표준 정류 관계

양자역학에서 표준적 정류관계는 표준적 결합수량 사이의 기본적 관계(한 것이 다른 것의 푸리에 변환이라는 정의에 의해 관련되는 수량)이다. 예를 들어,

${\displaystyle [{\hat{x},{\hat {p}_{x}]=i\hbar \mathb {I}}$

위치 연산자 x와 모멘텀 연산자 p는_x 한 차원 점 입자의 x 방향으로, 여기서 [x , p_x] = x_x - p_x - p x는 x와 p의_x 정류자, i는 가상 단위, $\hslash$은 축소된 Planck의 상수 h/2π, I ${\$은 단위 연산자$$. 일반적으로, 위치 및 운동량은 운영자의 벡터로서 위치 및 운동량의 서로 다른 요소들 사이의 정류 관계는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle [{\hat{r}_{i},{\hat {p}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}\mathb {I}.}$

여기서$$ $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타다.

이러한 관계는 맥스 본(1925년)^[1]이 이론의 가정적인 역할을 하는 "양자 조건"이라고 불렀기 때문으로, E. 케나르드(1927년)^[2]는 하이젠베르크의 불확실성 원리를 암시하는 것으로 주목했다. 스톤-본 노이만 정리는 표준적 정류 관계를 만족하는 (확증된 형태의) 운영자에게 고유성 결과를 제공한다.

고전역학과의 관계

이와는 대조적으로, 고전 물리학에서, 모든 관측 가능한 것들은 통근하고 정류자는 0이 될 것이다. 단, 유사한 관계가 존재하며, 이는 정류자를 포아송 대괄호로 교체하여 iℏ를 곱하여 얻는다.

${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$

Dirac은 이러한 관찰을 통해 양자상대가 f̂, ĝ의 고전적 관측가능성 f, g를 만족시킬 것을 제안하게 되었다.

${\displaystyle [{\hat{f},{\hat {g}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}\,}$

1946년, 힙 그로네월드는 양자 정류자와 포아송 괄호 사이의 일반적인 체계적 대응은 일관적으로 유지될 수 없다는 것을 증명했다.^[3][4]

그러나 그는 실제로 그러한 체계적 대응은 오늘날 모얄 브라켓이라고 불리는 양자 정류자와 포아송 브라켓의 변형 사이에 존재하며, 일반적으로 양자 연산자와 위상 공간의 고전적 관측 가능성과 분포 사이에 존재한다는 것을 더욱 높이 평가하였다. 그리하여 그는 마침내 일관된 통신 메커니즘인 위그너-를 해명하였다.변형 정량화라고 알려진 양자역학의 대체 등가 수학적 표현에 기초하는 Weyl 변환.^[3][5]

해밀턴 역학으로부터의 파생

대응 원리에 따르면 특정 한계에서 주의 양자 방정식은 해밀턴의 운동 방정식에 접근해야 한다. 후자는 일반화된 좌표 q(예: 위치)와 일반화된 모멘텀 p 사이의 관계를 다음과 같이 설명한다.

${\displaystyle {\begin{case}{\dot{q}}={\frac {\partial h}}=\{q,H\};\\\\p}=-{\frac {\partial h}{\p}}}}}=\p,H\}.\end{case}}$

양자역학에서 해밀턴 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ (일반화된) $좌표{\displaystyle \stackrel{}{}}$ Q ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ (일반화된) 모멘텀 $P{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은 모두$$$$ 선형 연산자다.

양자 상태의 시간 파생형은 i ${\displaystyle H\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ /${\displaystyle \hslash }$ ${\displaystyle i{\hat{H}/\hbar }$이다($$슈뢰딩거 방정식). 마찬가지로, 연산자는 명시적으로 시간에 의존하지 않기 때문에, 해밀턴인과의 교환 관계에 따라 시간에 따라 진화하고 있는 것으로 볼 수 있다(하이젠베르크 사진 참조).

