삼각형에 대한 첫 번째 비교 정리에서는 $d (x n (t),$ d( $t)$ 가 작다. 반대로 고정 $t$ 와 $n$ 이 충분히 큰 $d (x n (t$ )의 경우, $matrix(t)$ 가 0인 경향이 있다고 가정한다. 그런 다음 $위$ 의_s $F (y)$ = d $(y,s)$ – $s$ 를 만족한다 $.$

F_{s}-B_{\gamma }}(y) \leq {d(x_{0}y)^{2} \2s 이상

따라서 그것은 모든 경계 집합 $h n (y)$ = $d (y, x n)$ – $d (x 0, x n)$ 가 $n$ 에 대해 균일하게 $F s (y)$ 에 가깝다는 것을 충분하게 보여준다.^[10]

고정 볼 $B (x 0, R$ )의 경우, $R 2 / s$ s ε이 $되도록$ $s$ 를 고정시킨다 $.$ 그 청구는 그 이후 Hadamard 공간의 지질학적 세그먼트에 대한 불평등의 즉각적인 결과물이다.

d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}s)+s \leq {d(x_{0}y)^{2} \over s}\leq \leq \varepsilon .

따라서 $B (x 0, R)$ 와 $n$ 의 $y$ 가 $d (x n)$ 와 $γ(s)$ 에 충분히 큰 경우

h_{n}(y)-B_{\gamma }(y) = d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y) \leq  d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s +d(x_{n}(s),\gamma (s))+ F_{s}(y)-B_{\gamma }(y) \leq 3\varepsilon .

Busemann은 Hadamard 다지관에서 기능한다.

$x,$ $y$ 가 Hadamard 다지관의 점이라고 가정하고 $γ$ ( $s$ $)$ 를 x를 $통과$ 하는 지오데틱(geodic)으로 $하고$ let(0)= y를 사용한다고 가정한다. 이 지오데틱은 두 지점의 $닫힌 볼$ B $(y$ ,r $)$ 의 경계를 $γ(\pm r$ )에서 절단한다 $.$ 따라서 $d (x, y)$ > $r$ 일 $경우$ $d (y, u)$ = d(y,u) = $d$ $($ $x$ ,u) = d( $x$ $, u)$ = $d$ ( $x, v)$ = $r$ 이 있는 점이 있다. 연속성에 의해 이 상태는 Busemann 기능에 대해 지속된다.

$h$ 가 Hadamard 다지관의 Busemann 함수인 경우, $X$ 와 $r$ > $0$ 에 $y$ 가 주어진 경우, $h$ $(y$ $,u)$ = d $($ $y$ ,u) $=$ $d(y,v)$ = r( $h($ v)= h( $y$ ) = $h($ y) = h $(y$ ) = h $(y)$ - r. 고정 $r$ > $0$ 에 대해 $u$ 와 $v$ 는 $y$ 에 지속적으로 의존한다.^[3]

$\infty$ 과 $h n$ = $F$ 에_{t_n} $따라 n$ 시퀀스를 취하면 n $충분히$ 큰 $h$ 에_n 대해 이러한 조건을 만족하는 $u$ 와_n $v$ 가_n 있다. 필요한 경우 하위섹션으로 전달하면 $u$ 와_n $v$ 는_n $u$ 와 $v$ 를 지향한다고 가정할 수 있다. 연속성에 의해 이러한 포인트들은 $h$ 에 대한 조건을 만족한다. 고유성을 입증하려면 콤팩트성에 $의해$ $B (y, r$ )에 대해 최대값과 최소값을 가정한다는 점에 유의하십시오 $.$ Lipschitz 조건은 $h$ 의 값이 최대 $2r$ 까지 다르다는 것을 보여준다. 따라서 $h$ 는 $v$ 에서 최소화하고 $u$ 에서 최대화된다. 반면 $d (u, v)$ = $2r$ , $u$ 와 $v$ 의 경우 $v$ 와 $u$ 포인트는 이 거리를 $최대화$ 하는 B $(y, r)$ 의 고유 포인트다. 그러면 즉시 $h$ 에 대한 립스키츠 조건은 $u$ 와 $v$ 가 $h$ 를 최대화하고 최소화하는 $B (y, r)$ 의 고유한 포인트여야 함을 의미한다. 이제 $y$ 가_n $y$ 의 경향이 있다고 가정해 보십시오. 그러면 해당 포인트 $u$ 와_n $v$ 가_n 밀폐된 공에 놓여있으므로 수렴 반복을 인정한다. 그러나 $u$ 와 $v$ 의 고유성으로 인해 그러한 부속물들은 $u$ 와 v의 경향이 있어야 하며, $따라서 n$ $u$ 와_n $v$ 는 $u$ 와 v의 경향이 있어야 하며, 연속성을 확립해야 한다.

위의 결과는 보다 일반적으로 하다마드 공간에 있다.^[11]

$h$ 가 Hadamard 다지관의 Busemann 함수인 경우, $h$ 는 $모든$ $y$ 에 대해 dh $(y)$ = $1$ 과 연속적으로 다를 수 있다.^[3]

h의 이전 속성에서 각은 y에는 다음과 같이 h(γ(t))h(y)+정확이 그것 t에서 ∂B(y,r) 잘라내속성)±r:이전 표기법에 γ(r))너와 γ(–r))사건 Vh 단위 벡터에 의해 정의된˙(0)γ는 벡터장{\displaystyle{\dot{\gamma하는 스페인의 독특한 측지 γ(t)γ(0)과 arclength에 의해 parametrised cm는. } $u$ 는 ${\dot {\gamma }}(0)$ $y$ 의 연속 함수로서 ( $x, v)$ 에서 $(x, exp x$ v $)$ 로의 지도 전송(x,v)은 Cartan-Hadamard 정리에 의해 $TX$ 에서 $X$ × $X$ 까지의 차이점형이기 때문에 $y$ 에서 $}$ 는 연속적이다. Let $δ(s)$ be another geodesic parametrised by arclength through $y$ with $δ(0) = y$ . Then $dh \circ δ (0)/ ds =$ $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ . Indeed, let $H (x) = h (x) - h (y)$ , so that $H (y) = 0$ . Then

H(\delta(s))-H(x) \leq d(\delta(s),x)

$이$ 를x = $u$ $및$ v와 함께 적용하면 s > $0$ 에 대한 값을 따른다.

{\d(\d)(\d(s),u)/s\leq(h(\s)(s)-h(y)/s(s)\leq(d(\s,v)-r)/s.}

외부 용어는 $s$ 가 0을 $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ 경향이 $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ 있는 만큼 $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ Δ ( $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ ) , $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ ( $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ ( $0$ ) $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ {\ $dot$ {\ $delta }}},{\dot{\$ dot{\ $gamma }}}}}}}}$ 을(를) $나타내는$ 경향이 있으므로, 중간 용어의 한계는 주장과 같다. $유사$ 한 $인수$ 가 s < 0에 적용된다.

외부 용어에 대한 주장은 첫 번째 길이에 대한 변형 공식에서 따왔으나 다음과 같이 직접 추론할 수 있다. $a$ $a={\dot {\delta }}(0)$ = $a={\dot {\delta }}(0)$ $a={\dot {\delta }}(0)$ ( $a={\dot {\delta }}(0)$ ) ${\displaystyle$ a $={\dot {\delta }}}}$ 과 $a={\dot {\delta }}(0)$ $b={\dot {\gamma }}(0)$ = $b={\dot {\gamma }}(0)$ ( ( 0 $b={\dot {\gamma }}(0)$ ) ${\dot$ b $={\dot{\gamma }}}}}을($ 를 $b={\dot {\gamma }}(0)$ 두 $단위$ 벡터로 두십시오. 유닛 볼의^[12] 접선 벡터 p $및$ $q$ at $y$ 의 경우

{\displaystyle d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\ p-q\ +\varepsilon \max \p\{2},\ q\{2}}:

일률적으로 $경계하여$ $Let 2$ s = t $및 3$ r = t. 그러면

(d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\ t^{3}a+t^{2}b\ -t^{2})/t^{3}+\varepsilon  t =(\ ta+b\ -1)/t+\varepsilon  t .

