트레이스 클래스

수학에서 트레이스 클래스 연산자는 추적이 유한하고 근거의 선택으로부터 독립적이 되도록 추적이 정의될 수 있는 콤팩트 연산자다.많은 저자들이 힐버트 공간에 있는 원자력 사업자의 특수한 경우를 위해 "추적 등급 사업자"라는 용어를 유보하고 보다 일반적인 위상 벡터 공간(Banach 공간 등)에서의 사용을 위해 "핵 사업자"라는 용어를 유보하고 있지만, 추적 등급 사업자는 본질적으로 원자력 사업자와 동일하다.

정의

$선형$ 연산자 ${\displaystyle$ $\operatorname {Tr},}$이(가) 나타내는 추적은 영상 시리즈의^[1] 합이다$$.

여기서 이 합계는 정형근거$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 선택과 무관하다.$_{k}$ ${\displaystyle H}$의{k}}이며, 수렴하지 않으면$$ 이 합이${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle\infit }$과 같다.

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 유한 차원일 경우 Tr ${\displaystyle \mathrm{tr}A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr}$ A$}$은(는) 트레이스의 일반적인 정의와 동일하다$$.

${\displaystyle \mathrm{경계}}$ 선형 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle T:$$H\to H}$ over a Hilbert space ${\displaystyle H,}$ we define its absolute value, denoted by ${\displaystyle T ,}$ to be the positive square root of ${\displaystyle T^{*}T,}$ that is, ${\displaystyle T :={\sqrt {T^{*}T}}}$ is the unique bounded positive operator on $$${\displaystyle }$${\displaystyle T}$$$${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle T}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T}$. ${\displaystyle$T$\circus$ T = $T^{*}\circle$ T$.}$와 같은$$ A.

힐버트 공간의 경계 선형 연산자는 절대값이 추적 등급인 경우에만 추적 등급임을 나타낼 수 있다.^[1]

경계 선형 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\디스플레이$ 스타일 $T:$Hilbert 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 $H\to H}$은(는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나라도 충족되면 추적 등급에 있다고 한다.

• T는 원자력 사업자다.
• T는 두 힐버트-슈미트 연산자의 구성과 동일하다.^[1]
• $\sqrt{T}$ $textstyle {\sqrt{$ T$}}}$은(는) 힐베르트-슈미트 연산자다.^[1]
• T는 일체형 연산자다.^[2]
• There exist weakly closed and equicontinuous (and thus weakly compact) subsets ${\displaystyle A^{\prime }}$ and ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ of ${\displaystyle H^{\prime }}$ and ${\displaystyle H^{\prime \prime },}$ respectively, and some positive Radon measure${\displays$$tyle \mu }$ on ${\displaystyle A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}$ of total mass ${\displaystyle \leq 1}$ such that for all ${\displaystyle x\in H}$ and ${\displaystyle y^{\prime }\in H^{\prime }}$:
  $${\displaystyle y^{\prime }(T(x))=\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}x^{\prime }(x)\;y^{\prime \prime }\left(y^{\prime }\right)\,\mathrm {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right).}$$