${\dfrac {d{\hat{Q}}{dt}}{dt}={\frac {i}{\hbar }}}}}[{\hat {H},{\hat {Q}}}}}}$

${\dfrac{d{\hat{P}}{dt}}{dt}={\frac {i}{\hbar }}}}}}[{\hat {H},{\hat {P}]\,\,\,}$

In order for that to reconcile in the classical limit with Hamilton's equations of motion, ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$ must depend entirely on the appearance of ${\displaystyle {\hat {P}}}$ in the Hamiltonian and ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$ mUst는 해밀턴의 $Q$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ {$Q}}$의 외관에 전적으로 의존한다. 또한 해밀턴 연산자는 (일반화된) 좌표 및 운동량 연산자에 의존하기 때문에, 기능적인 것으로 볼 수 있으며, 우리는 (기능적인 파생상품을 사용하여) 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle [{\hat{H},{\hat {Q}]={\frac {\delta {\hat {H}}{\delta {\P}}\cdot[{\hat {P},{\hat {Q}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle [{\hat {H},{\hat {P}]={\frac {\delta {\delta {\Q}}\cdot [{\hat {Q},{\hat {P}}}\,\,\,}$

고전적인 한계를 얻기 위해서 우리는 그 다음에

${\displaystyle [{\hat{Q},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbe {I} .}$

와일 관계

그룹 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle H_{$${\displaystyle 3\stackrel{}{}}$$}(\mathb {R}$ )은 정류 관계[${\displaystyle x\stackrel{}{}}$^ ,${\displaystyle }$p${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ]}$ = ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [{\hat{x},{p}}}=i\hbar }}}$의 지수화에 의해 생성된$$ 그룹을 하이젠베르크 그룹이라고 한다$$. 이 그룹은 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3\time 3}$개의$$ 위쪽 삼각형 행렬과 대각선 삼각형 행렬의 그룹으로 실현될 수 있다.^[6]

양자역학의 표준 수학 공식에 따르면, $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 및$$ $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$과 같은 양자 관측 가능성은 일부 힐버트 공간에서 자기 적응 연산자로 표현되어야 한다$$. 상기의 표준적 정류 관계를 만족하는 두 사업자는 둘 다 경계할 수 없다는 것을 비교적 쉽게 알 수 있다. Certainly, if ${\displaystyle {\hat {x}}}$ and ${\displaystyle {\hat {p}}}$ were trace class operators, the relation ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$ gives a nonzero number on the right and zero on the left.

Alternately, if ${\displaystyle {\hat {x}}}$ and ${\displaystyle {\hat {p}}}$ were bounded operators, note that ${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$, hence the operator norms would satisfy

${\displaystyle 2\stackrel{}{}★}$p ^ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle ^{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ^ ${\displaystyle {n\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {^}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 2$\left\{p}\\\hat$ {$x}\right\\\\\{n}\geq n\hbar \{x}\i1\{n-1$ 그러니까 어떤 n에 대해서도.

${\displaystyle 2\왼쪽\{p}\오른쪽\\\왼쪽\{\hat {x}\오른쪽\\geq n\hbar }$

그러나 n은 임의로 클 수 있으므로 적어도 하나의 연산자를 경계할 수 없으며, 그 밑에 있는 힐버트 공간의 치수는 유한할 수 없다. 만약 운영자들이 Weyl 관계(아래 기술된 표준 정류 관계의 강조된 버전)를 만족시킨다면, 스톤-본 노이만 정리의 결과로써, 두 운영자는 한이 없어야 한다.

그러나 이러한 표준적 정류 관계는 (경계) 단일 운영자 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle i}$ t ${\displaystyle x\stackrel{}{}^}$ $){\displaystyle \exp(it{\hat{x})}$ ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash exp(it\{\backslash hat\; \{x\}\})\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/23fc25bb2eabfa3b46bc9e7e52a4c628bc59326f"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.333ex;\; height:2.843ex;">}}$ exp${\displaystyle (}$i ${\displaystyle s\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $){\displaystyle \exp(is{p}})}$의 관점에서 작성함으로써 어느 정도 "tamer"로 렌더링할 수 있다$.$ 이러한 사업자에 대한 결과적인 우호 관계는 소위 Weyl 관계다.

${\displaystyle \exp(it{\hat {p})\exp(is{\hat {p})=\exp(is{\hat {p})\exp(it{\x}).}$

이러한 관계는 표준적 정류 관계의 강조된 버전으로 생각할 수 있다; 그것들은 위치에서의 번역과 모멘텀에서의 번역은 통근하지 않는다는 것을 반영한다. 하이젠베르크 집단의 대표성 측면에서 와일 관계를 쉽게 개혁할 수 있다.

표준적 정류관계의 고유성은, 웨일관계의 형태로, 그때 스톤-본 노이만 정리에 의해 보장된다.