여기서 오른손은 ( $a, b)$ 가 0인 경향이 있는데, 그 이후로 $t$ 가 0인 경향이 있다.

{\d 디스플레이 스타일 {d \overdt}\b+ta\ _{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\b+ta\{2} _{t=0}=(a,b)}

같은 방법이 다른 조건에서도 통한다.

따라서 $h$ 는 벡터장 $V$ 에_h 이중으로 $작용$ 하는 C $함수$ 로¹, $dh (y)$ = $1$ . 따라서 $벡터장 h$ V는 $h$ 에 대한 그라데이션 벡터장이다. 임의의 지점을 통과하는 지오데틱스는 $V$ 의_h $흐름 t$ α에 대한 흐름 선이므로, $α$ 는_t $h$ 의 구배 흐름이다.

정리. Hadamard 매니폴드 $X$ 에서 연속 기능 $h$ 의 다음 조건은 동일하다.^[3]

$h$ 는 부세만 함수다.
$h$ 는 상수 1을 갖는 볼록한 Lipschitz 함수로서, $X$ 의 각 $y$ 에 $대해$ h $(u \pm)$ = $h(y)$ ± $r$ 과 $같은$ y로부터의 $거리$ r에 $u$ 가_± 있다.
$h$ 는 $dh(x)$ ≡ $1$ 을 갖는 볼록 C $함수$ 다¹.

(1)이 (2)를 암시한다는 것은 이미 증명되었다.

위의 주장은 (2)가 (3)을 함축한다는 것을 준용한다.

따라서 (3)이 (1)을 암시한다는 것을 보여 주는 것은 남아 있다. $X$ 에 X를 고정하십시오. $α$ 를_t $h$ 에 대한 구배 흐름으로 한다. $h$ ∘ $α t (x)$ = $h (x)$ + $t$ 와 $γ(t)$ = $α t (x)$ 는 $γ(0)$ = $x$ 로 arclength에 의해 파라메타이드화된 $x$ 를 통한 지오데틱이라는 것을 따른다. $실제로$ s < $t >$ 이면 t이다.

s-t = h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x)) \leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\ d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \ \,d\tau =\int _{s}^{t}\ dh(\alpha _{\tau }(x))\ \,d\tau = s-t ,

$d (s$ )( $s),th(t)$ = $s$ - $t$ . let $g (y)$ = $h γ (y),$ base $point$ x를 가진 $γ$ 에 대한 부세만 함수. 특히 $g (x)$ = $0$ . (1)을 입증하기 $위해서$ 는g = $h$ – $h (x)1$ 로 충분하다.

$C$ $(- r)$ 를 h $(z)$ ≤ $-r$ 과 함께 z $지점$ 의 닫힌 볼록 집합으로 한다. $X$ 는 $X$ 의 모든 $y$ 지점에 대한 Hadamard 공간이기 때문에 $C (- r$ )에는 $y$ 에서_r y까지의 고유한 가장 가까운 $점$ 이있다 $.$ 연속적으로 $y$ 에 의존하며, $y$ 가 C $(- r$ ) 외부에 $있는$ 경우 $,$ $P r$ ( $y)$ 는h( $z)$ = - r— $C (- r)$ 의 경계 $hypersC (- r)$ 에 위치하며, $y$ 에서 $P r (y)$ 까지의 지오데틱은 $\partial C (- r$ )와 직교한다 $.$ 이 경우 지오데틱은 $α t (y$ )에 불과하다 $.$ 실제로 $α$ 가_t $h$ 의 구배 흐름이고 조건 $dh (y)$ ≡ $1$ 이라는 사실은 흐름선 α $t (y)$ 가 arclength에 의해 파라메트레이션된 지질학이며 h $정형외과적$ 으로 수평 곡선을 절단한다는 것을 의미한다. $h (y)$ = $h (x)$ 및 t> $0$ 으로 $y$ 를 취한다.

d(x,y)\geq d(\displaystyle _{t}(x),\\,\,\(x,\y)\,\,\(x,\cH)\,\,\(y)^{2}\geq d(x,\cHB _{t}(x)^{2}+d(\cHB _{t}(x),\cHB _{t}(y)^{2},\,\,\,d(y,\properties _{t}(x))^{2}\geq d(y,\cHB _{t}(y)^{2}+d(\cHB _{t}(x),\cHB _{t}(y)^{2}}

반면, 하다마드 공간에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 어떤 네 점에 대해서도, 레셰트냐크의 다음과 같은 4각 불평등은 다음을 지탱한다.

d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2} \leq 2d(a,b)d(c,d)^{d).

$a$ = $x$ , $b$ = $y$ , $c$ = $α t (x),$ $d$ = $α t (y$ )를 설정하면 다음과 같다 $.$

d(y,\properties _{t}(x)^{2}-d(x,\properties _{t}(x))^{2} \leq 2d(x,y)^{2},

하도록

d(y,\properties _{t}(x)-d(x,\properties _{t})(x) \leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\prot(x)+d(x,\put)_{t}(x)}}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.

따라서 $x$ 를_γ 포함하는 $h$ 의 $수평$ 표면에서 h( $y)$ = 0. 흐름 $α$ 는_s 이 결과를 $h$ 의 모든 레벨 표면으로 운반하는 데 사용될 수 있다. 일반 $y$ 의₁ 경우 $h (α s (x)$ = $h (y 1)$ 를 취하고 $x 1$ = $α s (x$ )를 설정하십시오 $.$ 그런 다음 $h γ 1 (y 1)$ = $0$ , 여기서 $γ 1 (t)$ = $α t (x 1)$ = $γ(s$ + $t$ )이다 $.$ 그러나 그 $다음 γ 1$ $h γ$ = h – $s$ , $즉 γ$ h $(y 1)$ = s. $따라서$ $g 1 (y)$ = $s$ = h $(α s (x)$ – $h (x)$ = h $(y$ ) – $h$ (x) = $h 1$ (y) – h(x)이다 $.$

만일 해당 지오데틱 광선이 $supp t \geq 0$ $d (γ(t$ ), $Δ(t)$ <∞을 만족한다면 두 부세만 함수 $h$ 와_γ $h$ 가_δ 상수로 다르다는 사실을 이용하여 이 인수를 단축할 수 있다는 점에 유의한다. 실제로 흐름 $α$ 에_t 의해 정의되는 모든 지오데틱은 후자의 조건을 만족하므로 상수에 따라 다르다. 이러한 지오데틱스 $h$ 는 파생 모델 1과 선형이기 때문에, $h$ 는 상수에 의해 이러한 Busemann 함수와 달라야 한다.

적절한 Hadamard 공간의 압축화

에베를린 & 오닐(1973)은 Busemann 기능을 사용하는 Hadamard 다지관 $X$ 의 압축을 정의했다. 보다 일반적으로 적절한(즉, 국소적으로 컴팩트한) Hadamard 공간으로 확장할 수 있는 그들의 구조는 모든 닫힌 공이 컴팩트한 적절한 $미터법$ 공간 X의 보다 일반적인 클래스에 대해 그로모프가 정의한 컴팩트화의 명시적인 기하학적 실현을 제공한다. 모든 Cauchy 시퀀스가 닫힌 볼에 포함되므로 적절한 메트릭 공간이 자동으로 완성된다는 점에 유의하십시오.^[13] 이상적인 경계는 메트릭스 공간에 대한 이상적인 경계의 특별한 경우다. 하다마드 공간의 경우, 이는 공간의 보르도에서 부세만 함수를 사용하여 설명한 고정점에서 방출되는 지오데틱 광선의 공간과 일치한다.