  
• There exist two orthogonal sequences ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ and ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in ${\displaystyle H}$ and a sequence ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty$$}}$ in ${\displaystyle \ell ^{1}}$ such that for all ${\displaystyle x\in H,}$ ${\textstyle T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i}.$$}$^[3]
• 여기서 무한합계란 부분합계의 순서${(\sum \underset{i}{\overset{}{}}}_{}^{}$ ${\underset{}{\overset{}{=}}}_{}^{}$ ${\underset{}{\overset{}{1}}}_{}^{}$ ${\underset{}{\overset{}{}}{}_{}}_{}^{}$ ${i_{}}_{}^{}$ i${{}_{}}_{}^{}$⟨ i$x_{}^{}$ ${x_{}}_{}^{}$ , x${{}_{}}_{}^{}$i${{}_{}{y}_{}}_{}^{}$ y ) ${}_{}^{}$= $1_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ ${\$ x$,x_{i}\ri}\ri$}\$ri}\$ri}\rigle y_{i}\rigle $y_${i}\rigle}\rigle \rigle y}\rigle \right)$_$\right)_\${N=1}^{\infully }}$H에서 $T{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle T(x)}$에 수렴한다$$.
• T is a compact operator and ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }l_{i}<\infty ,}$ where ${\displaystyle l_{1},l_{2},\ldots }$ are the eigenvalues of ${\displaystyle T }$ with each eigenvalue repeated as often as its multiplicity.^[1]
• 고유값 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 다중성은 $T{\displaystyle }$- r ${\displaystyle {Id}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle T-r\operatorname {Id} _{H}$의 커널 치수인데$$ 여기서$$ ${\displaystyle {ID}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaysty \operatorname {Id} _{H}:$$H\to H}$이(가) ID 맵이다.
• 일부 정형$({\displaystyle {e_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 경우$_{k}$ H의 $\underset{}{\_}${k}}} 양수 terms $\underset{}{}$ $T$ $e$ k${}_{}$, ${}_{}$ $k_{}$ ${}_{}$ ${\$ T$\,e_{k},e_{k}\right\angle }}}$의 합은 유한하다$$.
• 위의 조건과 함께 "some"이라는 단어가 "mally"로 대체됨.
• 전치 지도 ${\displaystyle {}^{}}$: H ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ H ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$H_{b}^{\premy$}^{$b}^{\premy}}}}}}}$은(이것 이외의 어떤 정의 조건에 따라) 트레이스 클래스인데$$, 이 경우 $\Vert {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {\Vert }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$\ \$left\{}^T\right\ _{1$}=\{1$}.$$}$^[4]
• ${\displaystyle {}^{}}$의 전치점은 (${\displaystyle }$T ${\displaystyle )}$(${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ) (y${\displaystyle {}^{}}$ ) := y ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T}$ , {\$displaystyle \$left$({}^{T\$right$)\$left($y^{}T\right)$에 의해 정의된다$.$$=y^{\prime}\circle T,}$H의 연속 이중 공간 $′{\$ $H$$^{\$$prime$ $}$에 속하는$$$$ 모든 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ $y$$^{\$$prime$}.첨자 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) H$display$ {\$displaystyle$ H$^{\prime }}$이(가) 통상적인 표준 위상(storm topology)을$$ 가지고 있음을 나타낸다$$.
• ${\displaystyle \operatorname {Tr}(T )<\inflt.}$^[1]

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 이미 양성 연산자가 아닌$$ 경우 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

• 연산자 ${\displaystyle T}$ $displaystyle$T$}$은(이 정의가 아닌 다른 정의 조건에 따라) 추적 클래스다$$.

트레이스-노멀

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 추적 클래스인 경우 추적 클래스 연산자 T의 추적 표준을 공통 값으로 정의함

(최후의 평등이 반드시 유지된다는 것을 보여줄 수 있는 곳).$우리$는 H ${\displaystyle {by\mathrm{}}_{}}$ B 1 (${\displaystyle {}_{}H}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle B_{1}(H$)에 있는 모든 추적 클래스 선형 연산자의 공간을 나타낸다$.$$}$

T가 트레이스 클래스인 경우^[5]

H가 유한한 차원일 때, 모든 연산자는 추적 등급이며 A의 이 추적 정의는 행렬의 추적 정의와 일치한다.

연장선상으로 A가 음이 아닌 자칭 연산자라면, 우리는 또한 A의 추적을 가능한 분합에 의한 연장된 실수로 정의할 수 있다.

여기서 이 합계는 정형근거$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 선택과 무관하다.$_{k}}$ of H.

예

유한한 치수 범위를 가지는 모든 경계 선형 연산자(${\displaystyle 즉}$, 유한 등급 연산자)는 추적 등급이다.^[1] 더욱이 모든 유한 등급 연산자의 공간은 B 1 (${\displaystyle {}_{}{H\mathrm{}}_{}}$ $){\$디스플레이 $스타일 B_{1}(H)}$의 밀도 높은 하위 공간이다($$ ( $\Vert {\displaystyle }$ ^[5]${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1${\$을 부여한 경우).힐버트-슈미트 연산자 2명의 구성은 트레이스 클래스 연산자다.^[1]

→ Hz↦⟨ z, y⟩):\,&amp이 어두워져서{\displaystyle{\begin{alignedat}{4}x\otimes을 감안할 때 어떤 x, y∈ H.⊗는 y:H을 정의하{x,y\in H\displaystyle,}.H&,&\to \,&,&H\\&, z&, &,\mapsto \,&,&\langle z,y\rangle x\\\end{alignedat}}}그것은,()⊗ y)(z):⟨ z, y⟩ x=.{(x\otimes y)(z)\displaystyle:.$=\langle z,y\angle x.}$$$ 그러면 x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\otimes y}$은(는) 순위 1의 연속 선형 연산자로$$, 따라서 추적 등급이며, 더욱이 H에 대한 경계 선형 연산자 A의 경우 ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle A}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle A}$,${\displaystyle }$y${\displaystyle ⟩.}$ ${\displaysty \operatorname {Tr}(A(x\otimes$ y$))))$$=\langle Ax,y\angle .}$

특성.

1. $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle A$인 경우$:$thenA{A\displaystyle}만일 Tr, ∞ ⁡trace-class은 H\to H}은non-negative self-adjoint,.{\displaystyle \operatorname{Tr}A;\infty.}그러므로, 자동 수반 연산자 A{A\displaystyle}은trace-class 만일의 긍정적인 파트 A+{\displaystyle A^{+}}과 부정적인 부분. A−${\displaystyle$ A$^{-}$ 둘 다 트레이스 등급이다$$.(자승 연산자의 양과 음은 연속 기능 미적분학을 통해 얻는다.)
2. 추적은 추적 클래스 연산자의 공간에 걸친 선형 함수, 즉,
   $${\displaystyle \operatorname {Tr}(A+bB)=a\operatorname {Tr}(A)+b\operatorname {Tr}(B)}$$

   
   이선형 지도
   $${\displaystyle \langle A,B\rangele =\operatorname {Tr}(A^{*}B)}$$

   
   추적 등급의 내부 제품이며, 해당 규범을 힐버트-슈미트 규범이라고 한다.힐베르트-슈미트 규범에서 트레이스 클래스 연산자의 완성은 힐베르트-슈미트 연산자라고 불린다.
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C} }$ is a positive linear functional such that if ${\displaystyle T}$ is a trace class operator satisfying ${\displaystyle T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,}$ then ${\displaystyle T=0.$$}$^[1]
4. ${\displaystyle T}$: H${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle T:$$H\to H}$이(가) $트레이스{\displaystyle {}^{}}$ 클래스인 경우 T class$displaystyle$ T$^{*}$ 및$$ $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$. ${\displaysty$\$T\$\{1$}=\left\{*}\right\ _{1}.$$}$^[1]
5. $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle A$인 경우$:$$H\to H}$이(가) 경계되고$$ $T{\displaystyle }$: H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:$$H\to H}$은 트레이스 클래스, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle AT}$ 및 $T$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TA}$도^[1][6][1] 트레이스 클래스,
   $${\displaystyle \ \ AT\{1}=\operatorname {T}(AT )\leq \\eq \t\_{1},\quad \ TA\ \{1}=\operatorname {Tr}(TA )\leq \ \ T\_{1}.}$$

   
   게다가, 같은 가설 아래,^[1]
   $${\displaystyle \operatorname {Tr}(AT)=\operatorname {Tr}(TA)}$$

   
   그리고 ${\displaystyle Tr}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle A\Vert }$ ${\displaystyle \Vert }$ ‖ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle \operatorname {T}$ ($AT) \leq$\$A\\ \ T$\ $.}$ 마지막$$ 주장은 A와 T가 Hilbert–Schmidt라는 약한 가설 아래에도 들어 있다.
6. H에 대한 추적 등급 연산자의 공간은 H에 대한 경계 선형 연산자의 공간에서는 이상적이다.^[1]
7. $({\displaystyle {e_{}}_{}}$ k${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$인 경우$_{k}}$ 및$$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$_{k}}$는 H의 두 가지 정형근거이고 T가 트레이스 클래스인 경우 $\sum \underset{}{}$ $\underset{}{k}$ $⟨\underset{}{}$ ${}_{}$ $k_{}$ e k${}_{}$ ${}_{}$ $k_{}⟩$ $T{}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$. ${\textstyle \sum \{k}\left\langle Te_{k}}\right\leq \{1}.$$}$^[5]
8. A가 트레이스 클래스인 경우 프레드홀름 결정 인자는 ${\displaystyle 1}$+ A ${\displaystyle 1+A$
   $$[\displaystyle \det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],}$$

   
   여기서 {${\displaystyle {\lambda n}_{}}$(${\displaystyle A_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$은 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ A$.}$의 스펙트럼이다$$.$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 추적 클래스 조건은 무한 제품이 유한하다는 것을 보장한다$$. 실제로,
   $${\displaystyle \det(I+A)\leq e^{\ A\ _{1}}$$

   
   또한 ${\displaystyle det}$(${\displaystyle I}$+ A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \det(I+A)\neq$ 0$}$ 만약$$${\displaystyle }$(${\displaystyle I}$+ ${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle(I+A)}$이(가) 변환 불가능한 경우에만 해당함을 암시한다.
9. $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ H ${\displaystyle A$인 경우$:$$H\to H}$은(는$){\displaystyle {}_{}}$ 모든 정형(${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 추적 클래스임$$$_{k}$ $of$ H${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ H$,}$ 양수 sum $\underset{}{k}$ $⟨\underset{}{}$ $e$ $k_{}$, ${}_{}$ $k_{}$ ${}_{}$ $textstyle \sum _{k}\left\langle$ A$\, e_{k}, e_{k},$ \$right\angle \right}}}$의 합은$$ 유한하다$$.^[1]
10. If ${\displaystyle A=B^{*}C}$ for some Hilbert-Schmidt operators ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle C}$ then for any normal vector ${\displaystyle e\in H,}$ ${\textstyle \langle Ae,e\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\ Be\ ^{2$$}}+\ Ce\ ^{2}\오른쪽$)}^[1] 보유$$$.$

리스키의 정리

Let ${\displaystyle A}$ be a trace-class operator in a separable Hilbert space ${\displaystyle H,}$ and let ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},}$ ${\displaystyle N\leq \infty }$ be the eigenvalues of ${\displaystyle A.}$ Let us assume that ${\displaystyle {\lambda }_n(A)}$${\displaystyle \lambda _{n}(A)}$ are enumerated with algebraic multiplicities taken into account (that is, if the algebraic multiplicity of ${\displaystyle \lambda }$ is ${\displaystyle k,}$ then ${\displaystyle \lambda }$ is repeated ${\displaystyle k}$ times in the list ${$$\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots }.$리스키의 정리(Victor Borisovich Lidskii의 이름을 따서 명명)에는 다음과 같이 되어 있다.

왼쪽의 시리즈는 Weyl의 불평등 때문에 절대적으로 수렴된다는 점에 유의하십시오.

between the eigenvalues ${\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}}$ and the singular values${\displaystyle \{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}}$ of a compact operator ${\displaystyle A.$$}$^[7]

일부 연산자 클래스 간의 관계

경계 연산자의 특정 클래스를 고전적 시퀀스 공간의 비 커뮤테이션 아날로그로 볼 수 있으며, 추적 클래스 연산자는 시퀀스 공간 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle N\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathb {N})$의 비 커뮤테이션 아날로그로 볼 수 있다$.$$}$

실제로 분리가 가능한 힐버트 공간의 모든 정상 추적 등급 연산자는 힐버트 베이스의 일부 선택과 관련하여 ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$시퀀스로서$$ 특정한 방법으로 실현될 수 있음을 보여주기 위해 스펙트럼 정리를 적용할 수 있다.In the same vein, the bounded operators are noncommutative versions of ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),}$ the compact operators that of ${\displaystyle c_{0}}$ (the sequences convergent to 0), Hilbert–Schmidt operators correspond to ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$$ 및 유한 순위 연산자(정확하게 많은 0이 아닌 항만 있는 시퀀스).어느 정도, 이러한 등급의 연산자 사이의 관계는 서로 다른 연산자 간의 관계와 유사하다.

Hilbert 공간의 모든$$ 콤팩트 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$은(는) 모든 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \in }$ H${\displaystyle }$, ${\displaystyle h\in$ H$,}$에 대해 다음과 같은 표준 형식을 취한다는 점을 기억하십시오$.$

for some orthonormal bases ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i}}$ and ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i}.}$ Making the above heuristic comments more precise, we have that ${\displaystyle T}$ is trace-class if the series ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ isconvergent, ${\displaystyle T}$ is Hilbert–Schmidt if ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ is convergent, and ${\displaystyle T}$ is finite-rank if the sequence ${\displaystyle \left(\alpha _{i}\right)_{i}}$ has only finitely many nonzero terms.

위의 설명은 이러한 종류의 운영자와 관련된 몇 가지 사실을 쉽게 얻을 수 있도록 한다.예를 들어 $다음{\displaystyle }$ 포함$$요소는 H {\$displaystyle$ H$$$}$이(가) 무한 차원일 때 모두 적절하다.

The trace-class operators are given the trace norm ${\textstyle \ T\ _{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.$$}$ 힐버트-슈미트 내제품에 해당하는 규범은$$

또한 일반적인 연산자 표준은$$is $T$ $\Vert$= $\underset{}{sup}$ i$\underset{}{}$(${}_{}$ $i_{}$)$$. ${\textstyle \\\\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right$)이다$.$$}$ 순서에 대한 고전적 불평등에 의해$$,$적절한$ T${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ T$.}$에 대해

유한계급 운영자는 트레이스 클래스와 힐버트-슈미트 양쪽에서 각각의 규범에 있어서 밀도가 높은 것도 분명하다.

콤팩트 연산자의 듀얼로 클래스 추적

The dual space of ${\displaystyle c_{0}}$ is ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ).}$ Similarly, we have that the dual of compact operators, denoted by ${\displaystyle K(H)^{*},}$ is the trace-class operators, denoted by ${\displaystyle C_{1}.}$ The argument, which we now스케치는 해당 시퀀스 공간에 대한 스케치를 연상시킨다.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \in }$ K${\displaystyle }$( ${\displaystyle H{}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle f\in K(H)^{*}}}$에 의해 정의된$$ 연산자 ${\displaystyle T_{}}$ f ${\$와 f ${\displaystyf f}$을(를) 식별한다.

여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\$은(는) 다음이 제공하는 순위 1 연산자다.

이 식별은 $유한{\displaystyle }$ 순위 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$가 K${\displaystyle }$( H${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\디스플레이$ 스타일 $K(H$)에서 표준 단위이기 때문에 작동한다$.$$}}$ T ${\displaystyle f_{}}$ ${\$이(가) 양의 연산자일$$ 경우$$, 모든 정형 기준 ${\displaystyle u_{}}$i ,$${\$displaystyle u_{i}}}$에는 다음이 있다.

$여기$서 I ${\displaystyle I}$은(는) ID 연산자:

그러나 이것은 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$이 트레이스 클래스라는$$ 것을 의미한다.극 분해에 대한 호소력은 이를 일반적인 사례로 확장하는데, $여기$서 T ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 양성이 될 필요가$$ 없다.

유한 순위 연산자를 사용한 제한 인수는${\displaystyle }$‖ T ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle f\Vert }$ . ${\displaystyle$\$T_{f}\ _{1}=\{1$}$따라서$ $K$ ( H${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$displaystyle$ $K($$H)^{*}}}}}}$ 등축이$$ 이형인 것을 $.$

경계 연산자의 선행 조건처럼

Recall that the dual of ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )}$ is ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).}$ In the present context, the dual of trace-class operators ${\displaystyle C_{1}}$ is the bounded operators ${\displaystyle B(H).$$}}$ ${\displaystyle {더\mathrm{}}_{}}$ 정확히$$ 말하면, $세트{\displaystyle {}_{}}$ C 1 ${\$}는 $B{\displaystyle }$(${\displaystyle H}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle B(H$)에서 양면 이상적이다$.$$}$ So given any operator ${\displaystyle T\in B(H),}$ we may define a continuous linear functional ${\displaystyle \varphi _{T}}$ on ${\displaystyle C_{1}}$ by ${\displaystyle \varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).}$ This correspondence between bounded linear op$\phi {\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 이중공간의 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\$는 등축 이형성이다.$따라서{\displaystyle }$B (${\displaystyle H}$ ) ${\displaystyle B($${\displaystyle H}$$)}$은$($는) $C{\displaystyle {}_{}}$1$$. {\$displaystyle C_{$1}의 이중 공간이다. 이$$ $공간$은${\displaystyle }$B (${\displaystyle }$H${\displaystyle }$)$$. {\$displaystyle$ B($H)$에서 약한-* 위상을 정의하는 데 사용할 수 있다.$}$

참고 항목

• 원자력 사업자
• 바나흐 공간 사이의 핵 운영자

참조

참고 문헌 목록

• Conway, John (1990). A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• 딕스미어, J. (1969년).레 알제브레스 다오페라투르스는 에스페이스 힐베르티엔을 단련한다.가시에 빌라르스.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 3. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.