It is important to note that for technical reasons, the Weyl relations are not strictly equivalent to the canonical commutation relation ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$. If ${\displaystyle {\hat {x}}}$ and ${\displaystyle {\hat {p}}}$ were bounded operators, the베이커-캠프벨-하우스도르프 공식의 특별한 경우라면 웨일 관계에 대한 표준적 정류 관계를 "우월"할 수 있을 것이다.^[7] 앞에서 언급한 바와 같이, 표준적 통신 관계를 만족하는 사업자는 반드시 한계에 도달해야 하기 때문에, 베이커-캠벨-하우스도르프 공식은 추가적인 도메인 가정 없이는 적용되지 않는다. 실제로, 백배는 표준적 정류 관계를 만족시키는 존재는 있지만 Weyl 관계는 아니다.^[8] (이 같은 연산자는 불확도 원리의 순진한 형태에 대해 백범례를 제시한다.) 이러한 기술적 문제들은 스톤-본 노이만 정리가 웨일 관계의 관점에서 공식화되는 이유다.

매개변수 s와 t가 $Z{\displaystyle \mathbb{}/n}$ ${\displaystyle \mathb {Z}/n}$을(를) 초과하는 Weyl 관계의 이산형 버전은 클럭과 시프트 매트릭스를 통해 유한 차원 Hilbert 공간에서 실현될 수 있다$.$

일반화

간단한 공식

${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathb {I} ~,}$

예제에서 가장 단순한 고전적인 시스템의 양자화에 유효한, 자의적인 Lagrangian 나는{\displaystyle{{나는\mathcal}사건을 유발한 것}}.[9]우리는 양자장론의 경우(그런 위 예에서 x, 또는 필드 Φ로())cm이고 momenta πx 정준 정준 좌표를 식별하는 방식이 개괄될 수 있는(위에 그것은 p, 또는 모의레 g에너지 측면에서 표준 좌표의 파생상품과 관련된 일부 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle \pi _{i}\\\stackrel {def}}{}}}{}}\frac {\partial {\partial {L}}}{partial (\partial x_{i}/\partial t)}}}}}}}}}.}$

표준 운동량의 이 정의는 오일러-라그랑주 방정식 중 하나가 형식을 갖도록 보장한다.

${\displaystyle {\frac {\partial t}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal{L}}{\partial x_{i}}}.}$

표준적 정류 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \cHbar \cHB_{ij}\...}$

여기서 Δ는_ij Kronecker delta이다.

게다가, 그것은 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$

${\displaystyle {Cn}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= C ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$- 1 ${\$k-1}을 사용하면 $수학$유도를 통해 쉽게 알 수 있다$.$

${\displaystyle \left[{\x}^{n}},{\hat {p}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{min\left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}}{k!\왼쪽(n-k\오른쪽)!\왼쪽(m-k\오른쪽)!}}{{\x}^{n-k}{\p}^{m-k}=\sum _{k=1}^{min\left(m,n\right)}{\frac {\frac(i\hbar \right)}{\frac(i\hbar \right)^{k}n!m!}}{k!\왼쪽(n-k\오른쪽)!\왼쪽(m-k\오른쪽)!}}{\hat{p}^{m-k}{\x}^{n-k}},}$

일반적으로 맥 코이의 공식으로 알려져 있다.^[10]

게이지 불변성

표준 정량화는 정의상 표준 좌표에 적용된다. 그러나 전자기장이 존재하는 경우 표준운동량 p는 게이지 불변성이 아니다. 올바른 게이지 변화량 운동량(또는 "운동량 운동량")은 다음과 같다.

${\displaystyle {}_{}\mathrm{pkin}{}_{}}$= p -${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}${\$displaystyle p_{\text{kin}=p-qA\,\!}($SI 단위) ${\displaystyle {\text{pkin}}_{}}$=${\displaystyle p}$ - ${\displaystyle Q\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ $displaystyle p_{\text{kin}=p-{\frac {qA}},\}!}($cgs 단위),$$

여기서 q는 입자의 전하, A는 벡터 전위, c는 빛의 속도다. 수량 p는_kin "물리적 모멘텀"이지만, 실험실 실험에서 모멘텀으로 식별해야 할 수량이라는 점에서 표준적 감응 관계를 만족시키지 못하고, 표준적인 모멘텀만이 그렇게 한다. 이것은 다음과 같이 볼 수 있다.

