준정형 매핑

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수학 복소해석학에서, Grötzsch(1928)에 의해 도입되고 Alhlfors(1935)에 의해 명명된 준정형 매핑은 작은 원을 경계 편심률의 작은 타원형으로 만드는 평면 영역 사이의 동형사상이다.

직관적으로, f : D → D be 평면에서 열린 집합 사이의 방향 보존 동형사상이라고 하자.f가 연속적으로 미분 가능한 경우, 모든 점에서의 f의 도함수가 K로 둘러싸인 편심 타원에 원을 매핑하면 K-준공식이다.

정의.

f : D → D where where 。여기서 D와 D는 C의 2개의 도메인입니다.f의 필요한 평활도에 따라 다양한 동등한 정의가 있습니다.f가 연속 편미분을 갖는다고 가정할 경우, 벨트라미 방정식을 만족한다면 f는 준공식이다.

${\displaystyle {\frac f}{\mu(z)}={\frac {\frac f}{\frac z}}$

(1)

sup μ < 1을 만족하는 일부 복소수 값 르베게 측정 가능 μ. (Bers 1977)이 방정식은 기하학적 해석을 허용한다.D에 미터법 텐서를 장착한다.

${\displaystyle ds^{2}=\Omega(z)^{2}\left, dz+\mu(z), d420bar {z}\right ^{2}$

여기서 δ(z) > 0. f는 이 메트릭을 갖춘 D에서 표준 유클리드 메트릭을 갖춘 도메인 D'로의 컨포멀 변환일 때 (1)을 정확히 만족시킨다.함수 f를 μ-준거함수라고 한다.보다 일반적으로 f의 연속 미분성은 1차 분포 도함수가 L(D)인² 함수의 소볼레프 공간^1,2 W(D)에 f가 있는 약한 조건으로 대체될 수 있다.이때 f는 (1)의 약용액이어야 한다.거의 모든 곳에서 μ가 0일 때, (1)의 약용액인 W(D)의^1,2 동형사상은 모두 등각이다.

보조 메트릭에 호소하지 않고, 일반적인 유클리드 메트릭의 f에 따른 풀백의 효과를 고려한다.다음으로 결과 메트릭은 다음과 같이 지정됩니다.

${\displaystyle\left\frac{\flacz}\right ^{2}\left,dz+\mu(z),dcpar {z}\right ^{2}}$

배경 유클리드 $메트릭{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d\stackrel{}{}}$ z $†$ {$displaystyle dzd{\bar {z$에 비례하여 고유값을 갖는다.

${\displaystyle(1+\mu)^{2}\textstyle(왼쪽)\frac f{\twright ^{2},\qquad(1-\mu)^2}\textstyle(왼쪽)\frac f}{\twright ^2}.}$

고유값은 각각 탄젠트 평면에서 단위원 f개를 따라 뒤로 당겨 얻은 타원의 장축과 단축의 제곱 길이를 나타냅니다.

따라서 z점에서의 f의 확장은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K(z)=syslogfrac {1+\mu(z)}{1-\mu(z)}}}$

(필수) K(z)의 최고값은 다음과 같이 주어진다.

$({displaystyle K=\sup _{z\in D} K(z) = frac {1+\mu \_{\infty }} {1-\mu \_{\infty }}})$

f의 확장이라고 합니다.

극단 길이 개념에 기초한 정의는 다음과 같다.D의 곡선의 모든 집합 δ에 대해 δ의 극단 길이가 {f o : : γ γ γ γ γ }. }. }의 최대 K배인 유한 K가 존재하는 경우.그러면 f는 K-quasiconformal이다.

만약 f가 어떤 유한 K에 대해 K-준공식이라면, f는 준공식이다.

준정형 매핑에 관한 몇 가지 사실

K > 1일 경우 맵 x + iy x Kx + iy 및 x + iy + x + iKy는 모두 준규형이며 일정한 확장 K를 가진다.

s > -1일 경우 $맵z{\displaystyle z}$ z ${\displaystyle {}^{}}$ s$$\ $displaystyle$z \ $mapsto$z , z$^${ s }는$$ 준정규형(여기서 z는 복소수)이며 확장 ${\displaystyle 최대값(}$1${\displaystyle }$+${\displaystyle s}$ , ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+${\displaystyle \frac{}{}\frac{s}{}}$)이 일정합니다.\ $displaystyle \max ( 1$ + s , { \ $frac${ 1 + s , { \ frac { 1 + s } { 1 + s } { 1 + s }$$} } } } } } } { 1 + s } } } } ≠ 0 }$$。이 예시는s = 0인 경우, 이것은 단순한 ID 맵입니다.

동형사상은 등각인 경우에만 1-사변형식이다.따라서 아이덴티티 맵은 항상1개의 정사각형 형식입니다.f : D → D is K-quasiconformal, g : D′ → D′ D′ K--quasiconformal이면 go f는 KK--quasiconformal이다.K-quasiconformal 동형사상의 역수는 K-quasiconformal이다.1개의 정육면체 맵 세트는 구성 중인 그룹을 형성합니다.

복합 평면에서 그 자체로 K-quasiconformal 매핑의 공간은 세 개의 개별 점을 주어진 세 개의 점으로 매핑한다.

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2012년 5월)

측정 가능한 리만 매핑 정리

2차원에서의 준정형 매핑 이론에서 가장 중요한 것은 측정 가능한 리만 매핑 정리이며, 라르스 알포스와 립만 베르스에 의해 증명되었다.이 정리는 등각형에서 준정형 동형사상으로 리만 매핑 정리를 일반화하며, 다음과 같이 기술된다.D가 C에서 C와 동일하지 않은 단순접속 도메인이라고 가정하고, μ : D → C가 르베게 측정 가능하며δδ < { $displaystyle \mu$\ _${\infty$} <$1$을 만족한다고 가정합니다.다음으로 소볼레프 공간^1,2 W(D)에 있고 분포적 의미에서 대응하는 벨트라미 방정식 (1)을 만족하는 D에서 단위 원반으로의 준정형 동형 f가 있다.리만의 매핑 정리와 마찬가지로, 이 f는 3개의 실제 파라미터까지 유일하다.

계산 준적합 기하학

최근에는 준적합기하학이 응용수학, 컴퓨터비전, 의료영상 등 다양한 분야에서 주목받고 있다.계산 준적합기하학이 개발되어 준적합이론을 이산적인 설정으로 확장한다.의료 영상 분석, 컴퓨터 비전 및 그래픽 분야에서 다양한 중요한 응용 분야를 찾아냈습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 등온 좌표
• 의사 해석 함수
• 테이크뮐러 공간
• 준규격 지도

레퍼런스

• 를 클릭합니다Ahlfors, Lars (1935), "Zur Theorie der Überlagerungsflächen", Acta Mathematica (in German), 65 (1): 157–194, doi:10.1007/BF02420945, ISSN 0001-5962, JFM 61.0365.03, Zbl 0012.17204.
• Ahlfors, Lars V. (2006) [1966], Lectures on quasiconformal mappings, University Lecture Series, vol. 38 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6, MR 2241787, Zbl 1103.30001(초판 리뷰: MR0200442, Zbl 1103.30001)
• 를 클릭합니다Bers, Lipman (1977), "Quasiconformal mappings, with applications to differential equations, function theory and topology", Bull. Amer. Math. Soc., 83 (6): 1083–1100, doi:10.1090/S0002-9904-1977-14390-5, MR 0463433.
• 를 클릭합니다Caraman, Petru (1974) [1968], n–Dimensional Quasiconformal (QCf) Mappings (revised ed.), București / Tunbridge Wells, Kent: Editura Academiei / Abacus Press, p. 553, ISBN 0-85626-005-3, MR 0357782, Zbl 0342.30015.
• 를 클릭합니다Grötzsch, Herbert (1928), "Über einige Extremalprobleme der konformen Abbildung. I, II.", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe (in German), 80: 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01.
• 를 클릭합니다Heinonen, Juha (December 2006), "What Is ... a Quasiconformal Mapping?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 53 (11): 1334–1335, MR 2268390, Zbl 1142.30322.
• Lehto, O.; Virtanen, K.I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (2nd ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. VIII+258, ISBN 3-540-03303-3, MR 0344463, Zbl 0267.30016 (ISBN 0-387-03303-3으로도 이용 가능).
• 를 클릭합니다Morrey, Charles B. Jr. (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi:10.2307/1989904, JFM 62.0565.02, JSTOR 1989904, MR 1501936, Zbl 0018.40501.
• 파파도풀로스, 아타나세, ed. (2007), 테이크뮐러 이론 핸드북.Vol. I, 수학 및 이론물리학 IRMA 강의, 11, 유럽수학회(EMS), 취리히, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826.
• 파파도풀로스, 아타나세, ed. (2009), 테이크뮐러 이론 핸드북.제2권, 수학 및 이론물리학 IRMA 강의, 13권, 유럽수학회(EMS), 취리히, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085.
• 를 클릭합니다Zorich, V. A. (2001) [1994], "Quasi-conformal mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.