$X$ 가 적절한 미터법 공간이라면 그로모프의 압축은 다음과 같이 정의할 수 있다. $X$ 에 점 $X$ 를₀ 고정하고 $X N$ = $B (x 0, N$ )로 두십시오 $.$ $Let Y$ = C( $X)$ 는 $X$ 에서 Lipschitz 연속 기능의 공간, 즉, 어떤 상수 $A$ > $0$ 에 대해 $f(x)$ – $f (y)$ ≤ $A$ $d (x, y)$ 가 있는 공간이다. 공간 $Y$ 는 콤팩타에 대한 균일한 수렴의 토폴로지인 세미노름 $N f$ = $supp X N$ f로 토폴로지를 해석할 수 있다. 이것은 C(X)의 자연 지도가 Banach $공간$ C $(X N$ )의 직접 산물로 유도한 위상이다 $.$ 미터법 D $(f, g)$ = = $2 - N f$ - $g$ ( $1$ $+ N$ f - g )로 $N -1$ 주어진다.

공간 $X$ 는 함수 $f x (y)$ = $d (y, x)$ – $d (x 0, x$ )로 $x$ 를 전송하여 $Y$ 에 내장된다 $.$ $X$ 를 $Y$ 에서 $X$ 의 닫힘이 되게 하라. 그 $다음$ X는 콤팩트하고(수치 가능) 개방형 서브셋으로 $X$ 를 포함하고 있으며, 더욱이 다른 기준점 선택에서 발생하는 콤팩트화는 자연적으로 동형이다. $C (X N)$ 의 영상이 $N$ 에 의해 등결하고 균일하게 경계되기 때문에 콤팩트함은 아르젤라-아스콜리 정리로부터 따르게 $된다 n$ . $X$ 는 X \ $X$ 에서 y를 $향한$ X $in$ X의 시퀀스가 되게 한다. $X$ 가_N 콤팩트하기 때문에 X를 제외한 모든 용어는 $X$ 의_N $한 N$ 점으로 수렴하기 때문에 X의 바깥쪽에 위치해야 하며, 따라서 $X$ 의_n 순서는 $X$ 의 한 점으로 결합되지 않아야 한다. $h (x) =$ ( $d (x, x 0)$ + 1)로 한다 $. -1$ 그리고 나서 $h$ 는 $C 0 (X$ )에 눕는다 $.$ $X$ 에 0이 아니고 $\infty$ 에서만 소멸한다. 따라서 이 기능은 $X$ 에 0으로 설정된 X \ $X$ 의 연속 함수로 확장된다. $따라서$ X \ $X$ 는 필요에 $따라$ X로 마감된다. 압축 X= $X (x 0)$ 가 기준점과 독립되어 있는지 확인하려면, $k$ ( $x)$ = $d (x, x 0)$ - $d (x, x 1)$ 가 X의 연속 함수로 확장됨을 보여주기만 하면 된다. 그러나 $k (x)$ = $f x (x 1),$ 즉 $X$ 의 $g$ 에 대해서는 $k (g)$ = g $(x 1$ )이다 $.$ $따라서$ X $(x 0)$ 의 $g$ 를 $X (x 1$ )의 $g$ + $g (x 1)1$ 로 보내 $x$ 와₀ $x$ 의₁ 콤팩트화 사이의 일치성이 주어진다 $.$

$X$ 가 Hadamard 다지관(또는 보다 일반적으로 적절한 Hadamard 공간)인 경우, 그로모프의 이상적인 경계 $\partial X$ = X \ $X$ 는 Busemann 함수를 이용하여 지질학의 "부증적 한계"로 명시적으로 실현될 수 있다. 기준점 $x$ 를₀ 고정하면 $γ(0)$ = x $및 0$ ${\dot {\gamma }}(0)$ 0 $디스플레이$ ${\dot{\gamma }}}}}}}$ 이 ${\dot {\gamma }}(0)$ (가) 주어진 단위 벡터인 아르클릴레멘트에 의해 매개되는 고유한 지오데틱 $γ(t)$ 이 있다. $만약 γ$ B가 해당 부세만 함수라면, $B$ 는_γ $xX (x 0)$ 에 놓여 있고 $, xX 0$ ( $x$ )에 $장치 (n$ - 1)-sphere의 동형성을 유도하여 ${\dot {\gamma }}(0)$ ( $){\dot{\gamma$ }}}}을 $($ 를) $B$ 에 ${\dot {\gamma }}(0)$ _γ 보낸다.

푸앵카레 디스크, CAT(1) 및 쌍곡선 공간의 Quasgeodics

모르스-모스토우 보조정리

푸앵카레 디스크, CAT(1) 및 쌍곡선 공간 등 음의 곡률 공간의 경우 그로모프 경계에는 미터법이 있다. 이 구조는 준등각선 그룹에 의해 보존되며, 준등각선은 퀘이지오디지오디지오디지오디지오디지오디지오디지오디지오디지오디에 전달된다. 퀘이게이데오디컬은 처음에는 Morse에 의해 음극 곡선 표면, 특히 쌍곡선 상부 반면과 단위 디스크에 대해 연구되었고, 이산 그룹의 강성에 대한 그의 연구를 위해 Mostow에 의해 음극 곡선 대칭 공간으로 일반화되었다. 기본적인 결과는 지질학의 안정성에 관한 Morse-Mostow 보조정리 입니다.^[14]^[15]^[16]^[17]

정의에 따르면, - $\infty \leq$ 으로[ $a, b]$ 간격에 정의된 quasgeodesic γ은 모든 $s$ 와 $t$ 에 대해 상수 λ≥ $1$ 과 $0$ > 0이 있는, 반드시 연속이 아닌 미터법 공간에 대한 $지도 ((t)$ 이다.

\displaystyle \lambda ^{-1} s-t -\varepsilon \leq d(\Gamma(s),\Gamma(t)\leq \lambda s-t +\varempsilon .}

다음 결과는 본질적으로 마스턴 모스(1924년) 때문이다.

지질학 안정성에 대한 모스의 보조정리 쌍곡선 디스크에서는 유한 구간 $[a, b]$ 에 정의된 모든 퀘이게오데오디컬 $세그먼트$ γ이 지오디컬 세그먼트 $[),(a),A$ distance( $b)$ ^[18]^[19]의 하우스도르프 $거리$ R 내에 있도록 $λ$ 과 on에 따라 $일정$ 한 R이 있다.

Poincaré 디스크를 위한 고전적 증거

Poincaré 유닛 디스크 또는 상부 하프 평면에 대한 Morse의 보조정리 교정쇄는 지오데틱 세그먼트에 직교 투영을 사용하여 더 직접적으로 진행된다.^[20]^[21]^[22]

γ은 더 강한 "의사-지오데시스" 조건을 만족한다고 가정할 수 있다.^[23]

\displaystyle \lambda ^{-1} s-t -\varepsilon \leq d(\Gamma(s),\Gamma(t)\leq \lambda s-t .}

$γ$ 은 $동일$ 한 끝점이 c $=$ $(22 2$ + 1) $1 미만$ 의 $from$ 로부터 유한한 Hausdorff 거리에 놓여 있는 연속적인 조각 지오데틱 곡선 Δ로 대체될 수 있다: $γ$ 이 길이 $2ε$ 의 동일한 하위절차로 정의되는 간격을 분해하고 하위절차의 끝점의 $γ$ 에 있는 영상들 사이의 지오데틱을 취한다. $Δ$ 는 조각상의 지오데틱이므로, $Δ$ 는 일정한 $constant 1$ , $d (Δ(s$ ), $Δ 1 (t)$ $with$ – $t,$ 여기서 where₁ $\leq λ$ + $ε$ 로 연속되는 Lipschitz이다. 하한은 구간의 끝점에서 자동으로 이루어진다. 건설에 의해 다른 값들은 $λ$ 과 $ε$ 에만 따라 균일하게 경계로 이것들과 다르다; 하한선 불평등은 이 균일선의 두 배에 더하여 ε을 증가시킴으로써 유지된다.

$γ$ 이 측지선의 근거리 밖에 놓여 있는 조각처럼 부드러운 곡선 세그먼트이고 $P$ 가 측지선에 직교 투영된 경우:^[24]

\displaystyle \ell (P\circle \gamma )\leq {\ell (\gamma ) \cosh s}위에 \cosh s}}

상반면에 등측도를 적용하면, 지오데틱 선이 $P (z)$ = i $z$ 와 $z$ / $Im z$ = $cosh$ $d (z, Pz$ )에 의해 직교 투영되는 경우, 지오데틱 선이 양의 가상 축이라고 가정할 수 있다 $.$ 따라서 가설은 $γ(t)$ ≥ $cosh(s)$ 임( $t)$ 을 내포하고 있으므로 다음과 같다 $.$

\\displaystyle \ell (P\circ \gamma )=\int _{a}^{b}{d\\gamma \over \gamma }\req \int \{a}^{b}{a}}{d\gamma \over \cosh.}}}}

$λ$ $[a, b]$ 이 지오데틱 부분[ [( $a), Aγ(b)$ ^[25]의 h-neighbourhood 내에 있을 정도로 λ과 $ε$ 에만 의존하는 $상수$ h > $0$ 이 있다.

$γ(t)$ 를 지오데틱 세그먼트 $[γ(a$ ), $γ(b)]$ 를 포함하는 지오데틱 라인으로 한다. 그 다음에 h-neighbourhood $γ[a, b]$ 이 h-neighbourhood γ( $R)$ 안에 있을 정도로 $λ$ 과 $ε$ 에만 의존하는 $h$ > $0$ 의 상수가 있다 $.$ 실제로 $어떤$ s > $0$ 에 대해서도, $t ($ t)이 $γ(R)$ 의 s-neighbourhood의 폐쇄 밖에 놓여 있는 [ $a, b]$ 의 부분집합은 개방되어 있으므로, 개방된 간격의 카운트 가능한 결합 $(c, d)$ 이다. 그러면

\ell(\Gamma _{[c,d]}\leq s_{1}\1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \cosh}\rig),

왼손

이 – c –

d

보다 작거나 같기 때문에

{\d displaystyle \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma(c))\leq 2s+d(P\circle \Gamma_{[c,d]}}\lambda c- \cosh}}}}

따라서 모든 점은

γ(R

)의 s +

s

보다₁ 작거나 같은 거리에 있다

.

To deduce the assertion, note that the subset of

[a, b]

for which

Γ(t)

lies outside the closure of the

s

-neighbourhood of

[Γ(a),Γ(b)] \subset γ(R)

is open, so a union of intervals

(c, d)

with

Γ(c)

and

Γ(d)

both at a distance

s + s 1

from either

Γ(a)

or

Γ(b)

. 그러면

\ell(\Gamma _{[c,d]}\leq s_{2}\equiv \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),

그 이후

{\d 디스플레이 스타일 { c-d \lambda }-\varecpsilon \leq d(\Gamma(c),\Gamma(d)\leq 2(s+s_{1}).}

따라서 이 주장은

s

+

s 1

+

s 2

+s보다 큰

h

를 취하는 것을 따른다.

$λ$ 과 $ε$ 에만 의존하는 상수 $h$ > $0$ 이 존재하여 지오데틱 세그먼트 $[γ(a$ ), $γ(b)]$ 가 $h[, b$ ]의 h근위 내에 위치한다 $.$ ^[26]

$γ[a, b]$ 의 모든 지점은 $[γ(a$ ), $γ(b)]$ 의 거리 h $내$ 에 있다. 따라서 직교 투영 $P$ 는 $γ[a, b]$ 의 각 점을 $h$ 보다 작은 거리에서 닫힌 볼록 세트 $[γ(a$ ), $Aγ(b)]$ 의 점으로 이동시킨다. $P$ 는 연속적이고 $γ[a, b]$ 가 연결되므로, 이미지에는 $[γ(a$ ), $Aγ(b)$ 의 끝점이 포함되므로 지도 $P$ 가 위에 있어야 한다. 그러나 $[γ(a$ ), $Aγ(b)]$ 의 모든 지점은 $γ[a, b]$ 지점의 거리 h $내$ 에 있다.

그로모프의 푸앵카레 디스크 증거

Morse의 CAT(1) 공간에 대한 보조정리 일반화는 흔히 Morse-Mostow 보조정리라고 하며 고전적인 증명의 간단한 일반화로 증명할 수 있다. 그로모프 때문에 더 일반적인 종류의 쌍곡선 메트릭스 공간에 대한 일반화도 있다. 그로모프의 증명서는 푸앵카레 단위 디스크에 대해 아래에 제시되어 있다. 쌍곡 메트릭스 공간의 속성은 증명 과정에서 개발되어 CAT(1) 또는 쌍곡 메트릭스 공간에 무탄디를 준용한다.^[14]^[15]

이는 대규모 현상이기 때문에, $불평등$ 을 만족하는 디스크에 $대한$ N > $0$ 의 지도 $Δ$ 가 지오데틱 세그먼트 $[Δ($ 0), $Δ(N)$ 의 Hausdorff 거리 R $내$ 에₁ 있는지 확인하기에 충분하다. 그 때 일반성의 손실 없이 번역한다고 가정할 수 있기 때문에 $Ⅱ$ 는 r > $1$ 로 $[0, r]$ 에서 정의한 다음, $N$ = [ $r]$ ( $r$ 의 정수 부분)를 취하면 $Δ(i)$ = $Ⅱ(i$ )로 정의한 $Δ$ 에 그 결과를 적용할 수 있다 $.$ $γ$ 과 $Δ$ 사이의 하우스도르프 거리는 $λ$ 과 $ε$ 에만 의존하는 상수 R에 $의해 2$ 분명히 경계된다.

이제 지오데틱 삼각형의 주위는 직경이

Δ

= 2

log 3

보다 작다. 실제로 그것은 2

log 3

과 같은 이상적인 삼각형의 직경으로 엄격히 극대화된다. 특히 삼각형이 삼각형을 깨뜨려 길이가

Δ

미만인 원래 삼각형의 꼭지점 맞은편에 있는 세 번째 면이 세 개의 이등변 삼각형을 이루므로, 지오데틱 삼각형의 모든 면이 다른 두 변의 Δ-이웃바운드에 포함된다는 것을 따른다. 간단한 유도 인수는

k

≥

0

에

대해 k

2 + 2

정점

을 갖는 지오데틱 폴리곤이 다른 쪽의

(k

+ 1

)Δ 인접성

내에 각 면이 있다는 것을 보여준다(이러한 폴리곤은 공통 면을

따라 k -1

2 + 1

변

을 가진 두 개의 지오데틱 폴리곤을 결합하여 만들어진다). 따라서

M

≤

2 k

+

2

인 경우,

M

변이 있는 다각형에 대해 동일한 추정치가 적용된다.

y i

=

Δ(i)

let

f (x)

=

min

d (x, y i)

의 경우 내부에

y

가_i 없는 x를

중심

으로 닫힌 볼의 가장 큰 반지름. 이

함수는 [

Δ

(0), Δ

(N

)]

에서 0이 아닌 연속 함수로, 이 세그먼트의 특정 지점

x

에서 최대

h

를 달성한다. 그 다음

[Δ(0

),

Δ(N)]

는

임의

의₁

h >

h

에 대한

Δ

의 영상의 h-근처에

1

위치한다. 따라서

N

에 독립적인

h

에 대한 상한선을 찾기에 충분하다.

d (x, y)

=

2h

및

d (x, z)

=

2h

(

또는

x

에서 2h 미만의 거리

내

에 있는 경우 끝점)로 x 전후의 [Δ

(0

),

Δ(N)]

세그먼트에서

y

와

z

를 선택하십시오.

그

다음,

d (y,

Δ(i

)),

d

(

z, Δ(j) h

h가

있다 . 따라서

d

(Δ (i),

Δ

(j

) h

6h로

i

- j ≤

6λh

+

λ

+. 삼각형 불평등에 의해 세그먼트 [

y,Δ(i)]

및 [

z,Δ(j)]

의 모든 지점은

x

에서 ≥

h

거리에 있다. 따라서

y

에서 시작하여

z

에서 끝나는 점의 순서는 유한하며, 먼저 세그먼트

[y,Δ(i)]

에 놓여 있다가

Δ(i

),

Δ(i +1),

...,

Δ(j

)를 거쳐 세그먼트

[Δ(j), z]

를 취한다

.

연속점 Δ (i

),

Δ

(

i+1)

, ...

Δ (

j)는

λ

+

ε

이하의 거리로 분리되며, 지오데틱 세그먼트의 연속점도 이 조건을 만족시키기 위해 선택할 수 있다. 그러한 순서에서 점의 최소 숫자

K

는

K

≤

i

-

j

+

3

+

2(λ

+

ε) -1 h

를 만족한다. 이 점들은 지오데틱 폴리곤을 형성하며, [

y, z]

를 면 중 하나로 한다.

L

=

[

h /

Δ

]

를

취하여

[y,z]의 (L - 1)Δ-근접이 폴리곤의 다른 모든 면을 포함하지 않도록 한다

.

따라서 위의 결과로부터

K

> 2 +

2

를^{L − 1} 따른다. 그러므로

3+2(\displayda +\varepsilon )^{-1}h+6\basda h+\varepsilon >2^{h/\message }+2.

이러한 불평등은

주장

된 바와 같이

H

가 N과 독립적으로 균일하게 경계되어 있다는 것을 암시한다.

모든 점

Δ(i)

가

[Δ(

0),

Δ(N)]

의 h

내

에₁ 있으면 결과는 다음과 같다. 그렇지 않으면 최대값에 속하지 않는

점들

은

s

= {

r,

...,

s}

을(를) r <

s

로) 하여 하위 집합으로 한다. 따라서[Δ(0),Δ(N)]에 있는 지점 h1의 거리 내에 나와 함께 S의 정원의 한점 Δ(나는)다.하지만 S)S1∐ S2, S1){0,..., r− 1}과 S2){의+1,..., N}과 분할된 조합의 정원을[Δ(0),Δ(N)]의 접속성들은 어느 정도 x는 포인트의 거리 h1과 Δ(j)나는 &lt과 Δ(나는), 굽음 r과 j의 안에 있는 부분에서, s를 의미한다.하지만

t

d

(Δ(i

),

Δ(j)

> 2

h

이므로₁

i

- j ≤

2λh 1

+

λε

. 따라서

S

에서

k

에 대한

Δ(

k

)

포인트는 [

Δ 1

(0

), Δ(N)]

에서 h +

h 1

i - j +

ε

h + ≤ h +

λ (2λh 1

+

λ)

+ ≡ h

미만

의₂ 거리에 있다.

퀘이지오데틱 광선과 선으로 확장

하다마드 공간에서 [ $a 1, b 1]$ 와 $[a 2, b 2]$ 가 두 개의 지오데틱 세그먼트이고 중간 지점 $c 1 (t)$ 와 $c 2 (t)$ 가 비율 $t :(1$ – $t)$ 로 나누면 $d (c 1 (t), c 2 (t)$ 는 $t$ 의 볼록함수라는 점을 상기한다. 특히 $γ 1 (t)$ 과 $γ 2 (t)$ 이 동일한 지점에서 시작하는 $[0, R]$ 에 정의된 단위 속도의 지오데틱 세그먼트라면,

d(\Gamma _{1}(t),\Gamma _{2}(t)\leq {t \over R}d(\Gamma _{1}(R),\Gamma _{2}(R)}}}

특히 이는 다음을 함축하고 있다.

CAT(–1) 공간 $X$ 에서는 모든 준지오디컬 광선이 지오디컬 광선의 경계가 있는 Hausdorff 거리 h $내$ 에 있도록 $λ$ 과 $ε$ 에만 의존하는 $상수$ h > $0$ 이 있다. 유사 결과는 퀘이게오디컬과 지오디지컬 라인에 적용된다.

$γ(t)$ 이 일정한 $λ$ 과 $ε$ 을 가진 지오데틱 say인 경우, $((t)$ 를_N 세그먼트 $[((0), ((N)]$ 에 대한 단위 속도 지오데틱으로 한다. 위의 추정치는 $고정$ R > $0$ 과 $N$ 의 경우 ( $RD N)$ 가 균일한측정지표를 $가진 C([0, R$ ], $X)$ 의 Cauchy 시퀀스임을 보여준다. 따라서 $γ$ 은_N 콤팩트a에서 균일하게 $γ$ 과 $γ N$ 사이의 Hausdorff 거리에 대한 바운드가 제한 $γ$ 에도 적용된다. quasgeodesic line에 대한 주장은 지오데틱 세그먼트[ $[(- N$ ), $γ(N]]$ 에 해당하는 $γ$ 을_N 취함으로써 나타난다.

에프레모비치-티코미로바 정리

이 절에서는 CAT(1) 공간에 대해 논의하기 전에 에프레모비치-에 대해 설명한다.푸앵카레 미터법을 사용한 단위 $디스크$ D에 대한 Tikhomirova 정리. $D$ 의 준등각은 유클리드 지표를 가진 단위 원반의 준 뮤비우스 동형성까지 확장된다고 주장한다. 이 정리는 CAT(1) 공간의 보다 일반적인 이론의 원형을 형성한다. 이들의 원래 정리 Efremovich 및에 약간이 적었고, 정확한 일반적인 형태;Tikhomirova(1964년)에서 그리고 단위의 자기 디스크 bi-Lipschitz homeomorphisms에 푸앵카레 메트릭을 신청했다;[27]전만 해도, 사후의 종이 모리(1957년)의 일본 수학자 아키라 모리 타이히 뮐러 이론 a내에 관련 결과임이 입증되었다 입증되었다ssuring 디스크의 모든 퀘이콘폼 동형성은 continuous데르 연속성이므로 단위 원의 동형성으로 연속적으로 확장된다(이 확장은 준 뫼비우스라고 알려져 있다).^[28]

준등각도를 경계까지 확장

$X$ 가 푸앵카레 단위 디스크인 경우, 또는 보다 일반적으로 CAT(1) 공간인 경우, 퀘이지오디컬의 안정성에 관한 Morse 보조기구는 $X$ 의 모든 준측정이 경계까지 고유하게 확장된다는 것을 암시한다. 정의상 $두$ 개의 $자기복제$ f, $X$ 의 g는 $sup X$ d $(f (x)),$ g $(x)$ < $\infty)$ 이면 준등가여서 해당 지점이 서로 균일하게 경계된 거리에 있게 된다 $.$ $X$ 의 준등각 $f$ 는₁ X의 $자기$ 매핑으로, 반드시 연속이 아닌 X의 자기 매핑으로, $f$ 와₁₂ $f 2$ ∘ $f$ 는₁ 적절한 ID 맵과 준등하며, $X$ 와 두 $매핑 모두에$ 대해 상수 $0$ 0 $1$ 과 $ε$ > 0이 있는 것과 같은 준역 $f$ 를₂ 가지고 있다.

\lambda ^{-1d(x,y)-\varepsilon \leq d(f_{k}(x),f_{k}(y)\leq \lambda d(x,y)+\barepsilon .

준입자는 준균등성에 따라 고유하며, 그 등가 정의는 서로 다른 우등분 및 좌등분 분포를 사용할 수 있지만 반드시 준균등분할 수 있다. 준균등분까지의 구성은 준균등분 등급에만 의존한다. 그리고 모듈로 q.준등각, 준등각은 그룹을 형성한다.^[29]

$X$ 에서 시작하는 지오데틱 광선 $γ$ 이 주어진 $X$ 에서 점 $X$ 를 고정하면 준등계 f $아래$ 의 $이미지$ f ∘ quasi은 준지오데틱 광선이다. Morse-Mostow 보조정리기는 $x$ 에서 시작하는 고유 지오데틱 광선 $Δ$ 의 경계 거리 내에 있다. 이것은 $\partial(f$ ∘ $g)$ = $\partial f$ $\partial g$ suchg와 같이 $f$ 의 준등가 등급과는 독립적으로 $X$ 의 경계 $\partial X$ 에 대한 지도화 $ff$ 를 정의한다. 따라서 $\partial X$ 의 자기복제군에는 준등분계군 집단의 동형성이 있다.

그 ∂f 연속 있는지 확인하려면이 있는 한결같이 가까이[0,R]에 거리 이내와 γ2γ1은 측지 학적 광선 η, 그때 f∘ γ1와 f∘ 거리에 γ2 거짓말 λη[0,R]에+ε를 거리 안에 δ2δ1 거짓말 λη+ε+2h(λ,ε);그러므로 거리 내 작은 간격[0,r], δ1과 δ2 거짓말에 conve에 의해(r/R)[λη+ε+secundahora2시간마다.(λ,ε)].xity.[30]

CAT(1) 공간에 대해 보다 미세한 버전의 연속성은 $\partial f$ 가 단위 원의 유클리드 메트릭과 뫼비우스 그룹 아래의 변환을 일반화하는 "시각적 메트릭스"인 $\partial X$ 의 자연 계급을 기준으로 한 준 뫼비우스 매핑이라고 주장한다. 이러한 시각적 지표는 부세만 함수의 관점에서 정의될 수 있다.^[31]

In the case of the unit disk, Teichmüller theory implies that the homomorphism carries quasiconformal homeomorphisms of the disk onto the group of quasi-Möbius homeomorphisms of the circle (using for example the Ahlfors–Beurling or Douady–Earle extension): it follows that the homomorphism from the quasi-isometry group into the quasi-Möbius group is 굴욕적인

다른 방향으로는 동형성이 주입적이라는 것을 증명하는 것이 간단하다.^[32] $f$ 가 단위 디스크의 준등계이므로 $\partial f$ 가 정체라고 가정한다. 가정과 Morse 보조마사는 $만약 ((R)$ 이 지오데틱 선이라면 f( $R)$ 는 h-neighbourhood인 $γ(R$ )에 놓여 있다는 것을 암시한다 $.$ 이제 $Δ$ 와 $Δ$ 가 $a$ 의 주어진 지점에서 직교적으로 교차하도록 두 번째 측지선 $Δ$ 를 취한다. 그 다음 $f (a)$ 는 h-neighbourhood의 교차점에 놓여 있다. $Δ$ 와 $γ$ . 뫼비우스 변환을 적용하면 $a$ 가 단위 디스크의 원점에 있고 지오데틱이 실제와 가상의 축이라고 가정할 수 있다. By convexity, the $h$ -neighbourhoods of these axes intersect in a $3 h$ -neighbourhood of the origin: if $z$ lies in both neighbourhoods, let $x$ and $y$ be the orthogonal projections of $z$ onto the $x$ - and $y$ -axes; then $d (z, x) \leq h$ so taking projections onto the $y$ -axis, $d (0, y) \leq h$ ; hence $d (z,0) \leq d (z, y) + d (y,0) \leq 2 h$ . 따라서 $d (a, f (a)$ ≤ $2h$ 이므로, $f$ 는 주장된 바와 같이 정체성과 유사하게 동등하다.

비절연 측지선 사이의 교차비 및 거리

단위 원 또는 실제 축에 $두$ 개의 뚜렷한 점 $z$ 가 주어지면, 그것들과 결합하는 독특한 쌍곡 지오데틱 $[z, w]$ 이 있다. 이는 두 지점에서 단위 원 단위 원 또는 실제 축을 직교로 절단하는 원(또는 직선)에 의해 주어진다. 확장된 복합 평면에서 뚜렷한 네 개의 점 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 가 주어질 때 이들의 교차 비율은 다음과 같이 정의된다.

(a,b;c,d)={(a-c)(b-d) \over(a-d)(b-c)}.

$g$ 가 복잡한 뫼비우스 변환인 경우, 다음과 같은 ( $g (a), g (b); g (c), g (d)$ = $(a, b : c, d$ )의 교차비 불변성을 남긴다 $.$ 뫼비우스 집단은 단순히 점의 3배에서 단순히 전이적으로 작용하기 때문에, 뫼비우스 $변환$ g의 $경우$ g( $a)$ = $0,$ $g (b)$ = $1, g$ ( $c)$ = $,,$ $g (d)$ = $\infty$ 등, $C\{0,$ 1}의 복잡한 숫자 $z$ 로 대안으로 설명할 수 있다.

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 모두 교차비를 정의하는 분자에 나타나기 때문에 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 의 순열에서 교차비의 동작을 이해하기 위해서는 $d$ 를 고정하는 순열을 고려하는 것으로 충분하므로 $a$ , $b$ , $c$ 만 허용한다. 뫼비우스 변환에 의해 생성된 순서 6의 조화 그룹에 따라 $cross$ 을 $1$ – $λ$ 과 $λ$ 으로⁻¹ 전송한다. 다른 세 변환은 $λ$ 을 $1$ – $λ -1$ , $-1 λ(λ$ – 1) 및 $(1$ – λ)로 보낸다 $. -1$ ^[33]

$이제$ a, $b,$ $c,$ $d$ 를 단위 원 또는 실제 축의 점으로 순서대로 두십시오. 그런 다음 $,$ [ $a,$ b $]$ 와[ $c,$ d]가 교차하지 않고 이러한 지오디컬 사이의 거리가 잘 정의된다. 이 두 지오디컬을 직교적으로 절단하는 고유한 지오디컬 라인이 있으며, 그 거리는 그들 사이의 지오디컬 세그먼트의 길이에 의해 주어진다. 그것은 실제 뫼비우스의 변화하에서는 분명히 불변하다. 뫼비우스 불변성은 지오데틱스 사이의 교차비와 거리를 비교하기 위해 계산을 대칭 구성으로 축소할 수 있다. $0$ < $r$ < $R$ 의 경우 $a =$ – $R,$ b = $-r,$ $c$ = $r,$ d = $R$ 을 취한다. 그러면 $λ$ = $(a, b; c, d) =$ ( $R$ + r $)/ 2 4R$ = $(t$ + $1)/ 2 4t$ , $여기$ 서t = $R$ / $r$ > $1$ . 반면에 지오데틱스 [ $a, d]$ 와 [ $b, c]$ 는 $r$ 과 $R$ 의 상반부 평면에 있는 반원이다. 직교적으로 이들을 절단하는 지오데틱은 양의 상상의 축이므로 이들 사이의 거리는 $iR$ 과 iR $사이$ 의 쌍곡 거리, $d (ir, iR)$ = $로그$ $R / r$ = $로그$ $t$ 이다. $Let$ s = $log$ $t$ , 그 다음 $λ$ = $cosh 2 (s /2$ )가0이 되도록 ( $a, b; c, d)가 1$ 이면 다음과 같은 상수 $C$ > $0$ 이 있게 한다.

d([a,d];[b,c]-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c]))+C,

$log[cosh(x)/expx]$ = $log(1$ + $exp(-2x))/2$ 는 $x$ ≥ $0$ 에서 위아래로 경계되기 때문이다. $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 는( $a, b; c, d)가$ 1 이상일 경우에만 단위 원을 중심으로 순서대로 배열된다는 점에 유의한다.

교차 비율의 보다 일반적이고 정확한 기하학적 해석은 지오데틱 선에 대한 이상적인 점의 투영을 사용하여 제공될 수 있다. 지오데틱 선이 교차하는지 여부에 따라 달라지지 않는다.^[34]

$p$ 와 $q$ 가 $c$ 와 $d$ 에서 지오데틱 선 $ab$ 까지 수직인 경우 $d(p,q)$ = $로그(a,b;c,d)$ .

뫼비우스 변환에서는 양쪽이 모두 불변하므로, $a$ = $0,$ b = $c,$ c = $x, d$ = 1인 경우에 이것을 확인하는 것으로 충분하다. 이 경우 지오데틱 선은 양의 가상 축이며, $오른손은 로그$ x, $p$ = $x i$ , $q$ = $i$ 와 같다. 따라서 왼손은 $로그 x$ 와 같다. $p$ 와 $q$ 는 이상적인 삼각형 $abc$ 와 $abb$ touch $abb$ 의 경사가 되는 지점이기도 하다.

정리증거

$원$ 의 동형성 $F$ 는 상수 $a,$ b > $0$ 이 있는 경우 준대칭이다.

\displaystyle {{F(z_{1}-F(z_{2}) \over F(z_{1}-F(z_{3}) }\leq a{z_{2} ^{b} \over z_{1}-z_{3} ^{b}}.}

준 뫼비우스인가, $상수$ $c,$ d > $0$ 이 있다.

\displaystyle {(F(z_{1}), F(z_{2});F(z_{3}),F(z_{4}) \leq c(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}) ^{d}}}}}}

어디에

\displaystyle {(z_{1}},z_{2}-z_{4}={{3}(z_{2}-z_{4}) \over(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4}}}}}}}}}}}}}}}}}

십자 기호를 나타내다

퀘이시 대칭과 준 뫼비우스 동형성은 반전 및 구성의 운용 하에 폐쇄되는 것이 즉시다.

$만약$ F가 quasy대칭이라면, $그것$ 은 또한 준 뫼비우스인데, $c 2$ = $a$ 와 d = $b$ : $이것$ 은₁ ( $z 3,z, z 4)$ 와₂ ( $z 4,z, z 3)$ 에 대한 첫 번째 불평등을 곱한 것이다 $.$ 반대로 모든 준 뫼비우스 동형성 $F$ 는 준대칭이다. 이를 보기 위해서는 $우선$ F(그리고 $따라서 -1$ F)가 Hölder 연속이라는 것을 확인할 수 있다. $S$ 를 통일의 입방체 뿌리의 집합으로 $하여$ $S$ 에서 $b$ b가 if이면 - $b$ = 2 $sin /3$ = $\sqrt 3$ 이 되도록 한다. Hölder 추정치를 증명하기 위해 $x$ – $y$ 는 균일하게 작다고 가정할 수 있다. 그러면 $x$ 와 $y$ 둘 다 $a,$ b $in$ $S$ 에서 ≠ $b$ 로 고정된 거리보다 크므로, 준 뫼비우스 불평등을 $x,$ $a,$ $y,$ $b$ 에 적용하면 추정이 뒤따른다. $F$ 가 Quasymmetric인지 확인하려면, $x$ - $z$ = $x$ - y , 균일하게 작은 삼중수소의 경우 $F(x)$ - F $(y)$ / $F(x)$ - $F (z)$ 에 대한 균일한 상한을 찾기만 하면 된다. 이 경우 $x$ , $y$ 및 $z$ 에서 1보다 큰 거리에 점 $w$ 가 있다. $준$ 뫼비우스 $불평등$ 을 x, $w$ , $y$ , z에 적용하면 필요한 상한이 발생한다. 요약하기

원의 동형성은 준 뫼비우스(si-möbius)이며, 만일 그것이 준대칭(quasisymmetric)이라면 그렇다. 이 경우 그것과 그것의 역은 헐더 연속이다. 준 뫼비우스 동형체들은 구성중인 그룹을 형성한다.^[35]

정리를 증명하기 위해 만약 $F$ = $ff이면$ $단위$ 원에는^[36] a, $b,$ $c,$ $d$ 의 구별되는 점들과 같은 상수 $A,$ $B$ > $0$ 이 존재한다는 것을 증명하기에 충분하다.

\displaystyle { (F(a),F(b);F(c),F(d) \leq A(a,b;c,d) ^{B}.}

$F$ (그리고 역)가 연속성이라는 것은 이미 확인되었다. 필요 시 복합적인 결합을 갖는 합성 $f$ , 그리고 $따라서$ $F$ 는 원의 방향을 보존한다고 더 가정할 수 있다. 이 경우, $a, b,$ $c, d$ 가 원 위에 정렬되어 있으면 F $아래$ 이미지도 있다. 따라서 ( $a, b; c, d)$ 와 ( $F, a), F (b); F (c), F (d)$ 는 둘 다 실제적이고 1보다 크다. 이 경우

(F(a),F(b);F(c),F(d)\leq A(a,b;c,d)^{B}}

To prove this, it suffices to show that $log (F (a), F (b); F (c), F (d)) \leq B log (a, b; c, d) + C$ . From the previous section it suffices show $d ([F (a), F (b)],[F (c), F (d)]) \leq P d ([a, b],[c, d]) + Q$ . This follows from the fact that the images under $f$ of $[a, b]$ and $[c, d]$ lie within $h$ -neighbourhoods of $[F (a), F (b)]$ and $[F (c), F (d)]$ ; the minimal distance can be estimated $[a, b]$ 및 [ $c, d]$ 실현 $d ([a, b],[c, d])$ 의 점에 적용된 $f$ 에 대한 준등계 상수 사용.

필요한 경우 $A$ 와 $B$ 를 조정하면 위의 불평등이 $F$ 에도⁻¹ 적용된다. $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 를 $F$ 에 따른 이미지로 대체하면 다음과 같다.

A^{-1}(a,b;c,d) ^{-B}\leq(a),F(b),F(d) \leq A(a,b;c,d) ^{B}}

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 유닛 서클에 순서대로 있는 경우. 따라서 동일한 불평등은 4중 $a,$ $b,$ $c,$ $d$ 의 3주기에도 유효하다. $a$ 와 $b$ 를 바꾸면 교차 비율이 그들의 반대쪽으로 보내진다. 따라서, $c$ 와 $d$ 를 바꾸면 마찬가지로 0과 1 사이에 놓인다. 두 쌍을 모두 교환할 경우 교차 비율이 변경되지 않은 상태로 유지된다. 그러므로 불평등은 이 경우에도 유효하다. 마지막으로 $b$ 와 $c$ 를 상호 교환하면 cross에서 $λ -1$ ( to – 1) = 1 – $λ$ 로^–1 교차 비율이 바뀌는데, 0과 1 $사이$ 에 있다. 그러므로 다시 같은 불평등이 유효하다. $이러한$ 변형을 사용하는 것은 불평등이 a, b, $c$ , $d$ 의 가능한 모든 순열에 유효하다는 것을 쉽게 확인할 수 있기 때문에 $F$ 와 그 역은 준 뫼비우스 동형상이다.

CAT(1) 공간에 대한 Busemann 기능 및 시각적 측정 기준

Busemann 함수는 CAT(1) 공간의 등급에 대한 특별한 시각적 측정기준을 결정하는 데 사용될 수 있다. 이들은 지오데틱 삼각형의 경계에 있는 점 사이의 거리가 쌍곡상반면에서의 비교 삼각형보다 작거나 같은 완전한 지오데틱 메트릭스 공간 또는 Poincaré 메트릭과 동등한 단위 디스크 공간이다. 단위 디스크의 경우 코드 메트릭은 Busemann 함수 $B$ 를_γ 사용하여 직접 복구할 수 있으며 디스크에 대한 특수 이론은 적절한 CAT(1) 공간 $X$ 로 완전히 일반화된다. 쌍곡선 상부 하프 평면은 쌍곡선 지오데틱 삼각형의 길이가 유클리드 비교 삼각형의 길이보다 작기 때문에 CAT(0) 공간이다. 특히 CAT(1) 공간은 CAT(0) 공간이기 때문에 부세만 함수와 그로모프 경계가 적용된다. 쌍곡선 원반 이론에서, 특히 CAT(1) 공간의 모든 지오디컬 레이는 지오디컬 라인으로 확장되며, 그곳 경계의 두 지점이 주어지면 이러한 점을 한계(± $γ)$ 로 하는 독특한 지오디컬 $γ$ 이 있다. 이 이론은 CAT(1) 공간의 측정기준을 $κ$ 에^−1/2 의해 스케일링함으로써 발생하기 때문에 $κ$ > $0$ 의 모든 CAT(- $continu$ ) 공간에 동등하게 적용된다. 쌍곡선 단위 디스크 $D$ 에서 $D$ 의 준등각은 재미있는 방법으로 경계의 준 뫼비우스 동형성을 유도한다. 그로모프 쌍곡선 공간에 대한 더 일반적인 이론이 있는데, 유사한 진술이 있지만, 경계의 동형성에 대한 덜 정확한 통제를 가지고 있다.^[14]^[15]

예: Poincaré 디스크

퍼콜레이션 이론에서의 응용

보다 최근에는 확률론자들이 1차 통과 퍼콜레이션^[37]^[38] 모델에서 점증적 특성을 연구하기 위해 Busemann 기능을 사용했으며, 마지막 통과 퍼콜레이션이 지시되었다.^[39]

메모들

^ 부즈만 1955 페이지 131
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^ Ballmann 1995, pp. 27–30
^ Bridson & Haefliger 1999, pp. 271–272
^ In geodesic normal coordinates, the metric $g (x) = I + ε x$ . By geodesic convexity, a geodesic from $p$ to $q$ lies in the ball of radius $r = max p, q$ . The straight line segment gives an upper estimate for $d (p, q)$ of the stated form. To obtain a similar lower estimate, observe that if $c (t)$ is a smooth path from $p$ to $q$ , then $L (c) \geq (1 - ε r) \cdot \int c dt \geq (1 - ε r) \cdot p - q$ . (Note that these inequalities can be improved using the sharper estimate $g (x) = I + ε x 2$ ).
^ Note that a metric space $X$ which is complete and locally compact need not be proper, for example $R$ with the metric $d (x, y) = x - y /(1 + x - y)$ . On the other hand, by the Hopf–Rinow theorem for metric spaces, if $X$ is complete, locally compact and geodesic—every two points $x$ and $y$ are joined by a geodesic parametrised by arclength—then $X$ is proper (see Bridson & Haefliger 1999, pp. 35–36). Indeed if not, there is a point $x$ in $X$ and a closed ball $K = B (x, r)$ maximal subject to being compact; then, since by hypothesis $B (x, R)$ is non-compact for each $R > r$ , a diagonal argument shows that there is a sequence $(x n)$ with $d (x, x n)$ decreasing to $r$ but with no convergent subsequence; on the other hand taking $y n$ on a geodesic joining $x$ and $x n$ , with $d (x, y n) = r$ , compactness of $K$ implies $(y n)$ , and hence $(x n)$ , has a convergent subsequence, a contradiction.
^ ^a ^b ^c Bourdon 1995
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[12] In geodesic normal coordinates, the metric $g (x) = I + ε x$ . By geodesic convexity, a geodesic from $p$ to $q$ lies in the ball of radius $r = max p, q$ . The straight line segment gives an upper estimate for $d (p, q)$ of the stated form. To obtain a similar lower estimate, observe that if $c (t)$ is a smooth path from $p$ to $q$ , then $L (c) \geq (1 - ε r) \cdot \int c dt \geq (1 - ε r) \cdot p - q$ . (Note that these inequalities can be improved using the sharper estimate $g (x) = I + ε x 2$ ).

[13] Note that a metric space $X$ which is complete and locally compact need not be proper, for example $R$ with the metric $d (x, y) = x - y /(1 + x - y)$ . On the other hand, by the Hopf–Rinow theorem for metric spaces, if $X$ is complete, locally compact and geodesic—every two points $x$ and $y$ are joined by a geodesic parametrised by arclength—then $X$ is proper (see Bridson & Haefliger 1999, pp. 35–36). Indeed if not, there is a point $x$ in $X$ and a closed ball $K = B (x, r)$ maximal subject to being compact; then, since by hypothesis $B (x, R)$ is non-compact for each $R > r$ , a diagonal argument shows that there is a sequence $(x n)$ with $d (x, x n)$ decreasing to $r$ but with no convergent subsequence; on the other hand taking $y n$ on a geodesic joining $x$ and $x n$ , with $d (x, y n) = r$ , compactness of $K$ implies $(y n)$ , and hence $(x n)$ , has a convergent subsequence, a contradiction.

[Bourdon_1995-14] Bourdon 1995

[Buyalo_2007-15] Buyalo & Schroeder 2007

[16] Mostow 1973^{[full citation needed]}

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[26] Kapovich 2001, p. 52

[27] Bi-Lipschitz homeomorphisms are those for which they and their inverses are Lipschitz continuous

[28] See:
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[29] Ahlfors 1966

[30] Lehto 1987

[29] See:
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[32] Bourdon 1995

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[30] Bridson & Haefliger 1999, pp. 430–431

[31] See:
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[39] Bourdon 1995

[40] Buyalo & Schroeder 2007

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[32] Roe 2003, p. 113

[33] Beardon 1983, pp. 75–78 Note that there is a natural homomorphism of $S 4$ onto $S 3$ , acting by conjugation on $(a, b)(c, d), (a, c)(b, d)$ and $(a, d)(b, c)$ . Indeed these permutations together with the identty form a normal Abelian subgroup equal to its own centraliser: the action of $S 4$ by conjugation on the non-trivial elements yields the homomorphism onto $S 3$ .

[34] See:
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[45] Paulin 1996

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[35] Väisälä 1984

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목차

정의 및 기본 속성

예: Poincaré 디스크

Busemann은 Hadamard 공간에서 기능한다.

하다마드 공간의 보르도화

Busemann은 Hadamard 다지관에서 기능한다.

적절한 Hadamard 공간의 압축화

푸앵카레 디스크, CAT(1) 및 쌍곡선 공간의 Quasgeodics

모르스-모스토우 보조정리

Poincaré 디스크를 위한 고전적 증거

그로모프의 푸앵카레 디스크 증거

퀘이지오데틱 광선과 선으로 확장

에프레모비치-티코미로바 정리

준등각도를 경계까지 확장

비절연 측지선 사이의 교차비 및 거리

정리증거

CAT(1) 공간에 대한 Busemann 기능 및 시각적 측정 기준

예: Poincaré 디스크

퍼콜레이션 이론에서의 응용

메모들

References