고전적 전자기장에서 질량 m의 정량화된 전하 입자에 대한 비-상대적 해밀턴은 (cgs 단위)

${\displaystyle H={\frac {1}{1}{2m}\왼쪽(p-{\frac {qA}{c}\오른쪽)^{2}+q\phi }}$

여기서 A는 3벡터 전위, φ은 스칼라 전위다. 해밀턴의 이러한 형태와 슈뢰딩거 방정식 H = = iħψ//tt, 맥스웰 방정식 및 로렌츠 힘 법칙은 게이지 변환에 따라 불변한다.

$\displaystyle A\to A^{\premium }=A+\nabla \lambda }$

${\displaystyle \phi \to \partial t}{\phi ^}=\phi -{\frac {1}{c}{\frac {1}{\partial \lambda }{\partial t}}}}}}}$

${\displaystyle \psi \to \psi ^{\psi }=U\psi }$

${\displaystyle H\to H^{\premy}=UHU^{\daugger}}}$

어디에

${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}\오른쪽)}$

λ=λ(x,t)은 게이지 함수다.

각운동량 연산자는

$L=r\time p\,\!}$

그리고 정량화 관계를 준수한다.

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}}$

Lie 대수학 정의 (3) 여기서 $where{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 Levi-Civita 기호다. 게이지 변환에서 각도 모멘텀은 다음과 같이 변환된다.

${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$

게이지 인바리어트 각도 모멘텀(또는 "키네틱 각도 모멘텀")은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}\오른쪽),}$

감화 관계가 있는.

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}^{\,k}}\좌측(K_{k}+{q\hbar }}{c}}}}{c\c\cdot B\오른쪽)}}}}}$

어디에

$B=\nabla \time A}$

자기장이야 이 두 공식의 불평등은 Zeeman 효과와 Aharonov-Bohm 효과에서 나타난다.

불확실성 관계 및 정류자

운영자 쌍에 대한 이러한 모든 비경쟁적 정류 관계는 해당 불확실성 관계를 유발하며,^[11] 각 정류자와 반커머터들의 긍정적인 반확정적 기대 기여를 포함한다. 일반적으로, 두 개의 에르미트 연산자 A와 B의 경우, ψ 상태의 시스템에서 기대값, (ΔA)² ≡(A - ⟨A⟩)⟩² 등의 해당 기대값을 고려한다.

그러면

${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left \left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right ^{2}+\left \left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right ^{2}}},}$

여기서 [A, B] ≡ A B - B A는 A와 B의 정류자, {A, B} ≡ A + B A는 안티코뮤터다.

이는 ⟨A²⟩ ⟨B²⟩ ≥A B⟩ 및 A B = ([A, B] + {A, B}/2] 이후 Cauchy-Schwarz 불평등을 사용하며, 마찬가지로 이동 연산자 A - ⟨A⟩과 B - (B uncertainty. (Cf. 불확실성 원리 파생)를 사용한다.

A와 B를 대체(및 분석에 주의)하면, 평소와 같이 x와 p에 대한 하이젠베르크의 친숙한 불확실성 관계를 산출하게 된다.

각운동량 연산자의 불확실성 관계

각운동량 연산자 L_x = y p_z - z p 등의_y 경우 다음이 있다.

${\displaystyle [{L_{x},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$

여기서 $ϵ{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$는 Levi-Civita 기호로, 단순히 지수의 쌍방향 교환 하에 답의 기호를 반대로 한다. 스핀 연산자와 유사한 관계가 유지된다.

여기서 L과_x L의_y 경우,^[11] 각운동량 복수ts ℓ = ℓ,m³, Casimir invariant_y² L_x² + L+ L의_z² 횡단구성요소에 대해 z-대칭관계가 있다.

⟨L_x²⟩ = ⟨L_y²⟩ = (ℓ (ℓ + 1) − m²) ℏ²/2 ,

뿐만 아니라 ⟩L_x = = lL_y = = 0 .

결과적으로, 위의 불평등이 이 정류 관계에 적용되는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {1}{1}{1}{1}:{2}}: {\sqrt {\hbar ^{2} \langle L_}\angle ^{2}},},},}$

이 때문에

${\displaystyle {\langle L_{x}^{2}\langle L_{y}^{2}\langle L_{langle }}}}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}m}$

따라서

${\displaystyle \ell(\ell +1)-m^{2}\geq m~,}$

따라서, 카시미르 불변제: bound (ℓ + 1) ≥ m (m + 1) ≥ m (m + 1) 및 ℓ m, 그 중에서도 유용한 제약조건을 산출한다.

참고 항목

• 스톤-본 노이만 정리
• 정량화
• CCR 대수
• 거짓말 파생상품
• 모얄 브라켓

참조

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations, An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer.